概率统计常见题型及方法总结

‘1’，以 0.2 的概率收为模糊信号‘ x ’；发出‘1’时，分别以概率 0.85 和 0.05 收到‘1’ 和‘0’，以概率 0.1 收到模糊信号‘ x ’。
（1）求收到模糊信号‘ x ’的概率； （2）当收到模糊信号‘ x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？
解 设 Ai =“发出信号 i ” (i 0,1) ， Bi =“收到信号 i ” (i 0,1, x) 。由题意知
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一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：
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连续随机变量 X:
二维随机变量的分布函数：
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联合密度：
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掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：
对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj ) j 1
一（12 分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有 a 只红球和 b 只白
球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从 丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？
则
PB
n m
n
,PB
m mn
，
PA
B
1，
P
A
B
1 2r
―—５分
PB
A
PB P(A B)
P(B)P(A B) P(B)P(A B)
n 1 mn
m
n
n
1
m m
n
1 2r
2r n 2r n m
三、（10 分）一批产品共 100 件，其中有 4 件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取
一件产品进行检验，检验后放回，连续检验 3 次，如果发现有次品，则认为这批产品不合
2分
a P( Ai ) a b 二（10 分）袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋
中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？
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、解 记 B ={取到次品}， B ={取到正品}， A ={将硬币投掷 r 次每次都出现国徽}
f (x, y)dxdy g ( x,y)z
难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上 下限，
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画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域
g ( x, y) z 与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，
穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定限，求出分布函 数 第三步 求密度函数： fZ (z) FZ(z)
P( A0 ) 0.6 ，
（1）由全概率公式得
P( A1 ) 0.4 ， P(Bx | A0 ) 0.2 ， P(Bx | A1 ) 0.1。
P(Bx ) P(Bx | A0 )P( A0 ) P(Bx | A1 )P( A1 )
4分
0.2 0.6 0.1 0.4 0.16。
2分
（2）由贝叶斯公式得
不为零的区
域，然后穿线通过区域确定 x 的上下限。
他的函数 Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函数法
其步骤如下：
f (x, y) 第 一 步 求 联 合 密 度 :
，根据联合密度写出
f (x, z x)或者 f (z y, y)
第二步 求 z 的分布函数：
FZ (z) P{Z z} P{2X Y z}
解 Bi 表示从第 i 个口袋放入第 i 1个口袋红球， i 1,2,3,4
Ai 表示从第 i 个口袋中任取一个球为红球，
2分
则
P(B1 )
a
a
b
，
2分
P(A1) P(B1)P(A1 B1) P(B1)P(A1 B1)
a a 1 b
a a
2分
a b a b1 a b a b1 a b
依次类推
格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为 0.05，而一件次品被误判为正品的概率为
0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。
解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则
P B 96 ， P B 4 ， P A| B 0.95 ， P A | B 0.01
Z=X+Y 的密度函数用公式：
fZ (z)
f (x, z x)dx
f (z y, y)dy
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注意：
f (x, y) 先写出联合密度:
，根据联合密度写出
f (x, z x)或者 f (z y, y)，
f (x, z x) 在平面 x0z 或者 y0z 上画出被积函数
分析：
一、设总体 X 服从 (0,1) 上的均匀分布， X1, X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个样本，最大顺 序统计量 X (n) max( X 1 , X 2 ,, X n ) ，
1．求随机变量 X (n) 的概率密度；
0, x 0
P( A0
|
Bx )
P(Bx | A0 )P( A0 ) P(Bx )
பைடு நூலகம்
0.2 0.6 0.16
0.75
，
3分
P( A1 | Bx ) 1 P( A0 | Bx ) 1 0.75 0.25
3分
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二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断 记住如下知识点： 常见分布律和概率密度：
100
100
（1）由全概率公式得
P A PB P A | B PB P A | B 0.9124
（2）这批产品被检验为合格品的概率为
p P A3 0.91243 0.7596
四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概 率分别为 0.6 和 0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率 0.7 和 0.1 接收到‘0’和
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常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题
B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 Ai ”可以导致 B 这个“结果”发生，考虑结果 B 发生的概率，或者
求在 B 发生的条件下，源于某个原因 Ai 的概率问题
全概率公式： 贝叶斯公式：
n
P B P Ai P B | Ai i 1