大学物理刚体力学ppt课件
大学物理课件第3章-刚体
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
大学物理刚体力学课件
例 131 如图体系开始静止当摆线由水平摆到竖直时车及球的速度光滑水平面车解体系机械能守恒体系水平方向动量守恒解得如何求物体到达最低点时绳中得张力例 132 一质量为的木块置于光滑的水平面上其上有一半径为的光滑圆弧如图示当质量为的小球沿圆弧由运动到圆弧的底部时二者的速度解本题的特点是作用中体系沿水平方向动量守恒取向左为正方向在最底点时设大木块及球对地均向左运动则有解略过程中对体系仅重力作功故机械能守恒则物体系在竖直方向的动量是否守恒为什么的动能来自何方哪些力对做功与间的一对内力功之和为多少例 210 体系从静止开时经秒后轮的角速度解轮物动量矩定理动量定理二式联立得结果或另一方法例 29 一半径为质量为的均质圆盘置于水平桌面上设盘在桌面上转动的初角速度为盘和桌面间的摩擦系数为μ盘经多长时间停止转动解阻力矩为略去数值例题另一解法例一倔强系数为原长为的弹性绳一端固定另一端系一质量为的小球整个系统在光滑的水平面上如图示开始时如图求物体与O点的最近距离解分析物体绕O运动时受合力恒指向O点故对O点动量矩守恒当物体运动到B点时弹性绳恢复到原长但不是最近距离此后物体惯性运动到C点时为最近距离 B C 2 角动量守恒 1 机械能守恒例一倔强系数为原长为的弹性绳一端固定另一端系一质量为的小球整个系统在光滑的水平面上如图示开始时如图求物体与O点的最近距离解分析物体绕O运动时受合力恒指向O点故对O点动量矩守恒当物体运动到B点时弹性绳恢复到原长但不是最近距离此后物体惯性运动到C点时为最近距离 B C 2 角动量守恒 1 机械能守恒例 212 如图示质量为半径为的均质盘砂轮绕定轴自由转动某瞬时其边缘处爆列一质量为的一小块向上飞去求余下的盘的角速度解小块飞出时此小块与余下的盘部分为一物体系体系的合外力矩为零故此过程中体系的角动量守恒作用前作用后是经常犯的错误解设轮的半径为设人向上爬时物对地速度为体系受合外力矩为零人对地的速度为二者速度大小相同故同时到达作用前体系的动量矩为作用后体系的动量矩为据动量矩守恒定律则有例 214 如图人与物同质量开始体系静止当人以相对速度向上爬动时求二者对地的速度及人与物谁先到达轮处并讨论计论的半径和质量时及二者质量不同时的情形计轮的质量时由角动量守恒律得若人质量为而物体为体系的合外力矩为体系的角动量为由角动量原理或动量矩定理得或即注意到得此时人和物作加速运动角动量角动量在广泛的领域内的应用天体间星体的公转与自转的动量矩以及微观体系内粒子的角动量如电子轨道运动角动量电子中子及其它粒子的自旋角动量等而且据近代物理理论微观粒子的角动量是量子化的自旋及自旋角动量是微观粒子的基本属性用角动量守恒律解释科里奥利力当球在光滑的盘面由A向B运动时其角动量守恒在A点时球在向外运动时增大故对地的角速度减小因而球相对盘面有一与相反的转动球越向外运动其值越大球相对盘面的轨迹为曲线横向力为科氏力如何正确地运用角动量守恒定律关键分析出体系或物体在作用中对轴或一定点的合外力矩为零而不是合外力为零注意动量守恒律和角动量守恒律的区别切无混淆动力学内容比较质点一维运动刚体的定轴转动牛一律牛二律转动定律力矩平衡功动能定理动能定理功动量定理角动量原理冲量矩定理对物体系守恒律条件第五节滚动略讲一刚体的平面平行运动运动学设一圆柱体在地面上滚动质心对地速度轮上某点相对质心的速度轮上某点相对地面的速度为轮纯滚动由于圆柱体与平面间无相对滑动质心平动而轮上各点绕质心转动运动学规律在轮纯滚动时轮缘上的一点P转过角时轮的质心C移动距离为轮的质心速度大小为二轮纯滚动运动学即为纯滚动的运动学条件据速度叠加轮缘上各点的速度为不难得出轮缘上与地面接触点的速度为瞬心质心平动而轮上各点绕质心转动运动学规律该点称为转动瞬心而轮上不同点速度各异三动力学规律静摩擦力瞬心质心运动规律动能如图绕质心转动规律轮做纯滚动与地接触点速度为零可取为瞬时转动中心可以此为瞬轴写出转动定律推广联合解题例讨论圆柱体沿斜面的纯滚动质心运动规律解为何有无能否纯滚动分量式绕质心转动规律联立解得柱与斜面间的最大静摩擦力为若即或则圆柱体不可能在斜面纯滚动了因此圆柱体在斜面上纯滚动的条件为功能关系为不做功为什麽？演示 012 圆柱形刚体静摩擦力纯滚动纯滚动为质心平动和绕质心的转动的合运动静摩擦力产生对质心的力矩重力分力对瞬心产生力矩 o 质心轨迹第六节进动类比法是学习和研究物理的一种基本方法质点与平行物体做直线运动被加速或减速动量的方向不变仅改变大小与垂直时此时力仅改变动量的方向而大小不变如匀速率圆周运动合力与动量垂直动量绕点匀速转动而动量的增量与力同向刚体在定轴转动中和皆沿轴角动量的增量与力矩的方向相同当与的方向一致时刚体加速转动反之减速转动若与垂直刚体做何种运动呢此时的刚体不可能再做定轴转动运动由物理的规律的表达式可知角动量的增量仍是与力矩的方向相同但与角动量本身的方向垂直此时力矩只会改变角动量的方向而不改变其大小结果使角动量在空间转动刚体绕一点进动如同匀速率圆周运动中的动量在空中转动一样解释垂直于的增量与力矩同方向陀螺陀螺角动量绕定点转动即进动应用炮弹运行飞机舰艇急转弯自行车转弯陀螺定向进动应用 1 飞机军舰行进中的快速转动轴承压力的形成 2 定向子弹运行 3 电子轨道在外磁场中的进动 4 双原子分子轨道角动量在绕核间轴的进动 5 自行车的进动飞行的子弹进动图阻力磁矩电子的轨道运动在外磁场中进动示意图本章的重点与难点转动定律角动量原理角动量守恒律一运动学 1 运动方程运动规律2 角速度 3 角加速度匀变速时 4 角量和线量的关系二转动定律瞬时性代数和转动惯量的意义三功与能力矩的功恒力矩的功 1 2 转动动能 3 功能关系如图示系统静止弹簧处于原长处不计摩擦求物体下滑的速度光滑零势能面 4 若仅保守力的力矩做功则机械能守恒四角动量原理角动量守恒定律 1 角动量原理 2 角动量守恒定律体系角动量守恒这个定律的应用有一定的难度关健是有哪些物体构成物体系作用过程中系统的外力矩为零该过程中合力可能不为零动量不守恒机械能也可不守恒角动量质点刚体下一章返回清明清明时节雨纷纷路上行人欲断魂借问酒家何处有牧童遥指杏花村唐杜牧说明 1 角动量是矢量表示为方向与同不过在定轴转动中沿轴仅有两个方向若规定一方向为正则另一方向为负因而在定轴转动中角动量为代数量既可角动量定理矢量式转动方向物理意义为质元的动量与质元到轴的垂直距离的积称为其动量矩与力矩比较L 为组成刚体的各质点动量矩的代数和故又称动量矩角动量定理又称动量矩定理 2 动量矩 3 质点的动量矩角动量质点动量矩角动量的普遍定义式大小矢量式动量在矢径垂直方向的投影与矢径大小的积方向右手螺旋法则定点矢径轨迹例求一沿直线运动的质点的角动量大小方向垂直平面向外解合力质点的角动量定理质点动量的变化率由质点受的合力决定质点角动量的变化率由什么决定呢质点角动量对时间的变化率则式中的称为质点所受合力对此固定点的力矩力矩为矢量方向右手螺旋法则大小定点矢径轨迹且式中的为质点受外力对定点的力矩为动量矩或角动量的增量或称为质点的角动量定理形式同刚体的角动量定理质点系的角动量定理形式同刚体的角动量定理因刚体本身为质点系例 210 体系从静止开时经秒后轮的角速度解轮物动量矩定理动量定理二式联立得结果或另一方法例 29 一半径为质量为的均质圆盘置于水平桌面上设盘在桌面上转动的初角速度为盘和桌面间的摩擦系数为盘经多长时间停止转动解阻力矩为略去数值例题另一解法二角动量守恒定律称为角动量或动量矩守恒律对质点因则三角动量守恒的应用虽然角动量守恒定律由单一刚体绕定轴转动时导出的然而确有更广泛的应用范围归纳如下对定轴转动刚体因若质点受合外力矩为零时即则称为质点的角动量或动量矩守恒律 1 单一质点在很多情形下一质点绕一固定点运动质点受合力的作用线恒过此固定点即合力的力矩为零则质点对该固定点的动量矩角动量守恒如近日点远日点太阳地球动量不守恒但机械能守恒据动量矩角动量守恒定律地球对太阳处的角动量恒定还有电子在原子核的场中运动等因与共线对即太阳处力矩为零即如在地球环绕太阳做椭圆轨道运动时对近日点与远日点有而且机械能守恒例一倔强系数为原长为的弹性绳一端固定另一端系一质量为的小球整个系统在光滑的水平面上如图示开始时如图求物体与O点的最近距离解分析物体绕O运动时受合力恒指向O点故对O点动量矩守恒当物体运动到B点时弹性绳恢复到原长但不是最近距离此后物体惯性运动到C点时为最近距离 B C 2 角动量守恒 1 机械能守恒演示 032 角动量守恒定律向下拉特点小球在绳的作用下运动不断靠近绳穿过的孔此过程中角动量守恒动能不守恒机械能不守恒动量不守恒小孔 2 物体系如图为一定轴转动的刚体角动量守恒恒量想象把此刚体分为若干块它们为一物体系为一些刚体或刚体与质点的组合则体系受合外力矩仍为零体系内各物体间有内力和内力矩但对体系的总角动量无影响由此推出当一物体系在相互作用时即有内力和内力矩而体系所受合外力矩为零则体系的角动量守恒这样把动量矩守恒律推广到物体系内力矩使体系内各物体间的角动量交换作用中是否机械能守恒或动量守恒视是否满足二者的条件而定代数和2 刚体系例如图示若轮B沿轴移向A轮当二者接触后二者因摩擦最后以相同的角速度转动求其值设解当二轮接触后因有轮间的内摩擦力矩A轮转速减慢而B轮加快最后二者以相同的转速转动作用过程中仅内力矩做功故体系的角动量守恒作用前作用后据此得到作用过程中机械能不守恒为什么例 212如图示质量为半径为的均质盘砂轮绕定轴自由转动某瞬时其边缘处爆列一质量为的一小块向上飞去求余下的盘的角速度解小块飞出时此小块与余下的盘部分为一物体系体系的合外力矩为零故此过程中体系的角动量守恒作用前作用后是经常犯的错误 3 刚体与质点系一均质杆自由悬挂处于静止的状态一子弹水平的射向杆当子弹击中杆后嵌入杆内使体系获的角速度作用中系统的外力矩为零包括重力矩和轴处约束力为零体系的角动量守恒作用前作用后杆静止子弹运动对轴有动量矩杆与子弹一起转动但作用中动量不守恒机械能也不守恒此后如何运动遵守什麽守恒率轴对杆有作用力子弹冲量矩定理动量定理杆角动量原理推导设子弹击中杆后与杆的共同角速度为设二者的作用时间为内力二式相加整理得补设轴处的水平作用力为解释杆的动量定理例如图均质杆可绕过质心自由转动的轴在水平面内转动杆静止一刚球垂直射向杆与杆做完全弹性碰撞求作用后杆的角速度作用前解角动量守恒机械能守恒作用后动量不守恒作用中体系所受的外力为轴对体系的作用力解释作用中体系的机械能不守恒动量不守恒在何处有外力请考虑其计算例如图所示均匀细棒 OA 可绕过端点的轴在水平面内转动开始棒静止速率为 V 的子弹从棒端穿过后的速率为则该棒的角速度为 2 V A B D C O A L M m m V r 2 V r [ ] 例如图所示均匀细棒AB长质量为可绕过质心的竖直轴在水平面内转动开始棒静止速度为的子弹在棒端击中杆并嵌于其中则杆的角速度为 39 演示角动量守恒定律人相对盘静止随盘一起转动刚体质点系人相对盘沿盘缘跑动过程中体系的角动量守恒为人相对盘的速度解设轮的半径为设人向上爬时物对地速度为体系受合外力矩为零人对地的速度为二者速度大小相同故同时到达作用前体系的动量矩为作用前体系的动量矩为据动量矩守恒定律则有例 214 如图人与物同质量开始体系静止当人以相对速度向上爬动时求二者对地的速度及人与物谁先到达轮处并讨论计论的半径和质量时及二者质量不同时的情形计轮的质量时由角动量守恒律得若人质量为而物体为体系的合外力矩为体系的角动量为由角动量原理或动量矩定理得或即注意到得此时人和物作加速运动人向圆心跑动中体系的角动量守恒 4 轴位置不变转动中无外力矩作用但质量分布变化当体系在无外力矩的情形下对轴的角动量守恒若体系的质量分布变化其转动惯量相应的改变因而角速度变化如花样滑冰跳水跳马巴蕾舞等物体在无外力矩的存在下因内力而使质量分布改变生熟鸡蛋地判断宇宙飞船中的宇航员在空中翻转身体解 1 轴过端点例 23 求均匀直杆的转动惯量 1 轴过端点 2 轴过质心 2 轴过质心可见刚体的转动惯量与轴的位置有关平行轴定理简介解释对过质心轴的转动惯量对与过质心轴相平行轴的转动惯量二轴间的距离证明略例均质杆又刚体对轴和轴的转动惯量为平行轴定理证明取刚体上的过刚体的质心为刚体的质心在同一水平面内它们刚体的质心所以垂直轴定理简介薄板垂直轴定理简介证明薄板对轴的转动惯量对轴的转动惯量对轴的转动惯量则有结论转动惯量 2 与质量的分布有关1 与质量有关 3 与轴的位置有关例 2---4求由杆与球组成的体系对轴的转动惯量解转动惯量具有叠加性例 25 如图半径为质量为的均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动盘上绕一段绳绳的两端分别系二物体和如图所示求盘的角加速度二物的加速度及绳内的张力设物体运动中绳与轮间无相对运动而且解解题思路本题似曾相识在高中阶段如何求解此题轮质量不计仅研究和二物体绳仅为连接体则有然而此处要考虑轮因给出了质量和半径-----刚体此为一刚体和二质点组成的物体系如何求解用隔离体法分析各物体受力此处因和质量不等二者会加速运动它们的加速度大小与轮的边缘处的切向加速度的大小同值故按转动定律轮所受的合外力矩定不为零故转动的正方向轮投影式对轮运用转动定律则对二物体和运用牛二律则 1 2 3 4 联立可得略例 26 如图半径为质量为的均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动盘上绕一长绳绳另一端系一质量为的物体求绳中的张力及三式联立求解得运动学联系解力图设转动正方向略本题的转动定律又可写为本题的转动定律又可写为讨论 1 系统从静止开时经时间t物体下落的高度及轮转过的角度 2 若轮转动时轴处的摩擦阻力矩为恒力矩结果如何解轮物转动正方向3 若阻力矩为为恒量求轮的角速度的表达式物解轮二式联立消去在利用分离变量法积分求得略例 27 在外力矩的作用下物体以速度上升撤去外力矩后物体上升多高时开始下落并求轮的角加速度解减速运动设转动正方向联立求解得联立求解解减速运动设转动正方向联立求解得联立求解例 28 求解例2---9 如图为一榔头击打物体时的情形相关说明如下分别为锤柄与锤头的质量为系统的质心手握锤柄处手握锤柄处与锤头中心的距离手握锤柄处与质心中心的距离锤柄长即锤柄端到锤头中心之距被击物对锤头的作用力求打击时的质心加速度及锤柄对手的切向力解设打击时手对柄的切向力为由质心运动定理有 1 以为轴由转动定律有 2 由角量与线量的关系有 3 据质心定义有 4 1 2 3 4 对的转动惯量为 5 以上五式联立解得详见教材讨论略解杆受力如图 1 例 29 如图示一长为质量为的均质杆可绕过一端的水平轴自由转动开始时杆水平若杆突然释放求 1 释放后瞬时杆仍水平的2 当杆转到与水平成时的上述值质心处的由质心运动定理有解得 2当杆转到与水平成某一角时由转动定律有显然杆做变角加速度转动越来越小结果可得质心的求用积分转动定律如何求杆转到时的角加速度与角速度得或积分如何正确地运用转动定律 7 运用运动学条件转动定律是刚体定轴转动时的规律运用时 1 选定刚体盘柱杆等及定轴 2 分析刚体受力并找出各力的力矩 3 求各力的力矩的代数和 4 写出的具体表述 5 该式具有瞬时性与刚体的运动状态的大小和方向无关 6 运用隔离体法对质点运用牛二律一力矩的功设一刚体绕轴转动一力作用在点为简单起见设力的作用线在与轴垂直的平面内如图示为点到轴的垂直距离该力的作用点的轨迹为半径为的圆故该力的元功为第三节力矩的功转动动能功能关系则由以上看出功的定义不变只是用力矩来计算刚体转动中力的功简单当然仍可用力的功若力矩是转角的函数用上式积分若是恒力矩则上式为是转角二转动动能在定轴转动刚体上取一质量为质元其动能为整个刚体的动能为其中转动惯量转动动能 o o 若刚体定轴转动时仅有保守力或保守力的力矩做功则机械能守恒三动能定理机械能守恒律即合外力矩的功等与转动动能的增量 2 杆转到与水平成时的角加速度例 2 9 如图示1 杆水平时的角加速度 3 杆竖直时的角速度解 1 2 3 利用动能定理例 2 9 如图示杆长为质量为求杆由水平位置静止转到竖直位置时的角速度水平位置静止解法 2 用动能定理求解即解得竖直位置某瞬时位置解法 3 考虑到仅重力做功用机械守恒律求解水平位置静止竖直位置零势能面机械能得或利用机械能守恒定律零势能面如何求杆上各点的速度和加速度例 2---16 如图求杆由水平释放后仍水平时杆的和及杆转到竖直位置时的轴解学生自己做例 2----18 求杆的角加速度及转到水平位置时的角速度解学生自己做例 2---19 推证转动的动能定理第四节角动量定理角动量守恒定律一角动量定理转动定律瞬时性则过程性该式的物理意义是瞬时力矩对微小时间累积引起物理量的变化与类比在一段时间内与类比定义冲量矩角动量角动量定理刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量实质讲的力矩的时间累积及效果间的关系若合外力矩是恒力矩则上式简化为返回第二章刚体定轴转动本章将要介绍一种特殊的质点系刚体所遵从的力学规律刚体可以看成由许多质点组成在外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变因此刚体是固体物件的理想化模型音乐花径不曾缘客扫蓬门今始为君开名句赏析内容提要刚体定轴转动运动学转动定律刚体定轴转动能定理功能关系角动量原理角动量守恒定律水平面刚体水平面刚体第一节刚体的两种基本运动形式刚体的两种基本运动形式一平动结论刚体在平动运动中连接体内的直线在空间的指向总保持不变各点具有相同的速度相同加速度可按质点力学的规律处理固定轴刚体二定轴转动特点刚体上各点绕轴在与轴垂直的平面内做圆周运动各质点的速度加速度一般不同可按前面的质点运动学处理三刚体更复杂的运动形式平面平行运动定点转动举例说明略讲定轴转动平动一刚体定轴转动的运动方程第二节刚体定轴转动运动学固定轴刚体如图一刚体定轴转动如何确定该刚体的位置在固定轴上固结轴与的夹角不断设想在刚体上有一直线在刚体转动中变化是时间的函数一定则刚体的位置确定或曰刚体上的所有质点的位置确定变化说明刚体的位置变化因而用可确定刚体的位置为刚体定轴转动的运动方程如同质点一维运动时的二角速度设称为角位移代数量则固定轴刚体平均角速度瞬时角速度即对运动方程求一阶导数单位或矢量性角速度可以定义为矢量以表示它的方向规定为沿轴的方向其指向用右手法则确定在定轴转动中因为角速度仅有两个方向故可用代数量来表示其矢量性具体做法是规定一转动方向为正方向当角速度与其同向时取正反之取负详见后面例题分析刚体三角加速度固定轴刚体加速转动减速转动若是变化的同理得瞬时角加速度单位或或由运动方程可得均为代数量矢量式为同样在定轴转动中角加速度仅两个方向当角加速度与其。
大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)课件
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
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r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
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9
由
a
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2 -o2 2
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10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
为Δmi的质点对o点的角动量为
对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
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7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
刚体力学ppt课件
20 30 30 15 20 30
21(m)
yc
mi yi mi
20 10 30 0 20 30
4(m)
12
例2 试求非均匀棒的质心位置。设棒长为L，棒的单位
长度质量与x的函数关系为 x 2，式中β为常数。
解 坐标轴如图所示。在棒x
处取一线元dx ,其质量元
L
为dm dx x 2dx
解： 利用转动惯量可迭加性
O
I I细杆 I圆盘
ml
∴
I
1 ml 2 3
1 2
mR
2
ml
R2
185 96
ml
2
mR
该系统的质心位置=？
先计算细杆的质心(杆的中点)和园盘的质心(盘心)，
然后再求两者组成的系统质心位置。
30
例7 如图，四个质点安装在质量忽略不计的轻质圆形框架上，求： （1）此系统对通过圆心并垂直纸面轴的转动惯量；（2）绕通过此 系统质心并垂直纸面轴的转动惯量。(练习四、4)
I r2 dm
线分布
dm λdx,
λ m, L
I r2dx
面分布 体分布
dm σdS, σ m , S
I r2σdS
dm ρdV,
ρ m, V
I r2ρdV
其中：、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。 21
例1 求一质量为m，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。(1)轴 通过棒的中心并与棒垂直。(2)轴通过棒的一端并与棒垂 直。
1
1）刚体运动的描述(刚体运动学)。 2）刚体的质心运动。 3）刚体定轴转动的转动定律。 4）角动量守恒定律。 5）刚体定轴转动的功和能
2
6-1 刚体的运动 (刚体运动的描述)
大学物理第三章刚体力学基础1课件
Oi r i
fi f it
Fit Fi
mi
对所有质元的同样的式子求和： ∑Fit ri +∑fit ri = ∑miri2 一对内力的力矩之和为零，所以有
对于转轴的转动惯量 用M表示∑Fit ri （合外力矩） 则有 M＝J
∑Fit ri = （∑miri2） 令J＝ ∑miri2 J为刚体
o′
·
o′
·
Δ Δ
· o
o
3-1 刚体运动的描述 一、描述刚体转动的物理量 角位置：
转动正方向
(t )
角位移
刚体运动方程
r
（参考方向）
转动平面
(t t ) (t )
d 角速度： dt
d d 2 角加速度 dt dt 2
在刚体作匀加速转动时:
1 xc l cos 2
2 0
1 M mgl cos 2
2 0
mg
dmg
l l A Md mg cosd mg 2 2 刚体的重力势能： E p mg hc 如果刚体在运动过程中
1 l mg J 2 2
2
3g l
只有保守力作功,则此 系统的机械能守恒。
F2
M r1 F1 sin 1 r2 F2 sin 2
M 0 M 0 则M的方向和转轴的正方向一致 则M的方向和转轴的正方向相反
二、刚体定轴转动的转动定律 对mi用牛顿第二定律：
F i f i mi a i
切向分量式为：
z
Fit+fit= miait= miri 两边乘以ri ,有： Fit ri +fit ri = miri2
大学物理第三章刚体力学PPT课件
精选
7
F is iin fis iin m ir i
两边同乘ri，得
F ir i siin fir i siin m ir i2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
F ir is ii n fir is ii n ( m ir i 2 )
密度为，则dm=dx，有：
Ox
dx
l
J0r2dm ll2 2x2dx1l32 1 1m 22 l
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
JAr2dm0 lx2dx3 l31 3m2l
精选
12
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转
轴的位置等有关。
精选
9
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为
dJr2dm
r dm
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r2dm
精选
10
常见刚体的转动惯量
MF 2dF 2rsin
精选
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
MFd Fsri n
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
M rF
第3章 大学物理刚体力学ppt课件
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
大学物理 刚体力学(课堂PPT)
（2）转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动， 则称刚 体作转动，该直线称转轴。
转动又分定轴转动和非定轴转动 。
转轴
固定转轴 瞬时转轴
定轴转动 非定轴转动
4
刚体的平面运动 （滚动）
5
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
6
3.刚体的定轴转动
（1）角位置和角位移
P
Qx
x
角位移
PP
rd dW Md
-----力矩的功
合外力矩
F
d
r
ds
35
若力矩是恒量:
比较： 力矩的功就是力的功。
例题3-8
36
例题3-8 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过 其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始 自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。
解：在棒的下摆过程中，对转轴O而 言，支承力N通过O点，所以支承力N的 力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，
N π (300)3 3104 r
2 π 2 π 450
14
1.力矩
力
二、刚体定轴转动的转动定律
改变质点的运动状态
质点获得加速度
力矩 改变刚体的转动状态
（1） 力矩的定义式
r M
rr
r F
刚体获得角加速度 M
大小：M Fr sin Fd
（2） 物M理 意r 义F
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、 方向和作用点对物体转动的影响。
图3-14
33
解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m 的加速度为a，由牛顿第二定律可得
mg T ma
以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转 动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得
《物理刚体力学》课件
角动量守恒的条 件：刚体在运动 过程中，不受外 力矩作用，或者 外力矩的矢量和 为零。
角动量守恒的应用： 在物理学、工程学 等领域，角动量守 恒定律被广泛应用 于分析刚体的运动 状态和设计机械设 备。
刚体的振动与波 动
体育器材：篮球架、足球 门、单杠等体育器材的结 构和支撑
医疗设备：手术床、轮椅、 担架等医疗设备的支撑和 连接
电子产品：手机、电脑、 电视等电子产品的外壳和 框架
刚体在体育运动中的应用
篮球：篮球架、篮球板等设备都是 刚体，它们需要承受运动员的撞击 和冲击。
田径：田径运动中的起跑器、跳高 杆等设备也是刚体，它们需要承受 运动员的撞击和冲击。
刚体在工程中的应用：设计、制造和维护各种机械设备，如汽车、飞机、桥梁等
刚体在生物力学中的应用：研究人体骨骼、肌肉等组织的力学性能，为医疗、康复等领域提 供科学依据
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转动惯量：刚体转动时，其转动惯 量与质量、形状、转动轴的位置有 关。
转动定律的局限性：转动定律只适 用于刚体，不适用于非刚体。
刚体的转动惯量
定义：刚体转动惯量是刚体转动时，其角动量与角速度的比值 公式：I=mr^2，其中m是刚体质量，r是刚体到转轴的距离 应用：刚体的转动惯量在物理学、工程学等领域有广泛应用 影响因素：刚体的形状、质量分布、转轴位置等因素都会影响其转动惯量
消失
基本假设：物体 在受到外力作用 时，其运动状态 保持不变，即物 体在受到外力作 用时，其速度、 加速度和位置保
持不变
局限性：刚体 力学只适用于 刚体，不适用 于流体、弹性 体等非刚体物
大学物理刚体力学课件
— 角动量定理的积分形式 三、刚体对转轴的角动量守恒定律
dLz d Mz ( J ) dt dt dLz ， 0L M z 0 ，则 z dt
若
J 恒量
— 角动量守恒定律
小结：质点运动与刚体定轴转动的对照表（一） 质点运动
速度 加速度 力 质量 动量 牛顿第二定律
刚体定轴转动
小结：刚体定轴转动与质点运动的对照表（二）
质点运动
动量定理 动量守恒定律 动能 功 动能定理
刚体定轴转动
角动量定理
F dt m v m v 2 1
Mdt J
2
J1
F 0, mv 恒矢量
1 2 mv 2
角动量守恒定律
M 0, J 恒量
转轴沿着直
并与盘面垂直
1 2 J mr 2
1 2 J mr 4
球体
转轴沿着切
球体
转轴通过球
心
2r
线
2 2 J mr 5
7 2 J mr 5
两
一、平行轴定理
个
定
理
如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为 J C ，那么对与此轴平行 的任意轴的转动惯量可以表示为
J J C md 2
m 是刚体的质量，d 是两平行轴之间的距离。 式中：
zi i i
O
ri
Δ mi
vi
整个刚体对Z轴的角动量为 Lz
l
dt
zi
( ri mi ) J
2
二、刚体对转轴的角动量定理 d d 根据转动定理 M z J J ( J )
dt
Lz J
dLz d M z ( J ) dt dt
《刚体力学》课件
刚体的转动
总结词
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。
详细描述
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。在转动过程中，刚体上任意一点绕着转动中心 作圆周运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到转动中心的距离相等。转动刚体的角速度、角加速度等都是标 量，其方向与转动方向相关。转动刚体的速度和加速度都是矢量，其方向垂直于转动平面。
《刚体力学》ppt课件
目录
• 刚体运动学 • 刚体动力学 • 刚体的平衡 • 刚体的转动惯量 • 刚体的角动量
01
刚体运动学
刚体的平动
总结词
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。
详细描述
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。平动刚体的运动轨迹是一条直线或一个平面图形，其上任意两点的相对位置保持不变。平动刚体的 速度和加速度都是矢量，其方向与平动刚体的移动方向一致。
描述了刚体绕质心转动的动量表现，是刚体动力学中的一个重要概念。
详细描述
动量矩是描述刚体绕质心转动的动量表现的一个物理量。在刚体动力学中，动量 矩是一个非常重要的概念，它与力矩、角速度和时间等物理量密切相关。根据动 量矩的定义，刚体的动量矩等于刚体的质量与角速度的乘积。
刚体的动能
总结词
描述了刚体运动过程中能量的表现形式 ，是刚体动力学中的一个重要概念。
刚体的定点运动
总结词
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。
详细描述
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。 在定点运动过程中，刚体上任意一点绕着动点作圆周 运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到动点的距 离相等。定点运动的角速度、角加速度等都是标量， 其方向垂直于转动平面。定点运动的刚体上任意一点 的线速度和角速度都与该点到转动轴的距离成正比。
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称为角位移，代数量。
o
平均角速度
t
瞬时角速度
lt im 0t t
即
d 对运动方程求一阶导数。
dt
.
固定轴
t
p
x
刚 体
单位 弧度
或 rad
秒
s
矢量性
角速度 可以定义为矢量，以
表示，
它的方向规定为沿轴的方向。其指向用右
手法则确定。
在定轴转动中，因为角速度仅有两个方
向，故可用代数量来表示其矢量性。具体做
dt
其他关系式
0
t
s
V0t
1 2
at2
V2V0 22as
0t
1 2
t2
20 22
.
四 角量和线量的关系 如图示，刚体上一点绕轴在与刚体的轴
r 相垂直的平面内做圆周运动，P半径为 。
该点速度为 V r
加速度
切向加速度
at
dV dt
d
r
dt
r
d
dt
r
法向加速度
an
V r
2
பைடு நூலகம்
2
r
a
a a 2
2
研究力矩 M与角加速度间的定量关系。
设一刚体定轴转动中，在刚体上取一小块，
r 质量为mi，到轴的垂直距离为 i。
内力 f i
F 外力 i
据牛二 律
F ifi m ia i
f
i
ri
Fi
mi
为简单其见，设二力的作用线在与轴
垂直的平面内。
法向分量式： F in fin m ia in m i 2 ri
t
n
.
固定轴
a
r
an p
V at
例题
例 2—1 刚体定轴转动的运动方程为 24t3，求:
1 t 2s时的 和 ；
2 t 2s时，r0.1m处的 a n ，a t 和 a。
解：
1
d
12t2
d 24t
t 2s时
dt
48rads
dt
48rads2
2 Vr4.8ms
an2r2.3 12m 0s2
atr4.8ms2
a an 2at23.3 120s2
.
***矢量关系
矢量式
刚体上一质点的速度
V
r
大小 V
方向向内:
沿
rsirn方向.
R
V
o R
r
o
刚体上一质点的加速度
a dV d r
d
r
dr
drt dt V
dt
dt
.
第二节 刚体定轴转动定律
问题的提出：
当质点运动或刚体平动时，V 是运动状态，a是运动状态的变化
变化，是时间 t的函数， t 一定，
则刚体的位置确定（或曰刚体上的所
有质点的位置确定）， t 变化，说明 刚体的位置变化。 因而，用 t
可确定刚体的位置。
t
为刚体定轴转动的运动方程。
如同质点一维运动时的 x.xt
固定轴
t
p
x
刚 体
二 角速度
设t
t
t t tt
则 t t t
固定轴
刚 体
三 刚体更复杂的运动形式：平面平行运动，定点转动，举例
说明（略讲)。
.
定轴转动
.
平动
.
.
.
.
.
第 二 节 刚体定轴转动运动学
一 刚体定轴转动的运动方程
如图，一刚体定轴转动，如何确
定该刚体的位置。在固定轴上固结 ox
轴。
设想在刚体上有一直线 op，在刚
o
体转动中，op与 ox的夹角 t 不断
1 该式具有瞬时性（解释）。
2 矢量式为 M 合外 M i I
具体用法是：规定一转动方向为正方向，当力矩与规定正方向 一致时，取正；反之取负；当角加速度与规定正方向同向时，取正； 反之取负；通常选择转动的方向（角速度方向）为规定正方向，这 样得到了转动定律的代数式。祥见后面例题分析。
.
第一节 刚体的两种基本运动形式
刚体的两种基本运动形式 一 平动
刚体
水平面
结论：刚体在平动运动中，连接体内的直线在空间的指向总保
持不变，各点具有相同的速度,相同加速度。可按质点力学的规律处
理。
Fi
M
ac
F合外dt d
MVc
.
二 定轴转动
特点：刚体上各点绕轴在 与轴垂直的平面内做圆周运动 。各质点的速度，加速度一般 不同,可按前面的质点运动学处 理.
返回 第二章 刚体定轴转动
本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体—所遵 从的力学规律。刚体可以看成由许多质点组成。在 外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变。因 此，刚体是固体物件的理想化模型。
名句赏析
花径不曾缘客扫，
音乐
.
蓬门今始为君开。
内容提要
刚体定轴转动运动学 转动定律 刚体定轴转动能定理，功能关系 角动量原理 角动量守恒定律
，原因是
a
F
即合力 F是产生加速度 a的原因。
在刚体定轴m转动中， 转动状态， 转动状态变化，角加速度
产生的原因是什么呢?本节回答此问题。
一 力矩
力的作用线在轴垂直的平面内,力对水平轴 o的力矩为
MrF
o
F
r
定轴
刚体
.
oM
rr
F1
F
定轴
F2
分解力F，力对水平轴o的力矩 MrF1 ，则力矩可记为
反之取负，详见后面例题分析。
由运动方程t可得 , ，
, 均为代数量。
.
对匀变速转动的特殊情形
若
恒量
则有 0t
0t
1 2
t2
2022
.
质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较
运动方程 xxt
运动方程 t
dx
速度
V
dt
角速度
d
dt
加速度 a dV dt
其他关系式 V V0at
角加速度 d
法是：规定一转动方向为正方向，当角速度
与其同向时，取正；反之取负，详见后面例 题分析。
刚 体
.
三 角加速度
若 是变化的，同理得瞬时角加速度.
固定轴
d
dt
或
d 2
dt 2
t
o
p
单位 弧度 或 rad
矢量式为
秒2
ds2
减速转动
dt
同样，在定轴转动中，角加速度仅两个
加速转动
x
刚 体
方向，当角加速度与其同向时，取正；
1
切向分量式： F i t fi t m ia i t m iri
2
由于本题的讨论中心是角加速度与力矩的关系，而第二式含
有 ，故仅讨论第二式。
.
2ri得
Fitrifitri m iri2
对整个刚体求和
N
N
F it r i f rit i
i 1
i 1
F it
r
f it
N
m
i
r
2 i
i 1
N
f r 0 因
it i
解释原因
i1
mi
Fr m r m r N
N 2
则
it i
ii
i 1
i 1
N i 1
2 i i
N
M Fr 令
合外力矩
it i
i1
.
I
mr N
i1
2 i i
结论
M 合外 I
I 式中 称为转动惯量。M合为刚体受外力矩的代数和。
上式表示的内容为转动定律。 说明：
方向：矢沿量轴式，与r和M M F 均 垂r 直r 。 s F F in
若力的作用线不在与轴垂直的平面内，则把力沿轴与轴垂直的
方向分解：作用线沿轴的分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂
直的平面内的力的力矩可用以上方法来分析与计算。
平行转动轴的分力的力矩平行于转动轴，不会产生轴向力矩。
.
二 刚体定轴转动定律