大学物理力学课件

单个质点绕定轴转动的转动转量 I = mr 2
质量连续分布的刚体的转动转量 I r2 dm
转动惯量与刚体的几何形状, 质量密度的分布以及转轴的位置有关。
转动定律： M I
例：质量为m，长度为l的均匀细棒的转动转量：
（1）转轴过端点
I端

1 3
m 2
dx

（2）转轴过中点
I中

1 12
一. 动量 动量守恒定律
1. 质点的动量定理
由F ma m dv d (mv) dp dt dt dt
✓作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
分量表示式
t2 t1
Fxdt

mv2 x

m v1 x
t2 t1
Fydt

mv2 y

m v1 y
t2 t1
Fzdt

m v2 z
➢对于定轴转动，和都沿轴向，
故可以用代数量来表示 。正负代表
矢旋量方方向向为。取逆和 时的针正旋方转向的。右手螺
0

0
0

0
0, 0 .
0, 0 .
二. 力矩
➢力的大小F和力臂d的乘积，叫做力F对转轴的力矩，即
M

r
F
单位：N·m;
F2
32

3 F3
对m2:
对m3:
t2 (F2
t1t2
F21

F23)dt


m2v2t2


m2v2t1

t1 (F3 F31 F32)dt m3v3t2 m3v3t1
三式相加，由于成对的内力互相抵消,故内力的冲量抵消
t2
t1
(F1
三. 转动定律 转动惯量
对任意的质量元mi:
Fi切向 miai切向
Mi ri Fi切向 rimiai切向
z
Fi切向
O ri mi
Mi ri2mi M ri2mi ( ri2mi )
转动惯量I(或J)的定义：I ri2mi 单位：kg·m2
力矩是矢量，其大小为

M

F
Od r

P
M = F r sinθ
M的方向垂直于r和 F所构成的平面。
满弯足曲右的手方螺向旋 是关 由系 径矢：把r右通手过拇小指于伸18直0°，的其角余θ四转指向弯力曲F的，
方向，这时拇指所指的方向就是力矩的方向。
几个力的合力矩为这几个力的力矩的矢量和; 刚体内各 质点间的内力矩相互抵消，故合内力矩为零。
dt dt
dt
t2 Mdt L2 L1
t1
即物体绕定轴转动时合外力矩的冲量矩 （或角冲量）等于物体角动量的增量
或写为
t2
Mdt I22 I11
t1
4. 物体定轴转动的角动量守恒定律
x
y
z
A x0 Fxdx y0 Fyd y z0 Fzd z
❖注意：a、功是过程量，通常是与路径有关的。
b、功是标量，有正负。
c、合力的功为各分力的功的代数和。

例: 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N )
在下列情况下求质点从 x1 2(m) 处运动到
其中
a

dv dt
,
an

v2

n0
0
O
五. 圆周运动的角量描述(极坐标系中)
v2
B v1
R s A



角位置(或角坐标）
沿逆时针转动，取正值，
沿顺时针转动， 取负值。
角位移
O
X (极轴)
1. 角速度
lim d t0 t dt
2.角加速度(或 ）
力学导论
两个模型：
❖质点 质点运动学、质点动力学 ❖ 刚体 刚体定轴转动
❖ 第一节 质 点 运 动 学
一. 位 矢 （或位置矢量，或矢径）
1. 位矢 r
z
从坐标原点指向P点的有向线段
P(x,y,z) γr
2.
位矢在直角坐标系中的数学表示
r
xi
yj
zk
x
α
β
y
大小（或模）：r r x2 y2 z2
内容总结
1.
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
2.
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
3.
a
dv
dv x
i
dv y
dt dt dt
j
dvz
k
dt
4. d
dt
5. d
dt
6. ds Rd , v R, a R
四. 加 速 度
1. 加速度
a
dv dt
d 2r dt 2
2. 加速度在直角坐标系中的数学表示
a
dv dt
dvx dt
i
dvy dt
j
dvz dt
k axi ay j azk
3. 加速度在自然坐标系中的数学表示
a
a0

ann0
S O′
v2
30o
45o
n
v1
解：取球为研究对象,由于作用时间很短,忽略重力影响

I
F
dt

mv2

mv1
取坐标系，将上式投影，有：
Ix Fxdt mv2 cos 30 (mv1 cos 45)
y v2
Fxt
O
I y Fydt mv 2 sin 30 mv1 sin 45
30o
45o x n
Fyt
v1



I I xi I y j 0.061i 0.007 j N s
2
2
Fx 6.1N Fy 0.7N F F x F y 6.14N
tan Fy Fx 0.1148 6.54 为平均冲力与x方向的夹角。
2 2


1 2
mnvn2
n

i 1
1 2
m
ivi2

n

i 1
1 2
m
i
(ri
)2

1
(
n

2 i1
m iri2
) 2

1 2
I 2
➢刚体的转动动能
Ek

1 2
I 2
五. 角动量 角动量守恒定律
m n m 1
rn r1
r2 m 2
o r v
m
1. L质点mr对原m点vO的角大动小量L(或 r动mv量s矩in)定义为
d d 2
dt dt 2
单位：rad/s 单位：rad/s2
3. 角量与线量之间的对应关系
ds Rd v R
a R
v ds R d R dt dt

a

dv dt

R
d dt

R
an

v2 R

R2

第二节 质 点 动 力 学
定轴转动：各质元均作圆周运 动，其圆心都在转轴上。
各质元的线速度、加速度 一般不同，但角量（角位 移、角速度、角加速度） 都相同
转动平面
描述刚体整体的运动用角量最方便。
P

X
参考 转轴 方向
一、刚体定轴转动的角速度和角加速度
1. 角速度
d
dt
单位：rad/s
2.角加速度(或 ）


d
dt

d 2
dt 2
单位：rad/s2

P
o

x
参考方向
3. 角量与线量之间 的对应关系
v r a r
➢
和
v

均是矢量：的方向可由右手法则确定：把右手
的方向拇一指致伸，直这，时其拇余指四所指指弯的曲方，向使就弯是曲角的速方度向与刚的体方转向动。
的方向与 d v 一致
3、动量守恒定律

若 Fi外 0 则有
n mivvi2 n mivvi1 0
i 1
i 1
✓ 一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或 合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换， 但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律
在应用动量守恒定律时应该注意以下几点： (1)有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力 相比小得多，这时可以略去外力对系统的作用，认为 系统的动量是守恒的。如碰撞、打击、爆炸等。
F2

F3)dt

(m1v1t2

m2v2t2

m3v3t2
)

(m1v1t1

m2v2t1

m3v3t1 )
一般言之：设有n个质点，则：
t2
t1
n i 1
v Fi外
dt

n i 1
mivvi2

n i 1
mivvi1
上式表明：作用于系统合外力的冲量等于系统 动量的增量
s
三. 速 度 1. 平均速度
v r t
P2
vdr v r
2. （瞬时）速度
P1

r dr
v lim
t0 t dt
3. 速度在直角坐标系中的数学表示
v
dr dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi
vy
j
vzk
✓作用于物体上的合外力的冲 量等于物体动量的增量
8.
t2
t1

n
Fi外
dt
i 1

来自百度文库

n mivit2
i 1

n mi vi t1
i 1
上式表明：作用于系统合外力的冲量等于系统动
量的增量
二、 功A(或W）
F
F
1. 质点作直线运动时恒力
所作的功
A=Fcos S

M
M
➢力对质点所作的功为力在质点位移方向 S
的分量与位移大小的乘积。（功的定义）
2、dAA质点F作ab c曲Fos线d运drs动时F变 d力r所作的d功r
F
b

直角坐标系中 F Fxi Fy j Fzk
adr
dxi
dyj
dzk
2. 刚体绕定轴转动的角动量 任一质量元 mi 对定轴的角动量为rimivi
刚体绕定轴的角动量为 L I
rimivi ri2mi ( ri2mi ) I
z vi
O
mi ri
3. 物体绕定轴转动的角动量定律
dL d(I) I d I M
x2 2ydx y2 4dy
x1
y1
2.25
4y x6
1
A1
3 x2 dx 2 2
2.25
4dy 10.8J
1
2 O 3 X
31
2.25
A2
(x 6)dx 2 2
1
4dy 21.25J
作功与路径有关!
第三节、 刚 体 定 轴 转 动
m 2
O
x
x
解：d m

m
d
x
2
I端
x2 d m
0
0
m
x2
d
x

1 3
ml 2

dx 2 Ox x
I中
l
2 x2 d m
l2
l 2 l2
m
x2
d
x

1 12
ml 2
四. 刚 体 的 转 动 动 能

Ek

1 2
m
1v12
1 2
m
2v

m v1z
2. 质点系的动量定理
F 受受设内外有力力三：：个F质12F点1F2系1 F2mF113、mFF3231、mF332
F23

F1

F12
F21
23
m1
F13 F31
m F m 对m1:
t2
2

t1 (F1 F12 F13)dt m1v1t2 m1v1t1
(2)如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力 在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量 虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。
(3)动量守恒定律是物体学最普遍、最基本的定律之 一;动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立。
例: 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速 率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速 率飞出。设两速度在垂直于板面的同一 平面内，且它们与板面法线的夹角分别 为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲 量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施 于球的平均冲力的大小和方向。
方向： cos x/ r, cos y / r, cos z / r
且有 cos2 cos2 cos2 1
二. 位 移
1.
位移：
r
r2

r1
z
质点从起端指向末端的有向线段，
或质点在Δt时间内位矢的增量 x
P1 ΔS
P2
r1
r r2
r
y
2.
r位1 移x1在i直y1角j 坐z标1k系中的r数2 学x表2i示
y2
j
z2k
r
( x2

x1)i
( y2

y1)
j
(z2

z1)k
即
r
xi
yj
zk
思考：注意这几个量之间的区别
r
, r r2 - r1 ,
x2 3(m) 处该力作的功：
Y x2 4y
(1). 质点的运动轨道为抛物线
2.25
x2 4y
4y x6
1
(2). 质点的运动轨道为直线 4y x6
2 O 3 X
解：A
b a
Fxdx Fydy Fzdz
F 2 yi 4 j(N )
Y x2 4y