三角函数与平面向量课件

2x 1 π 4.函数 函数y= sin( - )的单调递减区间 函数 的单调递减区间 3 4 2 9π 3π ,3kπ+ ］(k∈Z) ∈ . 是 ［3kπ8 8
π 1 y= sin( 4 2
-
π
1 2x 2x )=- 2 sin( 3 3
- ),
4
π
所以2kπ所以 所以3kπ所以
2 3π ≤x≤3kπ+ 8
3 ， 2
7π 6
].
要求（或应用）周期， 点评要求（或应用）周期，常将三角函数统 一成y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Atan(ωx+φ))的形 或 一成 的形 式，再利用公式T= 再利用公式
π 2π (或 | ω |);要求函数的值 或 要求函数的值 |ω |
域（或最值），常将三角函数统一为 y=Asin(ωx+φ)+b，根据弦函数的范围求解； ，根据弦函数的范围求解； 或整理成关于某一三角函数的一元二次， 或整理成关于某一三角函数的一元二次，用 配方法，或用换元法化为可用基本不等式等 配方法， 结论的形式. 结论的形式
2 2
π π
1.基本三角函数的性质 基本三角函数的性质
名称 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
2 递减区间:[2kπ+ π ,2kπ+ 3π ](k∈Z) 2 2
递增区间:[2kπ-
,2kπ+
2
π
π
](k∈Z)
y=sinx
R
[-1,1]
2π
奇函数
递增区间：［2kπ-π,2kπ］(k∈Z) y=cos x R [-1,1] 2π 偶函数 递减区间:［2kπ,2kπ+π］(k∈Z) x≠kπ+ R π 奇函数
x∈[2kπ,2kπ+ )或 ∈ 或 x∈(2kπ+ π,2kπ+π](k∈Z) ∈ ∈
2 2
3π )或 或 2
π
x∈[2kπ+π,2kπ+ ∈ x∈(2kπ+ ∈
3π ,2kπ+2π](k∈Z) ∈ 2
结合图象易知A正确 正确. 结合图象易知 正确
的单调区间时， 的单调区间时 点评求 f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时， 首先要看A， 是否为正 若为负， 是否为正； 首先要看 ， ω是否为正 ； 若为负 ， 则先 应用诱导公式化为正， 然后将ωx+φ看作 应用诱导公式化为正 ， 然后将 看作
π
π
故由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 故由
π
3 3
π
π
2
(2)函数 函数f(x)= 函数 A.在[0, 在
π
2 ),( 上递减； 在[π, 3π 3π,2π]上递减； 上递减 2 2 B.在[0, π ),[π, 3π上递增 )上递增 上递增, 在 2 2 π 3π ,2π]上递减 在( ,π],( ,2π]上递减 2 2 C.在( π ,π]，( 3π 上递增， 上递增， 在 ， ,2π]上递增 2 2 π 3π 在[0, ),[π, )上递减 上递减 2 2 D.在[π, 3π 3π,2π]上递增， ),( 上递增， 在 上递增 2 2 π
π
一 个整体 ， 比如 若 A>0 ， ω>0 ， 由 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 的范围即为增 ∈ 解出 解出x的范围即为增
2 2
2.函数 函数y=Asinx+b和y=Acosx+b的最大值为 函数 和 的最大值为 |A|+b，最小值为 ，最小值为-|A|+b. 3.对称性 对称性 (1)y=sinx的对称中心为 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z);对称 的对称中心为 ∈ 对称 π 轴为x=kπ+ (k∈Z). 轴为 ∈
2
(2)y=cosx的对称中心为 的对称中心为(kπ+ 2,0)(k∈Z); 的对称中心为 ∈ 对称轴为x=kπ(k∈Z). ∈ 对称轴为 (3)y=tanx的对称中心为 的对称中心为( 的对称中心为 无对称轴. 无对称轴
kπ 2
π
,0)(k∈Z); ∈
典例精讲
题型一 三角函数的对称性、奇偶性 三角函数的对称性、
(1)f(x)= 1 − cos 2ω x 2 1 = 3 sin2ωx- 2 cos2ωx+ 2 1 π =sin(2ωx- )+ 2 . 6
2π 所以 2ω
+
1 2
3 2
sin2ωx
因为函数f(x)的最小正周期为 且 因为函数 的最小正周期为π,且ω>0, 的最小正周期为 =π,解得 解得ω=1. 解得
(1)因为 因为x= 因为 称轴，则当 称轴，则当x=
5π 所以 4 8 5π 8
5π 8
是函数y=f(x)的一条对 的一条对 是函数
取最值， 时，y取最值， 取最值
所以sin(2×5π +φ)=±1, × 所以 ± +φ=kπ+
π
(k∈Z). ∈
2
3π .4
又-π<φ<0，所以 ，所以φ=-
(2)由f(x)为偶函数，则当 由 为偶函数， 取最值， 为偶函数 则当x=0时，y取最值， 时 取最值 所以sin(2×0+φ)=±1,则φ=kπ+ (k∈Z). × 所以 ± 则 ∈ 又-π<φ<0，所以 ，所以φ=- .
6
5π )(k∈Z) ∈ 6 5π (k∈Z) ］ ∈ 6
5π ］(k∈Z) ∈ 6
要使函数有意义， 要使函数有意义， 得2sinx-1≥0,
1 即sinx≥ , 2
由图象可知， 由图象可知， π 2kπ+ ≤x≤2kπ+
6
5π (k∈Z). ∈ 6
2.函数 函数y=cos2x+sinx在［函数 在 最小值为( 最小值为 A ) A. 1 − 2 2 B.1− 2 2
),( 2 ,π]上递增 上递增, 上递增
π
1 − cos 2 x cos x
（A ）
在[0, 2 ),( π ,π]上递减 上递减
2
（2）f(x)= ）
1 − cos 2 x cos x
=
1 − (1 − sin 2 x) cos x
=
2 | sin x | cos x
， 2 tanx， = - 2 tanx， ，
所以y=f(x)为奇函数 为奇函数. 所以 为奇函数
三角函数对称性、 点评 三角函数对称性 、 奇偶性的判定 及应用与代数函数一致，但又有特殊性： 及应用与代数函数一致，但又有特殊性： 三角函数在对称轴处取得函数的最值 （ 最 大 值 或 最 小 值 ） ； 对 于 y=Asin(ωx+φ)， 当 φ=kπ(k∈ Z)时 ， 与 ， ∈ 时 y=sinx奇偶相同 ， 为奇函数 ； 当 φ=kπ+ 奇偶相同， 为奇函数； 奇偶相同 (k∈ Z)时 ， 与 y=sinx奇偶性相反 ， 为偶 ∈ 时 奇偶性相反， 奇偶性相反
≤
2x 3
≤2kπ+ , 4
8
π
π
9π (k∈Z). ∈
2
5.已知 已知f(x)=sin(x+θ)+ 3 cos(x-θ)为偶函数， 为偶函数， 已知 为偶函数 π θ=kπ- (k∈. ∈Z) 则θ=
6
因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x). 是偶函数，所以 因为 是偶函数 所以sin(-x+θ)+ cos(-x-θ) 所以 3 =sin(x+θ)+ cos(x-θ)， ， 3 cos(x-θ). 3 sinx·sinθ,对x∈R恒成立 恒成立, 对 ∈ 恒成立 3 π (k∈Z). ∈
递增区间:[2kπ-
,2kπ+
2
π
π
](k∈Z)
y=sinx
R
[-1,1]
2π
奇函数
递增区间：［2kπ-π,2kπ］(k∈Z) y=cos x R [-1,1] 2π 偶函数 递减区间:［2kπ,2kπ+π］(k∈Z) x≠kπ+ R π 奇函数
2
π y=tanx (k∈Z)
递增区间：(kπ- π ,kπ+ π )(k∈Z)
三角函数与平面向量
1.了解三角函数的定义域、值域、 了解三角函数的定义域、值域、 了解三角函数的定义域 周期性、奇偶性、对称性等. 周期性、奇偶性、对称性等 2.理解正弦函数、余弦函数在区间 理解正弦函数、 理解正弦函数 [0,2π]上的性质（如单调性、最大值和 上的性质（如单调性、 上的性质 最小值以及与x轴的交点等） 最小值以及与 轴的交点等），理解正 轴的交点等 切函数在(切函数在 , ）内的单调性 内的单调性.
π
2 2
π
(3)因为 的定义域为 ，即定义域关于 因为f(x)的定义域为 因为 的定义域为R， 原点对称； 原点对称；当φ=kπ(k∈Z)时， ∈ 时 f(x)=sin(2x+kπ)= sin2x （k为偶数） 为偶数） 为偶数 -sin2x (k为奇数）. 为奇数） 为奇数 又f(-x)= sin(-2x)(k为偶数） 为偶数） 为偶数 -sin(-2x)(k为奇数） 为奇数） 为奇数 = -sin2x(k为偶数） 为偶数） 为偶数 sin2x(k为奇数）=-f(x)， 为奇数） 为奇数 ，
π
4
,
π
4
］上的
5 D. 4
C.-1
y=1-sin2x+sinx=-(sin2x-sinx)+1
1 2 5 =-(sinx- ) + , 2 4
因为x∈ 因为 ∈［所以y 所以 min=f(-
π
4
2 2
, π ］,所以 所以sinx∈［所以 ∈
4
)=-(-
2 2
1 2 5 - )+ = 2 4
2 , 2］ 2 2 1− 2 . 2
2
π
函数； 函数；当φ≠k· 数.
(k∈Z)时,为非奇非偶函 ∈ 时2 为非奇非偶函
π
题型二 三角函数的周期、值域 三角函数的周期、
例2已知函数 f(x)=sin2ωx+
3 sinωxsin(ωx+
π
2
)(ω>0)的最小正周期为 的最小正周期为π. 的最小正周期为
2π 3
(1)求ω的值； 求 的值 的值； (2)求函数 ）在区间 求函数f(x）在区间[0, 求函数 ]上的取值范围 上的取值范围. 上的取值范围
题型三 三角函数的单调性
求函数y=3sin( 3 -2x)的单调区间； 的单调区间； 求函数 的单调区间 例3 (1)求函数 (1)y=3sin( -2x)=-3sin(2x- 3 )，将2x- 看 ， 3 3 作一整体，则与y=sinx的单调性相反 的单调性相反. 作一整体，则与y=sinx的单调性相反.
2
π y=tanx (k∈Z)
递增区间：(kπ- π ,kπ+ π )(k∈Z)
2 2
例 1：
1.函数 2 sin x − 1 的定义域为 B ) 函数y= 的定义域为( 函数
π A.［ ［
6
5π , ］ 6
B.［2kπ+ ［ C.(2kπ+
π
π
6
,2kπ+
,2kπ+ 6 π ,kπ+ D.［kπ+ ［
5π ≤x≤kπ+ (k∈Z)时函数单调递减 时函数单调递减; 即kπ- 12 ∈ 时函数单调递减 12 5π π 所以递减区间为[kπ- 12 ,kπ+ 12 ∈Z)； ](k∈ ； 所以递减区间为 5π 11π 同理， 同理，递增区间为 [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). ∈ 12 12
π
π π
3.函数 函数f(x)= 函数 A.2π
正周期为( 正周期为 B ) B.π
sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x ⋅ cos 2 x 2 − sin 2 x
的最小
C.
π
2
D.
π
4
Байду номын сангаас
sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x ⋅ cos 2 x f(x) = 2 − sin 2 x 1 1 − sin 2 x ⋅ cos 2 x = = (1+sinxcosx) 2 2(1 − sin x cos x) 1 1 = sin2x+ , 4 2 2π 所以T= =π. 所以 2
π
6
(2)由(1)得f(x)=sin(2x由 得 因为0≤x≤ 因为
2π ，所以所以 3
)+ 1 .
2
π 1 所以所以 ≤sin(2x- 6)≤1， ， 2 1 π 因此，0≤sin(2x- )+ 2 因此， ≤ 6 3 的取值范围为[0, 2 即f(x)的取值范围为 的取值范围为
π ≤2x- ≤ π , 6 6
6
即sin(x+θ)+sin(x-θ)= cos(x+θ)3 所以2sinx·cosθ=-2 所以 所以tanθ=所以
3 ,所以 所以θ=kπ所以 3
1.基本三角函数的性质 基本三角函数的性质
名称 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
2 递减区间:[2kπ+ π ,2kπ+ 3π ](k∈Z) 2 2
设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0). 例1 设函数
5π (1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线 8 ,求φ; 图象的一条对称轴是直线x= 求 图象的一条对称轴是直线
(2)y=f(x)为偶函数，求φ； 为偶函数， 为偶函数 ； (3)若φ=kπ（k∈Z)，试证明 若 为奇函数. （ ∈ ，试证明y=f(x)为奇函数 为奇函数