图论及其应用期末论文

在通信领域中，传输信息的方法有两种，其一是等长码制方法，其二是非等长码制方式；字符出现的频率不同,在传输中采用非等长二进制编码传输会提高传输效率,在字符的出现频率已知前提下,采用最优二叉正则树算法,可以得到最佳前缀码。

关键字 正则二叉树 前缀码 最优二叉树 哈夫曼编码 频率 java 程序

引言

在通信中,通常采用二进制编码表示符号,如果每个要传输的符号使用频率相同,则采用等长码表示即可,但事实上不同符号在传输过程中出现的频率并不相同,有些符号出现频率相差很大,此时采用非等长编码可节省二进制数位,可达到提高效率的目的。

相关基础知识

下面介绍有关二叉树以及哈夫曼编码的相关知识：

定义1：一个有向图，若不考虑他的方向，他是一棵树，则称这个有向图为有向树。一颗有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1，则称为根树，其中入度为0的结点称为树根，出度为0的结点称为树叶，出度不为0的结点称为分支点或内点。

在根树中，称从树根到结点v 的距离称为该点的层次。

定义2：在根树中，若从i v 到j v 可达，则称i v 是j v 的祖先，j v 是i v 的后代，又若

),(j i v v 是树根中的有向边，则称i v 是j v 的父亲，j v 是i v 的儿子；如果两个结点是同一结点的儿子，则称这两个结点是兄弟。

定义3：在根树中，任一结点v 及其v 的后代和从v 出发的所有有向路中的边构成的子图称为以v 为根的子路，根树中的结点u 的子树是以u 的儿子为根的子树。 定义4：如果在根树中规定了每一层次上结点的次序，这样的根树称为有序树。在有序树中规定了同一层次结点的次序是从左至右。

定义5：一个有向图，如果他的每个连通分支是有向树，则称该有向图为森林；在森林中，如果所有树都是有序树且给树指定了次序，则称此森林为有序森林。

在树的实际应用中，我们经常用到m 叉树。

定义6：在根树T 中，若结点的最大出度为m ，则称T 为m 叉树，如果T 的每个分支点的出度都恰好等于m ，则称T 为m 叉树。若完全m 叉树的所有叶结点在同一层，则称他为正则m 叉树。二叉树的每个结点v 至多有两颗子树，分别称为v 的左子树和右子树。若结点v 只有一颗子树，则称他为v 的左子树或右子树均可。若T 是正则m 叉树，并且是有序树，则称T 为m 元有序树。

简单来讲：

二叉树的定义[1]：二叉树是结点的有限集合且集合是有限的，这个集合要么为空，要么是由一个根结点和不相交的左、右子树构成。

二叉树的特性[2]：在二叉树中每个结点最多只能有两个孩 子，分别是这个结点的左孩子和右孩子，这一点也说明了在二叉 树中结点的度没有大2的，并且特别注意二叉树的左子树、右子树的次序是不能颠倒的。

定义7：设有一颗二叉树，有t 片树叶，使其树叶分别带权

t ωωω ，，21的二叉树称为带权二叉树。

定义8：设有一颗带权t ωωω ，，21的二叉树T ，其权为i ω的树叶的层数为)(i L ω 该带权二叉树的权为W(T)定义为

∑==t i i i L T W 1)

()(ωω

在所有带权t ωωω ，，21的二叉树中，)(T W 最小的树称为最优二叉树。 哈夫曼树的有关知识

哈夫曼编码（Huffman Coding ）是一种编码方式，并且是可变字长编码。它是在 1952年由 David A.Huffman 提出的，这种编码方式发表于《一种构建极小多余编码的方法》一文。 哈夫曼编码是一种用于无损数据压缩的权编码算法，即在计算机的数据处理中，哈夫曼编码使用的是一种变长的编码表对源文件（如文件的一个字母）进行编码，其中变长编码就是通过评估源符号出现的机率得到的。并且出现次数较高的字母使用较短的编码，出现次数较低的字母则使用较长的编码，这样就使得编码之后的字符串的平均长度和期望值大大降低，从而达到节约内存、提高 执行效率的目的。这个编码需要我们先建立一个哈夫曼树（关

键部分），哈夫曼树建立以后从根结点到各个叶子结点的左分支为0，右分支为 1，然后从上到下依次写出每个结点的哈弗曼编码。哈夫曼树：假设有t 个权值t ωωω ，，21，并且由这些权值按照一定的规则构造一棵共有t 个叶子结点的二叉树，并且每一个叶子结点都对应一个权值 ，经过计算带权路径长度W(T)最小的二叉树就是哈夫曼树。 由于哈夫曼树是最优二叉树，故哈夫曼树同样必须满足二叉树的特点。

Huffman 算法

（1）给定权重序列t ωωω ，，21，且t ωωω≤≤≤ 21

。 （2）连接权为21ωω，的两片树叶，得一个分支点其权为21ωω+；

在21ωω+t ωωω，，，， 43中选择两个中最小的权，连接他们对应的结点（不一定是树叶），得新分支点及所带的权；

（3）重复（2），直到形成t-1个分支点，t 片树叶为止。

用一个例子来理解一下以上概念

给定4个叶子结点a ，b ，c 和d ，分别带权7，5，2和4。构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：

其中(c)树的)(T W 最小，可以验证，它就是哈夫曼树。

注意：

① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。

② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。

③ 最优二叉树的形态不唯一，)(T W 最小

利用Huffman 算法求解

用带叶权的最优二叉树算法,根据每个符号(或字母)出现的频率作为叶权去求解。

以一个实例综合说明该问题:

已知通信中,八进制数字(0,1,2,3,4,5,6,7)出现的频率如下:

0:25%, 1:20%, 2:15%, 3:10%

4:10%, 5:10%, 6:5%, 7:5%

试求传输它们的最佳前缀码,并讨论传输10000个按以上比例出现的八进制数字