运筹学第六章图与网络分析
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运筹学：第6章 图与网络分析
L1p = min { L11+d12 , L13+d34, L13+d36 } =min{0+5,2+7,2+4} = 5 = L12
2021/4/18
36
对 v2 标号，将 L12 的值标注在 v2 旁的小方框内； 将( v1, v2) 加粗，并令 V∪v2 →V，V v2 V
2021/4/18
2.不同解法得到的最小部分树所包含的边虽然可 能不相同，但是，每个最小部分树中所有边权的 总和一定都是相同的，即都达到了最小。
2021/4/18
29
§3．最短路问题
最短路问题是指从给定的网络图中找出任意两点之 间距离最短（权值和最小）的一条路。 某些整数规划和动态规划问题可以归结为求最短路 的问题。如选址问题、管道铺设选线问题、设备更 新、投资等问题。 最短路的求法： 1.从某一点至其它各点之间最短距离的狄克斯屈拉
37
(4) 同 v1 ,v2 ,v3 相邻的未标号点有v4 、v5、v6 ，
L1p = min { L12+d25 , L12+d24, L13+d34 ,L13+d36 } =min{5+7,5+2,2+7,2+4} = 6 = L16
。
2021/4/18
38
对 v6 标号，将 L16 的值标注在 v6 旁的小方框内； 将( v3, v6) 加粗，并令 V∪v6 →V，
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对 v2 标号，将 L12 的值标注在 v2 旁的小方框内； 将( v1, v2) 加粗，并令 V∪v2 →V，V v2 V
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2.不同解法得到的最小部分树所包含的边虽然可 能不相同，但是，每个最小部分树中所有边权的 总和一定都是相同的，即都达到了最小。
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29
§3．最短路问题
最短路问题是指从给定的网络图中找出任意两点之 间距离最短（权值和最小）的一条路。 某些整数规划和动态规划问题可以归结为求最短路 的问题。如选址问题、管道铺设选线问题、设备更 新、投资等问题。 最短路的求法： 1.从某一点至其它各点之间最短距离的狄克斯屈拉
37
(4) 同 v1 ,v2 ,v3 相邻的未标号点有v4 、v5、v6 ，
L1p = min { L12+d25 , L12+d24, L13+d34 ,L13+d36 } =min{5+7,5+2,2+7,2+4} = 6 = L16
。
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对 v6 标号，将 L16 的值标注在 v6 旁的小方框内； 将( v3, v6) 加粗，并令 V∪v6 →V，
运筹学第六章图与网络分析1.
vS
4
3 v2
2
1 2
2 v4
3
4
v5
(1)与节点v2直接相连的临时标号的节点为v1和v4，把 这两个节点的T标号改为
T(v1)=min{T(v1),P(v2)+d21}=min{4,3+2}=4 T(v4)=min{T(v4),P(v2)+d24}=min{∞,3+2}=5 (2).在所有T标号中，T(v1)=4最小，于是令P(v1)=4, 19 S3={vs, v2, v1}， λ(v1)=vs
(1).与节点v4相连的T标号有v3,v5把这两个节点的T标 20 号改为
T(v3)=min{T(v3),P(v4)+d43}=min{7,5+2}=7 T(v5)=min{T(v5),P(v5)+d45}=min{∞,5+4}=9 (2).T(v3)最小,P(v3)=7 , S5={vs, v2, v1, v4 , v3 }， λ(v3)=v4或v1
v5
S1={vs}。
T(v1)=min{T(v1),P(vs)+ds1}=min{∞,0+4}=4
18
T(v2)=min{T(v2),P(vs)+ds2}=min{∞,0+3}=3 (2)在所有T标号中，最小的为T(v2)=3,于是令P(v2)=3， S2={vs, v2}， λ(v2)=vs v1 3 v3 第三步：
4
3 v2
2
1 2
2 v4
3
4
v5
(1)与节点v2直接相连的临时标号的节点为v1和v4，把 这两个节点的T标号改为
T(v1)=min{T(v1),P(v2)+d21}=min{4,3+2}=4 T(v4)=min{T(v4),P(v2)+d24}=min{∞,3+2}=5 (2).在所有T标号中，T(v1)=4最小，于是令P(v1)=4, 19 S3={vs, v2, v1}， λ(v1)=vs
(1).与节点v4相连的T标号有v3,v5把这两个节点的T标 20 号改为
T(v3)=min{T(v3),P(v4)+d43}=min{7,5+2}=7 T(v5)=min{T(v5),P(v5)+d45}=min{∞,5+4}=9 (2).T(v3)最小,P(v3)=7 , S5={vs, v2, v1, v4 , v3 }， λ(v3)=v4或v1
v5
S1={vs}。
T(v1)=min{T(v1),P(vs)+ds1}=min{∞,0+4}=4
18
T(v2)=min{T(v2),P(vs)+ds2}=min{∞,0+3}=3 (2)在所有T标号中，最小的为T(v2)=3,于是令P(v2)=3， S2={vs, v2}， λ(v2)=vs v1 3 v3 第三步：
运筹学 第6章 图论与网络分析
• 若两个点之间的边多于一条，称为具有多重边；
• 对无环、无多重边的图称为简单图。 次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点 • 与某一个点vi 相关联的边的数目称为次(也称度)，记d(vi)；
次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点；
次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点。
多重边 v1 e'13 v3 e13
环 v2
孤立 点
无环、无多重边的图称为 简单图
v1 e13
v3 e34
e22
e12
V6
e12
v2 e24
e24 e34
图 6.1 v4
e45
v5
e45
v5
悬挂 点
v4 图6.2 简单图
链、路、圈、回路、连通图
• 点和边交错序列 v0 , e1 , v1 , , ek , vk ，若其中各边 e1 ,, ek 互不相同，且任意vi ,t 1和 vi ,t 2 t k 均相邻，称 为链；
1 1 (3) 再构造矩阵D 2 ，令 d ij 2 min d ir ，则 D 2 表示点i d rj r 和j直接到达，及经过一至三个中间点的最短距离。
(4) 迭代更新k次，生成一个新矩阵 D k
k 1 k 1 d ij k min d ir d rj
v2
运筹学6(图与网络分析)
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 ຫໍສະໝຸດ Baidu2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
Ａ ＢＣ Ｄ Ｅ ＦＧ Ｈ
定义 树、生成树： ①无圈的连通图称为树； ② 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树，则称G1是G2的一棵生 成树。
图8－3(a)是一棵树，图8－3(b)是图8－1的一棵生成树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
①
⑥ ③
有向图
定义6 有向图中，以Vi为起始点的边数称为点Vi的出次， 用 d (vi ) 表示；有向图中，以Vi为终点的边数称为点Vi的 入次，用 d (vi ) 表示。
结论1： Vi点的出次与入次之和就是该点的次。
e1 ຫໍສະໝຸດ Baidu2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
Ａ ＢＣ Ｄ Ｅ ＦＧ Ｈ
定义 树、生成树： ①无圈的连通图称为树； ② 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树，则称G1是G2的一棵生 成树。
图8－3(a)是一棵树，图8－3(b)是图8－1的一棵生成树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
①
⑥ ③
有向图
定义6 有向图中，以Vi为起始点的边数称为点Vi的出次， 用 d (vi ) 表示；有向图中，以Vi为终点的边数称为点Vi的 入次，用 d (vi ) 表示。
结论1： Vi点的出次与入次之和就是该点的次。
第六章图与网络分析
§6.1 图的基本概念
运筹学中研究的图是生活中各类图的抽象概括, 它表明一些研究对象和这些对象之间的相互关系。 用点表示研究对象，用边表示这些对象之间的联 系，则图G可定义为点和边的集合，记为
G {V , E }
式中V是点的集合，E是边的集合。
第 7页
基本概念
顶点(节点): 记为v 端点,关联边,相邻： 边:记为e e1=[v1,v1] e2=[v1,v2] 或 e2=[v2,v1]
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8
续7
1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1
e1 e2
3
2
e3
4
e4 e7
e5
5
e6
e8
右图的关联矩阵是 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
若图的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和V2,使在同 一集合中任意两个顶点均不相邻,称 这样的图为偶图(二分图). 若偶图的顶点集合V1和V2之间的每对不同顶点都有边相连， 称 这样的图为完全偶图．
Km,n
| E | m n
K3, 2
简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图，且补图中的两 个点相邻当且仅当它们在G中不相邻
第 1页
运筹学第六章图与网络分析
一、网络最大流中有关概念
⑴ 有向图：含有以箭头指示方向的边的网络图。 ⑵ 弧：有向图上的边称为弧。用（vi,vj）表示。 ⑶ 弧的容量：弧上通过负载的最大能力，简称容量。以cij表示。 ⑷ 流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。
⑸ 可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件： ① 容量限制条件：对所有的弧，0 fijcij ② 中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
(v2,1) v1
9(5)
(v1,v13)
(0,+∞)
vs
5(3)
6(0)
vt
Baidu Nhomakorabea
(vs,1) v2
9(9)
v4
最大流量：fmax=14 最小割集：｛(v3, vt), (v2, v4)｝
§6.6 网络模型的实际应用
例1：王经理花费12000元购买了一台微型车，以后年度的 维护费用取决于年初时汽车的役龄，如表示。为避免使用旧 车带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车，购买新车 使用的方案，旧车的预计收入如表示。为简化计算，假定任 何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费 用最小（购置费+维护费-卖旧车收入）。
⑴ 有向图：含有以箭头指示方向的边的网络图。 ⑵ 弧：有向图上的边称为弧。用（vi,vj）表示。 ⑶ 弧的容量：弧上通过负载的最大能力，简称容量。以cij表示。 ⑷ 流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。
⑸ 可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件： ① 容量限制条件：对所有的弧，0 fijcij ② 中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
(v2,1) v1
9(5)
(v1,v13)
(0,+∞)
vs
5(3)
6(0)
vt
Baidu Nhomakorabea
(vs,1) v2
9(9)
v4
最大流量：fmax=14 最小割集：｛(v3, vt), (v2, v4)｝
§6.6 网络模型的实际应用
例1：王经理花费12000元购买了一台微型车，以后年度的 维护费用取决于年初时汽车的役龄，如表示。为避免使用旧 车带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车，购买新车 使用的方案，旧车的预计收入如表示。为简化计算，假定任 何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费 用最小（购置费+维护费-卖旧车收入）。
运筹学第6章 图与网络
8 该课件的所有权属于熊义杰
图6.2 一般地说，图论中的图是由点以及点与点之间的连线组成
的示意图，通常用点代表所研究的对象，用线代表两个对象之
间的特定关系，至于图中点的相对位置如何，点与点之间连线 的长短曲直，对于反映对象之间的关系，并不十分重要。因此， 图论中的图与几何图函数图形等是不同的。
9 该课件的所有权属于熊义杰
欧拉证明了这样的走法是不存在的,并给出了这类问题的一般结
论。
该课件的所有权属于熊义杰
2
(a)
(b)
图6.1 七桥难题
当时数学界并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识， 甚至仅仅视其为一个数学游戏而已，图论诞生后并未及时获得 足够的发展。1936年，匈牙利数学家康尼格(Konig）出版《有 限图与无限图理论》，这是图论的第一部专著，它总结了图论 200年的成果，是图论发展的第一座里程碑，此后，图论进入 发展与突破的快车道。又经过半个多世纪的发展，现已成长为 数学科学的一个独立的重要学科。它的分支很多，例如 3
这样的游戏，一个人怎样才能一次连续走过这七座桥,且每座桥
只走一次，最后回到原出发点。没有人想出走法,但又不能说明
走法不存在, 这就是著名的”七桥难题”。欧拉将这个问题归结
为如 图6.1(b)所示的问题，他用A,B,C,D四点分别表示河的两岸
和两个小岛,用两点间的连线表示桥。于是七桥问题变为：从
图6.2 一般地说，图论中的图是由点以及点与点之间的连线组成
的示意图，通常用点代表所研究的对象，用线代表两个对象之
间的特定关系，至于图中点的相对位置如何，点与点之间连线 的长短曲直，对于反映对象之间的关系，并不十分重要。因此， 图论中的图与几何图函数图形等是不同的。
9 该课件的所有权属于熊义杰
欧拉证明了这样的走法是不存在的,并给出了这类问题的一般结
论。
该课件的所有权属于熊义杰
2
(a)
(b)
图6.1 七桥难题
当时数学界并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识， 甚至仅仅视其为一个数学游戏而已，图论诞生后并未及时获得 足够的发展。1936年，匈牙利数学家康尼格(Konig）出版《有 限图与无限图理论》，这是图论的第一部专著，它总结了图论 200年的成果，是图论发展的第一座里程碑，此后，图论进入 发展与突破的快车道。又经过半个多世纪的发展，现已成长为 数学科学的一个独立的重要学科。它的分支很多，例如 3
这样的游戏，一个人怎样才能一次连续走过这七座桥,且每座桥
只走一次，最后回到原出发点。没有人想出走法,但又不能说明
走法不存在, 这就是著名的”七桥难题”。欧拉将这个问题归结
为如 图6.1(b)所示的问题，他用A,B,C,D四点分别表示河的两岸
和两个小岛,用两点间的连线表示桥。于是七桥问题变为：从
运筹学06图与网络分析PPT演示文稿
❖图论的第一部专著是匈牙利数学家O. Konig于 1936出版的《有限图与无限图的理论》。
4
❖哥尼斯堡七桥问题：在图中找 A
一条经过每边一次且仅一次的
路——欧拉回路。
B D
由点和边组成 A
C
D C
B
5
❖ 环球旅行问题 ▪ 在图中找一条经过每个点一次且仅一次的 路——哈密尔顿回路。
❖ 中国邮路问题 ▪ 在图中找一条经过每边的最短路——类似 带权的欧拉回路。
❖ 在G中，称vi为G的顶点，ej为G的边，并记ej =(vs,vt)=(vt,vs)，称vs,vt是ej的端点，ej 是与vs,vt关联的边，称vs,vt为邻接的点。
❖ 如果图中某一边的两个端点相同，则称为环。 如果图中的两边(或多边)具有相同的一对端 点，则称为多重边(或平行边)。无环和无多 重边的图称为简单图。
❖ 在有向图D中，从一个顶点出发，顺着弧的方 向，经过弧、点、弧、点、…，最后达到某 一点，称为D中的一条单向链或通路，简称路， 用经过这条单向链的顶点(或弧)表示。
14
❖ 在有向图中，顶点次数分为入次d-(vi)和出次d +(vi)，入次是以该顶点为终点的边数，出次是 以该顶点为起点的边数。
15
▪ d(v3)=4偶点 ▪ d(v4)=1悬挂点
e2
▪ d(v5)=0孤立点 v 2
v5
4
❖哥尼斯堡七桥问题：在图中找 A
一条经过每边一次且仅一次的
路——欧拉回路。
B D
由点和边组成 A
C
D C
B
5
❖ 环球旅行问题 ▪ 在图中找一条经过每个点一次且仅一次的 路——哈密尔顿回路。
❖ 中国邮路问题 ▪ 在图中找一条经过每边的最短路——类似 带权的欧拉回路。
❖ 在G中，称vi为G的顶点，ej为G的边，并记ej =(vs,vt)=(vt,vs)，称vs,vt是ej的端点，ej 是与vs,vt关联的边，称vs,vt为邻接的点。
❖ 如果图中某一边的两个端点相同，则称为环。 如果图中的两边(或多边)具有相同的一对端 点，则称为多重边(或平行边)。无环和无多 重边的图称为简单图。
❖ 在有向图D中，从一个顶点出发，顺着弧的方 向，经过弧、点、弧、点、…，最后达到某 一点，称为D中的一条单向链或通路，简称路， 用经过这条单向链的顶点(或弧)表示。
14
❖ 在有向图中，顶点次数分为入次d-(vi)和出次d +(vi)，入次是以该顶点为终点的边数，出次是 以该顶点为起点的边数。
15
▪ d(v3)=4偶点 ▪ d(v4)=1悬挂点
e2
▪ d(v5)=0孤立点 v 2
v5
第六章运筹学图与网络
解:把比赛项目看作研究对象,用点表示.如果 两个项目没有同一名运动员参加,表明它们在 比赛顺序上可排在一起,在代表这两个项目的 点之间连一条线,得一图形.在该图中找一条 包含全部顶点的路,就是符合要求的比赛顺序.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
A
F
E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
第五章 图与网络模型(Graph and
network modeling
图的基本概念与模型 树图和图的最小部分树 最短路问题 网络的最大流
教学目的与要求:给学生建立起用图建模的 思想,学会用图分析问题. 重点与难点:图的各种概念,最短路的求法, 最大流的求法,其中难点是最大流的求法. 教学方法:课堂讲授结合WinQSB软件的使用. 思考题,讨论题,作业:本章习题. 参考资料:见前言. 学时分配:8学时.
4
5
a是图一的子图
b是一个支撑子图
例1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参加 A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表,问 六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运动 员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * * * B C D * * * * * * E F *
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
注意：部分图是子图，子图不一定是部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
二、应用
例 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所 示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项 目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路：S AB E D T
最短距离：L =13 ST运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中v1到v7的最短路。
5 V2
7
V5 7
3
5
2
6
0 V1
7 V4
1
2
7
2
6
V3 2
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin运=筹1学4胡运权第五版(第6章)
§6.3 最短路问题
注意：部分图是子图，子图不一定是部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
二、应用
例 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所 示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项 目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路：S AB E D T
最短距离：L =13 ST运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中v1到v7的最短路。
5 V2
7
V5 7
3
5
2
6
0 V1
7 V4
1
2
7
2
6
V3 2
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin运=筹1学4胡运权第五版(第6章)
§6.3 最短路问题
系统工程与运筹学 第6章 图与网络最优化方法
3. 连通图与支撑子图 图G (V, E)中，任意两顶点vi和vj之间至少有一条链存在，则该图 为连通图，否则为不连通的图。连通图中不存在孤立的顶点。 若图G′ (V′, E′)，V=V′，EE′，则称G′ (V′, E′)为G (V, E)的支撑子 图。
4. 赋权图与网络 如果在图G (V, E)中的每条边或图D (V, A)中每条弧上均标有某种 数量指标，即权Cij，则该图为赋权图，又称网络，记为G (V, E，C) 和D (V, A,C)。与各边有关的数量指标称为该边的权。
6.4 最短路径问题
6.4.1 两固定顶点——狄克斯特拉法
狄克斯特拉（Dijkstr a）于1959年提出一种求 最短的路径的方法。
其基本思想是：从起点v1开始逐步计算 从v1到网络各中间点vi的最短路，逐步 外推直至算出v1至终点vt的最短路。
【例6.3】 某工地道路网如图6.4.2(a)所示，工地值班员准备从 v1点出发去v8点，怎样走，距离最近呢？
欧拉回路也称一笔圈图，欧拉链也称一笔链图，二者均为一笔画图。
6.3.2 中国邮递员问题
由中国数学家管梅谷先生在1962年提出.
抽象成图的语言就是：给定一个无向的连通图，怎样 才能使每条边至少出现一次并使边长总和最小。这类问 题叫中国邮递员问题或一笔画问题。
中国邮递员问题可以描述为：在一个有奇点的连通图 中，增加一些重复边，使得该图成为一笔圈图，并且要 求重复边的总路长最小。
运筹学课件 第六章图与网络分析
2013-12-3
5
欧拉把这个试验化为下图所示的一个图论 问题。它用结点A，B，C，D分别表示对应的陆 地，用边来表示连接陆地的桥。这样哥尼斯堡七 桥问题就转化 A 为下图中寻求 一条包含每边 一次的回路问 B C 题。
D
（b）
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6
欧拉证明七桥问题无解，因为图中的每个点 都只与奇数条线相关联，不可能将这个图不重复 地一笔画成。 从而解决了这一难题，它的抽象 与论证方法开创了图论科学的研究。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 与广泛应用，二十世纪五十年代，图论的理论得 到进一步发展。将庞大复杂的工程系统和管理问 题用图描述，可以解决很多工程设计和管理决策 的最优化问题。 例如，完成工程任务的时间最少，距离最短， 费用最省ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等。图论受到数学、工程技术及经营 管理等各个方面越来越广泛的重视。 2013-12-3 7
2013-12-3
8
例1、 下图是我国北京、上海等十个城市间 的铁路交通图，反映了这十个城市间的铁路分布 情况。这里用点代表城市，用点和点之间的联线 代表这两个城市之间的铁路线。
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北京
天津 济南
青岛
郑州
徐州
连云港
运筹学第6章图与网络分析PPT课件
已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求
任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长
度最短。
v1
v2
v6
v3
v5
v4
1、一个连通的无圈的无向图叫做树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分支点。
第61页/共138页
树的性质：
（1）树必连通，但无回路（圈）。 （2）n 个顶点的树必有n-1 条边。 （3）树 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链 （初等链）。 （4）树 连通，但去掉任一条边， 必变为不连通。 （5） 树 无回路（圈），但不相邻的两个点之间加 一条边，恰得到一个回路（圈）。
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , (v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
v2 v1
v4 v6
17
v4
第74页/共138页
v1 23 v6
v2
1
4
v7 9
15 v3
28 25
16
3
v5
17
v4
第75页/共138页
v1 23 v6
v2
1
4
运筹学 CH6图与网络分析
图—引言
Page 3
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用 于物理学、控制论、信息论、交通运输、经济管理、电子计 算机等各项领域。 例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或 公路交通网络的合理布局等问题。
图—引例1
哥尼斯堡七桥问题
Page 4
哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城市，Pregei 河把该城分成两部分，河中有两个小岛，十八世纪时，河两 边及小岛之间共有七座桥，当时人们提出这样的问题：有没 有办法从某处（如A）出发，经过各桥一次且仅一次最后回 到原地呢？
P(vj)=min{T(vj)}
vj为T标号
若全部点均为P标号，则停止；否则以vj代vi，返回(2)。
Page 33 T(v2)=+ T(v5)=+
v2
P(v1)=0
7 4
T(v3)=+
v5Biblioteka Baidu2 v7
T(v7)=+
3 5 6 v4
v1
1
1
v3
6 2T(v )=+ 6 v6 9 1 5
T(v8)=+
Page 32
3、步骤： (1)给vs以P标号，P(vs)=0，其余各点给T标号，且
T(vi)=+。
(2)若vi点为刚得到P标号的点，考虑T标号点vj,(vi,vj)A。 对vj的T标号进行如下的更改： T(vj)=min{T(vj),P(vi)+wij} (3)比较所有具有T标号点，把最小者改为P标号，即：
运筹学——图与网络分析
破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。
避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
OR3
可编辑ppt
10
3、最小支撑树
最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权， 则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数， 其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。
OPERATIONS RESE
运筹学
OR3
可编辑ppt
1
第六章 图与网络分析
引论 : 哥尼斯堡七桥问题
AA
BC D
CD B
E
OR3
可编辑ppt
A c B
D
2
铁路交通图
此图是我国北京,上海等十个 北京
城市间的交通图,反映了这
十个城市间的铁路分布情况.
点表示城市,点间的连线表示
两个城市间的铁路线.
郑州
1、图的分类：无向图，有向图
无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E).
有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A)
点的集合用V表示，V={vi}
2、图上的基本概念：
（1） 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 为E= { ej } ，一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ].
避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
OR3
可编辑ppt
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3、最小支撑树
最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权， 则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数， 其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。
OPERATIONS RESE
运筹学
OR3
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第六章 图与网络分析
引论 : 哥尼斯堡七桥问题
AA
BC D
CD B
E
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A c B
D
2
铁路交通图
此图是我国北京,上海等十个 北京
城市间的交通图,反映了这
十个城市间的铁路分布情况.
点表示城市,点间的连线表示
两个城市间的铁路线.
郑州
1、图的分类：无向图，有向图
无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E).
有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A)
点的集合用V表示，V={vi}
2、图上的基本概念：
（1） 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 为E= { ej } ，一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ].
第六章 物流运筹学——图与网络分析
vt , µ 上的边，凡与 µ 同向称为前向边，凡与 µ 反向称为后向边，其集合分
别用 µ + 和 µ − 表示， f = { f ij } 是一个可行流，如果满足
0 ≤ f ij < cij cij ≥ f ij > 0
(v , v ) ∈ µ (v , v ) ∈ µ
i j i j
= (vi , v j ) 时，称 vi ， v j 为边 ek 的端点，并称 v j 与 vi 相
图与网络的概念
邻（adjacent） ；边 ek 称为与顶点 vi ， v j 关联（incident） 。如果 某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图 G 中相 邻。 图 G = (V , E ) 的点集 V 可以分为两个非空子集 X ,Y , 即：
最短路径问题的一般提法如下： G = (V , E ) 为赋权图， 设 图中各边 ( v i , v j ) 有权 lij ，若 lij = ∞ 则表示 vi , v j 没有边相连， ，求一条道路 µ ， v s , v t 为图中任意两点（或指定的两点） 使它是从 v s 到 vt 的所有道路中总权最小的道路。即求满足
v2
(4,3)
v4
(3,3) (1,1) (1,1) (3,0)
(5,3)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
别用 µ + 和 µ − 表示， f = { f ij } 是一个可行流，如果满足
0 ≤ f ij < cij cij ≥ f ij > 0
(v , v ) ∈ µ (v , v ) ∈ µ
i j i j
= (vi , v j ) 时，称 vi ， v j 为边 ek 的端点，并称 v j 与 vi 相
图与网络的概念
邻（adjacent） ；边 ek 称为与顶点 vi ， v j 关联（incident） 。如果 某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图 G 中相 邻。 图 G = (V , E ) 的点集 V 可以分为两个非空子集 X ,Y , 即：
最短路径问题的一般提法如下： G = (V , E ) 为赋权图， 设 图中各边 ( v i , v j ) 有权 lij ，若 lij = ∞ 则表示 vi , v j 没有边相连， ，求一条道路 µ ， v s , v t 为图中任意两点（或指定的两点） 使它是从 v s 到 vt 的所有道路中总权最小的道路。即求满足
v2
(4,3)
v4
(3,3) (1,1) (1,1) (3,0)
(5,3)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
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定义：树枝总长为最短的部分树称为图的最小部分树。 树枝：树图中的边称为树枝。 二、最小部分树的求法
例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络， 试确定使总距离最佳的方案。
ppt课件
1. 避圈法
A 5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
最小部分树长Lmin=14
ppt课件
1. 避圈法：将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树内点的集合 V——非最小部分树内点的集合
第六章 图与网络分析
6.1 图的基本概念与数学模型 6.2 树图和图的最小部分树 6.3 最短路问题 6.4 中国邮路问题 6.5 网络最大流问题 6.6 网络模型的实际应用
第六章 图与网络分析
• 图是一种模型，如公路、铁路交通图， 通讯网络图等。
• 图是对现实的抽象，以点和线段的连 接组合表示。
ppt课件
二、图的模型
例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、 B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“√”的 项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛 顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项 比赛？
人
ABCDE F
甲 乙√ 丙 丁√ 戊 己
√
√
√
√
√
S
2
4
7
ppt课件
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
ppt课件
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1个中间点到达的最 短距离矩阵D（1）= dij（1）
ppt课件
其中
dij（1）=
min
r
{
dir（0）+
drj（0）}
，
例如
{ dSE（1）= min dSS（0）+dSE（0）, dSA（0）+dAE（0）, dSB（0）+dBE（0）, dSC（0）+dCE（0
i
dir（1）
r
drj（1）
ppt课件
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中 dij（3）= min { dir（2）+ drj（2） }
r
SABCDET S 0 2 4 4 8 7 13 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 20 1 43 9 D（3）= C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 64 5 0 15 E 7 53 4 1 0 6 T 13 11 9 10 5 6 0
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
ppt课件
§6.3 最短路问题
1．求某两点间最短距离的D（Dijkstra）氏标号法
在图示的网络图中，从给定的点S出发，要到达目 的地T。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？ 方法：Dijkstra（D氏）标号法——按离出发点的距离由 近至远逐渐标出最短距离和最佳行进路线。
dir（0）
drj（0）
r
i
ppt课件
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中 dij（2）= min { dir（1）+ drj（1）}
r
SABCDET S 0 2 4 4 8 7 14 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 64 5 0 15 E 7 53 4 1 0 6 T 14 11 9 10 5 6 0
⑴ 任取一点vi加粗，令vi∈V， ⑵ 取V中与V相连的边中一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
2. 破圈法： ⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
ppt课件
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
ppt课件
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝,
E=｛e1,e2,···,em｝
点：表示所研究的事物对象；
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
√
√
√
√
√
√
ppt课件
百度文库
建立模型：
解：项目作为研究对象，排序。 设 点：表示运动项目。 边：若两个项目之间无同一名运动员参加。
A F
E D
B C
ppt课件
顺序： A—C—D—E—F—B A—F—E—D—C—B A—C—B—F—E—D
A—F—B—C—D—E
§6.2 树图和图的最小部分树
一、树图的概念 （1）树：无圈的连通图称为树图，简称为树。
）,
dSD（0）+SdDE（A0） ,BdSE（C0）+ dDEE（0E）, dTST（0）+ dTE（0） } =8 S 0 24 4 98 A 2 0 2 3 7 5 12 B 4 2 0 1 4 3 10
D（1）= C 4 3 1 0 5 4 11 D 9 74 5 0 15 E 8 53 4 1 0 6 T 12 10 11 5 7 0
ppt课件
（2）树的特性：
① 树是边数最多的无圈连通图。在树中任加一条边，就会形成圈。 ② 树是边数最少的连通图。在树中任减一条边，则不连通。
（3）图的最小部分树：
定义：若G1是G2的一个部分图，且为树图，则称G1是 G2的一个部分树。
G2： A
5
7
65
B
C G1：A
5
7 4
6
3D B
ppt课件
C D
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
ppt课件
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。