运筹学 图与网络分析
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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感谢观看
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WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
运筹学课件 第八章 图与网络分析
运筹学教程
例：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一
个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中 有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之 间共有七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥 一次且仅一次最后回到原地呢？
A C
B
运筹学教程
D
运筹学教程
最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的答案，并因此奠定了图论的基 础，Euler把A、B、C、D四块陆地分别收缩 成四个顶点，把桥表示成连接对应顶点之间 的边，问题转化为从任意一点出发，能不能 经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这 就是著名的Euler问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪 中叶，这时，图论问题大量出现，如 Hamilton问题，地图染色的四色问题以 及可平面性问题等，这时，也出现用图 解 决 实 际 问 题 ， 如 Cayley 把 树 应 用 于 化 学领域，Kirchhoff用树去研究电网络等.
运筹学教程
第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管 理、军事、交通、运输、计算机网络等方 面提出实际问题，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，特别是以Ford和 Fulkerson建立的网络流理论，与线性规划、 动态规划等优化理论和方法相互渗透，促 进了图论对实际问题的应用。
e5
运筹学教程
v2
v3
e2
e6
v4
v5
e8
运筹学教程
二、连通图
定义8:如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列 (v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn-1 , en ， vn ） ，ei=(vi-1,vi)，则称 此为一条链。 由两两相邻的点及其相关联边构成的点边序列。 初等链：链中无重复的点和边； 定义9：无向图中，如一条链中起点和终点重合，则称此链为 圈。 初等圈：圈中无重复的点和边； 有向图中，当链（圈）上的边方向相同时，为道路（回路）。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5
(2,4)
35
55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学基础及应用(第五版),(第六章图与网络分析)
树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树(也称最小支
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的， 则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
2020/3/27
6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生 活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表 示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间 的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何 ，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之 间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几 何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈， 无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。 性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案 ，1736年欧拉 把陆地缩为一点，把桥作为连接点 的边，将这个问题抽象成图形的一 笔画问题。即能否从某一点开始不 重复地一笔画出这个图形，最终回 到原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接，不 可能将它一笔画出，这就是古典图 论中的第一个著名问题。
撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的， 则边 [ i , j ] 一定包含在该图的最小部分树中。
给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称这样的
图为网络图（赋权图）
2020/3/27
6
图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用它所
联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]，
e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
2020/3/27
用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生 活中的某些特定对象之间的特定关系。通常用点表 示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间 的特定关系。一般情况下，图中点的相对位置如何 ，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之 间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几 何图，工程图等本质上是不同的。
§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。（无圈， 无多重边）
一. 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。
次为1的点称为悬挂点，与之关联的边称为悬挂边。 性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。
性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是树。
A D
C B
2020/3/27
3
为了寻找答案 ，1736年欧拉 把陆地缩为一点，把桥作为连接点 的边，将这个问题抽象成图形的一 笔画问题。即能否从某一点开始不 重复地一笔画出这个图形，最终回 到原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接，不 可能将它一笔画出，这就是古典图 论中的第一个著名问题。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中， 找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终 点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
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图与网络的基本概念
将此问题通过图的模型描述：
下图中，点——各城市，带箭头连线——从箭尾城市到箭头城市已订
购有机票，带箭头连线旁的数字——机票数量。
郑州办事处已订
有的到北京的
西
郑
机票数量。
重 8
成 武
昆 上
广
京 沈
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
一、图及其分类和术语
1、 图论中所研究的图并非几何学中的图，也不是绘画中的图。在这 里我们所关心的仅仅是图中有多少个点，点与点之间有无线来连接， 也就是说我们研究的是某个系统中的元素——点，以及这些元素之间 的某种关系——连线。
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正 如一位数学家所说：“可以说，图论为任何一个包含了某种二元关系 的系统提供了一种分析和描述的模型。”
下面我们来看一个案例——
国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅行 社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看好，要求参加 的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加此游。 旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此问题。很 快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社 要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道转机。 下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
图与网络的基本概念
关联矩阵——对于图阵
M=（mij） mn，其中
mij = 2 当且仅当 vi是边ej 的两个端点
1 当且仅当 vi是边ej 的一个端点
例——
0 其它
v1
v4
e9
v6
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12
邻接矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵 A=（aij） nn，其中
aij = k 当且仅当vi与vj之间有条边时
0 其它
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
邻接矩阵
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
e12
e10
v5
e11 v7
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
v1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
e11 v7
e4
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v3
e7
v8
v1
01001000
e8
v2
10101000
v3
01001002
A=（aij）
nn=
v4 v5
00000110 11100001
v6
0 0 0 1 0 0 10
v7
0 0 0 1 1 1 00
v8
0 0 2 0 1 0 00
图与网络模型Graph Theory
边（无向边）——没有方向的连线
弧（有向边）——带有方向的连线
无向图—— 有向图—— 简单图—— 多重图——
完全图—— 二部图（偶图，双图）——
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
子图——
真子图——
生成子图—— 点生成子图——
边生成子图——
点的次——
奇次点——
偶次点——
链—— 圈——
路——
回路—— 赋权图——
2、连通图
在众多各类图中有一类在实际应用中占有重要地位的图
连通图——在图中，任意两点间至少存在着一条链
连通图
不连通图
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
3、图与矩阵
在图与网络分析的应用中，将面临一个问题——如何分析、计算一 个较大型的网络，这当然需借助快速的计算工具——计算机。那么，如 何将一个图表示在计算机中，或者，如何在计算机中存储一个图呢？现 在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图， 图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有——邻接矩阵、关联矩阵、 权矩阵等。
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
各办事处已订购机票情况表
成都 重庆 武汉 上海 西安 郑州 沈阳 昆明 广州 北京
成都
重庆 武汉 上海
10
5 15
10
10
8
8
西安 郑州 8 6
15 6
8 2
沈阳 昆明 12 15
8 14
6
广州 北京 10 30
25
8 18 10 10
图与网络模型Graph Theory
定义：图——一个图G是一个有序二元组（V，E），记为G=（V，E） 其中（1） V是一个有限非空的集合，其元素称为G的点或顶点，而称V 为G的点集 V={v1，v2，···，vn}；（2）E是V中元素的无序对(vi，vj)所 构成的一个集合，其元素称为G的边，一般表示为 e =(vi，vj)，而称E 是G的边集。
A
D C
B
图与网络模型Graph Theory
引言
“哥尼斯堡 7 桥”难题最终在 1736 年由数学家 Euler 的一篇论文给 予了完满的解决，这是图论的第一篇论文。在后来的两百年间图论的 发展是缓慢的，直到 1936 年匈牙利数学家 O.Kö nig写出了图论的第一 本专著《有限图与无限图的理论》。
图与网络模型Graph Theory
引言
十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河），河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样 一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥，回到原出发点， 而每座桥只允许走一次。没有人想出走法，又无法说明走法不存在， 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
在图论的发展过程中还有两位著名科学家值得一提，他们是克希 霍夫和凯莱。克希霍夫在研究电网络时对图的独立回路理论作出了重 要的贡献，而化学家凯莱在对碳氢化合物的同分异构体的数量进行计 数时推动了图论中树的计数问题的研究。
图论的历史上最具有传奇色彩的问题也许要数著名的“四色猜想” 了——历史上许许多多数学猜想之一。它描述对一张地图着色的问题， 曾经有一位数学家这样说：“对于这个问题，一位数学家可以用不到 五分钟的时间向马路上任何一位行人讲述清楚它，然后，两人都明白 这一问题，但是，两人都无能为力。”幸运的是在 1970‘s 终于由美国 的两位数学家借助大型计算机将其证明了。
将此问题通过图的模型描述：
下图中，点——各城市，带箭头连线——从箭尾城市到箭头城市已订
购有机票，带箭头连线旁的数字——机票数量。
郑州办事处已订
有的到北京的
西
郑
机票数量。
重 8
成 武
昆 上
广
京 沈
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
一、图及其分类和术语
1、 图论中所研究的图并非几何学中的图，也不是绘画中的图。在这 里我们所关心的仅仅是图中有多少个点，点与点之间有无线来连接， 也就是说我们研究的是某个系统中的元素——点，以及这些元素之间 的某种关系——连线。
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正 如一位数学家所说：“可以说，图论为任何一个包含了某种二元关系 的系统提供了一种分析和描述的模型。”
下面我们来看一个案例——
国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅行 社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看好，要求参加 的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加此游。 旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此问题。很 快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社 要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道转机。 下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
图与网络的基本概念
关联矩阵——对于图阵
M=（mij） mn，其中
mij = 2 当且仅当 vi是边ej 的两个端点
1 当且仅当 vi是边ej 的一个端点
例——
0 其它
v1
v4
e9
v6
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12
邻接矩阵——对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵 A=（aij） nn，其中
aij = k 当且仅当vi与vj之间有条边时
0 其它
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
邻接矩阵
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
e12
e10
v5
e11 v7
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
v1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
e11 v7
e4
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v3
e7
v8
v1
01001000
e8
v2
10101000
v3
01001002
A=（aij）
nn=
v4 v5
00000110 11100001
v6
0 0 0 1 0 0 10
v7
0 0 0 1 1 1 00
v8
0 0 2 0 1 0 00
图与网络模型Graph Theory
边（无向边）——没有方向的连线
弧（有向边）——带有方向的连线
无向图—— 有向图—— 简单图—— 多重图——
完全图—— 二部图（偶图，双图）——
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
子图——
真子图——
生成子图—— 点生成子图——
边生成子图——
点的次——
奇次点——
偶次点——
链—— 圈——
路——
回路—— 赋权图——
2、连通图
在众多各类图中有一类在实际应用中占有重要地位的图
连通图——在图中，任意两点间至少存在着一条链
连通图
不连通图
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
3、图与矩阵
在图与网络分析的应用中，将面临一个问题——如何分析、计算一 个较大型的网络，这当然需借助快速的计算工具——计算机。那么，如 何将一个图表示在计算机中，或者，如何在计算机中存储一个图呢？现 在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图， 图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有——邻接矩阵、关联矩阵、 权矩阵等。
图与网络模型Graph Theory
图与网络的基本概念
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成都
重庆 武汉 上海
10
5 15
10
10
8
8
西安 郑州 8 6
15 6
8 2
沈阳 昆明 12 15
8 14
6
广州 北京 10 30
25
8 18 10 10
图与网络模型Graph Theory
定义：图——一个图G是一个有序二元组（V，E），记为G=（V，E） 其中（1） V是一个有限非空的集合，其元素称为G的点或顶点，而称V 为G的点集 V={v1，v2，···，vn}；（2）E是V中元素的无序对(vi，vj)所 构成的一个集合，其元素称为G的边，一般表示为 e =(vi，vj)，而称E 是G的边集。
A
D C
B
图与网络模型Graph Theory
引言
“哥尼斯堡 7 桥”难题最终在 1736 年由数学家 Euler 的一篇论文给 予了完满的解决，这是图论的第一篇论文。在后来的两百年间图论的 发展是缓慢的，直到 1936 年匈牙利数学家 O.Kö nig写出了图论的第一 本专著《有限图与无限图的理论》。
图与网络模型Graph Theory
引言
十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河），河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样 一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥，回到原出发点， 而每座桥只允许走一次。没有人想出走法，又无法说明走法不存在， 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
在图论的发展过程中还有两位著名科学家值得一提，他们是克希 霍夫和凯莱。克希霍夫在研究电网络时对图的独立回路理论作出了重 要的贡献，而化学家凯莱在对碳氢化合物的同分异构体的数量进行计 数时推动了图论中树的计数问题的研究。
图论的历史上最具有传奇色彩的问题也许要数著名的“四色猜想” 了——历史上许许多多数学猜想之一。它描述对一张地图着色的问题， 曾经有一位数学家这样说：“对于这个问题，一位数学家可以用不到 五分钟的时间向马路上任何一位行人讲述清楚它，然后，两人都明白 这一问题，但是，两人都无能为力。”幸运的是在 1970‘s 终于由美国 的两位数学家借助大型计算机将其证明了。