2019全国名校高考分科综合卷(六)理科数学 试题及答案(图片版)

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2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

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2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)含详细答案一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合M={x|−4<x<2},N={x|x2−x−6<0},则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |,且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ,则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.15. 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是 .16. 已知双曲线C :x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC . (1)求A ;(2)若√2a +b =2c ,求sin C .18. 如图,直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点. (1)证明:MN//平面C 1DE ;(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.19. 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:)存在唯一极大值点;(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点.21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得−1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c= P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.23.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算,属基础题.利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出.【解答】解:∵M={x|−4<x<2},N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3},∴M∩N={x|−2<x<2}.故选C.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义,属基础题.由z在复平面内对应的点为(x,y),可得z=x+yi,然后根据|z−i|=1即可得解.【解答】解:∵z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi,∴z−i=x+(y−1)i,∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1,∴x2+(y−1)2=1,故选C.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用,属基础题.由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0,20.2>1,0<0.20.3<1,从而得出a,b,c的大小关系.【解答】解:a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,∵0<0.20.3<0.20=1,∴c=0.20.3∈(0,1),∴a<c<b,故选B.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算,考查运算能力和推理能力,属于中档题.充分运用黄金分割比例,计算可估计身高.【解答】解:头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26cm,,由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm,由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12,可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110,即有该人的身高小于110+68=178cm,又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm,即该人的身高大于65+105=170cm,故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性,解题关键是奇偶性和特殊值,属基础题.由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A,然后计算f(π),判断正负即可排除B,C,从而可得结果.【解答】解:∵f(x)=sinx+xcosx+x2,x∈[−π,π],∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x),∴f(x)为[−π,π]上的奇函数,因此排除A;又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0,因此排除B,C,故选D.6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法,考查古典概型、组合的应用,考查运算求解能力,属于基础题.基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20,由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率.【解答】解:在所有重卦中随机取一重卦,基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20,则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516.故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角,属基础题.由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ,可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0,进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0,然后求出夹角即可. 【解答】 解:∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ,∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0, ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12,∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π],∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3,故选B . 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题.模拟程序的运行,由题意,依次写出每次得到的A 的值,观察规律即可得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: A =12,k =1;满足条件k ≤2,执行循环体,A =12+12,k =2;满足条件k ≤2,执行循环体,A =12+12+12,k =3;此时,不满足条件k ≤2,退出循环,输出A 的值为12+12+12,观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A . 故选A . 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式,关键是求出等差数列的公差以及首项,属于基础题.根据题意,设等差数列{a n }的公差为d ,则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5,求出首项和公差,然后求出通项公式和前n 项和即可. 【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d , 由S 4=0,a 5=5,得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5,∴{a 1=−3d =2, ∴a n =2n −5,S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ,故选:A .10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理,属中档题.根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3,b=√2,可得椭圆的方程.【解答】解:∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|,又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|,又|BF1|+|BF2|=2a,∴|BF2|=a2,∴|AF2|=a,|BF1|=32a,则|AF2|=|AF1|=a,所以A为椭圆短轴端点,在Rt△AF2O中,cos∠AF2O=1a,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a,根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0,可得1a +4−2a22a=0,解得a2=3,∴a=√3,b2=a2−c2=3−1=2.所以椭圆C的方程为:x23+y22=1,故选B.11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键,属于中档题.根据绝对值的应用,结合三角函数的性质分别进行判断即可.【解答】解:f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),且f(x)的定义域为R,则函数f(x)是偶函数,故①正确;当x∈(π2,π)时,sin|x|=sinx,|sinx|=sinx,则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx,由f(x)=0,得2sinx=0,即x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[−π,0)上还有一个零点x=−π,即函数f(x)在[−π,π]有3个零点,故③错误;当sin|x|=1,|sinx|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选C.12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法,是中档题.设∠PAC=θ,PA=PB=PC=2x,EC=y,根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直,即可求外接球O的体积.【解答】解:设∠PAC=θ,PA=PB=PC=2x,EC=y,因为E,F分别是PA,AB的中点,所以EF=12PB=x,AE=x,在△PAC中,cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x,在△EAC中,cosθ=x2+4−y22×2x,整理得x2−y2=−2,①因为△ABC是边长为2的正三角形,所以CF=√3,又∠CEF=90°,则x2+y2=3,②,由①②得x=√22,所以PA=PB=PC=√2,所以PA2+PB2=4=AB2,即PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PB⊥PC,则PA、PB、PC两两垂直,则球O是以PA为棱的正方体的外接球,则外接球的直径为√2+2+2=√6,所以球O的体积为.故选D.13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,属基础题.对y=3(x2+x)e x求导,可将x=0代入导函数,求得斜率,即可得到切线方程.【解答】解:∵y=3(x2+x)e x,∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1),∴当x=0时,y′=3,∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3,∴切线方程为:y=3x.故答案为y=3x.14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算,属于基础题.根据等比数列的通项公式,建立方程求出q的值,结合等比数列的前n项和公式进行计算即可.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,由a42=a6,得(a1q3)2=a1q5,即q6a12=q5a1,解得q=3,则S5=13(1−35)1−3=1213,故答案为1213.15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,由此能求出甲队以4:1获胜的概率.【解答】解:甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,第六场一定是甲胜,甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036,②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,则甲队以4:1获胜的概率为:p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18. 故答案为:0.18. 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质,是中档题.由题意画出图形,结合已知可得F 1B ⊥OA ,可得一条渐近线方程的倾斜角为,从而可得,进而求出离心率.【解答】 解:如图,∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB , ∴OA ⊥F 1B ,则△AOF 1≌△AOB , 则,所以一条渐近线的斜率为,所以e =c a =√1+b 2a 2=2,故答案为:2.17.【答案】解:(1)∵△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC .则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC , ∴由正弦定理得:b 2+c 2−a 2=bc , ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12,∵0<A <π,∴A =π3.(2)∵√2a +b =2c ,A =π3,∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC , ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ,即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ,即√62+√32cosC −32sinC =0, 即sin(C −π6)=√22,,则,∴C −π6=π4,C =π4+π6, ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24.【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理,属于中档题. (1)由正弦定理得:b 2+c 2−a 2=bc ,再由余弦定理求出A .(2)由已知及正弦定理可得:sin(C −π6)=√22,可解得C 的值,由两角和的正弦函数公式即可得解.18.【答案】(1)证明:如图,过N 作NH ⊥AD ,连接BH ,则NH//AA 1,H 是AD 中点,且NH =12AA 1, 又MB//AA 1,MB =12AA 1,∴四边形NMBH 为平行四边形,则NM//BH ,由H 为AD 中点,而E 为BC 中点,∴BE//DH ,BE =DH ,则四边形BEDH 为平行四边形,则BH//DE , ∴NM//DE ,∵NM ⊄平面C 1DE ,DE ⊂平面C 1DE , ∴MN//平面C 1DE ;(2)解:以D 为坐标原点,以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则N(√32,−12,2),M(√3,1,2),A 1(√3,−1,4),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2), 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z),由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0,取x =√3,得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1), 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0), ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155. ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题.(1)过N 作NH ⊥AD ,证明NM//BH ,再证明BH//DE ,可得NM//DE ,再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ;(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值.19.【答案】解:(1)设直线l :y =32x +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可得F (34,0),故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32, 因为|AF|+|BF|=4, 所以x 1+x 2=52, 联立{y =32x +t y 2=3x,整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0,由韦达定理可知,x 1+x 2=−12(t−1)9,从而−12(t−1)9=52,解得t =−78,所以直线l 的方程为y =32x −78.(2)设直线l :y =32x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得y 1=−3y 2, 联立{y =32x +m y 2=3x,整理得y 2−2y +2m =0,由韦达定理可知,y 1+y 2=2,又y 1=−3y 2,解得y 1=3,y 2=−1, 代入抛物线C 方程得,x 1=3,x 2=13, 即A (3,3),B (13,−1),故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【解析】本题考查了抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得.(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得y 1=−3y 2,由韦达定理可得y 1+y 2=2,从而解出A 、B 两点坐标,使用弦长公式计算即可.20.【答案】证明:(1)f(x)的定义域为(−1,+∞), 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x , ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2,令g(x)=−sinx +1(1+x)2,则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立, ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数,又ℎ′(0)=1,ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0,结合单调性可得,f′(x )在(−1,x 0)上单调递增,在(x 0,π2)上单调递减, 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点; (2)由(1)知,当x ∈(−1,0)时,f′(x )单调递增, 则f′(x )<f′(0)=0,则f(x)单调递减; 当x ∈(0,x 0)时,f′(x )单调递增, 则f′(x )>f′(0)=0,f(x)单调递增; 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减, 且f′(x 0)>0,,由零点存在定理可知,函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1,结合单调性可知, 当x ∈(x 0,x 1)时,f′(x )单调递减,则f′(x )>f′(x 1)=0,故f(x)单调递增; 当x ∈(x 1,π2)时,f′(x )单调递减, 则f′(x )<f′(x 1)=0,f(x)单调递减. 当x ∈(π2,π)时,cosx <0,−11+x <0, 于是f′(x )=cosx −11+x <0,f(x)单调递减, 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0,f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0. 于是可得下表:结合单调性可知,函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知,f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2,当x∈[π,+∞)时,f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0,因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.【解析】本题考查利用导数求函数的极值,考查函数零点的判定,考查数学转化思想方法,考查逻辑思维能力,难度较大.(1)f(x)的定义域为(−1,+∞),求出原函数的导函数,令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x,进一步求导,得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数,结合ℎ′(0)=1,ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0,结合单调性可得,f′(x)在(−1,x0)上单调递增,在(x0,π2)上单调递减,可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点;(2)由(1)知,当x∈(−1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,x0)时,f′(x)> 0,f(x)单调递增;由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减,且f′(x0)>0,,可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1,结合单调性可知,当x∈(x0,x1)时,f(x)单调递增;当x∈(x1,π2)时,f(x)单调递减.当x∈(π2,π)时,f(x)单调递减,再由f(π2)>0,f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案.21.【答案】(1)解:X的所有可能取值为−1,0,1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=α(1−β),(2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8,∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2,…,7),故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1),即p i+1−p i=4(p i−p i−1),又∵p1−p0=p1≠0,∴{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列;(ii)解:由(i)可得,p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1,∵p 8=1,∴p 1=348−1,∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.【解析】本题主要考查数列的应用,考查离散型随机变量的分布列,属于难题. (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1,0,1,再由相互独立试验的概率求P(X =−1),P(X =0),P(X =1)的值,则X 的分布列可求;(2)(i)由α=0.5,β=0.8结合(1)求得a ,b ,c 的值,代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1,得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1),由p 1−p 0=p 1≠0,可得{p i+1−p i }(i =0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列;(ii)由(i)可得,p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0,利用等比数列的前n 项和与p 8=1,得p 1=348−1,进一步求得p 4=1257,即可求解. 22.【答案】解:(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数),得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加,得x 2+y 24=1(x ≠−1),∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1),由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0,得2x +√3y +11=0,即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0.(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0,联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0. 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0, 得m =±4,∴当m =4时,直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小, 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7.【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化为普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了两平行线间的距离公式的应用,是中档题.(1)把曲线C 的参数方程变形,平方相加可得普通方程,把x =ρcosθ,y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0,可得直线l 的直角坐标方程.(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0,与曲线C 联立,化为关于x 的一元二次方程,利用判别式等于0求得m ,转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值.23.【答案】证明:(1)分析法:已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.即证:abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2;即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;即证:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;即证:2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0,即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.∴(a−b)2≥0;(a−c)2≥0;(b−c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证.故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证.(2)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a);当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.a+b≥2√ab;b+c≥2√bc;c+a≥2√ac;当且仅当a=b,b=c,c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.故得证.【解析】本题考查基本不等式的运用,分析法和综合法的证明方法,属于中档题.(1)利用基本不等式和“1”的运用可证;(2)利用综合法可证.。

2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)

2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)

绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)总分:150分考试时间:120分钟★祝考试顺利★注意事项:1、本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后,将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(2019北京卷·理)已知复数2iz=+,则z z⋅=()A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+,所以2iz=-,所以(2i)(2i)5【答案】D2.(2019北京卷·理)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==;第一次循环:2s =,判断3,2k k <=;第二次循环:2s =,判断3,3k k <=;第三次循环:2s =,判断3k =.故输出2,故选B. 【答案】B3.(2019北京卷·理)已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),则点(1,0)到直线l 的距离是( )A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=,由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.(2019北京卷·理)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,则( )A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==,所以224a c =.又222a b c =+,所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.(2019北京卷·理)若x ,y 满足||1x y ≤-,且1y ≥-,则3x y +的最大值为( )A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-,且1y ≥-,得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+,则3y x z =-+,作直线0:3l y x =-,并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时,z 取得最大值,max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.(2019北京卷·理)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=,其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是26.7-,天狼星的星等是 1.45-,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知,126.7m =-,2 1.45m =-,代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=,所以12lg10.1E E =,所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.(2019北京卷·理)设点A ,B ,C 不共线,则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ,B ,C 不共线,由向量加法的三角形法则,可知BC AC AB =-,所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-,因模为正,故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅(θ为AB 与AC 的夹角),整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>,故cos 0θ>,即θ为锐角.又以上推理过程可逆,所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.(2019北京卷·理)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论: ①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是( )A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+,当0x =时,1y =±;当0y =时,1x =±;当1y =时,01x =±,.故曲线C 恰好经过6个整点:(0,1)A ,(0,1)B -,(1,0)C ,(1,1)D ,(1,0)E -,(1,1)F -,所以①正确.由基本不等式,当0y >时,22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+,所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图,由①知矩形CDFE 的面积为2,△BCE 的面积为1,所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3,故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题:本题共6小题,每小题5分。

2019年全国理科数学高考真题及参考答案合集整理(5套)

2019年全国理科数学高考真题及参考答案合集整理(5套)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3-5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:·如果事件A 、B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ,则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.63.设x R ∈,则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为 2 3 C.2 56.已知5log 2a =,0.5og 2.l 0b =,0.20.5c =,则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数,将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈,设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立,则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案word精品文档8页

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绝密*启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为( ) 【解】选D(2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A(3)下面是关于复数21z i =-+的四个命题:其中的真命题为( )1:2p z =22:2p z i =3:p z的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-【解】选C(4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点, ∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形,则E 的离心率为( )【解】选C (5)已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )【解】选D(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ,输出,A B ,则( )()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) 【解】选B(8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,43AB =C 的实轴长为( ) 【解】选C(9)已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

 2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学一、选择题1.已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N等于()A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}答案 C解析∵N={x|-2<x<3},M={x|-4<x<2},∴M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1答案 C解析∵z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+y i(x,y∈R).∵|z-i|=1,∴|x+(y-1)i|=1,∴x2+(y-1)2=1.故选C.3.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a答案 B解析∵a=log20.2<0,b=20.2>1,c=0.20.3∈(0,1),∴a<c<b.故选B.4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm答案 B 解析若头顶至咽喉的长度为26 cm,则身高为26+26÷0.618+(26+26÷0.618)÷0.618≈178(cm),此人头顶至脖子下端的长度为26 cm,即头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以其身高小于178 cm,同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm),故其身高可能是175 cm,故选B.5.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.答案 D解析∵f(-x)==-=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A;∵f(π)==>0,∴排除C;∵f(1)=,且sin 1>cos 1,∴f(1)>1,∴排除B,故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“——”,如图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.答案 A解析由6个爻组成的重卦种数为26=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为==20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P==.故选A.7.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案 B解析设a与b的夹角为α,∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,∴a·b=b2,∴|a|·|b|cos α=|b|2,又|a|=2|b|,∴cos α=,∵α∈[0,π],∴α=,故选B.8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入()A.A=B.A=2+C.A=D.A=1+答案 A解析A=,k=1,1≤2成立,执行循环体;A=,k=2,2≤2成立,执行循环体;A=,k=3,3≤2不成立,结束循环,输出A.故空白框中应填入A=.故选A.9.记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5 B.a n=3n-10C.S n=2n2-8n D.S n=n2-2n答案 A解析设等差数列{a n}的公差为d,∵∴解得∴a n=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,S n=na1+d=n2-4n.故选A.10.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ==.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.11.关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)在区间上单调递增;③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③答案 C解析f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)为偶函数,故①正确;当<x<π时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,∴f(x)在上单调递减,故②不正确;f(x)在[-π,π]上的图象如图所示,由图可知函数f(x)在[-π,π]上只有3个零点,故③不正确;∵y=sin|x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,∴f(x)可以取到最大值2,故④正确.综上,正确结论的编号是①④.故选C.12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8π B.4π C.2π D.π答案 D解析因为点E,F分别为P A,AB的中点,所以EF∥PB,因为∠CEF=90°,所以EF⊥CE,所以PB⊥CE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC⊥平面BDP,所以PB⊥AC,又AC∩CE=C,AC,CE⊂平面P AC,所以PB⊥平面P AC,所以PB⊥P A,PB⊥PC,因为P A=PB=PC,△ABC为正三角形,所以P A⊥PC,即P A,PB,PC两两垂直,将三棱锥P-ABC放在正方体中如图所示.因为AB=2,所以该正方体的棱长为,所以该正方体的体对角线长为,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R=,所以球O的体积V=πR3=π3=π,故选D.二、填空题13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.答案y=3x解析因为y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=y′|x=0=3,所以所求的切线方程为y=3x.14.记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=________.答案解析设等比数列{a n}的公比为q,因为=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=,所以q=3,所以S5===.15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是________.答案0.18解析记事件M为甲队以4∶1获胜,则甲队共比赛五场,且第五场甲队获胜,前四场甲队胜三场负一场,所以P(M)=0.6×(0.62×0.52×2+0.6×0.4×0.52×2)=0.18.16.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为________.答案 2解析因为F1B·F2B=0,所以F1B⊥F2B,如图.因为=,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BOF2=,tan∠BF1O=.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以=,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e==2.三、解答题17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A==,因为0°<A<180°,所以A=60°. (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,即+cos C+sin C=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.18.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.(1)证明连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1∥DC且A1B1=DC,可得B1C∥A1D且B1C=A1D,故ME∥ND且ME=ND,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,ED⊂平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)解由已知可得DE⊥DA,以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,,-2),=(-1,0,-2),=(0,-,0).设m=(x,y,z)为平面A1MA的一个法向量,则所以可得m=(,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的一个法向量,则所以可取n=(2,0,-1).于是cos〈m,n〉===,所以二面角A-MA1-N的正弦值为.19.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,令Δ>0,得t<,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2,由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,故|AB|=. 20.已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数,证明:(1)f′(x)的区间上存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.证明(1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cos x-,g′(x)=-sin x+.当x∈时,g′(x)单调递减,而g′(0)>0,g′<0,可得g′(x)在有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0.所以g(x)在(-1,α)上单调递增,在上单调递减,故g(x)在上存在唯一极大值点,即f′(x)在上存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).①当x∈(-1,0]时,由(1)知,f′(x)在(-1,0)上单调递增.而f′(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]上的唯一零点;②当x∈时,由(1)知,f′(x)在(0,α)上单调递增,在上单调递减,而f′(0)=0,f′<0,所以存在β∈,使得f′(β)=0,且当x∈(0,β)时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在(0,β)上单调递增,在上单调递减.又f(0)=0,f=1-ln>0,所以当x∈时,f(x)>0.从而,f(x)在上没有零点;③当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在上单调递减.而f>0,f(π)<0,所以f(x)在上有唯一零点;④当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(ⅰ)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ⅱ)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.(1)解X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为(2)(ⅰ)证明由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i)=0.4(p i-p i-1),即p i+1-p i=4(p i-p i-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.(ⅱ)解由(ⅰ)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=p1.由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解(1)因为-1<≤1,且x2+2=2+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数,-π<α<π).C上的点到l的距离为=. 当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.23.[选修4-5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)++≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.证明(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.所以++≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2)×(2)×(2)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.祝福语祝你考试成功!。

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2019年高考山东卷理科数学真题及参考答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项。

1.已知i R b a ,,∈是虚数单位,若i a -与bi +2互为共轭复数,则=+2)(bi a (A )i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案:D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案:C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(, (B) )2(∞+, (C) ),2()210(+∞Y , (D) )2[]210(∞+,,Y 答案:C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案:A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx,则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案:D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为(A )22(B )24(C )2(D )4 答案:D7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa(A )6 (B )8 (C ) 12(D )18 答案:C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是(A )),(210(B )),(121(C )),(21(D )),(∞+2答案:B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时,22a b +的最小值为(A )5(B )4(C )5(D )2 答案:B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ,双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ,1C 与2C 的离心率之积为23,则2C 的渐近线方程为 (A )02x =±y (B )02=±y x (C )02y x =±(D )0y 2x =± 答案:A二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在题中横线上。

2019年全国高考安徽省数学(理)试卷及答案【精校版】

2019年全国高考安徽省数学(理)试卷及答案【精校版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

考生注意事项:1. 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2. 答第I 卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3. 答第II 卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上....书写,要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡...规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答,超出..答题区域书写的答案无效...........,.在答题卷、草稿纸上答题无效.............。

4. 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 如果事件A 、B 相互独立,那么 P (A+B )= P (A )+ P (B ) P (A·B)= P (A )·P(B ) 第I 卷(选择题共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数。

若,1i z +=则zi z i+⋅=( ) A .2- B .2i - C .2 D .2i 2.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A .34B .55C .78D .89 4.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直 线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ,(t 为参数),圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A .14B .142C .2D .225.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A .121-或B .212或C .2或1D .12-或6.设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+,当π<≤x 0时,0)(=x f ,则=)623(πf ( ) A .12 B .23 C .0 D .21-7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A .213B .183+.21 D .188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60︒的共有( )A .24对B .30对C .48对D .60对 9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3,则实数a 的值为( )A .5或8B .1-或5C .1-或4-D .4-或810.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。

。精品解析:2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)

。精品解析:2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
本题也可用直接法,因为 a b ,所以 a b 0 ,当 a b 1 时, ln( a b) 0 ,知 A 错,因为 y 3x 是增 函数,所以 3a 3b ,故 B 错;因为幂函数 y x3 是增函数, a b ,所以 a3 b3 ,知 C 正确;取 a 1,b 2 ,
4
满足 a b , 1 a b 2 ,知 D 错. 【详解】取 a 2, b 1,满足 a b , ln( a b) 0 ,知 A 错,排除 A;因为 9 3a 3b 3 ,知 B 错,排 除 B ;取 a 1, b 2 ,满足 a b ,1 a b 2 ,知 D 错,排除 D,因为幂函数 y x3 是增函数, a b ,
所以 a3 b3 ,故选 C. 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算 能力素养,利用特殊值排除即可判断.
7.设 α, β为两个平面,则 α∥β的充要条件是
A. α内有无数条直线与 β平行
B. α内有两条相交直线与 β平行
C. α,β平行于同一条直线
x8 ,
中位数仍为 x5 , A 正确.
②原始平均数 x
1 9
(
x1
x2
x3
x4
x8 x9 ) ,后来平均数 x
1( 7
x2
x3
x4
x8)
平均数受极端值影响较大,
x 与 x 不一定相同, B 不正确
③ S2
1 9
2
x1 x
s2
1 7
x2
2
x
2
x1 x
2
x3 x
2
x9 x
2
x8 x 由②易知, C 不正确.
题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) 若siniθcosθ>0,则θ在( )(A) 第一、二象限(B) 第一、三象限(C) 第一、四象限(D) 第二、四象限(2) 过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x+y-2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x-3) 2+(y+1) 2 = 4 (B) (x+3) 2+(y-1) 2 = 4(C) (x-1) 2+(y-1) 2 = 4 (D) (x+1) 2+(y+1) 2 = 4(3) 设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(4) 若定义在区间(-1,0)的函数f (x ) = log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是( )(A)(210,)(B)⎥⎦⎤ ⎝⎛210,(C) (21,+∞) (D) (0,+∞)(5) 极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )(6) 函数y = cos x +1(-π≤x ≤0)的反函数是 ( )(A) y =-arc cos (x -1)(0≤x ≤2) (B) y = π-arc cos (x -1)(0≤x ≤2) (C) y = arc cos (x -1)(0≤x ≤2)(D) y = π+arc cos (x -1)(0≤x ≤2)(7) 若椭圆经过原点,且焦点为F 1 (1,0) F 2 (3,0),则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0<α<β<4π,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b ,则 ( )(A) a <b(B) a >b(C) ab <1(D) ab >2(9) 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若12BB AB =,则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数,有如下四个命题:① 若f (x )单调递增,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )单调递增; ② 若f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )单调递增; ③ 若f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )单调递减; ④ 若f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )单调递减. 其中,正确的命题是( )(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 ( ) (A) P 3>P 2>P 1(B) P 3>P 2 = P 1(C) P 3 = P 2>P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26 (B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的侧面积是 (14)双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上.若PF 1⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为(15)设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和.若{S n }是等差数列,则 q =(16)圆周上有2n 个等分点(n >1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中,∠ABC = 90°,SA ⊥面ABCD ,SA = AB = BC = 1,21=AD . (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积;(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值. (18) (本小题满分12分) 已知复数z 1 = i (1-i ) 3. (Ⅰ)求arg z 1及1z ;(Ⅱ)当复数z 满足1z =1,求1z z -的最大值. (19) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .(20) (本小题满分12分)已知i ,m ,n 是正整数,且1<i ≤m <n .(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <;(Ⅱ)证明(1+m ) n > (1+n ) m . (21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元.写出a n ,b n 的表达式;(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线x = 1对称.对任意x 1,x 2∈[0,21]都有f (x 1+x 2) = f (x 1) · f (x 2).且f (1) = a >0. (Ⅰ)求f (21) 及f (41); (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数; (Ⅲ)记a n = f (2n +n21),求()n n a ln lim ∞→.2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.(1)B (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)D (12)D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(13)2π (14)516(15)1 (16)2n (n -1)三.解答题:(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解:(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC , ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=.……4分 (Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ,连结SE 则SE 是所求二面角的棱. ……6分∵ AD ∥BC ,BC = 2AD ,∴ EA = AB = SA ,∴ SE ⊥SB ,∵ SA ⊥面ABCD ,得SEB ⊥面EBC ,EB 是交线, 又BC ⊥EB ,∴ BC ⊥面SEB , 故SB 是CS 在面SEB 上的射影, ∴ CS ⊥SE ,所以∠BSC 是所求二面角的平面角. ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=,BC =1,BC ⊥SB ,∴ tan ∠BSC =22=SB BC . 即所求二面角的正切值为22. ……12分 (18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)z 1 = i (1-i ) 3 = 2-2i , 将z 1化为三角形式,得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin47cos 221ππi z ,∴ 47arg 1π=z ,221=z . ……6分 (Ⅱ)设z = cos α+i sin α,则z -z 1 = ( cos α-2)+(sin α+2) i , ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-), ……9分当sin(4πα-) = 1时,21z z -取得最大值249+.从而得到1z z -的最大值为122+. ……12分 (19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分.证明一:因为抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点为F (2p,0),所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=; ……4分 代入抛物线方程得y 2 -2pmy -p 2 = 0,若记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2 = -p 2. ……8分因为BC ∥x 轴,且点c 在准线x = -2p 上,所以点c 的坐标为(-2p,y 2),故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=. 即k 也是直线OA 的斜率,所以直线AC 经过原点O . ……12分证明二:如图,记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ,过A 作AD ⊥l ,D 是垂足.则 AD ∥FE ∥BC . ……2分连结AC ,与EF 相交于点N ,则ABBF AC CN AD EN ==,,ABAF BCNF = ……6分 根据抛物线的几何性质,AD AF =,BC BF =, ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=,即点N 是EF 的中点,与抛物线的顶点O 重合,所以直线AC 经过原点O . ……12分 (20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.(Ⅰ)证明: 对于1<i ≤m 有im p = m ·…·(m -i +1),⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…mi m 1+-⋅, 同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅, ……4分由于 m <n ,对整数k = 1,2…,i -1,有mkm n k n ->-, 所以 i im i i n mp n p >,即im i i n i p n p m >. ……6分(Ⅱ)证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01, ()i mmi i mCn n ∑==+01, ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m >im i p n (1<i ≤m <n =,而 !i p C i m im=,!i p C i n in =, ……10分所以, im i i n i C n C m >(1<i ≤m <n =.因此,∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22. 又 10000==m n C n C m ,mn nC mC m n ==11,()n i m C m in i ≤<>0.∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0. 即 (1+m )n >(1+n )m . ……12分 (21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-51)万元,……,第n 年投入为800×(1-51)n -1万元. 所以,n 年内的总投入为a n = 800+800×(1-51)+…+800×(1-51)n -1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1-(54)n]; ……3分 第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+41)万元,……,第n 年旅游业收入为400×(1+41)n -1万元.所以,n 年内的旅游业总收入为b n = 400+400×(1+41)+…+400×(1+41)n -1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n-1]. ……6分 (Ⅱ)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此b n -a n >0,即 1600×[(45)n -1]-4000×[1-(54)n ]>0.化简得 5×(54)n +2×(54)n -7>0, ……9分 设=x (54)n,代入上式得 5x 2-7x +2>0,解此不等式,得52<x ,x >1(舍去). 即 (54)n <52,由此得 n ≥5.答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. ……12分。

2019年卷理数高考真题文档版(含答案解析)

2019年卷理数高考真题文档版(含答案解析)

(A) 3
(B) 5
(C)3
(2)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为
(D)5
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
x 1 3t,
(3)已知直线
l
的参数方程为
y
2
4t
(t
为参数),则点(1,0)到直线
l
的距离是
(A) 1 5
(B) 2 5
(C) 4 5
(D) 6 5
(4)已知椭圆
x2 a2
y2 b2
(Ⅱ)由 cos B 1 得 sin B 3 .
2
2
由正弦定理得 sin C c sin B 5 3 .
b
14
在△ABC 中,∠B是钝角,
所以∠C为锐角. 所以 cos C 1 sin2 C 11 .
14
所以 sin(B C) sin B cos C cos B sin C 4 3 . 7
函数,则 a 的取值范围是___________.
(14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次
为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买
水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的
绝密★本科目考试启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理)(北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知复数 z=2+i,则 z z

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

绝密★启用前2019 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共60 分。

在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A = {-1, 0,1, 2},B = {x x2≤1} ,则AA.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1, 2}2.若z(1+ i) = 2i ,则z=A.-1- iB.-1+iC.1- iD.1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100 学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12 B.16 C.20 D.245.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4 项为和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=A.16 B.8 C.4 D.26.已知曲线y =a e x+x ln x 在点(1,a e)处的切线方程为y=2x+b,则A. a = e,b =-1 b =-1B.a=e,b=1 C.a = e-1,b = 1 D .a = e-1,B =7.函数y =2x32x + 2-x在[-6, 6]的图象大致为A.B.C.D.8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED 的中点,则A.BM=EN,且直线BM、EN 是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线BM、EN 是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN 是异面直线9.执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于yA. 2 - 124B. 2 - 125C. 2 - 126D. 2 - 12710. 双曲线 C :x2- =1 的右焦点为 F ,点 P 在 C 的一条渐进线上,O 为坐标原点,若 4 2PO = PF ,则△PFO 的面积为A. 3 24B. 3 22C. 2D. 311. 设 f( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且在(0, ∞) 单调递减,则A. f (log1 )> f (- 3)>f ( - 2 )B. f (log 34 1)> f ( 2 2- 2)> f ( 2 3- 3 )3 4 2 3 2 2C. f ( - 3)> f ( -2)> f (log1)2 22 334D. f ( - 2)> f ( -3)> f (log1 )2 32 23412. 设函数 f( x ) =sin (ω x + π)( ω >0),已知 f (x ) 在[0, 2π]有且仅有 5 个零点,下述 5四个结论:① f (x ) 在( 0, 2π )有且仅有 3 个极大值点 2 22, xy ② f (x ) 在( 0, 2π )有且仅有 2 个极小值点③ f (x ) 在( 0, π)单调递增10④ ω 的取值范围是[12 29) 5 10其中所有正确结论的编号是A . ①④B . ②③C . ①②③D . ①③④二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

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