工程应用数学A期末考试模拟试卷答案

知识点：①定积分的第二类换元法，②定积分可加性的分段. 3． ∫ x ln x dx
1 e
x2 x2 x2 e2 + 1 解：原式 = ∫ ln xd = ln x − = . 1 2 2 4 4 1 1
e
e
e
知识点：①定积分的分部积分法.
x = t2 + 1 五、设曲线 (t > 0) ,从点 (0,−1) 作曲线的一条切线，求该切线的方 2 y = t + 2t
α ( x)
④ arc tan α ( x ) 等价 α ( x ) ⑤ e ⑦ (1 + α ( x ) ) − 1 等价 µα ( x )
µ
− 1 等价 α ( x ) ⑥ ln (1 + α ( x ) ) 等价 α ( x )
1 ⑧ 1 − cos α ( x ) 等价 α 2 ( x ) . 2
四、计算定积分.（满分 15 分） 1． ∫1
9
arctan x dx x
解：令 t = x ， 原式 = ∫
3 3 arctan t 1 π 2 2tdt =2 ∫ arctan tdt 2 t arctan t − ln (1 + x 6 arctan 3 − − ln 5 = = ) 1 t 2 2 1 3
1 − 2 f (ξ )
ξ
2
ξ
.
注：本次考试重点是拉格朗日中值定理证明结果（等式或不等式），其主要方法 是构造函数，构造区间.
ex , x ≥ 0 七、求常数 a, b ，使得 f ( x) = 在 x = 0 点可导，并求 f ′( x) .（满分 5 ax + b, x < 0
分）
解： f (0) lim
x 0
x
x 0
ex , x 0 从而， b 1 . 再由 1 lim ax b 1 lim ax a .故 f ( x) . x0 x0 x x x 1, x 0

当 x 0 时， f ( x) e x ；当 x 0 时， f ( x) 1 ；当 x 0 时， f (0) 1 .
f x f 0 x
x 0
lim
x0
f x f 0 e x 1 ax b 1 (0) lim 1 ， f lim x 0 x 0 x x x
因为 f ( x) 在 x = 0 点可导，所以 lim ax b 1 1 . 于是 0 lim ax b 1 b 1 ，
ex , x 0 即 f ( x) . 1, x 0
知识点：讨论分段函数在分界点的导数要考虑单侧导数（左右导数存在且相 等）.
= x ln 1 + t 2 八、讨论由参数方程 所确定的曲线的凹凸性.（满分 6 分） y = arctan t
5. lim
x →1
∫ ∫
1
x x
eu du
2
1
e 2u du
ex 1 1 解：原式 == . lim 2 2 xx lim = x →1 e x →1 2 xe x 2e
知识点：①洛必达法则求极限. ②求积分上限函数的导函数，
du ( x ) dv ( x ) d u( x) f t dt = f u x ⋅ − f v x ⋅ ( ) ( ) ( ) dx dx ，其中 f ( x ) 为连续函数. dx ∫v( x )
程．（满分 5 分） 解： y
k=
dy 2t 2 dt t 1 ，设过点 (0,−1) 的直线方程为 y 1 kx ，其中 dx t 2tdt
t 1 t 1 2 . 依题意， t 2 2t 1= t 1 ，于是 t 1 . t t
故所求切线的方程为 y 2 x 1 ． 知识点：①由参数方程确定的函数求导，②导数的几何意义（曲线切线斜率）. 六、设函数 f ( x ) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0, f (1) = 1 ,证明：至少 存在一点 ξ ∈ (0,1) ,使得 f ′(ξ ) =
1 1 dt dt 2 2 d y dy 1 t 1 1 t 2 t 解： y ，y 3 . t t dx dx t dt t dt 1 1 1 t 2 1 t 2
当 y 0 (即 t 0 )时， y 0 ，则曲线为凸的； 当 y 0 (即 t 0 )时， y 0 ，则曲线为凹的. 知识点：①求由参数方程确定的函数的二阶导数，②曲线的凹凸性判断. 九、据统计，在某路口，1 点到 6 点时间段内，在 t 时刻，车辆行驶的速度为
)
2
知识点：元素法在几何上的应用.
= S ①直角坐标系平面图形面积 S = ∫ xdy （或
c
d
∫c ( x2 − x1 )dy ）， S = ∫a ydx （或
d
b
= S
方程 y′′ + py′ + qy = 0 的通解
（1） ∆ = p 2 − 4q > 0 时，有实根 r1 ≠ r2 （2） ∆ = p 2 − 4q > 0 时，有实根 r1 = r2 （2） ∆ < 0 时，有复根 r1,2= α ± β i 三、求极限.（满分 20 分）
通解 = y C1e r1x + C2 e r2 x 通解 = y e r1x ( C1 + C2 x ) 通解 y eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) =
x + 6 1+22 x 2. lim( ) x →∞ x + 3
x +3 x +3 3 3 解：原式 = lim 1 + x →∞ x+3 3 1+ 2 x ⋅ 2
i 是分割的每个小区间的右端点. n
= e3 .
1 1 知识点：求幂指函数的极限. ① lim 1 + = e. e ， lim (1 + x ) x = x →0 x →∞ x
y 2 sin x 本题选项改为 (A) 2 y cos x − cos y y 2 sin x (B) dx 2 y cos x − cos y
(C)
− y 2 sin x 2 y cos x + cos y
(D)
cos y dx 2 y cos x − y 2 sin x
知识点：隐函数求导法则. 两边对 x 求导，把 y 看作是 x 的函数. 二、填空题（满分 15 分）
∫
2
1 x
4
0 3
dx .
知识点：①
b
∫
+∞
a
1 dx ( a > 0 ) ，当 p > 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散. xp
②
∫ ( x − a)
a
1
q
dx ( a > 0 ) ，当 0 < q < 1 时，收敛；当 q ≥ 1 时，发散.
4. A 知识点：费马引理是可导的极值点必为驻点 5. B
积分中值定理的应用，即 f (ξ ) =
∫
b
a
f ( x)dx b−a
， ξ ∈ ( a, b ) .
x3 + 1 ( x ≥ 0) 与直线 y = 3 以及 y 轴围成， 十、设平面图形 D 由曲线 y =
求：（1）平面图形 D 的面积 S ； （2）该平面图形 D 绕着 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vx ； （3）该平面图形 D 绕着 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vy ．（满分 8 分） 解：（1） S =
x
② 如果 lim u ( x ) = a
x → x0 ( ∞ )
(u ( x ) > 0) ，
−6 x
x → x0 ( ∞ )
lim v ( x ) = b ，则
x → x0 ( ∞ )
lim u ( x )
v( x )
= ab .
3. lim (1 − 6 x ) sin x
x →0
1 sin x 解：原式 = lim (1 − 6 x ) −6 x e −6 = x →0
3
∫
3
3
1
4 3 3 y − 1dy = ( y − 1) 3 = 3 2 ； 4 2 1
3
Vx = （2）
（3） Vy =
∫
2
0
2 3 dx π 3 − ( x + 1) = 2


45 3 2π ； 7
3
∫ π(
3 1
3
5 3π 6 3 4π y − 1 dy = . ( y − 1) 3 = 5 5 1
1 − 2 f (ξ )
ξ
2
ξ
．（满分 5 分）
证明：令 = F ( t ) x 2 f ( x ) − x ，F ( 0 )= 0= F (1) ，则函数 F ( x ) 在 [ 0,1] 上满足罗尔中 值定理. 故 ∃ξ ∈ ( 0,1) ，使得 F ′ (ξ ) =0 ，即 f ′(ξ ) =
1 1 2 n + + + 1. lim n →∞ n n n n
n n i 1 = lim ∑ = lim ∑ f (ξi = 解：原式 ) ∆xi n →∞ n n λ →0 i 1 = i 1=
∫
1
0
xdx =
2 . 3
知识点：应用定积分定义求极限. 注意：①区间分割是 n 等分，②取分点 ξi =