八种有趣模型——搞定立体几何中外接球和内切球问题
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球以及内切球
八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有同样的外接球 .3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各极点的距离均相等. （类比：与多边形的内切圆） .3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 .5．基本方法：（1）结构三角形利用相像比和勾股定理；（2）体积切割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体有关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型种类一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的地点即可求出球半径）P P Pcc cA b C C Cab bAAaB a B B图1-1图1-2图1-3PcB baAC图 1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2a2b2c2，即 2Ra2b2c2，求出 R例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．16202432（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC中，且AM MN,若侧棱SA 2 3锥S ABC外接球的M 、N 分别是棱 SC、 BC 的中点，, 则正三棱S 表面积是.A C 解：引理：正三棱锥的对棱相互垂直 .H6取 AB,BC 的中点 D, E ，连结 AE,CD ， AE,CD 交于H，连结SH，则 H 是底面正三角形ABC 的中心，平面 ABC ， SH AB ，SH， AD BD， CD AB， AB平面 SCD ，AC BCAB SC ，同理： BC SA， AC SB，即正三S棱锥的对棱互垂直，M此题图如图（3）-2 ，AM MN ，SB// MN ，SB， AC SB ，A C AM SB平面 SAC ，N ，，，，BSASB SC SA BCSB SB SA(3)题-2（解答图）平面 SBC ， SA SC，SA故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两相互垂直，，即 4R236 ，正三棱锥S ABC外接(2R) 2(2 3)2(2 3)2(2 3)236球的表面积是36.（4）在四周体S ABC 中，SA平面 ABC ， BAC120 , SA AC 2, AB 1,则该四周体的外接球的表面积为（）1040C . D.33（5）假如三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、 3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图以下图，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为种类二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四周体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB CD ， AD BC ， AC BD ）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b, c ，AD BC x ，AxDy y cz zxCa bB图 2-1AB CD y，AC BD z，列方程组，a 2b 2x2x2y 2z2b2c2y2(2R)2a2b2c2，c2a2z22增补：图 2-1中，V A BCD abc1 abc 41 abc .63第三步：根据墙角模型， 2R a 2b2c2x2y2z2，222222x y z，R x y z，求出R.R288例 2（1）以下列图所示三棱锥ABCD，此中AB CD 5,AC BD 6,AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为.AB DC(1) 题图（2）在三棱锥A BCD中，AB CD 2， AD BC 3， AC BD 4，则三棱锥 A BCD外接球的表面积为.（3）正四周体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（4）棱长为2的正四周体的四个极点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面以下列图，则图中三角形 ( 正四周体的截面 ) 的面积是.(4)题种类三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1C1A1O2F A1O2B1B1OOC CA O 1E A O 1BB图 3-1图3-2C1A1FO2B1OCA O1EB图 3-3题设：如图 3-1 ，图 3-2 ，图 3-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面能够是随意三角形）第一步：确立球心O 的地点，O1是ABC的外心，则OO1平面 ABC；第二步：算出小圆 O1的半径 AO1r ，OO11AA11h（ AA1h 也是22圆柱的高）；第三步：勾股定理：2222h222h2，OA O1 A O1O R( 2)r Rr(2)解出 R.例 3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为3，则8这个球的体积为（ 2）直三棱柱ABC A1 B1C1的各极点都在同一球面上，若AB AC AA12,BAC 120，则此球的表面积等于.（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直， EA EB 3, AD 2, AEB 60 ，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为.（ 4）在直三棱柱ABC A1 B1C1中， AB 4, AC 6, A, AA1 4 ，则直3三棱柱 ABC A1 B1C1的外接球的表面积为.第二讲锥体背景的模型种类四、切瓜模型（两个大小圆面相互垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）PPPPO O OA O1A O11A AC O C C CB B B B图 4-1图4-2图 4-3图 4-41．如图 4-1 ，平面PAC平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径），且 P 的射影是 ABC 的外心三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点解题步骤：第一步：确立球心 O 的地点，取 ABC 的外心O1，则P,O, O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径 AO1r，再算出棱锥的高 PO1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： OA2O1 A2O1O 2R2(h R)2r2，解出R；事实上， ACP 的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出 R.2．如图 4-2 ，平面PAC平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径），且 PA AC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r ) 22R PA2(2r ) 2；② R2r 2OO12R r 2OO123．如图 4-3 ，平面PAC平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径）OC 2O1C 2O1O 2R 2r 2O1O 2AC 2 R2O1O 24．题设：如图 4-4 ，平面PAC平面ABC，且AB BC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 O 必是 PAC 的外心，即 PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC 2r ；第二步：在PAC 中，可依据正弦定理ab csin A sin B 2R ，求sin C 出 R .例 4 （1）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 2 3 ，则该球的表面积为.（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各极点都在同一球面上，则此球体积为（3）一个正三棱锥的四个极点都在半径为1的球面上，此中底面的三个极点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．3 3B．3C． 3D． 3 43412（4）在三棱锥P ABC 中，PA PB PC 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A． B. C.43D. 43（5）已知三棱锥S ABC的全部极点都在球O的求面上, ABC是边长为1的正三角形 , SC为球O的直径 , 且SC 2 ，则此棱锥的体积为（）A．2B．3C．2 663D．22种类五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图 5，PA平面ABC，求外接球半径 .POCA O1DB图 5解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连结 PD ，则 PD 必过球心 O ；第二步： O1为ABC的外心，因此 OO1平面ABC，算出小圆 O1的半径 O1D r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a b c2r ）， OO11 PA；sin A sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r ) 22R PA2(2r ) 2；② R2r 2OO12Rr 2OO12.2．题设：如图 5-1至 5-8 这七个图形，P的射影是 ABC 的外心三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点也是圆锥的极点 .PPPO O OC C CO1O1AO1A ABB B图 5-1图5-2图 5-3 POCA O1DB图 5-4PP PAAAO 2BCO 2O 2DBCDBO OO图 5-6图5-8解题步骤：第一步：确立球心点共线；第二步：先算出小圆（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：O1的半径OA2O 1 A2ABC的外心 O 1，则 P,O, O 1 三r，再算出棱锥的高 PO 1hR 2 (h R)2 r 2，解出 R方法二：小圆直径参加结构大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径 .例 5 一个几何体的三视图以下图，则该几何体外接球的表面积为 ( )A ． 3B ． 222 22C ．162 23正视图侧视图D ．以上都不对俯视图AO 1O 1O 2O 的地点，取 图5-7第三讲二面角背景的模型种类六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一同，或菱形折叠(如图 6)A'OH 2DH 1A E CB图6第一步：先画出如图 6 所示的图形，将找出 BCD和 ABD的外心H1和H2；第二步：过 H 1和 H 2分别作平面BCD和平面垂线的交点即为球心 O ，连结OE , OC；第三步：解OEH 1，算出OH 1，在BCD 画在小圆上，A BD 的垂线，两222Rt OCH1 中，勾股定理：注：易知 O, H 1 , E, H 2四点共面且四点共圆，证略.17例 6（1）三棱锥P ABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC 均为边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为.（2）在直角梯形ABCD中，AB // CD，A 90，C 45，AB AD 1，沿对角线 BD 折成四周体 A BCD ，使平面 A BD 平面 BCD ，若四周体 A BCD 的极点在同一个球面上，则该项球的表面积为（3）在四周体S ABC中，AB BC，AB BC 2 ，二面角S AC B 的余弦值为33，则四周体 S ABC 的外接球表面积为（4）在边长为2 3的菱形ABCD中，BAD 60，沿对角线BD折成二面角 A BD C 为120的四周体 ABCD ，则此四周体的外接球表面积为（5）在四棱锥ABCD中，BDA 120，BDC 150，AD BD 2，CD 3 ，二面角 A BD C 的平面角的大小为120，则此四周体的外接球的体积为种类七、两直角三角形拼接在一同 ( 斜边同样 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 ) 模型PBCOA图 7题设：如图 7，APB ACB 90，求三棱锥P ABC外接球半径（剖析：取公共的斜边的中点O，连结OP,OC，则OA OB OC OP 1AB ，O为三棱锥P ABC外接球球心，而后在2OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小没关，只需不是平角球半径都为定值 .例 7（1）在矩形ABCD中，AB 4，BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ，则四周体 ABCD 的外接球的体积为（）A． 125B． 125C． 125 1296 D． 1253（2）在矩形连结 AC为ABCD 中， AB 2 ，BC 3 ，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，，所得三棱锥 A BCD的外接球的表面积．第四讲多面体的内切球问题模型种类八、锥体的内切球问题1．题设：如图 8-1 ，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其内切球的半径 .第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心；PEOA CDHB图 8-1第二步：求DH 1 BD ，PO PH r，PD是侧面ABP的高；3第三步：由POE 相像于PDH ，成立等式：OE PO，解出rDH PDP2．题设：如图 8-2 ，四棱锥P ABC是正GO四棱锥，求其内切球的半径ADBHFC 图8-2第一步：先现出内切球的截面图，P,O, H 三点共线；第二步：求 FH1BC，PO PH r ， PF 是侧面 PCD 的高；2第三步：由POG 相像于PFH，成立等式：OG PO，解出HF PF3．题设：三棱锥P ABC是随意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面组成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：V P ABC V O ABC V O PAB V O PAC V O PBCV P ABC 11111r S ABC r S PAB r S PAC r S PBC r( S ABC S PAB S PAC S PBC ) 33333第三步：解出 r3V P ABCSO ABC SO PABSO PACSO PBC例 8 （1）棱长为a的正四周体的内切球表面积是（2）正四棱锥S ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 3 ，则其内切球的半径为（ 3）三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， PA 底面 ABC ， PA 2 ，则该三棱锥的内切球半径为习题：1．若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为（）A.3B.6C.36D. 92．三棱锥S ABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形， SA 2 3 ，则该三棱锥的外接球体积等于.3．正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为 3 的正三角形，侧棱长为 2 ，则该三棱锥的外接球体积等于.4．三棱锥P ABC中，平面PAC平面ABC，△PAC边长为2的正三角形， AB BC，则三棱锥 P ABC外接球的半径为.5．三棱锥P ABC中，平面PAC平面ABC，AC 2，PA PC 3，AB BC，则三棱锥P ABC外接球的半径为.6．三棱锥P ABC中，平面PAC平面ABC，AC 2，PA PC，AB BC，则三棱锥P ABC外接球的半径为.。
八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题高考资料高考复习资料中考资料
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2R a2b2c2，求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9解：（1）V a2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24，选C；（2）4R23339，S4R29（3）在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN,若侧棱SA23,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是。
36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SH AB，AC BC，AD BD，CD AB，AB平面SCD，AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，AM MN，SB//MN，AM SB，AC SB，SB平面SAC，SB SA，SB SC，SB SA，BC SA，SA平面SBC，SA SC，故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，正三棱锥S ABC外接球的表面积是361自信是迈向成功的第一步（4）在四面体 S ABC 中， SA 平面ABC ， BAC120 ,SA AC 2, AB 1, 则该四面体的外接10 40 球的表面积为（ D ）A.11B.7C.D.33 （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC 中， BC 2 AC 2 AB 2 2AB BCcos1207 ，BC7 2 7 BC7 ， ABC 的外接球直径为 2r，sin BAC3 322 7 40 (2R)2 (2r)2SA 2()24 ，33 40 S ，选D 3（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c （ a,b,c R ），则ab bcac128 6 ，abc24 ， a 3，b 4， c 2 ， (2R)2 a 2 b 2 c 2 29， S 4R 229 ，（6）(2R)2 a 2 b 2 c 23 ，3 R 2， 4R3 24 343 3 3VR，33 8 2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图 5， PA平面 ABC解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心O ；第二步： O 为ABC 的外心，所以OO 平面 ABC ，算出小圆O的半111径O D r1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a sin Ab c12r），O O1 PA；sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22R PA2(2r)2；2自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的② R 2rOO22 1R r 2OO2 12．题设：如图 6，7，8，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心O ，则1P,O,O 三点共线；1第二步：先算出小圆 O 的半径 AOr1，再算出棱锥的高 PO 1h （也是圆锥的高）；1第三步：勾股定理：2O A O O 2OA2R 2 (h R)2 r 2 ，解出 R11方法二：小圆直径参与构造大圆。
完整版八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同;3 :长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之， 就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球 .（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（ 四、 与台体相关的，此略.3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、 内切球的有关知识与方法 若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直 .（与直线切圆的结论有一致性）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 的内切圆）.正多面体的内切球和外接球的球心重合 . 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.基本方法：1. 2. 3. 4. 5. .（类比：与多边形一、 有关定义球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球 外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 体，这个球是这个多面体的外接球. 内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 这个球是这个多面体的内切球 . 二、外接球的有关知识与方法 1.性质：1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理） ；4 :球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中， 两相交弦的中垂线交点是圆心）.1. 2. 3. 性质性质性质性质 性质则称这个多面体是这个球的内接多面 则称这个多面体是这个球的外切多面体,2.结论: 结论 结论 结论 结论 结论 结论 结论 结论 结论 4: 5: 6: 7: 8: 9: 等体积法）.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）-4-图1-1 图1-2 图1-4方法: 找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R ）2b2c2，即2R V a2b2c2，求出例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B . 20 C . 24体积为16，则这个球的表面积是（.32解: V a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h2 4 16 24，S 24 ，选C;(2) 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是解: 4R2 3 3 3 9, S 4 R29在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN ,若侧棱SA 243 ,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是36解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1 ,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH 平面ABC : , SH AB,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面SCD,AB SC,同理：BC SA , AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2 ,AM MN , SB//MN ,AM SB, AC SB, SB 平面SAC,SB SA, SB SC, SB SA , BC SA ,SA 平面SBC, SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2'(2J3)2(273)2 (273)2236 ,即4R 36, 正三棱锥S ABC外接球的表面积是36 .C（3）题-1（引理）C⑶题-2 （解答图）sin（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为（4）在四面体S ABC中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为（D）10 40A.11B.7C.—D.3 3解：在ABC 中，BC2AC2AB22AB BC cos120 7 ，BC 眉，2r -BC 2刀2 2SA2(29)240f—?(2R) (2r) 4 ，ABC的外接球直径为解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c ），则abbc12abc 24，a 3，b 4，c 2，(2R)2 a2 b2c229，S 4 R229 ac（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为解：（2R）2b2 c2R2V s2C类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；CD，AD BC，AC BD)第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD BC x，AB CD AC BD z，列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z2(2R)a2 b2 c2x2z2图2-1补充：2-1 中, V A BCDabc 1abc6i abc.那么它的外接球的表面积是2第三步：根据墙角模型，2R Ja 2 b 2R 2求出R . 思考：如何求棱长为a 的正四面体体积, 如何求其外接球体积? 例2 (1)如下图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为 ________________ . 解：对棱相等，补形为长方体，如图 2 2 2 2a b c 55， 4R55， 2-1，设长宽高分别为a,b,c ， 2(^ b? S 55 c 2) 25 36 49 110(2)在三棱锥A BCD 中, 球的表面积为AB 29 解: 如图 2-1， b 2 b 2D(1)题图 CD 2，AD BC 3，AC BD 4，则三棱锥 BCD 外接设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长, 设长宽高分别为 a,b,c ， 2b 292 2 “ c a 16 2(a 2 2 2 b c ) 9 4 16 2 2 29， 2(a b c 2) 91629，29，4R 2229 2正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中,2R ，7343^3 RI 3，V3 TV 3(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）例3 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的半径为正六棱柱的底面积为 S球的表面积等于⑷题（4）题解答图c/J --6解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO i ，面积是题设：如图3-1 , 任意三角形） 图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 第一步：确定球心 O 的位置，01是 ABC 的外心，则001平面ABC ；第二步：算出小圆1 1O 1 的半径 AO 1 r , OO 1 -AA 1 -h 2 2（AA ] h 也是圆柱的咼）； 第三步：勾股定理:OA 2O 1A 2O 1O 2R 2 (-)2 r 22 R j r 2 （号）2，解出Rh 43, 4R 212 (73)2 4也可R 2（也）2（丄）22 21), R 1,球的体积为V 球 —球3（2）直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA 2 , BAC 120，则此1O i图3-3解：BC2J3 , 2r 2巧4, r 2, R 45, S 20 ；sin 120（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直, EA EB 3, AD 2, AEB 60，则多面体E ABCD的外接球的表面积为解：折叠型, 16D法一: EAB的外接圆半径为r, 灵，OO i法二: O i M 鱼,r2 02D216法三: 补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式, 算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径:(2R)2(2V3)22216, S表16 ；（4）在直三棱柱ABC ABQ,中, AB 4, AC 6, A -,AA14，则直三棱柱3ABC A i B i C i的外接球的表面积为1603解: 法一: BC216 36 t—2寸728 , BC 2^7 , 2r 斗2 W773，r2U773，R2r2(AA1)2228 431603法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法）图4-2图4-11.如图4-1，平面PAC 平面ABC，且AB 心三棱锥P ABC的三条侧棱相等锥的顶点.解题步骤：BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是三棱P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点ABC的外P点也是圆第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心01，则P,0,01三点共线;第二步：先算出小圆01的半径A01 r，再算出棱锥的高PO1 h （也是圆锥的高）；2 第三步：勾股定理： OA 2 O 1A 2 O 1O 2 R 2 （h R ）2 r 2，解出R ；事实上，ACP 的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R .2.如图4-2，平面PAC 平面ABC ,4.题设：如图 4-4，平面 第一步：易知球心0必是 第二步：在PAC 中，可根据正弦定理sin A 且AB BC （即AC 为小圆的直径）PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;旦亠2R ，求出R .sin B sin C例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2J 3，则该球的表面积为 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理,2R 7, S 4 R 249（2）正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 42，各顶点都在同一球面上，则此球体积为接球的体积为（（5）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球径,且SC 2，则此棱锥的体积为（利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)22 2PA (2r)丨 2 22R p PA (2r);② R 2 r 2 OO 12 R OO 12 3.如图4-3，平面PAC平面 ABC , 且AB BC （即AC 为小圆的直径）OC 2 O 1C 2 O 1O 2 R 2 r 2 O 1O 2AC 2j R 2O 1O 2A . B.C.4D.解：选D,由线面角的知识，得ABC 的顶点 A, B,C 在以 —为半径的圆上，在圆锥中求解，R 1 ;且AB BC （即AC 为小圆的直径），且PA AC ，则 平面ABC , PAC PAC 的外心，即 解：方法一：找球心的位置，易知r 1 , h 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2, R 1 , V ——.3（3） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 三棱锥的体积是（ A .症4）旦C3 1,底面外接圆的半径为设底面边长为a ，则2R 」一sin 60（4）在三棱锥P ABC 中，PAPB 4 V ——3SACRt SAC1, h r ，故球心在正方形的中心 ABCD 处，R 1,1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正41,直径为 43, SPC 2R 122,2也，三棱锥的体积为V -Sh4 3 4J 3 ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ,则该三棱锥外0的求面上, ）AABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直B.解：OO1J R2 r246 276 1 -Sh3类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1•题设：如图5，PA 平面ABC，求外接球半径.解题步骤: 第一步：将ABC画在小圆面上, 球心0 ;A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD , 连接PD ,则PD必过第二步: O i为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O i的半径O i D r （三角形的外接圆直第三步:径算法：利用正弦定理，得asinAb csin B sinC2r ),001 -PA ；2利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① 2 2(2R)2 PA2(2r)22R J P A2(2r)2；② R2 r2 OO12R J r2OO,.2•题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是ABC的外心三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面顶点.ABC在圆锥的底上, 顶点三棱锥PP点也是圆锥的ABC的第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心O i，则P,O,O i三点共线;第二步: 先算出小圆01的半径A01r，再算出棱锥的高PO j h （也是圆锥的高）；第三步: 勾股定理：OA2 O1A2O i O2 R2 (h R)2 r2，解出R方法二: 小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示, A. 3 则该几何体外接球的表面积为163()CC. D .以上都不对解：选法一：法二:正视图O俯视图B.P解答图I RC，（勾股定理）利用球心的位置求球半径,R)2 1 R2, R S 4 R2球心在圆锥的高线上,16（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大2圆，于是2R ------sin 604忑，下略;第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）第一步：先画出如图 6所示的图形，将 BCD 画在小圆上，找出 BCD 和 ABD 的外心H 1和H 2 ； 第二步：过H 1和H 2分别作平面BCD 和平面ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O ,连接OE,OC ；第三步：解 OEH j ，算出OH j ，在Rt OCH 1中，勾股定理： OH 2CH ； OC2注：易知0,H I ,E,H 2四点共面且四点共圆，证略例6( 1)三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△ PAC 和△ ABC 均为边长为2的正三角形，则 三棱锥P ABC 外接球的半径为 .解：如图，易知球心在 BC 的中点处，S 表4A解：如图，2r 1 2r 22 sin4馬，r1 r273，O2HR2O 2H2715法二:O 2H,O I HAH 1,R 2 AO 2AH 2O 1H2OQ 2J 15 3(2)在直角梯形 ABCD 中,AB//CD ， A 90， C 45，ABAD 1，沿对角线BD 折成四面体A BCD ，使平面ABD表面积为 _________________ 4平面BCD ，若四面体 A BCD 的顶点在同一个球面上,则该项球的(1)题⑵题-1(2)题-2SC⑶题(3)在四面体S ABC中，AB BC，AB BCL J3J2，二面角S AC B的余弦值为——，则四3面体S ABC的外接球表面积为解：如图，法一: cos SO B cos( OO1O2sinOO i O2血，cos OO1O23OO1O1O2cos OO1O2R2 6法二: 延长BO1到D使DO1 BO1 r1,由余弦定理得SB , SD 42 ,大圆直径为2R SB V6 ;(4)在边长为2J3的菱形ABCD中，BAD 60，沿对角线BD折成二面角A BD C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为28(4)题图解：如图，取BD的中点M , ABD和CBD的外接圆半径为r1ABD和CBD的外心O1 , O2 到弦BD的距离(弦心距)为d1 d2 1法一：四边形OO1MO2的外接圆直径OM 2，R 77，S 28 ；法二: 001法三: 作出CBD的外接圆直径CE,则AM CM 3，CE 4，ME 1，AE 77，AC 343，cos AEC7 16 272 77 4斗，sin AEC 器，2R2^7 2^7ACsin AEC 3132^7，R⑸在四棱锥 ABCD 中，BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD 屈,二面角 A BD C 的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心, c 抽象化 C 、 AB 2屈，r 22，弦心距O 2MBC J 13，AO 1O 2 721, OM 。
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 解： 162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：933342=++=R ，ππ942==R S ；（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ， 则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ，∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ， （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=Rπππ2383334343=⋅==R V 球，类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. (6)题图（6）题直观图P图2-1第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .π229 解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 （3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ∆，面积是2.类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则21=a ，正六棱柱的底面积为833)21(4362=⋅⋅=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R 也可1)21()23(222=+=R ），1=R ，球的体积为34π=球V ； （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .解：32=BC ，4120sin 322==r ，2=r ，5=R ，π20=S ； （3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 .π16 解：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ；法二：231=M O ，21322==D O r ，4413432=+=R ，2=R ，π16=表S ； 法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(222=+=R ，π16=表S ；（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .π3160解：法一：282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，π3160=表S ；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-31．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；（3）题第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，72=R ，ππ4942==R S ；（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，34π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ∆的外接圆，此处特殊，SAC Rt ∆的斜边是球半径，22=R ，1=R ，34π=V . （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．433 B ．33 C ．43 D ．123解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，设底面边长为a ，则260sin 2==aR ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ； （4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.3π C. 4π D.43π 解：选D ，由线面角的知识，得ABC ∆的顶点C B A ,,在以23=r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ； （5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）AA．6 BC．3 D．2解：36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，62362433131=⋅⋅==Sh V 球 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的 三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对解：选C ， 法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-,32=R ,ππ31642==R S ；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3460sin 22==R ，下略；第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)俯视图侧视图正视图解答图图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 解：如图，3460sin 22221===r r ，3221==r r ，312=H O ， 35343121222=+=+=r H O R ，315=R ； 法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ； （2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 π4(2)题-2(2)题-1→A(3)题解：如图，易知球心在BC 的中点处，π4=表S ；（1）题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：33)2cos(cos 211-=+∠=∠πO OO B SO ， 33sin 21=∠O OO ，36cos 21=∠O OO ，22cos 21211=∠=O OO O O OO ，232112=+=R ，ππ642==R S ； 法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ；（4）在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 π28解：如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ， 法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ；法二：31=OO ，7=R ；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ， 4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，72147227167cos -=⋅⋅-+=∠AEC ，7233sin =∠AEC ，72723333sin 2==∠=AEC AC R ，7=R ；(4)题图(5)在四棱锥ABCD 中， 120=∠BDA ，150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，→抽象化(5)题解答图-2(5)题解答图-11B32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ， ∴2121=O O ，72120sin 21==O O OM ，法一：∴292222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴329116π=球V ； 法二：2522222=-=M O OM OO ，∴29222222=+==OO r OD R ，29=R ，∴329116π=球V . 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125解：（1）52==AC R ，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为 ．解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S .第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 62a π，解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2a的正方体中（即补形为正方体），如图，则2622313133a a V V ABCP =⋅==-正方体， 又 r a r a Sr V ABCP 223343314314=⋅⋅⋅=⋅=-，(1)题D图8-1A图8-2∴263332a r a =，62a r =，∴内切球的表面积为6422a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略） （2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为37解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为374=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCDS ⋅+==-328431表， ∴3743284=⋅+r ， 771427)122(7221728474-=-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则32解：如图，3=∆ABC S ，2==∆∆ACP ABP S S ，7=∆BCP S ，743++=表S ，三棱锥ABC P -的体积为332=-ABC P V ， 另一表达体积的方式是r r S V ABC P ⋅++==-347331表， ∴3323473=⋅++r ，∴47332++=r习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 解：【A 】616164)2(2=++=R ，3=R【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 .332π(2)题(3)题B解：260sin 32==r ，16124)2(2=+=R ，42=R ，2=R ，外接球体积332834ππ=⋅ 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V ， 4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：PAC ∆的外接圆是大圆，3460sin 22==R ，32=R ， 5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：973324992cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠PC PA AC PC PA P ，81216)97(1sin 22⋅=-=∠P ，924sin =∠P ，42922992422===R ，829=R 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为 .解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R。
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段,直接用公式（2R ）^ = a 2 b 2 c 2,即2^ = a 2 b 2 c 2 ,求出R 例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ,体积为16,则这个球的表面积是（ C ）A. 16二B . 20二C . 24二D . 32 :（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为-.3,则其外接球的表面积是 ___________________________ 9二解：（1） V =a 2h *6, a =2, 4R 2 =a 2 a 2 h 2 =4 4 16 =24, S =24二,选 C ；（2） 4R 2 =3+3 +3 = 9, S=4^R 2=9X（3）在正三棱锥 S - ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM _ MN ,若侧棱SA = 2、、3 ,则正 三棱锥S-ABC 外接球的表面积是 _________________________ 。
36二解:引理:正三棱锥的对棱互垂直 。
证明如下： 如图（3） -1,取AB,BC 的中点D,E ,连接AE,CD , AE,CD 交于H ,连接SH ,则H 是底面正三角形ABC 的中心，SH _ 平面 ABC , SH_AB , AC 二 BC ,AD =BD , CD_AB , AB _ 平面 SCD ,-AB _ SC ,同理：BC _ SA , AC _ SB ,即正三棱锥的对棱互垂直本题图如图（3） -2, AM _ MN , SB//MN ,AM_SB , AC_SB , SB_ 平面 SAC , SB_SA , SB_SC , SB_SA , BC _SA , SA_平面 SBC , SA_SC ,故三棱锥S ~■ ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直 ，-（2R ）2=（2'・3）2 （2、、3）2 （2、3）2=36,即 4R —36,-正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是 36 ■图1图2PCaB图3OcbCB a才C⑶题-1C⑶题-2(4)在四面体S - ABC 中，SA _平面ABC _ BAC = 120 , SA 二AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球.(2R)2=(2r)2SA 2=(2 7)2 4 二40, S,选 D\ 3 33(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c ( a,b,c ・R '),则ab =122 2 2 2 2be =8 , abc = 24,. a =3, b = 4, c = 2 , (2R)=a b c =29 , S =4二R =29二， ac = 6② R 2 二 r 2 OO/ u R ’r 2 OO 12的表面积为(D ) A.11 ■：(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直 B.7 :10 C.—二,它们的面积分别为6、4、40 D.- 33,那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：(4)在 ABC 中，BC 2 =AC 2 AB 2 -2AB BC cos120l 7.BC =：：；'7 , ABC 的外接球直径为2r BC _ .. 7 sin ZBAC . 3 2一7一40 二(6) (2R)22二 a ■b 2c 2=3, R 23 242434 3<3VR 二 —H------ J T3382类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5, PA —平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O ;第二步：01为AABC 的外心，所以OO^! _平面ABC ,算出小圆01的半径O 1^r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得sin A sin Bcsin COO 1」PA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径2 2 2:①(2R)二 PA (2r)=2R= , PA 2 (2r)2 ；2.题设：如图6,7,8, P的射影是.'ABC的外心：=三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 = 棱锥P - ABC的底面.SBC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心0的位置,取ABC的外心O j,则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆01的半径AO j = r,再算出棱锥的高P01^h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2^OjA2•0102= R2=（h-R）2• r2,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。
连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。
由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。
因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。
通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。
解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面S B C ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互垂直，36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴外接球的表面积是π36(3)题-1A(3)题-2A（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r CcB b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；图5②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔ 三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6图7-1图7-2图8图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R .方法二：小圆直径参与构造大圆。
高考复习资料数学八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)高考资料高考复习资料中考资料
八个模型搞定空间几何体的外接球与内切球 第一讲 柱体背景的模型
类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
P
c
A
b
C
a
B
A
P
c
C
b
a
B
P
A
a
c C b B
P
c
B
b
a
C
A
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 = a2 + b2 + c2 ，即 2R = a2 + b2 + c2 ，求出 R
解：法一： BC2 = 16 + 36 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 1 = 28 ， BC = 2
7 ， 2r = 2
7 =4
7 ，r = 2
7
，
2
33
3
2
R2
=
r2
+
(
AA1 2
)2
=
28 3
+
4
=
40 3
，
S表
=
160 3
π
；
法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
4 自信是迈向成功的第一步
解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为 ∆PCO1 ，面积是 2 .
类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
C1
A1
O2
B1
F
A1
O
C
A
O1
E
A
B
C1
C1
A1
O2
B1
八个模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题(教师版)
八个模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、直棱柱模型1.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是242.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为433.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于20。
4.在直三棱柱ABC A B C 111中，,,,AB AC A AA14643则直三棱柱ABC A B C 111的外接球的表面积为1603。
5．若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为36.三棱锥S ABC 中，侧棱SA 平面ABC ，底面ABC 的正三角形，SA ，则该三棱锥的外接球体积等于323.，则其外接球的表面积是98.在四面体S ABC -中，SA ABC 平面，,,,BAC SA AC AB 12021则该四面体的外接球的表面积为403二、棱锥所有侧棱相等模型1、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一2．正三棱锥S ABC 中，底面ABC 侧棱长为2，则该三棱锥3、在三棱锥P ABC 中，PA PB PC ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为43三、侧面与底面垂直模型1、三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC 3，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为643.2、三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，AB BC ，则三棱锥P ABC 3、已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直,,EA EB AD AEB 3260，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为16。
(修订版)八个有趣模型――搞定空间几何体的外接球与内切球(学生
(修订版)八个有趣模型――搞定空间几何体的外接球与内切球(学生八个有趣模型――搞定空间几何体的外接球与内切球1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.A1O2B1cC1OONDECMO1FPD1aBAO1b初图1初图23．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.4．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 5．与台体相关的，此略.类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）PPPO2PcAaBbCcCAbaBcCAbaBAaBbcC图1图2222图32图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)?a?b?c，即2R?a2?b2?c2，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A．16? B．20? C．24? D．32?（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S?ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM?MN,若侧棱SA?23,则正三棱锥S?ABC外接球的表面积是 . 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，?SH?平面ABC，?SH?AB，S?AC?BC，AD?BD，?CD?AB，?AB?平面SCD， ?AB?SC，同理：BC?SA，AC?SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ?AM?MN，SB//MN，ADHB(3)题-1(引理）EC?AM?SB，?AC?SB，?SB?平面SAC， ?SB?SA，SB?SC，?SB?SA，BC?SA， ?SA?平面SBC，?SA?SC，故三棱锥S?ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，SM?(2R)2?(23)2?(23)2?(23)2?36，2即4R?36，?正三棱锥S?ABC外接球的表面积是36?.ANB(3)题-2（解答图）C（4）在四面体S?ABC中，SA?平面ABC，?BAC?120?,SA?AC?2,AB?1,则该四面体的外接球的表面积为（）A.11?B.7?C.1040?D.? 33（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）(6)题图1．题设：如图5，PA?平面ABC 解题步骤：第一步：将?ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 P径AD，连接PD，则PD必过球心O；O第二步：O1为?ABC的外心，所以OO1?平面ABC，算出小圆O1的半AO1BCD径O1D?r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得abc1???2r），OO1?PA； sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2?PA2?(2r)2?2R?图5PA2?(2r)2；R?②R2?r2?OO1?2r2?OO122．题设：如图6，7，8，P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等?三棱锥P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点PPPPOCAO1BDACOOCCOO1BAO1BABO1图6图7-1P图7-2P图8PABO2DOCABO2OCAO2BOD图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆.例2 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )222222A．3? B．2? C．16? D．以上都不对 32222类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）P2正视图2侧视图俯视图PPPOOOABCABO1CABO1CABO1C图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是?PAC的外心，即?PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC?2r；第二步：在?PAC中，可根据正弦定理abc???2R，求出R sinAsinBsinC2．如图9-2，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径）22222222 OC?O1C?O1O?R?r?O1O?AC?2R?O1O3．如图9-3，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等?三棱P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R4．如图9-3，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径），且PA?AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)?PA?(2r)?2R?222222222PA2?(2r)2；R?②R2?r2?OO1?2r2?OO12例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3）在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（） A．? B.??4? C. 4? D. 33（4）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC?2，则此棱锥的体积为（） A．3222B． C．D．66 3 2类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1A1B1OCAO1BC1A1O2C1A1B1O2OCO2B1OCAO1BABO1图10-1图10-2图10-3题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，O1是?ABC的外心，则OO1?平面ABC；第二步：算出小圆O1的半径AO1?r，OO1?11AA1?h（AA； 1?h也是圆柱的高）222第三步：勾股定理：OA2?O1A2?O1O2?R?()?r?R?h222hr2?()2，解出R2例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为 8?BAC?120?，则此（2）直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,球的表面积等于 .（3）已知?EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA?EB?3,AD?2,?AEB?60，则多面体E?ABCD的外接球的表面积为 .（4）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?4,AC?6,A?的表面积为 . ??3,AA1?4则直三棱柱ABC?A1B1C1的外接球感谢您的阅读，祝您生活愉快。