图论论文_Floyd算法的应用

合集下载

迪杰斯特拉和弗洛伊德算法

迪杰斯特拉和弗洛伊德算法

迪杰斯特拉和弗洛伊德算法迪杰斯特拉(Dijkstra)算法和弗洛伊德(Floyd)算法是图论中两种著名的算法,用于求解带权图中的最短路径问题。

下面将详细介绍这两种算法的原理和应用。

一、迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉于1956年提出的,用于解决单源最短路径问题。

单源最短路径问题指的是从一个顶点出发,求到所有其他顶点的最短路径。

该算法基于贪心策略,逐步确定起始点到其他顶点的最短路径。

迪杰斯特拉算法的基本思路如下:1.初始化:给定一个起始顶点,将该顶点到其他顶点的最短路径初始化为无穷大。

2.选择当前最短路径长度最小的顶点A,将A标记为已访问。

3.更新最短路径:遍历A的邻接顶点B,如果经过A到达B的路径长度小于当前B的最短路径长度,则更新最短路径长度。

4.选择下一个最短路径长度最小的未访问顶点,重复步骤3。

5.重复步骤4,直到所有顶点都被标记为已访问。

迪杰斯特拉算法可以用来解决带权有向图或无向图的最短路径问题。

该算法时间复杂度为O(V^2),其中V为顶点的数量。

二、弗洛伊德算法弗洛伊德算法是由美国计算机科学家罗伯特·弗洛伊德于1962年提出的,用于解决多源最短路径问题。

多源最短路径问题指的是任意两个顶点之间的最短路径。

弗洛伊德算法使用动态规划的思想,通过递推关系式来求解最短路径。

弗洛伊德算法的基本思路如下:1.初始化:给定一个包含所有顶点之间边的邻接矩阵,将所有不可达的边长度设置为无穷大。

2.递推求解:遍历所有顶点i和j,如果经过顶点k到达顶点j的路径长度比当前路径长度小,则更新最短路径长度。

3.递推更新:选择下一个顶点k,重复步骤2,直到所有顶点都被选过。

弗洛伊德算法可以用来解决带权有向图或无向图的最短路径问题。

该算法时间复杂度为O(V^3),其中V为顶点的数量。

三、迪杰斯特拉算法与弗洛伊德算法的比较1.效率:迪杰斯特拉算法适用于解决单源最短路径问题,效率比较高,时间复杂度为O(V^2);而弗洛伊德算法适用于解决多源最短路径问题,效率较低,时间复杂度为O(V^3)。

阅读下列要求每对顶点之间的最短路径的floyd算法

阅读下列要求每对顶点之间的最短路径的floyd算法

阅读下列要求每对顶点之间的最短路径的floyd算法1. 引言在图论和网络分析中,寻找每对顶点之间的最短路径是一项重要的任务。

而 Floyd 算法作为一种经典的解决方法,被广泛应用于各个领域。

本文将对 Floyd 算法进行深入探讨,并介绍其原理、实现过程以及实际应用。

2. 原理Floyd 算法的核心思想是动态规划。

通过遍历每一个顶点,不断更新每对顶点之间的最短路径的长度,从而逐步求解出整个图中每对顶点之间的最短路径。

该算法的时间复杂度为 O(n^3),适用于任意有向图和带权图的最短路径求解。

3. 实现过程3.1 初始化我们需要初始化一个二维数组dist[][],用于记录每对顶点之间的最短路径长度。

初始化时,dist[i][j]表示顶点 i 到顶点 j 的直接距离,如果两个顶点之间不存在直接路径,则dist[i][j]的值为无穷大。

3.2 算法步骤步骤 1: 遍历每一个顶点 k在每一轮遍历中,我们选择顶点 k 作为中转点,然后更新dist[i][j]的值。

具体更新规则如下:dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])这一步骤实质上是在考虑是否通过顶点 k 能够获得更短的路径长度。

步骤 2: 优化在经过 n 轮遍历后,我们就可以得到每对顶点之间的最短路径长度。

需要注意的是,如果图中存在负权边,则 Floyd 算法不适用,因为负权边会导致路径无限缩短。

如果存在负权环,则无法求解最短路径。

4. 示例分析为了更好地理解 Floyd 算法的实现过程,我们通过一个简单的示例来具体说明。

假设我们有一个带权有向图,以邻接矩阵的形式表示如下:0 2 inf 1inf 0 8 infinf inf 0 5inf inf inf 0其中,inf 表示两个顶点之间不存在直接路径。

按照 Floyd 算法的步骤,我们逐步更新每对顶点之间的最短路径长度,最终得到如下结果:0 2 10 1inf 0 8 9inf inf 0 5inf inf inf 0这样,我们就成功地求解出了图中每对顶点之间的最短路径。

Floyd算法

Floyd算法

Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法,用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。

该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德(Robert Floyd)于1962年提出,因此得名为Floyd算法。

Floyd算法是一种动态规划算法,它采用了“分治”的思想,将问题分解为更小的子问题,然后逐步解决子问题,最终得到解决整个问题的结果。

本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。

一、算法的背景在讲Floyd算法之前,我们先来了解一下最短路径问题。

顾名思义,最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径,也就是路径上各边权值之和最小的路径。

这个问题在现实生活中有很多应用,比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。

在数学和计算机科学领域中,我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。

一般来说,给定一张带权有向图G=(V, E),其中V表示节点的集合,E表示边的集合。

每条边E(i,j)的权重为w(i,j),表示从节点i到节点j的距离或成本。

那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P,并且P上的边权之和最小。

最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式,逐个遍历所有路径,然后依次比较它们的距离,找到最短路径。

但这种方式显然是不可行的,因为它的时间复杂度非常高。

所以,我们需要设计一种更高效的算法,以求得最短路径问题的最优解。

二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。

它采用了“动态规划”的思想,通过逐步求解子问题,最终得到完整的最短路径。

而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想,将问题分解为更小的子问题,然后逐步解决。

具体地说,Floyd算法采用了“中转节点”的概念,我们可以将问题转化为这样一个子问题:对于每个节点i和节点j,假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j],那么考虑一下节点k作为中转节点,它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”,将P拆分为两条路径:i-->k和k-->j。

floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵

floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵

文章编号:001主题:探讨floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵在计算机算法中,图论一直是一个重要的研究领域。

而其中,最短路径算法一直是图论中的热门话题之一。

在众多的最短路径算法中,floyd算法因其简洁高效的特点而备受青睐。

本文将深入探讨floyd算法在求解邻接矩阵的最短距离矩阵中的应用,并分析其实现原理及优缺点。

一、floyd算法简介Floyd算法是一种用于寻找加权图中顶点之间最短路径的动态规划算法。

它的基本思想是每次引入一个新的顶点,看看这个新顶点能不能对原来两个顶点之间的距离产生改变,如果可能,就进行更新。

通过多次迭代,最终得到所有顶点之间的最短路径。

二、floyd算法的实现步骤1. 初始化邻接矩阵在使用floyd算法求解最短路径时,首先需要初始化邻接矩阵。

邻接矩阵的每个元素代表图中两个顶点之间的距禋,如果两个顶点之间没有直接连接,则距离设为无穷大。

如果两个顶点直接相连,则距离设为两个顶点之间的权值。

2. 动态规划求解最短路径接下来,利用动态规划的思想,通过逐渐引入新的顶点,不断更新已有的最短路径。

具体做法是,对于每对顶点i和j,检查它们之间是否存在顶点k,使得从i到j的最短路径可以经过顶点k。

如果存在这样的顶点k,那么更新i到j的最短路径为i到k和k到j的距离之间的较小值。

3. 递推过程重复上述步骤,通过逐渐引入新的顶点k,直到遍历完所有顶点,就可以得到最终的最短距离矩阵。

三、floyd算法的优缺点1. 优点floyd算法可以求解任意两点之间的最短路径,且适用于有向图和无向图。

并且可以方便地求出最短路径的具体路径。

算法简单易懂,实现起来也比较容易。

2. 缺点floyd算法的时间复杂度较高,为O(n^3),当n较大时,计算量会非常庞大。

另外,在处理稀疏图时,可能会造成大量的计算浪费,因为floyd算法会对所有的顶点对进行遍历,而对于稀疏图来说,很多顶点对之间并不存在直接连接的边。

四、个人观点和理解在实际应用中,floyd算法通常适用于节点数量不是特别大,但边的数量非常大或者需要求解任意两点之间最短路径的情况。

Floyd最短路径算法在配送中心选址中的应用

Floyd最短路径算法在配送中心选址中的应用
图 1 物流网络
Fig. 1 Logistics network
d
(1) ij
( 0) = min d ij , d i(10) + d
{
}
(0) 到 v j (编号 j)有边相连,则 d ij 等于该边边权,否
以 v1 作为中间点的路径中最短路长度.
(0) ( 0) 则 d ij =8 而 d ii =0.由图 1 写出其初始带权邻接
胡桔州 Floyd 最短路径算法在配送中心选址中的应用
383
常用点代表事物,用连接两点的边表示相应两个事 物间具有某种特定关系. 在配送中心的选址问题中, 点表示可供选择的配送中心,而其间的连线(边) 则表示物流费用.这种由顶点、边和某些数量指标 组成的图,是客观世界的多层次、多结构、多序列 在人脑中的一种反映,能形象、清晰地描述空间中 的位置关系,可以定量处理许多问题.例如,由于 约束条件(指系统或系统环境中那些由于种种原因 而不能改变的因素)的限制,配送中心选址的注意 力只能放在特定的区域,同时运输费用与运输距离 呈非线性关系,所以,运用图论中的有关理论和方 法解决配送中心选址问题具有一定的实际意义.
( 0) ( 0) 24 , d 21 ( 0) (0) 25 , d 21
( 0) (0) 34 , d 31 ( 0) ( 0) 35 , d 31 ( 0) (0 ) 45 , d 41
( 0) + d14
(0 ) + d15 (0 ) + d14 ( 0) + d15 ( 0) + d15
} }= min{∞,9 + 3} = 12 }= min{7,9 + ∞} = 7 }= min{2, ∞ + 3} = 2 }= min{4, ∞ + ∞} = 4 }= min{∞,3 + ∞} = ∞

v 弗洛伊德算法

v 弗洛伊德算法

v 弗洛伊德算法弗洛伊德算法(Floyd’s algorithm),又称为插点法,是一种通过动态规划求解最短路径问题的算法。

该算法在图论中有着广泛的应用,能够快速求解出两点之间的最短路径。

本文将为大家介绍弗洛伊德算法的原理以及实际应用。

1. 算法原理弗洛伊德算法的核心思想是利用中间点来更新起点到终点的距离。

假设图中任意两点之间的距离都为$d[i][j]$,则我们假设存在一个中间点$k$,可以将起点$i$和终点$j$之间的最短路径分成两部分,即起点到中间点的路径$d[i][k]$和中间点到终点的路径$d[k][j]$。

所以我们可以得到如下的状态转移方程:$$d[i][j]=\min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])$$通过不断地更新所有点之间的最短路径,我们最终可以得到所有节点之间的最短路径。

2. 算法实现弗洛伊德算法的实现中,最重要的一步就是更新状态转移方程。

具体来说,我们需要使用三层循环嵌套遍历所有点,将当前节点到所有其他节点的最短距离更新一遍即可。

下面就是使用 Python 语言实现弗洛伊德算法的代码片段:```pythonn = len(graph)for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] +graph[k][j])```在这段代码中,$graph$是一个$n \times n$的矩阵,表示所有节点之间的距离。

其中$n$是节点的数量。

3. 算法应用弗洛伊德算法的主要应用是求解带权图中各个节点之间的最短路径。

在实际生活中,我们可以将节点看作是城市,将距离看作是两个城市之间的道路距离。

这样,就可以使用弗洛伊德算法来计算任意两座城市之间的最短路程,帮助人们规划出更加便捷的旅行路线。

另外,在计算机网络中,弗洛伊德算法也被广泛应用于路由协议的设计中。

dijkstra 标号法 floyd

dijkstra 标号法 floyd

dijkstra 标号法floyd全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:Dijkstra算法和Floyd算法是两种最经典的图论算法,用来解决最短路径问题。

它们分别有着独特的算法思想和实现方式,在不同的场景中表现出各自的优势。

本文将介绍Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理和应用,以及它们之间的区别和优缺点。

让我们来了解一下Dijkstra算法。

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫·迪克斯特拉于1956年提出的,用来解决单源最短路径问题。

所谓单源最短路径问题,就是给定一个带权有向图G=(V, E),其中V为顶点集合,E为边集合,每条边的权值为正数,以及一个源点s,求出从源点s到图中其他所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法的基本思想是以源点为中心,逐步找出源点到其他各顶点的最短路径。

具体步骤如下:1. 创建一个集合S,用来存放已确定最短路径的顶点,初始时将源点加入其中;2. 初始化一个数组dist,用来记录从源点到各顶点的最短距离,初始时将源点到自身的距离设为0,其余顶点的距离设为无穷大;3. 重复以下步骤直到集合S包含所有顶点:a. 从dist中找出当前距禓源点最近的顶点u,将其加入集合S;b. 更新以u为起点的边的权值,更新dist数组中相应的距禓;4. 得到源点到其他各顶点的最短路径。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2),其中V为顶点数,这主要取决于选取最短路径顶点的方式。

当使用最小堆或斐波那契堆优化时,时间复杂度可以降至O(E+VlogV)。

1. 初始化一个二维数组dist,用来记录任意两顶点之间的最短路径距禓,初始时将dist[i][j]设为顶点i到顶点j的直接距禓,如果i和j 之间没有直接边,则设为无穷大;2. 重复以下步骤直到二维数组dist不再更新:a. 遍历所有顶点对(i, j),尝试以顶点k为中转点,更新dist[i][j]的值;3. 得到任意两顶点之间的最短路径。

弗洛伊德算法实用技巧

弗洛伊德算法实用技巧

弗洛伊德算法实用技巧弗洛伊德算法(Floyd's Algorithm),又称为最短路径算法,是一种用于求解图中各顶点之间最短路径的算法。

它以其简洁高效的特点而被广泛应用于图论和网络优化领域。

本文将介绍弗洛伊德算法的原理及其在实际问题中的应用技巧。

一、弗洛伊德算法原理弗洛伊德算法的核心思想是采用动态规划的方法,通过逐步更新每一对顶点之间的最短路径长度,直到得到所有顶点之间的最短路径。

具体步骤如下:1. 初始化最短路径矩阵:以邻接矩阵的形式表示图的边权重,初始化一个大小为n×n的矩阵D,其中n为顶点个数。

若顶点i和顶点j之间存在边,则D[i][j]的值为边的权重;若不存在边,则D[i][j]的值为一个较大的数(如∞)。

2. 进行顶点中转:对于每一对顶点i和j,以顶点k作为中转点,更新D[i][j]的值,使其等于D[i][k] + D[k][j]和D[i][j]中的较小值。

即,若通过顶点k的路径更短,则更新D[i][j]的值。

3. 重复进行中转:依次选择每一个顶点作为中转点,进行步骤2的操作。

当所有顶点均作为中转点完成一次中转后,得到的矩阵D即为最终的最短路径矩阵。

二、弗洛伊德算法应用技巧1. 求解最短路径:弗洛伊德算法可以用于求解有向图或无向图中任意两点之间的最短路径。

通过获取最短路径矩阵D,即可得到任意一对顶点之间的最短路径长度。

2. 检测负权回路:在求解最短路径的过程中,若在最终的最短路径矩阵D中存在D[i][i]为负数的情况,则说明图中存在负权回路,即图中存在一个环路,其权重之和为负数。

该特性可用于识别图中是否存在负权回路。

3. 网络拓扑排序:弗洛伊德算法可以用于进行网络拓扑排序。

在求解最短路径的过程中,通过检测矩阵中的负权回路,可以得到顶点的拓扑排序结果。

拓扑排序用于评估任务执行的顺序,从而实现任务的优化调度。

4. 交通网络优化:弗洛伊德算法可以用于优化交通网络的设计。

通过将道路或路径作为图中的边,顶点表示城市或路口,权重表示通行距离或时间,利用最短路径矩阵D,可以评估不同路径的通行效率,从而优化道路规划和交通流量调度。

图论论文迪杰斯特拉(Dijkstra)-弗罗伊德(Floyd)算法

图论论文迪杰斯特拉(Dijkstra)-弗罗伊德(Floyd)算法

摘要:主要介绍最短路的两种算法,迪杰斯特拉(Dijkstra)以及算法在实际问题中的应用。

关键字:图论,最短路径,树,生成树,迪杰斯特拉(Dijkstra),弗罗伊德(Floyd)算法1 引言最短路问题是图论理论的一个经典问题。

寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。

最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。

最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。

经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。

2最短路定义①1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。

定义②2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,若u 是i v 到j v 的路()W u 的权,则称()W u 为u 的长,长最小的i v 到j v 的路()W u 称为最短路。

3、Dijkstra 算法基本步骤③: 令:{}{}_23,1,,,,i n s v i s v v v ===并令:{()()10,j j W v T v v s-==∞∈1、 对j v s -∈,求()(){}()min ,j i ij j T v W v w T v +=。

2、 求(){}min j jv sT v ∈得()kT v ,使()kT v =(){}min j jv sT v ∈令()()k k W v T v =3、若k n v v =则已找到1v 到n v 的最短路距离()k W v ,否则令i k =从s -中删去i v 转1 这样经过有限次迭代则可以求出1v 到n v 的最短路线,可以用一个流程图来表示:第一步 先取()10W v =意即1v 到1v 的距离为0,而()j T v 是对()j T v 所赋的初值。

图论-floyd算法-python实现

图论-floyd算法-python实现

图论-floyd算法-python实现 这⾥我写了floyd算法以及求图的中点,中⼼,直径,需要的⾃取1.算法:import numpy as npa = float("inf") #⽆穷⼤w0 = [[0,1,a,1],\[a,0,1,a],\[a,a,0,1],\[a,a,a,0]]length = len(w0)r0_arr = np.zeros((length,length),dtype = "float32")w0_arr = np.array(w0)#算r0_arrfor i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] == a:r0_arr[i][j] = 0elif w0_arr[i][j] == 0:r0_arr[i][j] = 0else:r0_arr[i][j] = j + 1#floyd算法for k in range(length):print("k = {}:".format(k))print("w{} = ".format(k))print(w0_arr)print("r{} = ".format(k))print(r0_arr)print("\n")for i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] > w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]:w0_arr[i][j] = w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]r0_arr[i][j] = r0_arr[i][k]print("k = {}:".format(length))print("w{} = ".format(length))print(w0_arr)print("r{} = ".format(length))print(r0_arr)print("\n")'''w0 = [[0,a,a,1.2,9.2,a,0.5],\[a,0,a,5,a,3.1,2],\[a,a,0,a,a,4,1.5],\[1.2,5,a,0,6.7,a,a],\[9.2,a,a,6.7,0,15.6,a],\[a,3.1,4,a,15.6,0,a],\[0.5,2,1.5,a,a,a,0]]w0 = [[0,9,1,3,a,a],\[1,0,4,a,7,a],\[2,a,0,a,1,a],\[a,a,5,0,2,7],\[a,6,2,8,0,5],\[7,a,2,a,2,0]]p143 127'''2.图的中点,中⼼,直径import numpy as npa = float("inf") #⽆穷⼤w0 = [[0,a,a,1.2,9.2,a,0.5],\[a,0,a,5,a,3.1,2],\[a,a,0,a,a,4,1.5],\[1.2,5,a,0,6.7,a,a],\[9.2,a,a,6.7,0,15.6,a],\[a,3.1,4,a,15.6,0,a],\[0.5,2,1.5,a,a,a,0]]length = len(w0)r0_arr = np.zeros((length,length),dtype = "float32")w0_arr = np.array(w0)#算r0_arrfor i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] == a:r0_arr[i][j] = 0elif w0_arr[i][j] == 0:r0_arr[i][j] = 0else:r0_arr[i][j] = j + 1#floyd算法for k in range(length):for i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] > w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]:w0_arr[i][j] = w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]r0_arr[i][j] = r0_arr[i][k]w_length = w0_arr #输出的最终wmax_w = [] #存储各⾏的最⼤值sum_w = [] #存储各⾏的和for i in range(length):max_w.append(max(w_length[i]))sum_w.append(sum(w_length[i]))print(max_w)print(sum_w)network_center = max_w.index(min(max_w)) + 1 #⽹的中⼼network_point = sum_w.index(min(sum_w)) + 1 #⽹的中点network_diameter = max(max_w) #⽹的直径print("network_center:",network_center)print("network_point:",network_point)print("network_diameter:",network_diameter)。

Floyd算法解决全源最短路径问题

Floyd算法解决全源最短路径问题

Floyd算法解决全源最短路径问题Floyd算法是一种用于解决全源最短路径问题的图算法。

它能够计算出任意两点之间的最短路径距离,并且可以处理带有负权边的图。

本文将详细介绍Floyd算法的原理和应用,并给出一个实际案例以帮助读者更好地理解。

一、Floyd算法的原理Floyd算法基于动态规划的思想,通过逐步更新图中各顶点之间的最短路径距离来寻找全源最短路径。

其具体步骤如下:1. 初始化距离矩阵D,其中D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径距离。

若存在直接连接的边,则将其权值作为距离;若没有直接连接的边,则将距离设为无穷大。

2. 对于每对顶点i和j,以及顶点k作为中间节点,如果从i到k再到j的路径距离比当前的最短路径距离小,则更新距离矩阵D[i][j]的值。

3. 重复以上步骤,直到距离矩阵D不再发生变化。

最终,距离矩阵D中的每个元素D[i][j]即为从顶点i到顶点j的最短路径距离。

二、Floyd算法的应用Floyd算法在实际中有着广泛的应用,例如路由选择、交通规划和网络优化等领域。

下面通过一个实例来说明Floyd算法的应用过程。

假设有一个城市间的交通网络,共有n个城市,每两个城市之间的距离用矩阵表示如下:|A B C---------------A |0 5 ∞B |2 0 3C |∞ 1 0其中∞代表两个城市之间没有直接连接的边。

我们需要通过Floyd算法计算出任意两点之间的最短路径距离。

初始化距离矩阵D如下:|A B C---------------A |0 5 ∞B |2 0 3C |∞ 1 0首先考虑顶点A和顶点B之间的最短路径,由于A和B之间存在直接连接的边,因此D[1][2]的值为5。

然后,将顶点C作为中间节点,检查从A到C再到B的路径是否比当前的最短路径更短,发现不是,所以D[1][2]的值保持不变。

接下来,我们依次考虑其他的顶点对,通过逐步更新距离矩阵D来计算最短路径距离。

经过多次迭代后,得到最终的距离矩阵D如下: |A B C---------------A |0 3 6B |2 0 3C |3 1 0最终的距离矩阵D表示每对顶点之间的最短路径距离,例如D[1][2]表示从顶点1(A)到顶点2(B)的最短路径距离为3。

Floyd算法解决选址问题 - 副本

Floyd算法解决选址问题 - 副本

Floyd算法解决选址问题摘要本文解决的是城区建设中话费缴费中心选址问题,这个问题涉及到图论知识。

故为了方便后续解题,我们先用Floyd算法根据题目中的道路连接图求出每两个社区的最短路径。

对于问题: 将缴费中心与每个社区的距离及社区的人口稠密程度综合考虑,以居民与最近缴费中心之间的平均距离最小作为目标函数,引进两个0-1变量来分别控制社区是否到某缴费中心缴费及缴费中心是否建在该社区,然后确定相关的约束条件建立线性规划的模型,再用Lingo软件求出缴费中心的地址及最居民到最近缴费中心的最小距离,详细结果如下:三个缴费中心所在的社区及其管辖(某社区居民在此缴费中心缴费最近)范围分别为:M(H,J,K,L,M,N,P,U,Y); Q(D,Q,R,S,T,V); W(A,B,C,E,F,G,I,W,X).关键词: Floyd算法图论线性规划矩阵翻转法哈密顿圈1. 问题重述1.1问题背景:某城市共有24个社区,各社区的人口数及道路之间连接各不相同,为了便于社区居民缴纳话费,通信公司拟建三个话费缴费站。

1.2题目所给信息:题中给出了24个社区相应的人口数(参见表2)及各社区的的道路连接图(参见图1)表2: 各社区的人口数(单位: 千人)编号 A B C D E F G H I J K L 人口 10 12 18 6 10 15 4 8 7 11 13 11 编号 M N P Q R S T U V W X Y 人口118922148 71015281813VC DG UF E IQ S R ATW X BJY L HNK M P101587971410611128920241615182211661223810118111510251519928810911819图1: 各社区的的道路连接图(注: 横线上的数据表示相邻社区之间的距离,单位: 百米)1.3本文需解决的问题有:问题一: 三个话费缴费中心应怎样选址才能使得居民与缴费中心之间的平均距离最小?2. 模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设1: 各社区人口数在较长时间内保持不变;假设2: 话费缴费中心建在某个社区时,该社区所有地方到该缴费中心的距离为0; 2.2符号说明符号符号说明N 总社区数i社区依字母顺序的编号=1,2,3,,i Nij W第i 个社区到第j 个社区间的公路长(j 与i 的定义相同) ij D 第i 个社区到第j 个社区的最短路径长 ij x 第i 个社区是否到第j 个社区缴费,0-1变量 j y第j 个社区是否为缴费站,0-1变量 i P第i 个社区的总人数 G 问题中的原加权图 V原图中的顶点集 i V顶点集的划分[]i G V G 分成的第i 个生成子图i Ci V 的导出子图[]i G V 中的最佳巡视回路 ()i C ω最佳路线i C 的权3. 问题分析在社区的建设和管理中,每个社区看作图中的一个节点,各社区间的公路看作图中对应的边,公路的长度看作对应边上的权,这就是题目给出的社区间的加权网络图.在解决社区的话费缴费中心选址问题时,可以转化为图中总权(时间或距离)最小问题来求解.所以,社区之间的公路连接图并没有直接作用,所以我们根据题目中的道路连接图用Floyd 算法求出每两个社区的最短路径,以供解决下面的问题使用.针对问题一: 要拟建三个话费缴费中心,如果建在两社区间的路边,那么来缴费的路只有两个方向,这样将使每个社区所有居民与最近缴费中心的平均距离较大,因此在后来的问题解决中,我们只考虑话费缴费中心建在社区内的情况.考虑到缴费中心与每个社区的距离及社区的人口稠密程度,综合这两个因素可以知道: 居民与最近缴费中心之间的平均距离 等于社区居民到最近缴费中心的距离 乘以该社区居民总数 之和除以城市总人数,这即为问题的目标函数.又考虑到每个社区只到一个缴费中心缴费,我们用0-1变量 来表示某社区是否到某缴费中心缴费.同样,为了确定三个缴费中心建在哪三个社区,我们用0-1变量 来表示缴费站是否建在该社区.通过分析,可以得出这两个0-1变量的相应约束条件.这样就建立了一个线性规划的模型一,即最优缴费站选址模型.再将之前求出的每两个社区的最短路 和题目给出的人口数等数据代入该线性规划模型利用Lingo 软件求出缴费站的位置和居民到最近缴费中心的最小距离.4. 数据分析把题目所给信息数据分类整理:整理一: 将各个社区的人口表绘制成如下的柱状图,即图 251015202530123456789101112131415161718192021222324各社区人数分布社区编号社区人数图2: 各社区的人口分布(单位: 千人)由图中可以看出此城市的人口分布相对分散,如果要建位置合适的缴费中心,必须考虑到社区人口问题,故建立模型时人口作为重要的制约因素.整理二: 由各社区的道路连接图绘制出各社区拥有的公路条数柱状图,即图31234567123456789101112131415161718192021222324各社区道路连接状况社区编号道路条数图3: 各社区所拥有的公路条数(单位: 条)社区公路图上可以看出: 不同社区所拥有的公路数不同,如果在公路数较多的社区建缴费站可能会便于更多居民缴费,但公路的长度对缴费平均距离有影响,故这可能作为选址的考虑因素.整理三: 综合上面两种因素画出社区所拥有的公路数与社区人数乘积的柱状图,即图 420406080100120140160123456789101112131415161718192021222324各社区权重社区编号社区权重图4: 各社区的人口数与公路条数的乘积在上图中我们可以看出,某些社区如社区C 、F 、W 等的这两个性质都不错,如果综合人口和公路数去考虑选址,这三个社区的可能性较大.整理四: 为了使题中信息更直接的用于解题,我们写出了题中所给图的邻接矩阵w,另外我们用Floyd 算法根据题中的道路连接图求出每两个社区的最短路径ij D ,将结果矩阵制成表格如下:表3: 每两个社区间的最短路(单位: 百米)A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W X YA 0 34 24 28 33 35 39 54 49 50 65 45 54 56 68 37 32 20 34 42 41 24 16 46B 34 0 37 48 41 33 37 52 28 51 63 43 52 57 47 57 64 54 47 47 54 22 18 44…… …X 16 18 23 34 27 19 23 38 33 37 49 29 38 43 52 43 48 36 33 33 40 8 0 30 Y46 44 28 39 19 11 22 8 25 18 19 10 19 24 27 42 49 47 25 25 32 22 30 05.问题一的解答针对问题一我们建立了最优缴费站选址模型即模型一. 5.1模型一的建立 5.1.1确定目标函数该模型是为了解决如何选缴费中心的地址使居民与最近缴费中心之间的平均距离d 最小的问题,它等于社区居民到最近缴费站的距离ij D 乘以该社区居民总数i P 之和除以城市总人数,故此模型的目标函数为:=1=1=1min =N Niij iji j Nii PD xd P∑∑∑5.1.2确定约束条件由于每个社区只在一个缴费中心缴费,故第i 个社区是否到第j 个社区缴费的0-1变量ij x 满足以下式子,即:(1) 1=,=1,2,3,,N 0ij i j x i j i j ⎧⎨⎩编号为的社区去编号为的社区缴费编号为的社区不去编号为的社区缴费(2)=1=1=1,2,3,,N Nij j x i ∑总共只有三个话费缴费中心,故第j 个社区是否为缴费站的0-1变量j y 满足以下式子,即:(1) 1==1,2,3,,N 0j j y j j ⎧⎨⎩编号为的社区是缴费站编号为的社区不是缴费站(2)=1=3=1,2,3,,N Nj j y i ∑又两个0-1变量之间有相互制约关系,即,=1,2,3,,N ij jx y i j ≤综上所述,得到问题一的最优化模型=1=1=1min =N Niij iji j Nii PD xd P∑∑∑=1=1=1.,=1,2,3,,N =3,=0,1Nij j ij jNjj ij j x x y s t i j y x y ⎧⎪⎪⎪≤⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∑∑5.2模型一的求解根据建立的模型用Lingo 软件代入数据求解(源程序见附录三)得到如下结果: 三个缴费站所在的社区分别为: M 、Q 、W每个缴费站的管辖(某社区居民在此缴费站缴费最近)范围分别为:M(H,J,K,L,M,N,P,U,Y); Q(D,Q,R,S,T,V);W(A,B,C,E,F,G ,I,W,X)居民与最近煤气站之间的平均最小距离为11.71181百米 5.3结果分析:将上述求解结果按题目所给原图的方位,画出各个社区到三个话费缴费中心的缴费情况与缴费路线图,即图5(图5中红色社区为缴费站所在位置):VCDG UFE IQ SRATW X B JYL HNKMP10879781615221166121015101519898图5: 各社区到三个话费缴费中心的缴费情况与缴费路线图(单位: 百米)从上图我们可以看出: 使居民与最近缴费中心之间的平均距离最小得情况下,三个话费缴费中心的相对位置比较分散;各个缴费站的管辖范围明显独立的;到处于中心位置的缴费站W 和M 缴费的社区最多,到处于边缘位置的缴费站Q 缴费的社区少.另外参考各社区的人口数可以看出,人口的多少对缴费站建址的影响较大,例如从上图就可以看出缴有两个缴费站都是建在了人口最多的W和Q社区.而第三个缴费站没有建在人数较多的C社区是因为还要考虑到社区与社区间的距离问题,从上面线性规划模型求得的第三个缴费站为M社区可以知道,距离因素对缴费站的选址也有重要影响.8. 模型的评价8.1模型优点优点一: 本题的前两个模型均为线性规划模型,易于求解,且每个模型对相应问题考虑细致,表述简洁,易于理解,便于重复利用;优点二: 我们建立的前模型都引进了两个0-1变量,这对解决问题及将模型建为线性规划模型具有重要作用;优点三: 本题所建立的模型很好的解决了在城区规划中的选址,对类似的实际城区规划问题具有重要的指导意义;8.2模型缺点缺点一: 选址模型的求解结果的均衡性较差,可能通过更好的求解方法可以求得分组均衡性更好、总资源需求更少的结果;9. 模型的改进及推广9.1模型改进改进一: 可以将模型即选址模型的单目标函数换成关于时间和最优路线的多目标函数求得最优解;9.2模型推广本文所建立的模型不仅适用于城区建设中话费缴费中心站的选址还可以用于超市、商城等各类选址问题,在选址问题模型中具有很强的代表性.参考文献[1] 宋来忠,王志明,数学建模与实验,北京:科学出版社,2005.[2] 《运筹学》教材编写组编,运筹学(3版),北京:清华大学出版社,2005.6[3] 张志涌,杨祖缨,《matlab教程R2011a》,北京:航空航天大学出版社,2011.7[4] 杨秀文,陈振杰,李爱玲,田艳芳.利用矩阵翻转法求最佳H圈.后勤工程学院院报.第1期,2008.。

基于Floyd算法的最优路径规划问题

基于Floyd算法的最优路径规划问题

基于Floyd算法的最优路径规划问题一、引言路径规划在现代社会中起着重要作用,涉及到交通、物流、电信等诸多领域。

而在路径规划中,如何寻找最优路径一直是探究的热点问题之一。

Floyd算法,作为一种常用的最短路径算法,被广泛应用于最优路径规划问题。

本文将介绍Floyd算法的基本原理以及在最优路径规划问题中的应用。

二、Floyd算法的基本原理Floyd算法是一种动态规划算法,用于计算图中任意两点之间的最短路径。

它通过构建一个二维矩阵来记录顶点之间的最短路径长度,并逐步更新矩阵中的距离值,直到得到最终的最短路径。

Floyd算法的基本原理可以归纳为以下几个步骤:1. 初始化距离矩阵,设置全部点之间的距离为无穷大。

同时将直接相连的点的距离设置为它们之间的权值。

2. 通过遍历全部点,逐步更新距离矩阵中的值。

对于当前点i和j之间的路径,若果经过一其中转点k可以使得路径变短,就更新距离矩阵中的对应距离值为较短的路径长度。

3. 重复第2步,直到遍历完全部点。

最后得到的距离矩阵中的值就是每一对顶点之间的最短路径长度。

三、最优路径规划问题分析最优路径规划问题可以用图的形式表示,其中顶点表示地点,边表示路径,边的权值表示路径的长度或者花费。

在实际应用中,最优路径规划问题可以有不同的约束条件,例如最短路径、最少花费路径、最优时间路径等。

实质上就是在已知图的基础上,通过计算任意两点之间的最短路径长度来确定最优路径。

借助Floyd算法,我们可以使用距离矩阵来表示点之间的距离,通过更新矩阵来找到最短路径。

四、应用实例为了更好地理解的应用,我们以一个城市交通网络为例进行分析。

假设一个城市有n个交叉口,这些交叉口之间通过道路相连。

我们的目标是从一个起点到达一个终点,寻找一条最短路径。

此时,我们可以将城市交通网络抽象为一个图,其中交叉口表示顶点,道路表示边,边的权值表示路径的长度。

通过使用Floyd算法,我们可以计算出任意两个交叉口之间的最短路径长度,并选取起点和终点之间的最短路径作为我们的最优路径。

3弗洛伊德算法范文

3弗洛伊德算法范文

3弗洛伊德算法范文1. 弗洛伊德算法(Floyd-Warshall Algorithm)弗洛伊德算法是一种用于求解全源最短路径问题的算法,它可以确定任意两个节点之间的最短路径。

该算法采用动态规划的思想,通过逐步迭代更新节点之间的距离来求解最短路径。

算法的基本思想是对于每一对节点(i,j),检查是否存在路径p,使得p的权值小于从节点i到节点j的当前最短路径。

如果存在这样的路径p,则更新节点i到节点j的最短路径。

具体步骤如下:1. 创建一个二维数组dist,表示节点之间的最短路径。

初始化dist[i][j]为节点i到节点j的直接距离,如果不存在直接的路径,则设置为无穷大。

2. 对于每一对节点(i,j),以每一个节点k(k为0到n-1)作为中间节点,检查是否存在路径p,使得从节点i到节点k再到节点j的路径距离小于当前的最短路径。

如果存在这样的路径,则更新dist[i][j]为路径p的距离。

3.重复步骤2,直到所有节点之间的最短路径都被确定。

弗洛伊德算法的时间复杂度为O(n^3),其中n为节点的数量。

算法的优点是可以处理含有负权边的图,并且能够同时求解所有节点之间的最短路径。

2.弗洛伊德算法的应用2.1最短路径问题弗洛伊德算法可以用于求解最短路径问题,例如在给定的图中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。

弗洛伊德算法不仅可以处理不带权值的图,还可以处理带有正权值或负权值的图。

2.2网络路由弗洛伊德算法可以用于网络路由的计算,例如确定从一个节点到其他所有节点的最短路径。

对于每对节点,弗洛伊德算法可以计算出节点之间的最短路径,并通过这些最短路径来进行网络路由。

2.3传感器网络在传感器网络中,弗洛伊德算法可以用于确定从一个节点到另一个节点的最短路径。

这对于传感器网络中的数据传输和路由非常重要,使得数据能够在网络中有效地传输。

3.弗洛伊德算法的优化尽管弗洛伊德算法是求解最短路径问题的有效算法,但对于大规模的图,它的计算时间会非常长。

floyd用法

floyd用法

floyd用法摘要:1.Floyd 算法简介2.Floyd 算法的基本思想3.Floyd 算法的适用场景4.Floyd 算法的计算步骤5.Floyd 算法的示例正文:1.Floyd 算法简介Floyd 算法是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法,也被称为Floyd-Warshall 算法。

该算法由Robert C.Floyd 于1968 年提出,是图论领域中一种非常重要的算法。

2.Floyd 算法的基本思想Floyd 算法的基本思想是动态规划。

算法通过计算每个顶点之间的路径长度,然后利用这些信息来更新其他顶点之间的路径长度,最终得到所有顶点之间的最短路径。

3.Floyd 算法的适用场景Floyd 算法适用于存在负权边的图,并且可以处理边权值为负数的情况。

同时,Floyd 算法可以处理所有顶点之间的最短路径问题,无论是单源最短路径还是多源最短路径。

4.Floyd 算法的计算步骤Floyd 算法的计算步骤如下:(1) 初始化邻接矩阵dist,dist[i][j] 表示顶点i 到顶点j 的边的权值。

如果两个顶点之间没有边,可以将dist[i][j] 设为一个较大的值,如正无穷。

(2) 对于所有顶点k,计算dist[i][j] += dist[i][k] * dist[k][j],其中i、j、k 为顶点标号。

这一步的目的是通过累积每个顶点之间的路径长度来更新其他顶点之间的路径长度。

(3) 遍历所有顶点对(i, j),如果dist[i][j] 的值小于0,则说明在顶点i 到顶点j 的路径中存在一个环。

此时,可以将dist[i][j] 设为一个较大的值,如正无穷,以表示不存在从顶点i 到顶点j 的路径。

5.Floyd 算法的示例假设有一个图,顶点有A、B、C、D、E 五个,边的权值分别为1、2、3、1、4。

现在需要求解所有顶点之间的最短路径。

Floyd算法在一类实际问题中的应用

Floyd算法在一类实际问题中的应用

Floyd算法在一类实际问题中的应用作者:魏霖静,岳建斌来源:《电脑知识与技术》2010年第22期摘要:最短路径问题在图中是最吸引大家眼球的问题,既是图中的重点也是难点。

该文分析了Floyd算法的基本思想,并以一个实际问题为例,论述了其在VC++中的具体实现。

关键词:Floyd算法;VC++;应用中图分类号:TP311文献标识码:A文章编号:1009-3044(2010)22-6227-02Application of Floyd Algorithm in a Class of Practical ProblemsWEI Lin-jing1,YUE Jian-bin2(rmation Science and Technology College, Gansu Agricultural University, Lanzhou 730070, China; nzhou City College, Lanzhou 730070, China)Abstract: Shortest path problem is the most attractive problem in the graph theory. It's not only of great priority, but also a difficult. This paper analyzes the basic idea of floyd algorithm,and discusses the realization in VC++ by a practical problem.Key words: floyd algorithm; VC++; application最短路作为图与网络技术研究中的一个经典问题一直在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学等领域有着十分广泛的应用。

顶点对之间的最短路径是指:对于给定的有向网G=(V,E),要对G中任意一对顶点有序对V、W(V≠W),找出V到W的最短距离和W到V的最短距离。

floyd 的应用

floyd 的应用

附录用matlab 建立Floyd 函数的M 文件,编程如下: function [D,path]=floyd(a) n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:nif D(i,j)~=inf path(i,j)=j; end end endfor k=1:n for i=1:n for j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end end end问题一:1)用Floyd 算法求铁路最短距离, 以7个钢管厂和17个中转点建立初始距离矩阵()24*24ij D ,对于任意两点之间的距离,如果两点之间有铁路直接连接, 其值为两点间铁路的距离;如果两点之间没有铁路直接连接,则其值为inf 。

2)用Floyd 算法求公路最短距离,以15个铺设节点、17个中转点和S1、S6、S7三个钢管厂建立初始距离矩阵()35*351ij D ,对于任意两点之间的距离,如果两点之间有公路直接连接,其值为两点间公路的距离;如果两点之间没有公路直接连接,则其值为inf 。

3)用Floyd 算法求铁路和公路最少费用,编程如下:%距离转换为费用的程序D1=D1*0.1; %把公路最短距离换算成公路最少费用for k=1:300 m1(k)={k}; endfor k=1:50m2(k)={300+k}; m3(k)={350+k}; m4(k)={400+k}; m5(k)={450+k}; endfor k=1:100m6(k)={500+k}; m7(k)={600+k}; m8(k)={700+k}; m9(k)={800+k}; m0(k)={900+k}; endfor i=1:24for j=1:24 %把铁路最短距离换算成铁路最少费用switch D(i,j) case 0D(i,j)=0; case m1D(i,j)=20; case m2D(i,j)=23; case m3D(i,j)=26; case m4D(i,j)=29; case m5D(i,j)=32; case m6D(i,j)=37; case m7D(i,j)=44; case m8D(i,j)=50; case m9D(i,j)=55; case m0D(i,j)=60; otherwiseD(i,j)=ceil((D(i,j)-1000)/100)*5+60; end end end%c矩阵表示七个钢管生产厂到十五个铺设节点之间的距离,先把它们都设成20000(任意一个钢管厂到任意一个铺设节点之间的距离不会超过20000),然后用 for 循环求出最小值c=[20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000; 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000; 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000; 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000; 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000; 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000; 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000];for i=1:7 %7个钢管生产厂for k=1:15 %15个铺设节点for j=8:24 %7个钢管生产厂和17个中转点,i=1,表示第一个钢管生产厂,j=8,表示第一个中转点if c(i,k)>D(i,j)+D1(k,j+8)c(i,k)=D(i,j)+D1(k,j+8);%对于所有中转点,在铁路网和公路网上的下标相差8endendendendfor i=1:7for k=1:15if c(i,k)>D(i,1)+D1(k,33) c(i,k)=D(i,1)+D1(k,33);%33代表第一个钢管生产厂S1点endif c(i,k)>D(i,6)+D1(k,34)c(i,k)=D(i,6)+D1(k,34);%34代表第六个钢管生产厂S6点endif c(i,k)>D(i,7)+D1(k,35)c(i,k)=D(i,7)+D1(k,35);%35代表第七个钢管生产厂S7点endend%因为S1,S6,S7这三个钢管厂有公路直接连接到铺设节点,所以把这三个点单独处理end运行结果如下:问题一用Lingo软件求解的编程:model:sets:supply/S1..S7/:p,s,t;need/A1..A15/:L,R,b;links(supply,need):c,x;endsetsdata:s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000;b=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,;c=170.7 160.3 140.2 98.6 38.0 20.5 3.1 21.2 64.2 92.0 96.0 106.0 121.2 128.0 142.0 215.7 205.3 190.2 171.6 111.0 95.5 86.0 71.2 114.2 142.0 146.0 156.0 171.2 178.0 192.0230.7 220.3 200.2 181.6 121.0 105.5 96.0 86.2 48.2 82.0 86.0 96.0 111.2 118.0 132.0 260.7 250.3 235.2 216.6 156.0 140.5 131.0 116.2 84.2 62.0 51.0 61.0 76.2 83.0 97.0 255.7 245.3 225.2 206.6 146.0 130.5 121.0 111.2 79.2 57.0 33.0 51.0 71.2 73.0 87.0 265.7 255.3 235.2 216.6 156.0 140.5 131.0 121.2 84.2 62.0 51.0 45.0 26.2 11.0 28.0 275.7 265.3 245.2 226.6 166.0 150.5 141.0 131.2 99.2 77.0 66.0 56.0 38.2 26.0 2.0;enddatamin =@sum (links(i,j):(p(i)+c(i,j))*x(i,j))+0.05*@sum (need(j):L(j)^2+L(j)+R(j)^2+R(j)); @for (supply(i):@sum (need(j):x(i,j))>=500*t(i)); @for (supply(i):@sum (need(j):x(i,j))<=s(i)*t(i)); @for (supply(i):@bin (t(i)));@for (need(j):@sum (supply(i):x(i,j))=L(j)+R(j)); @for (need(j)|j#NE#15:b(j)=R(j)+L(j+1)); R(15)=0;L(1)=0;@gin (@sum (links(i,j):x(i,j)));p(1)=160;p(2)=155;p(3)=155;p(4)=160;p(5)=155;p(6)=150;p(7)=160; end问题三(1) 用Floyd 算法求铁路最短距离,matlab 编程与问题一相同(2) 用Floyd 算法求公路最短距离,以21个铺设节点和14个中转点建立初始距离矩阵()35*352ij D ,D2矩阵的意义与前面D 矩阵相似(3) 再次调用距离转费用程序,求出铁路和公路最少费用%h 矩阵表示七个钢管生产厂到21个铺设节点之间的距离,先把它们都设成20000(任意一个钢管厂到任意一个铺设节点之间的距离不会超过20000),然后用 for 循环求出最小值h=[20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000;20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000;20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000;20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000;20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000;20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000;20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000];for i=1:7m=1;fork=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,24,27,28,29,30,34]for j=8:24if h(i,m)>D(i,j)+D2(k,j+8) h(i,m)=D(i,j)+D2(k,j+8);endendm=m+1;endendfor i=1:7m=1;fork=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,24,27,28,29,30,34]if h(i,m)>D(i,1)+D2(k,33)h(i,m)=D(i,1)+D2(k,33);endif h(i,m)>D(i,6)+D2(k,34)h(i,m)=D(i,6)+D2(k,34);endif h(i,m)>D(i,7)+D2(k,35)h(i,m)=D(i,7)+D2(k,35);endm=m+1;endend运行结果如下:问题三用软件Lingo编程:model:sets:supply/S1..S7/:p,s,t;need/A1..A21/:L,R,Z,b;links(supply,need):c,x;endsetsdata:p=160 155 155 160 155 150 160;s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000;b=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,,42,10,130,190,260,100;c=170.7, 160.3, 140.2, 98.6, 38, 20.5, 3.1, 21.2, 64.2, 92, 96, 106, 121.2, 128, 142, 60, 95, 100, 105, 115, 125215.7, 205.3, 190.2, 171.6, 111, 95.5, 86, 71.2, 114.2, 142, 146, 156, 171.2, 178, 192, 110, 145, 150, 155, 165, 175 230.7, 220.3, 200.2, 181.6, 121, 105.5, 96, 86.2, 48.2, 82, 86, 96, 111.2, 118, 132, 44, 85, 90, 95, 105, 115260.7, 250.3, 235.2, 216.6, 156, 140.5, 131, 116.2, 84.2, 62, 51, 61, 76.2, 83, 97, 80, 50, 55, 60, 70, 80255.7, 245.3, 225.2, 206.6, 146, 130.5, 121, 111.2, 79.2, 57, 33, 51, 71.2, 73, 87, 75, 32, 45, 50, 65, 75265.7, 255.3, 235.2, 216.6, 156, 140.5, 131, 121.2, 84.2, 62, 51, 37, 16.2, 11, 28, 80, 50, 37, 36, 10, 0275.7, 265.3, 245.2, 226.6, 166, 150.5, 141, 131.2, 99.2, 77, 64, 56, 38.2, 26, 2, 95, 63, 50, 55, 32, 26;enddatamin=@sum(links(i,j):(p(i)+c(i,j))*x(i,j))+0.05*(@sum(need(j)|j#GE#2 #AND#j#LE#21 :L(j)^2+L(j))+@sum(need(j)|j#LE#14 :R(j)^2+R(j))+@sum(need(j)|j#EQ#9 #OR# j#EQ#11 #OR# j#EQ#17 :Z(j)^2+Z(j))+@sum(need(j)|j#EQ#17 #OR# j#EQ#19#OR# j#EQ#20 :R(j)^2+R(j)));@for(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))>=500*t(i));@for(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))<=s(i)*t(i));@for(supply(i):@bin(t(i)));@for(need(j)|j#NE#9 #AND# j#NE#11 #AND# j#NE#17:Z(j)=0);@for(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=L(j)+R(j)+Z(j));@for(need(j)|j#LT#15:b(j)=R(j)+L(j+1));b(16)=Z(9)+L(16);b(17)=Z(11)+Z(17);b(18)=L(17)+L(18);b(19)=R(17)+L(19);b(20)=R(19)+L(20);b(21)=R(20)+L(21);@gin(@sum(links(i,j):x(i,j)));end附录用matlab 建立Floyd 函数的M 文件,编程如下: function [D,path]=floyd(a) n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:nif D(i,j)~=inf path(i,j)=j; end end endfor k=1:n for i=1:n for j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end end end问题一:4)用Floyd 算法求铁路最短距离, 以7个钢管厂和17个中转点建立初始距离矩阵()24*24ij D ,对于任意两点之间的距离,如果两点之间有铁路直接连接, 其值为两点间铁路的距离;如果两点之间没有铁路直接连接,则其值为inf 。

floyd判圈法

floyd判圈法

floyd判圈法
【原创实用版】
目录
1.Floyd 判圈法的概念
2.Floyd 判圈法的原理
3.Floyd 判圈法的应用实例
4.Floyd 判圈法的优缺点
正文
Floyd 判圈法是一种用于计算机科学中的算法,主要用于检测一个给定的有限完全图是否存在一个哈密顿圈。

哈密顿圈是指在一个图中,包含所有顶点的一条简单路径。

Floyd 判圈法是由英国计算机科学家 Floyd 于 1936 年提出的,因此得名。

Floyd 判圈法的原理是基于图的遍历和颜色标记。

算法从任意一个顶点开始,沿着图的边进行遍历。

在遍历过程中,会对相邻的顶点进行颜色标记。

通过这种方式,可以检测出是否存在一个哈密顿圈。

Floyd 判圈法可以用以下步骤来描述:
1.从任意一个顶点开始,将其标记为白色。

2.遍历图中的所有顶点,将未被标记的顶点标记为黑色,并将已标记的顶点恢复为白色。

3.如果在遍历过程中,所有的顶点都被标记为黑色,则说明图中存在一个哈密顿圈。

Floyd 判圈法在计算机科学中有广泛的应用,例如在社交网络分析、数据挖掘和运筹学等领域。

它可以帮助研究者快速检测出图中是否存在一个包含所有顶点的哈密顿圈。

Floyd 判圈法的优点在于其简单易懂,且运行速度快。

然而,它也存在一些缺点,比如在处理大规模的图时,算法的运行时间会显著增加。

总的来说,Floyd 判圈法是一种重要的算法,可以帮助研究者快速检测出图中是否存在一个包含所有顶点的哈密顿圈。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

题目Floyd算法在旅游线路制定问题中的应用学院姓名学号2010 年11 月摘要随着日益增长的精神文化需求,旅游已经逐渐成为人们假期生活中不可缺少的一部分。

但是旅游的高费用和经济条件还有时间的限制也制约着人们的旅行计划。

尤其是对于我们这种初到某城市的学生游客,旅行路线的制定就成为了一个重要的问题。

如何在有限时间内经济实惠地制定自己的旅行计划需要我们用有效的数学手段来解决。

通过对《图论》这门课程的学习,发现各种最短路径的算法都能够很好的解决实际生活中的问题,例如Dijkstra算法、Floyd算法、Bellman-Ford算法等等。

本文主要介绍了Floyd算法的原理,以重庆市周边旅游景点为背景,选取了几个计划之内的旅游景点为假设模型,希望通过Floyd 算法获得任意两景点之间的最短路径来制定旅游路线,中间路过的景点也是我们计划之内的。

关键词:Floyd算法最短路径假设模型距离估算最小权重绪论在18世纪30年代。

一个非常有趣的问题引起了欧洲数学家的浓厚兴趣,这个问题要求遍历普鲁士的哥尼斯堡七桥中的每一座桥恰好一次后回到出发点。

欧拉证明了这是不可能完成的。

此后,欧拉发表了著名的论文《依据几何位置的解题方法》,这是图论领域的第一篇论文,标志着图论的诞生。

图论的真正发展始于20世纪五六十年代之间。

是一门既古老又年轻的学科,图论极有趣味性,严格来讲它是组合数学的一个重要分支。

虽然图论只是研究点和线的学问。

但其应用领域十分广阔。

不仅局限于数学和计算机学科,还涵盖了社会学、交通管理,电信领域等等。

总的来说,图论这门学科具有以下特点:图论蕴含了丰富的思想,漂亮的图形和巧妙的证明;涉及的问题多且广泛,问题外表简单朴素,本质上却十分复杂深刻;解决问题的方法千变万化,非常灵活,常常是一种问题一种解法。

由以上三个特点可以看出。

图论与其他的数学分支不同,它不像群论、拓扑等学科那样有一套完整的理论体系和解决问题的系统方法。

而且图论所研究的内容非常广泛,例如图的连通性、遍历性。

图的计数。

图的着色、图的极值问题。

图的可平面性等等。

最短路问题是图论应用的基本问题,很多实际问题,如线路的布设、运输安排、运输网络最小费用等问题,都可以通过建立最短路问题模型来求解。

最短路问题一般是在加权图中讨论,最短路径不仅仅是指一般意义上的距离最短,诸如时间、费用都可以被引申为最短路径,相应的最短路径问题就成了最快路径问题、最低费用问题等。

1 背景介绍重庆是中华人民共和国四个直辖市之一,地处中国西南。

是中国重要的中心城市之一,历史悠久,国务院公布的第二批国家历史文化名城之一。

因为重庆的地理环境,重庆多山多雾,故又有雾都、山城的别名。

重庆也是旅游胜地,周边大大小小的旅游景点数不胜数。

例如大足石刻、钓鱼城、丰都、小田溪巴王墓群、金佛山、歌乐山等等。

对于我们这些初到重庆的学生游客来说,由于对当地理环境并不熟悉,而且时间有限。

我们希望在有限的十一或是五一假期内,找到最短的最经济的旅游线路,进行一次重庆周边旅行。

所以,如何制定旅游线路就是一个很重要的问题。

通过对《图论》这门课程的学习,我们知道最短路径也是图论中的一个重要的应用问题。

其中涉及到的各种算法在日常生活中得到了广泛的应用。

Floyd算法就是任意两点间最短路径的经典算法。

2 Floyd 算法描述2.1 最短路径问题在图G 中的每一条边,可赋以一个实数()w e ,称为e 的权,G 连同它边上的权称为赋权图,赋权图经常出现在图论的应用中。

例如在友谊图中,权可以表示友谊深度;在通信图中,权可以表示各种通讯线路的建造或维修费用。

若H 是赋权图的一个子图,则H 的权()w H 是指它的各边的权和。

许多最优化问题相当于要在一个赋权图中找出某类具有最小(或最大)权的子图,其中之一就是最短路问题:就是要在一个赋权图的两个指定顶点o u 和o v 之间找出一条具有最小权的路。

最短路作为图与网络技术研究中的一个经典问题一直在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学等领域有着十分广泛的应用。

顶点对之间的最短路径是指:对于给定的有向网(,)GV E =,要对G 中任意一对顶点有序对,()V WV W ≠,找出V 到W 的最短距离和W 到V 的最短距离。

目前,关于最短路问题的研究已有较多结果,传统的最短路算法主要有Floyd 算法和Dijkstra 算法等。

其中,Dijkstra 算法求解任意顶点对之间最短距离的方法是:轮流以每一个顶点为源点,重复执行算法n 次,即可求得每一对顶点之间的最短路径,总的时间复杂度为3()o n ,Floyd 提出了另外一个求图中任意两顶点之间最短路径的算法,虽然其时间复杂度也是3()o n ,但其算法的形式更简单,易于理解和编程。

2.2 Floyd 算法描述对于图G ,如果(,)w i j 表示i 和j 之间的可实现的距离,那么(,)w i j 表示端i和j 之间的最短距离当且仅当对于任意的i, j, k ,有(,)(,)(,)w i j w i k w k j ≤+。

该算法用矩阵形式来表示,并进行系统化的计算,通过迭代来消除不满足上述定理的情况,对于n 个端,一给定边长ij d 的图,顺序计算各个n n ⨯的W 阵和R 阵,前者代表径长,后者代表转接路由。

其步骤如下:F :置(0)(0[]ijij W w =其中和 0(0)[]ijR r =其中1F :已得(1)k W-和(1)k R - 阵,求()k W和()k R 阵中的元素如下2F :k<n ,重复1F ;k =n ,终止。

由上述步骤可见,(1)()k k WW-→是计算经k v 转接时是否能缩短经常,如有缩短,更改ij w 并在R 阵中记下转接的端。

最后算得()n W 和()n R ,就得到了最短径长和转接路由。

,,0iji j iji j d v v w v v i j ⎧⎪=∞ ⎨⎪=⎩有边无边(0)(0)(0)ij ijij w jr w i j <∞⎧= ⎨=∞ =⎩或()(1)(1)(1)m in [,]k k k k ijij ikkjw w w w ---=+(1)()(1)(1)(1),,k k k ijij ij kijk k k ikij ij r w w r r w w ----⎧ =⎪=⎨ <⎪⎩若若3 Floyd算法用于解决旅行线路问题3.1 旅行线路模型假设初到重庆邮电大学,同学们对重庆这个历史悠久且极具特色的中国中心城市充满了好奇,在节假日的时候都计划着去重庆市周边的旅游景点进行短期旅行。

由于我们对重庆市的地理环境消费水平等并不是特别了解,制定旅行线路就成为了一个很重要的问题,由于假期时间有限,我们希望能够在备选目的地景点中,能够找到任何两个景点之间的最短路,且中途经过的节点也是备选景点中的景点。

于是选择重庆周边的各个景点为对象如图3-1所示,我们可以选择图示的任何几个景点来生成一个考察对象图,图中粗线条所连接生成的图为文章中考察的图,命名为G。

图3-1 重庆市周边旅游景点图图中选择的备选景点分别为:大足石刻、钓鱼城、丰都、小田溪巴王墓群、金佛山、歌乐山、重庆市中心。

这七个景点依次编号为1-7,且如图所示粗线表示连接端点的边分别命名为1v -7v 。

于是我们生成了考察对象图G ,如图3-2所示。

通过考察各个景点之间的实际距离(公里数),1e -10e 的公里数分别为:78.6km ,293.2km ,175.6km ,176.1km ,129.2km ,17.9km ,79.8km ,236.9km ,124.7km ,20.2km 。

我们以最短距离20.2为基准作归一化处理得到近似1e -10e 的值分别为: 4,14,9,9,6,1,4,12,6,1。

假设模型中,用这些归一化的值分别代表各个边的权值,构成加权图G 如图3-2所示。

图3-2 由七个景点生成的图G3.2 用Floyd 算法计算任意两景点之间的最短路径现在我们以上述生成的图G 为考察对象,根据算法流程,设W 阵和R 阵分别代表径长和转接路由。

那么计算结果如下:1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 1e 2e 3e 4e 5e 6e 7e 8e 9e 10e(0)041 40144 1409909129066 1601 412610W∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥=∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞⎢⎥∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞⎣⎦(0)0200060103000702040000030507000406710005070204560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)0414014(5)414099091290661(5)601412610W∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥=∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞⎢⎥∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞⎣⎦(1)020006010300(1)70204000003050700040671(1)005070204560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2)04(18)1(8)401454(18)1409(19)(18)90912906615(19)601(8)4(18)12610W∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞⎢⎥⎢⎥∞⎢⎥=∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞⎢⎥∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2)02(2)006(2)1030017(2)2040(2)(2)0030507000406711(2)0507(2)2(2)4560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)0418(27)18 4014(23)54 1814091918 (27)(23)909(28)129066 1519(28)601 841812610W∞⎡⎤⎢⎥∞⎢⎥⎢⎥∞⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∞∞∞⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)022(3)062103(3)0172204022(3)(3)305(3)70004067112(3)5072224560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4)041827(36)18 401423(32)54 181409(18)1918 27239092812 (36)(32)(18)9066 151928601 841812610W⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4)0223(4)621033(4)172204(4)223330537(4)(4)(4)406711235072224560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5)041827361840142332541814091819182723909(15)1236321890661519(15)601841812610W⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5)02234621033417220442233305(5)74444067112(5)5072224560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(6)0418(16)(7)1(2)4014(20)(11)54181409181918(16)(20)9091512(7)(11)189066151915601(2)41812610W⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(6)022(6)(6)6(6)103(6)(6)172204422(6)(6)30557(6)(6)440671125507(6)224560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7)0418(14)712 4014(16)(10)54 181409181918 (14)(16)909(13)12 7(10)189066 1519(13)601 241812610W⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7)022(7)666103(7)(7)172204422(7)(7)305(7)76(7)44067112(7)5076224560R⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦经过7轮迭代,我们得到了最终的W 和R 阵,分别包含了径长信息和路由信息。

相关文档
最新文档