【经典】建模-组合优化模型-排序问题
组合优化问题的建模与求解研究
组合优化问题的建模与求解研究组合优化问题是指在给定的一组元素中，从中选择出符合特定条件的子集，使得该子集的某些属性最优化的问题。
其在实际应用中有着广泛的应用，比如图论、排课、集成电路设计等领域。
在组合优化问题中，必须根据具体实际情况确定问题的目标、限制条件和可行解的形式，才能进行有效的建模和解答。
组合优化问题的建模组合优化问题的建模关键在于明确问题的目标和限制条件，以便于将其描述成某种数学模型，进而进行数学求解。
根据优化问题的目标函数可分为最大化和最小化问题，目标函数完全由一系列变量及其系数组成。
在组合优化问题的建模中，需要确定以下几个方面：1）问题的目标：问题通常有多个目标，如数字电路设计中要求电路面积小、速度快、功耗低等目标。
不同目标之间可能存在矛盾和权衡关系，我们需要明确优先考虑哪些目标以及目标间的优先级关系。
2）限制条件：限制条件定义了可行解的范围，例如在数字电路设计中，各元器件的参数需要满足一定范围以保证电路的功能和可靠性。
因此，我们需要确定可行解集的性质和范围，以便于从中选择符合要求的子集。
3）可行解的形式：可行解通常由一组元素的选择组合而成，例如在图的染色问题中，可行解就是对图进行染色的方案。
各元素之间可能存在约束，例如在排课问题中，不同时间和地点的课程需要分配到不同老师进行教学。
4）数学模型的形式：根据问题的具体要求，需要选择适当数学模型来描述组合优化问题。
常见的数学模型包括线性规划、整数规划、元胞自动机等，需要根据实际情况进行选择。
组合优化问题的求解组合优化问题的求解是通过寻找可行解的最优解来满足问题的目标函数。
在实际应用中，组合优化存在很多复杂问题，难以通过传统方法求解。
因此，为了提高组合优化问题的求解效率，需要发展有效的算法和方法。
1）穷举法：穷举法是一种最简单的解决方法。
穷举法依次列出所有可能性，并通过逐一比较来找到最优解。
虽然穷举法简单，但在处理大规模的问题时，其时间复杂度很高，效率低下。
【经典】建模-组合优化模型-VRP
3、增加了一个多样化机制
2.3 程序分析
2.3.1 初始解的获得 （三个步骤） （1）随机生成一个路径
（2）用2-opt方法进行改进
（3）形成一个cost network，然 后运用Dijkstra’s方法
2.3.2 变邻域结构（六种）
（1）1-1interchange （swap） （2）2-0shift（两种）
（3）21interchange （4）新的扰乱机制（两种）
2.3.3 局部搜索（六种）
（1）1 inseration（intra和inter） （2）2 inseration（intra） （3） 2-opt（intra和inter） （4）swap（intra）
2.3.4 DIgorithm 算法在这里的具体的运用
（1）生成初始解时的运用
（2）变邻域均搜索完后，最后的最优解， 生成cost network，然后再运用D算法
2.3.5多样化机制
形成cost network的方法不一 样
不同车队路径问题中变邻域搜索的应用
一、VRP问题的简单介 绍
二、VNS方法主要步骤的详细介绍
一、
非需求 边，c(v)
需求边u，需求量为 q(u)
￣＿
＿
＿
▲ 垃圾站（depot）
收垃圾模型示意图
问题最终目标：车队经过所有需求点后回到垃圾站，使其成本最低
二、VNS的详细介绍
2.1 流程图
2.2 VNS方法的改进
04章组合优化模型
04章组合优化模型组合优化模型是指在给定一组有限资源的情况下，通过选择和组合这些资源，以达到其中一种目标的问题。
这一类模型广泛应用于供应链管理、制造业生产优化和物流网络设计等领域。
本文将介绍几种常见的组合优化模型，并分析其应用。
一、背包问题背包问题是最基本的组合优化问题之一、背包问题可以描述为在给定一组物品和一个固定容量的背包的情况下，如何选择物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以有多种变形，如01背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。
例如，假设有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。
目标是在背包容量限制下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以通过动态规划算法求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些放入容量为j的背包中所能达到的最大总价值。
背包问题的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)二、旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，也是一个NP-hard问题。
旅行商问题可以描述为在给定一组城市和每对城市之间的距离，如何找到一条最短的路径，使得每个城市只访问一次，并且最终回到起始城市。
旅行商问题可以通过深度优先、分支定界算法和遗传算法等方法求解。
尽管求解旅行商问题的确切解决方案是困难的，但通过使用近似算法和启发式算法，可以在合理的时间内得到较好的解。
三、作业调度问题作业调度问题是指在给定一组作业和一组机器的情况下，如何安排作业在机器上执行，以最大程度地减少完成所有作业的总时间。
作业调度问题可以通过贪心算法和动态规划算法求解。
贪心算法可以按照一些优先级规则对作业进行排序，并依次将作业分配给空闲的机器，直到所有作业都被分配完为止。
动态规划算法可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个作业在j个机器上执行的最小总时间。
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究随着人工智能技术的不断发展，组合优化问题的建模和求解方法逐渐成为了研究热点。
组合优化问题是指在一定约束条件下，从有限的可选项中选择出最优的组合方案，如工程规划、物流配送、投资组合等问题。
本文将探讨建立组合优化模型及其求解方法的研究进展。
一、组合优化模型建立1. 线性模型线性规划模型是组合优化中最基本的模型之一，通过构造一系列线性约束条件和目标函数，求解出满足约束条件的最大（小）值。
例如，在投资组合问题中，可以将每一项投资的收益和风险以及各项的投资比例表示成线性函数，求解出使预期收益率最大，规避风险风险最小的投资组合。
2. 非线性模型非线性模型相对于线性模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
例如，在旅行商问题中，需要寻找一条路径，使得经过的所有城市只访问一次，并且总路径最短。
这个问题无法用线性模型表示，需要采用非线性优化算法进行求解。
3. 混合整数规划模型在实际问题中，很多变量只能取整数值，而且该问题本身又是一个优化问题，因此需要采用混合整数规划（MIP）模型进行求解。
例如，在运输问题中，货物只能在整数数量上进行运输，此时需要构建MIP模型进行求解。
二、组合优化求解方法研究1. 线性规划法线性规划法是最基本的数学规划方法之一。
该方法通过求解线性规划模型的最优解，来得到组合优化问题的最优解。
线性规划法求解过程中，需要对线性规划模型进行求解，通过单纯形法等算法对模型进行求解，得到最优解。
然而，该方法在遇到非线性模型或超大规模问题时，效率会急剧下降。
2. 分支定界法分支定界法是解决混合整数规划问题的一种有效方法。
这种方法将原问题分解为一系列子问题，并将子问题的可行空间一步步缩小，最终得到最优解。
该方法特别适用于规模较小、分支量少的混合整数规划问题。
3. 遗传算法遗传算法是一种启发式优化算法，具有较好的全局搜索能力和适应性。
该算法模拟遗传和自然选择机制，通过不断选择优秀的个体和产生新的个体，最终寻找到问题的最优解。
【经典】建模-组合优化模型-组合优化
造访的节点 3. 寻找距离节点y最近的节点z作为下一个
造访的节点 4. 重复以上步骤，直到所有节点均已造访 5. 连接最后一个节点与起点，即形成一个
TSP的可行解
14
最近邻点法
5 2
4
3
5
1
7
8
3
7
12345
4
1 －4 7 3 8
1
旅行推销员问题
Traveling Salesman Problem
2
哈密尔顿循环(Hamiltonian Cycle)
环游世界问题:
有个人想环游世界，他选出全世界的二十个著名城世,然后在地 图上开始他的作业。他打算规画出一条路线,使他可以依序地玩遍这 二十个城市。但问题是并不是任两个城市皆有飞机直航,而他又不愿 重复去同一个城市两次。这个问题转化为图论上便是所谓的哈密尔 顿循环(Hamilton Cycle)，于1857年爱尔兰数学家哈密尔顿(Sir William Hamilton)首次提出。 哈密尔顿循环(Hamilton Cycle)不一定存在
路线构建(route construction)
• 邻点法、节省法、插入法、扫瞄法….
路线改善(route improvement) 局部搜索算法 （local search）
• k-Opt交换法、Or-Opt交换法……
综合型(composite)
• 合并执行路线构建及路线改善
13
最近邻点法(Nearest-neighbor Heuristic)
18
2-opt交换法
5 2
4
4
3
5
1
数学建模四大模型总结
数学建模四大模型总结1优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5 组合优化经典问题l 多维背包问题(MKP)背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于难问题。
l 二维指派问题(QAP)工作指派问题：个工作可以由个工人分别完成。
工人完成工作的时间为。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
l 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
l 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
l 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
组合优化问题的模型设计与算法求解
组合优化问题的模型设计与算法求解组合优化问题是在有限集合的所有子集中寻找最优解的问题，这些问题包括诸如最大割、最小哈密顿路径、匹配问题和指派问题等。
这些问题对于解决实际问题具有重要意义，因此组合优化问题的模型设计和算法求解是非常关键的研究方向。
组合优化问题的建模组合优化问题需要建立数学模型，才能进行算法设计与求解。
通常情况下，组合优化问题的模型可通过建立某些集合之间的关系来描述。
例如，针对最小割问题，我们可以通过建立割的概念，把问题转化为寻找两个点集之间的最小割。
一般情况下，组合优化问题需要遵守以下三个基本规则：1. 组合问题必须基于离散数据结构，如图形、网络、排列、集合等。
2. 贪心、动态规划、分支界限等算法可用来解决一些特殊的组合优化问题。
3. 对于一些难以求解的问题，需要寻找最优解的近似算法，其误差范围可在算法设计过程中控制。
组合优化问题的算法求解通常情况下，组合优化问题的建模过程经常是模棱两可的。
这时，我们需要寻找相应的算法，对建模的问题进行求解。
目前，大多数组合优化问题没有通用的求解方法，因此需要针对特定问题进行算法设计。
1. 枚举法枚举法是组合优化问题求解的最基本方法之一。
枚举法主要是通过遍历所有可能的解来寻找最优解。
但是，因为组合数目的爆炸性增长，枚举法不适用于解决具有大规模数据的问题。
通常情况下，枚举法只能够解决较小规模的问题。
2. 分支界限法分支界限法是通过逐步将解空间分解为较小的子空间，从而避免枚举整个解空间。
通过提前剪枝和减少搜索空间的方法，我们可以有效地减少计算量。
但是，对于某些问题而言，分支界限法同样存在着计算复杂度爆炸的问题。
因此，分支界限法同样只适用于中等规模的问题。
3. 近似算法对于一些实际的组合优化问题，我们常常需要求解最优解，但是这些问题的求解非常复杂。
针对这些问题，我们可以采用近似算法，其求解速度要快于精确算法，但是其结果并不保证是最优解。
例如，常用于解决图形分裂问题的 Kernighan-Lin 算法，就是一种近似算法。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模：课程安排优化问题
2012年数学建模竞赛参赛队员题目 A题：课程安排优化问题关键词排课问题，优化矩阵，有效矩阵摘要每学期的开学初，总有许多老师对阳光校区的课程安排很有意见，本文选取武汉纺织大学机械设计系的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对机械设计系的课表进行了重排。
在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。
运用我们建立的数学模型，对武汉纺织大学机械设计系的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。
根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。
我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以···大学机械设计系的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在阳光校区逗留时间、专业课排在早上，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。
最后，根据我们建立的模型，分析了模型的优缺点。
一、问题重述我校现有三个校区，有在校学生近25000人，其中阳光校区在校学生人数最多。
阳光校区现有四栋教学楼，分别是3号、6号、7号和8号楼，四栋教学楼之间有较大的距离，如从3号楼到8号楼步行需要约10分钟。
我校的学生作息时间安排中，一天共有13节课，划分为5个时间段，分别是1-2节、3-5节、6-8节、9-10节、11-13节。
按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。
同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。
每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。
组合优化问题的线性规划建模与求解方法
组合优化问题的线性规划建模与求解方法组合优化问题是指在给定的一组元素中，通过选择和排列这些元素，使得满足一定的约束条件下，所得到的组合具有最优的性质或目标值。
这类问题广泛应用于各个领域，例如物流配送、生产调度、项目管理等。
线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到满足某个目标函数的最佳线性解。
线性规划在组合优化问题中的应用非常广泛，通过建立合适的线性规划模型，可以有效地求解各种组合优化问题。
在组合优化问题中，线性规划建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量表示需要选择或排列的元素，目标函数则衡量所得到的组合的质量或性能指标，约束条件则限制决策变量的取值范围。
以下是一些常见的组合优化问题及其线性规划建模与求解方法：1. 装箱问题（Bin Packing Problem）：将一组物品装入容量有限的容器中，要求最小化使用的容器数量。
该问题可以使用整数线性规划进行建模。
决策变量可以表示物品是否被装入某个容器，目标函数可以表示使用的容器数量，约束条件包括容器的容量限制以及每个物品被装入一个容器的限制。
2. 旅行商问题（Traveling Salesman Problem）：给定一组城市和各城市之间的距离，求解一条最短路径，使得每个城市恰好被访问一次，并回到起始城市。
该问题可以使用混合整数线性规划进行建模。
决策变量可以表示城市之间的连接关系，目标函数可以表示路径的总长度，约束条件包括每个城市的进出度限制以及避免子循环的限制。
3. 生产调度问题（Production Scheduling Problem）：给定一组任务和可用资源，求解最优的任务分配和调度方案，使得总体生产时间最短。
该问题可以使用整数线性规划进行建模。
决策变量可以表示任务的开始时间和资源的分配情况，目标函数可以表示生产完成时间，约束条件包括资源的可用性和任务之间的时间限制。
4. 资源分配问题（Resource Allocation Problem）：给定一组资源和一组需求，求解最优的资源分配方案，使得满足所有需求的同时最小化资源的使用量。
组合优化问题的模型与算法分析
组合优化问题的模型与算法分析一、前言组合优化问题是一类重要的优化问题，普遍存在于工业、经济、军事等许多领域中。
它主要研究如何在给定约束条件下，寻找最优解来优化某些目标函数。
本文将从组合优化问题的定义入手，详细介绍组合优化问题的模型和算法分析。
二、组合优化问题的定义组合优化问题是指在一组离散元素中，选择一定数量的元素，并对其进行某种约束条件的限制，从而达到最优化某些目标函数的目的。
组合优化问题常见的例子包括背包问题、旅行商问题、集合覆盖问题等等。
三、组合优化问题的建模建模是解决组合优化问题的关键步骤之一，良好的模型设计能够有效提高算法的求解效率。
在组合优化问题中，模型设计可以从以下几方面入手：（1）目标函数：组合优化问题通常需要在一定的约束条件下，使得目标函数最优化。
在模型设计中，需要充分考虑目标函数的限制条件，选择合适的目标函数来进行描述。
（2）约束条件：组合优化问题的约束条件通常包括线性和非线性约束条件等等。
在模型设计中，需要综合考虑不同的约束条件来进行统一描述。
（3）变量设置：组合优化问题中变量设置的合理性对算法求解效率也有很大影响。
在模型设计中，需要尽可能减少变量数目，降低问题维度，从而有效提高算法求解效率。
四、组合优化问题的算法分析组合优化问题的构造是很难直接求解，需要设计专门的算法进行求解。
下面将介绍几种常见的组合优化问题算法：（1）贪心算法：贪心算法是一种自底向上的算法，通过每次选择当前最优解来逐步构建最终解。
这种算法的优点是简单易行，但缺点是不能保证全局最优解。
（2）回溯算法：回溯算法是一种自顶向下的算法，通过多次递归遍历整个搜索空间，寻找所有可能的解。
这种算法的优点是能够找到所有解，但缺点是复杂度非常高，需要考虑合适的剪枝策略来优化效率。
（3）分支限界算法：分枝限界算法是一种基于回溯算法的改进算法，它通过限制搜索空间，减少搜索的分支数，提高算法效率。
这种算法的优点是能够保证找到全局最优解，但缺点是需要考虑合适的限界策略来保证算法效率。
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
组合优化问题ppt课件
➢ 有一个推销员，要到 n 个城市推销商品，他要找出一个包含所有 n 个城市的具有最短路程的环路。
同样的问题，在中国还有另一个描述方法：
➢ 中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）：一个邮递员从 邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍 每条街道至少一次，应如何选择投递路线，使所走的路程最短。
在过去的几十年中，在求旅行商问题的最优解方面取得了极大 的进展。
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的回答。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致 解的精度或搜索效率的大幅度提高。
因此，对于什么样的问题，应该采用什么样的 方法，怎样使用这种方法才更有效果，在这方 面人们已经进行了很多的研究。
典型问题
旅行商问题
(Traveling Salesman Problem)
旅行商问题
TSP的历史很久
➢ 最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋 盘中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到 起始点。
组合最优化无法利用导数信息 精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一
般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
怎种组合优化问题拥有什么性质？
为了构造快速解法，什么样的性质是有用的？
数学建模案例工件的安装与排序
工件的安装与排序问题王晓楠，崔超，陈涛（中国矿业大学，徐州221008）摘要：本文首先深入分析了组合优化的特点，然后针对本题中设备对工件排血安装时的重量约束和体积约束的特点，就题目中提出几个问题分别设计了不同的算法，通过不同的算法的优劣的比较，不仅较好的解决了工件的排序安装问题，还得出了问题中算法设计的一些根据。
在问题1中，我们引入了贪心策略和自适应方法对搜索算法进行改进，大大减小了搜索的规模得到了一种效率和性能都不错的搜索算法，另外还针对数据的特点给出了一种操作简便的简化算法，通过两种算法的比较得出了一些有用的算法设计结论。
在问题1的算法设计过程中我们还适当的引入了一些理论证明，使算法更加有说服力，最终通过MATLAB软件得出了令人满意的结果，有力的证明了算法的可行性。
在问题2中将问题1的算法进行综合，然后分别从不同的出发点提出了两种算法，一种是适用性较强但不易实现的解析算法，另一种针对数据特点的较简便的针对性算法，并比较了两种算法各自的适应性，简便的求出了第二组数据的排序结果，并得出第一组数据无解的结论。
问题3根据前面的结论，如果只考虑重量，分析了两种相临扇区总重量差最大的情况，通过数学分析得出工件调整幅度，如果还要考虑体积因素，通过对工件的贪心选择，不断修正工件重量和体积，筛选出满足条件的工件组合。
我们在论文的最后还给出了模型的评价和推广。
一问题重述某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。
Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如33cm）；Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。
问题1．按重量排序算法；问题2．按重量和体积排序算法；问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。
组合优化问题的图论模型及算法研究
组合优化问题的图论模型及算法研究组合优化问题是一类重要的数学问题，涉及到计算机科学、运筹学、统计学、图论等多个领域。
组合优化问题的特点是问题规模大、时间复杂度高，因此寻求高效的算法成为解决该类问题的重要手段。
本文将围绕组合优化问题的图论模型及算法展开探讨。
一、组合优化问题的图论模型图论是组合优化问题建模的重要工具。
组合优化问题一般可以转化为图论问题。
例如，求解一个集合覆盖问题可以转化为一个有向图中的最小路径问题，求解一个最大流问题可以转化为一个有向图中的最大路径问题。
以下将介绍两类常见的组合优化问题及其图论模型。
1.最小割问题最小割问题是求解图中分割成两部分的最小权和的边集的问题。
在图论中，最小割问题可以转化为最大流问题。
首先，将图中的每个点分为两类，一个为源点集合，一个为汇点集合，如下图所示：[图1]接下来，我们需要找出源点集合和汇点集合之间的最小割，也就是最小的边权和。
最小割算法的思路是不断增加割集合的边权，直到源点和汇点间的割为最小。
2.旅行商问题旅行商问题是指在一个完全图中，求解一条经过所有节点的路径，使得路径长度最小。
使用图论模型求解旅行商问题可以将其转化为一个精确覆盖问题。
即对于所有的点和边，选中一些点和边，满足以下条件：1.每个点必须且只能被选择一次。
2.每条边恰好连接两个选中的点。
3.选择的点和边的数量最小。
如下图所示：[图2]二、组合优化问题的算法研究1.贪心算法贪心算法是一种常见的组合优化问题求解方法。
贪心算法通过局部最优做法来构建最终解，通常得到的并不是最优解，但是可以得到较优近似解。
贪心算法具有高效性、易于理解等优点，但是由于贪心算法是自顶向下构造解决方案的，所以它并不能消除由于先前选择的决策引起的后果，因此在某些场景下，贪心算法并不是最优解或者无法得到较优近似解。
2.综合性算法综合性算法包括回溯法、分支定界法、车型搜索等，这类算法通过对解空间的搜索，不断剪枝和回溯，得出合适的解决方案。
【经典】建模-组合优化模型-Job shop
设备M={M1，M2，
M3}，3个工件J={J1,J2，J3}其加工工序要
求和加工时间p如下表:
job1 M1，p1=10 job2 M2，p4=5 job3 M3，p7=8
M2，p2=5 M1，p5=3 M2，p8=10
M3，p3=8 M3，p6=15 M3，p9=8
• Time-lags是指同一工件的相邻工序间隔时间 的限制，分为最大和最小，通常分别表示为 tmin和tmax
算法的实现
• 基本Memetic算法的流程可以描述如下， • ( 1 ) 初始解生成，这里可以采用一些构造性启
发策略，并对初始种群进行局部优化。 • ( 2 ) 随机选择种群中的个体进行交叉，并对所
生成子个体进行局部优化。 • ( 3 ) 随机对种群中的个体进行变异，并对生成
个体进行局部优化。 • ( 4 ) 对种群进行更新。 • ( 5 ) 判断结束条件 ， 如不满足则返回第( 2 )
job1
t min
1
0; t1max
1
t min 2
1;t2max
12
job2
t min 4
0;
t
m 2
ax
2
t
m 5
in
1; t5max
10
job3
t min 7
0;
t
m 7
ax
4
t min 80; t8max 10 Nhomakorabea•
谢谢
A memetic algorithm for the job-shop
报告人：吕胜雪
主要内容
• 1 memetic algorithm • 2job-shop简单介绍 • 3实例
组合优化模型
组合优化模型在当今这个复杂多变的世界中，我们常常面临着各种各样的决策问题，如何在众多的选择中找到最优解，是许多领域都在追求的目标。
组合优化模型作为一种强大的工具，为解决这类问题提供了有效的方法。
组合优化模型是研究在有限的可行解集合中，找到满足特定目标的最优解的数学模型。
它广泛应用于物流运输、生产调度、资源分配、网络设计等众多实际问题中。
比如说在物流运输领域，一家物流公司需要安排车辆的运输路线，以最小化运输成本和时间。
这里的可行解就是所有可能的运输路线组合，而目标就是找到成本最低且时间最短的那条最优路线。
这时候就可以构建一个组合优化模型，考虑车辆的容量限制、道路状况、客户需求等各种因素，通过求解这个模型来得到最佳的运输方案。
再看生产调度问题，一个工厂要安排不同产品在不同机器上的生产顺序，以最大化生产效率。
可行解就是所有可能的生产顺序组合，目标是找到能使生产周期最短、设备利用率最高的方案。
通过建立组合优化模型，综合考虑产品的加工时间、机器的可用性、订单的交付期限等条件，从而确定最优的生产调度计划。
组合优化模型的核心在于对问题的准确描述和数学建模。
首先，我们需要明确问题的决策变量，也就是那些可以改变和选择的因素。
比如在物流运输中，车辆的行驶路线就是决策变量；在生产调度中，产品的生产顺序就是决策变量。
然后，要确定目标函数，也就是我们想要优化的目标。
这可能是最小化成本、最大化利润、最小化时间等。
目标函数的形式取决于具体的问题情境。
接下来，还需要设定约束条件。
这些约束条件反映了问题中的实际限制，比如资源的有限性、技术要求、政策法规等。
以物流运输为例，车辆的容量限制、客户的交货时间要求就是约束条件；在生产调度中，机器的加工能力、产品的工艺要求就是约束条件。
组合优化模型的求解方法多种多样。
一些简单的模型可以通过枚举法来求解，也就是逐个检查所有的可行解，找到最优的那个。
但这种方法对于大规模的问题往往不现实，因为可行解的数量可能会呈指数增长。
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（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
5
6
8
+2
+2
-5
9
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
问题：
如何用动态规划方法来研究同 顺序两台机床加工N个工件的 排序问题？
动态规划求解
最优排序方案：尽量减少在B上等待加工的 时间，使总加工时间最短。
阶段：n个 状态变量：（X,t）
X: 在机床A上等待加工的按取定顺序排列的 工件集合。
t: 在A上加工完x的时刻算起到B上加工完x 所需的时间。
指标最优值函数：
f（X,t）:由状态（X,t）出发，对未加工的 工件采取最优加工顺序后，将
最优排序规则：
a1 a2 … an 建立工时矩阵 M= b1 b2 … bn 在工时矩阵M中找出最小元素（若不止一个
可任选其一），若它在上行，则相应的工件 排在最前位置；若它在下行，则相应的工件 排在最后位置。 将排定位置的工件所对应的列从M中划去， 然后对余下的工件再进行排序。如此进行下 去，直到把所有工件都排完为止。
X中
所有工件加工完所需时间。
f（X,t,i）:由状态（X,t）出发，在A上加工 工件i,然后再对未加工工件采取最优加工顺 序后，将X中所有工件加工完所需时间。
f（X,t,i,j）
状态转移： (X,t) (X/i,zi(t))
A
ai
工件i
当t≤ai时 B
当t≥ai时
t
工件i-1
t
工件i-1
bi
bi t-ai+bi
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
n × 1 排序问题
即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？
例一、
零件代号
j1
加工时间（t） 3
• 能用动态规划方法求解的多阶段决策过程 是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无 后效性的多阶段决策过程。
如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改
变状态的定义或规定方法。
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方
程如下
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 ) sk 1 Tk ( sk , uk )
n × 2 排序问题
即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何 安排？
设有n个工件需要在机床A、B上加工，每个 工件都必须先经过A而后B•两道加工工序。 以ai、bi分别表示工件i(1≤i≤n)在A、B上的 加工时间。问应如何在两机床上安排各工 件的加工顺序，使在机床A上加工第一个工 件开始到在机床B上加工完最后一个工件为 止，所用的加工总时间最少？
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要 做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互 联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及 定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组 同类型的子问题，然后逐个求解。即从边界条件 开始，逐段递推寻优，在每一个子问题的求解中， 均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进 行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问 题的最优解。
动态规划的应用
——排 序 问 题
管理学院 管理科学与工程 张莹
排序问题
排序问题指n 种零件经过不同设备加工时 的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。
分类：
单台机器的排序问题
单件作业（Job-shop）排序问题： 工件的加工路线不同
多台机器的排序问题
流水作业（Flow-shop）排序问题： 所有工件的加工路线完全相同
例题：
设备 零件 j1
j2 j3
j4
j5
A
6 8735
B
3 2594
工件的加工工时矩阵为：M=
6 3
8 2
7 5
3 9
5 4
根据最优排序规则,最优加工顺序为： j4，j3，j5，j1，j2
A
B T
加工周期 T = 3+7+5+6+8+2 = 31 即 tAi tB小
加工顺序图如下：
A
3
B
7
f ( X , t) 随t单调增加，所以当Zij（t）≤ Zji（t） f ( X , t，i, j) f ( X , t, j, i) 成立
工件i放在工件j前面的条件：
max( bi bj aj,bj) max( bi bj ai,bi) min( ai,bj) min( aj,bi)