整式乘除与因式分解第十二讲因式分解知识大归纳课件(自制)
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件
(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
第十六页，共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
第六页，共二十页。
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
《多项式乘以多项式》整式的乘除与因式分解PPT课件 (共12张PPT)
练习: (1) (2x+1)(x+3); (2) 2 (3) ( a - 1) ； (4) (5) (x+2)(x+3); (6) (7) (y+4)(y-2); (8)
(m+2n)(m+ 3n): (a+3b)(a –3b ). (x-4)(x+1) (y-5)(y-3)
(x+2)(x+3) = 5x+6; 2 (x-4)(x+1) = x – 3x-4 2 (y+4)(y-2) = y + 2y-8 2 (y-5)(y-3). = y - 8y+15 观察上述式子，你可以 得出一个什么规律吗？ 2 (x+p)(x+q) = x + (p+q) x + p q
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
整式的乘法与因式分解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。
2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
八年级上_第十五章整式的乘除与因式分解复习课件
第十五章 整式乘除与因式分解
单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所 得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每 一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y) D. 2a 2 - 1 （a 2 - 1 ） （a 1 ）a 1 ) 2 2 (
2
4
2
2
2.下列各式是完全平方式的有( 1 2 ① x －４ x 4
计算： 3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- 1 x)2 x 3 考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am · n = am+n a 2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0) m )n = amn 若(x-3)x+2=1, 3、幂的乘方: (a 求 x的值 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
C ) C. 0 D. 1
2.已知 532 - 1 能被20 - - - 30之间的两个整数 整除,这两个整数是 ( C ) A. 25,27 B. 26,28 C. 24,26 D. 22,24 A ) 3.若 x 2 mx -10 (x - 2)(x 5) 则m=( A. 3 B. -10 C. -3 D.-5
《整式的乘法》整式的乘除与因式分解PPT课件
(2) (x-3y)·(-6x)
=x ·(-6x)+(-3y) ·(-6x)
=-6x+18xy
单项式与多项式相乘时可先确定积的符号
❖ 例：计算 ❖ （１）２a·(3a-5b) ( 2 ) (-2b)(-4a+b)
解（１）２a ·(3a-5b)
❖
=2a·3a-2a·5b
=6a-10ab
( 2 ) (-2b)(-4a+b) =2a·4a-2b·b =8a-2b
练习：
1、化简 x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
2、（计１算）：(2a2- a - 4 ) ·(-9a )
( 2 )-xy(-x-y+1)
练习答案：
1、解：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5) =x·x-x·1+2x·x+2x·1-3x·2x+3x·5
3
2
=2
3
a b2
· 1 ab2Biblioteka +(-2ab)
·1
2
ab
= 1 a2 b3- a2 b2
3
单项式与多项式相乘的结 果是一个多项式，其项数与因 式中的项数相同
巩固练习： １.计算：(1)3a(5a-2b) (2)(x-3y)·(-6x)
解 (1)３a(5a-2b)
=3a ·5a+3a ·(-2b)
▪ 单项式与多项式相乘,就 是用单项式去乘多项式的每一 项,再把所得的积相加.
例5 计算:
(1) (-4 x2)·(3 x+ 1),
(2)(
2
3a
b2 -2ab)·
1 2
整式的乘除与因式分解知识点归纳(K12教育文档)
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整 式 的 乘 除 及 因 式 分 解知识点归纳:1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2,2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式.注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a+=•（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：________3=⋅a a ;________32=⋅⋅a a a532)()()(b a b a b a +=+•+，逆运算为：6、幂的乘方法则:mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.如:10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(== 如：23326)4()4(4==例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。
人教版八年级上数学整式的乘法与因式分解ppt课件
• (1)98×102 • =(100-2)(100+2) • =1002-22 • =9996
.
• (2)2992
• =(300-1)2 • =3002-2×300×1+1 • =90401
.
(3) 20062-2005×2007 • =20062-(2006-1)(2006+1) • =20062-(20062-12) • =20062-20062 +1 • =1
.
(x-2y+3z)2
• =[(x-2y)+3z]2 • =(x-2y)2 +6z(x-2y)+9z2
• =x2-4xy+4y2+6zx-12yz+9z2 • =x2+4y2+9z2-4xy+6zx-12yz
三数和的平方公式： (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc
.
计算:(1)98×102 (2)2992 (3) 20062-2005×2007
提：提公因式 提负号
套 二项式：套平方差 三项式：套完全平方与十相乘法
看： 看是否分解完
3、因式分解应用：
.
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1
B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2
C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)
D. 2 a2-1（ 2a2-1） （ 2a1） (a1)
(x+4y-6z)(x-4y+6z) (x-2y+3z)2
整式的乘除及因式分解知识点归纳
整式的乘除及因式分解知识点归纳整式是指由字母和常数经过加、减、乘、除运算得到的代数式。
乘除整式的运算及因式分解是代数学中非常基础和重要的知识点，下面将对乘除整式及因式分解的相关知识进行归纳。
一、乘法运算乘法运算是整式运算中最基本的运算。
在乘法运算中，有以下几个重要的法则：1.乘法交换律：a*b=b*a2.乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)3.分配律：a*(b+c)=a*b+a*c4.单项式相乘法则：单项式相乘时，将各个单项式的系数相乘，同类项的指数相加。
例子：(2x^2)(3x^3)=2*3*x^2*x^3=6x^(2+3)=6x^5二、除法运算除法运算是整式运算中的一种重要运算。
除法运算可分为两种情况：1.恒等除法：当被除式为0时，整式除以0是没有意义的。
即0除以0没有定义。
2.非恒等除法：非零整式除以非零整式时，被除式乘以除数的倒数。
例子：(4x^4)/(2x^2)=4/2*x^4/x^2=2x^(4-2)=2x^2三、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个其它整式相乘的结果，称这些整式为原式的因式。
1.提取公因式：将一个整式的公因式提取出来，得到一个公因式和一个把原式除以公因式的商。
例子：8x^3+12x^2=4x^2(2x+3)2.根据乘法结合律和分配律，将每一个单项式的因式分别提出来。
例子：3xy + 9x + 6y + 18 = 3(x + 3) + 6(y + 3) = 3(x + 3 +2(y + 3)) = 3(x + 2y + 9)3.因式分解中，根据不同的整式形式，可以采用不同的方法进行因式分解。
常见的因式分解方法有：(1)一元二次整式的因式分解：对形如ax^2 + bx + c的一元二次整式，可以使用因式分解公式 (ax + m)(cx + n)进行分解，其中m、n分别是满足m*n=ac的两个数。
例子：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)(2)立方差公式：对形如a^3 - b^3的整式，可以使用立方差公式 (a - b)(a^2 + ab + b^2)进行分解。
《因式分解》整式的乘除与因式分解PPT 图文
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1) x 2 x x(x1)
( 2 ) x 2 1 (x1)(x1)
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解
x2－y2
(x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么?
(1) x2+y2 ;
(2) x2－y2;
(3) －x2+y2;
(4) －x2－y2.
2.分解因式: (1)a2－215 b2; (3) x2y－4y ;
(2)9a2－4b2; (4) －a4 +16.
思维延伸
1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3;
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
整式乘法
(6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
怎样分解因式: m am bm.c
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式；
讲整式的乘除与因式分解ppt
因式分解是整式乘法的逆向变形，可以应用在数字计算、求 值、整除性问题、判断三角形的形状、解方程。
提公因式法
定义
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
方法
确定公因式的方法，通常有三种：提取各项的公共因式；括号内各项的共同 因式；各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积。
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公式法
定义
运用公式法进行因式分解，是多项式因式分解的一种重要方法。
方法
主要利用平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式、十字相乘法进 行因式分解。
十字相乘法
定义
十字相乘法是一种交叉相乘的数学运算方法，用来解决一些 不定项式的因式分解。
方法
对于形如ax²+bx+c的多项式，在二次项系数a分解为两个因 子a1和a2的积，即a=a1a2的前提下，只要知道常数项c以及 a1、a2就可以通过十字相乘法将其因式分解。
单项式除法
总结词
系数相除，相同字母相减，作为商的一个因式。
详细描述
单项式除法是指将两个单项式的系数相除，然后将相同字母相减，作为商的 一个因式。例如，$6x^4 \div 3x^2 = (6 \div 3)x^(4-2) = 2x^2$。
多项式乘法
总结词
按整式乘法法则进行运算。
详细描述
多项式乘法是指将两个多项式分别按整式乘法法则进行运算，然后将所得的积合 并同类项。例如，$(2x+3)(x+4) = 2x^2 + 8x + 3x + 12 = 2x^2 + 11x + 12$ 。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解12.5.4因式分解(分组分解法,十字相乘法分解因
重庆市沙坪坝区虎溪镇八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解12.5.4 因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市沙坪坝区虎溪镇八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解12.5.4 因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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因式分解课题名称12。
5.4因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）三维目标1、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底。
2、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.重点目标能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.难点目标提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力导入示标复习前面学习过的因式分解的方法目标三导学做思一:1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2—b2+a—b中没有公因式，又不能直接利用公式分解.但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组,再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例1分解因式：a2—b2+a-b =（a2-b2）+ （a—b）=(a+b)(a-b)+（a—b）=（a-b）（a+b+1）⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解.⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
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8．分解因式－2xy2＋6x3y2－10xy时，合理地提取的公因式应为( C )
A．－2xy2
B．2x2y2
C．－2xy
D．2x2y
9．把代数式2x2－18分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－9)
B．2(x－3)2
C．2(x＋3)(x－3)
D．2(x＋9)(x－9)
10．下列因式分解中正确的是( B ) A．3xm－12xm＋1＝xm(3－12x) B．(a－b)2－(b－a)3＝(a－b)2(1－b＋a) C．2(x－2y)－(2y－x)2＝(x－2y)(2－2y＋x) D．8x2y－4x＝4xy(2x－1)
因式分解的步骤 因式分解的一般步骤为，先应用 提公因式法 ，再考虑 公式法 . 自我诊断4. (深圳中考)因式分解：a3－4a＝ a(a＋2)(a－2) . 易错点：因式分解不彻底． 自我诊断5. (绵阳中考)因式分解8a2－2＝ 2(2a＋1)(2a－1) .
1．(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( C )
A．x2＋2x－1＝(x－1)2
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋4x＋4＝(x＋2)2
D．ax2－a＝a(x2－1)
2.下列多项式中，能用提取公因式法因式分解的是( C )
A．x2＋y2
B．x－y2
C．x2y－xy2
D．x2＋xy＋y2
3．下列各个多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是( B )
16．利用因式分解计算：
(1)32×3.14＋3×(－9.42)；
解：原式＝0； (2)912×1012； 解：原式＝9934； (3)3×192＋6×19×21＋3×212. 解：原式＝4800.
华师大版八年级上册数学第十二章整式的乘除与因式分解复习课件
7、平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这 两个数的平方差.即: (a+b)(a−b)= a2−b2
例8 用平方差公式计算:（x+2y)(x-2y) 解：原式＝ x2 - (2y)2
＝x2 - 4y2 练习：运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y)； （4）2007×2013.
1 3
m 2n（4）30a5
4a 4
6a 3
例6 先化简再求值:
x2 (x2 x 1) x(x3 x2 x 5)，其中x 1 .
x5 答案：化简得：
1 值为：5
25
6、多项式与多项式相乘的法则:
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘 以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
例7 计算： (1)(3x+1)(x+2)
推广：(abc)n = anbncn(n为正整数)
逆用： anbncn = (abc)n
4、单项式与单项式相乘的法则:
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字 母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字 母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4 计算：(1) (-5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2).
例9 化简：(x y)( x y)( x2 y2 )(x4+y4 )
8、完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍.即：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
例9、运用完全平方公式计算：
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘;底数不变;指数相加. a m·a n=a m+n m;n都是正整数同底数幂相除;底数不变;指数相减. a m÷a n=a m-n a≠0;m;n都是正整数;且m>n任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1a≠0; 00无意义a mn表示n个a m相乘;a 的m n幂表示m幂的乘方;底数不变;指数相乘. a mn=a mn m;n都是正整数积的乘方;等于把积的每一个因式分别乘方;再把所得幂相乘.ab n=a n b n n为正整数注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘;把它们的系数;相同字母分别相乘;对于只在一个单项式里含有的字母;则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=a·b·c5·c2=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方;后乘除;最后加减单项式相除;把系数与同底数幂分别相除作为商的因式;只在被除式里含有的字母;则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘;就是用单项式去乘多项式的每一项;再把所得的积相加;ma+b+c=ma+mb+mc注：不重不漏;按照顺序;注意常数项、负号 .本质是乘法分配律..多项式除以单项式;先把这个多项式的每一项除以这个单项式;再把所得的商相加.多项式与多项式相乘;先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项;再把所得的积相乘a+bm+n=am+an+bm+bn乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积;等于这两个数的平方差.a+ba-b=a2-b2完全平方公式:两数和或差的平方;等于它们的平方和;加或减它们积的2倍.a±b2=a2±2ab+b2因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式;也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法.关键:找出公因式公因式三部分：①系数数字一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意;提取完公因式后;另一个因式的项数与原多项式的项数一致;这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式;即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的;一般要提出“－”号;使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法.①a2-b2=a+ba-b两个数的平方差;等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=a±b2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍;等于这两个数的和或差的平方.③x3-y3=x-yx2+xy+y2立方差公式3、十字相乘x+px+q=x2+p+qx+pq因式分解三要素：1分解对象是多项式;分解结果必须是积的形式;且积的因式必须是整式2因式分解必须是恒等变形；3因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形;因式分解是把和差化为积的形式;而整式乘法是把积化为和差添括号法则：如括号前面是正号;括到括号里的各项都不变号;如括号前是负号各项都得改符号..用去括号法则验证。
整式的乘除与因式分解复习课件
1、利用因式分解计算：
（1）200312 00210012
（2）(1－
1 22
)(1－312
)(1－412
)…(1－
1 102
)
（3）20042-4008×2005+20052
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
2、若a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC 的形状。
（一）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 3、积的乘方 5、单项式乘以单项式 7、多项式乘以多项式 9、完全平方公式
2、幂的乘方 4、同底数的幂相除 6、单项式乘以多项式 8、平方差公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
知你 识回
忆 起 了 吗 ？ 就 这 些
（一）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
a a a m n
mn （其中a≠0，m、n为
正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a0 1(a 0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共
的因式，叫做这个多项式各项的公因式
（2）找公因式：找各项系数的最大公约
数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
. （3） 提公因式法：一般地，如果多项式的各
整式的乘除与因式分解第12课
14.12完全平方公式（二）学习目标：添括号法则的推导及其应用,利用去括号法则得到添括号法则，完全平方公式和添括号法则的应用 学习重点：添括号法则的推导,完全平方公式和添括号法则的应用学习难点：添括号法则在具体问题中的应用,灵活运用完全平方公式和添括号法则解题。
学习过程：一 探究新知1.①用文字语言叙述完全平方公式：②用符号语言叙述完全平方公式：由②可知(a+b)2+(a-b)2= (a+b)2-(a-b)2=2.问题1：完成下列运算并回忆去括号法则① 4+（5+2）= ② 4 -（5+2）= ③ a+ (b+c)= ④ a-(b+c)= 去括号法则：问题2：因为4+5+2与4+（5+2）的值相等，4-5-2与4 -（5+2）的值相等，a+b+c 与a+ (b+c) 的值相等，a-b-c 与a-(b+c) 的值相等。
所以我们可以写出下列四个等式：（1） （2） （3） （4） 通过观察四个等式,我们发现等式的左边 括号，等式的右边 括号，也就是添了括号添括号法则： 问题3:举例说明添括号法则3.练一练：（1）填空：①x+y-z+1=（x+1）+（ ） ②x-y+z+1=（x+1）-（ ）（2)判断下列运算是否正确①2a-b-0.5c=2a-（b-0.5c ）②m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b) ③2x+3y+2=-(2x+3y-2) ④a-2b-4c=(a-2b)-(4c+5b)二 自我测试1.选择题①x 2+(-5)2=(x-5)(x+5),(x-y)2=x 2-y 2,(-a-b)2=(a+b)2,(3a-b)(b-3a)=-9a 2+6ab-b 2,上面式子中错误的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个②为了用平方差公式计算（a-b+c ）（a+b-c ），必须先进行适当的变形，下列变形中正错的是（ ）A 、()[]b c a -+()[]b c a +-B 、()[]c b a +-()[]c b a -+C 、()[]a c b -+()[]a c b +-D 、()[]c b a --()[]c b a -+③计算(a+b)(-a-b)的结果是（ ）A 、a 2-b 2 B 、-a 2-b 2 C 、a 2-2ab+b 2 D 、-a 2-2ab-b 2④已知（1／a 2）+a 2=4,则（1／a 4）+a 4=4的值是（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、12⑤已知x+y=5，xy=7，则x 2+y 2的值是（ ） A 、18 B 、11 C 、39 D 、44⑥边长为a 的正方形，其边长减少b 以后所得的正方形面积比原来正方形面积少（ ）A 、b 2B 、2abC 、b 2+2abD 、b(2a-b)2.填空①(-a-2b)2 = ②(0.5a+2b-c)2 =〔0.5a-（ ）〕2 = ③若()2b a +=9，()2a b -=5，则xy= ④92x +（ ）+2y =()23y x - ⑤+-mn m 42 =()2-m3.运用乘法公式计算 ①()()c b a c b a ++-+ ②()()c b a c b a --++ ③()()3232+--+y x y x ④()2c b a --⑤()()11-+++y x y x ⑥()232--y x ⑦()()[]222-+x x ⑧()()11++-+-+z y x z y x4.计算①()232y x - ②25241⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ③()22b a +- ④()223b a -- ⑤299 ⑥25199⎪⎭⎫ ⎝⎛5.先化简再求值()()()()x y y y x y x y x -++-+-22，其中x=1，y=3三 达标测评1.已知y 2+my+16是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．8 B ．4 C ．±8 D ．±42.下列多项式能写成完全平方式的是（ ） A ．x 2-6x-9 B ．a 2-16a+32 C ．x 2-2xy+4y 2 D ．4a 2-4a+13.多项式 x 4-2x 2y 2+y 4是（ ）计算的结果A ．（x-y ）4B ．（x 2-y 2）4C ．（ｘ２＋ｙ２）（ｘ２－ｙ２）D ．（ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ）２ 4.在下列（ ）里填上适当的项，使其符合（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）的形式 [][]()()(_____)(_____)a b c a b c a a +--+=+-①[][](2)(2)(____)(____)(____)(____)a b c a b c ----+=+-② 5.已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值6.运用完全平方公式计算①(-4x+3)2 ②(-3a-2b )2 ③ 2972 ④(2x+y+z)(2x-y-z) ⑤(2x-3y-4)27.计算: ① (2)(2)a b c a b c +++- ② (22)(22)x y y x -+-+8.先化简再求值()()()()222222y x y x y x y x -+--+，其中x=4，y=１／４9.观察1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ……,①根据以上规律，猜测1+3+5+7+…+（2n-1）=__________;②用文字语言叙述你所发现的规律： 。