【经典】建模-组合优化模型-排序问题

X中
所有工件加工完所需时间。
f（X,t,i）:由状态（X,t）出发，在A上加工 工件i,然后再对未加工工件采取最优加工顺 序后，将X中所有工件加工完所需时间。
f（X,t,i,j）
状态转移： (X,t) (X/i,zi(t))
A
ai
工件i
当t≤ai时 B
当t≥ai时
t
工件i-1
t
工件i-1
bi
bi t-ai+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
最优排序方案：尽量减少在B上等待加工的 时间，使总加工时间最短。
阶段：n个 状态变量：（X,t）
X: 在机床A上等待加工的按取定顺序排列的 工件集合。
t: 在A上加工完x的时刻算起到B上加工完x 所需的时间。
指标最优值函数：
f（X,t）:由状态（X,t）出发，对未加工的 工件采取最优加工顺序后，将
动态规划的应用
——排 序 问 题
管理学院 管理科学与工程 张莹
排序问题
排序问题指n 种零件经过不同设备加工时 的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。
分类：
单台机器的排序问题
单件作业（Job-shop）排序问题： 工件的加工路线不同
多台机器的排序问题
流水作业（Flow-shop）排序问题： 所有工件的加工路线完全相同
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要 做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互 联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及 定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组 同类型的子问题，然后逐个求解。即从边界条件 开始，逐段递推寻优，在每一个子问题的求解中， 均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进 行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问 题的最优解。
n × 2 排序问题
即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何 安排？
设有n个工件需要在机床A、B上加工，每个 工件都必须先经过A而后B•两道加工工序。 以ai、bi分别表示工件i(1≤i≤n)在A、B上的 加工时间。问应如何在两机床上安排各工 件的加工顺序，使在机床A上加工第一个工 件开始到在机床B上加工完最后一个工件为 止，所用的加工总时间最少？
分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
问题：
如何用动态规划方法来研究同 顺序两台机床加工N个工件的 排序问题？
动态规划求解
例题：
设备 零件 j1
j2 j3
j4
j5
A
6 8735
B
3 2594
工件的加工工时矩阵为：M=
6 3
8 2
7 5
3 9
5 4
根据最优排序规则,最优加工顺序为： j4，j3，j5，j1，j2
A
B T
加工周期 T = 3+7+5+6+8+2 = 31 即 tAi tB小
加工顺序图如下：
A
3
B
7
5
6
8
+2
+2
-5
9
5
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
n × 1 排序问题
即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？
例一、
零件代号
j1
加工时间（t） 3
f ( X , t) 随t单调增加，所以当Zij（t）≤ Zji（t） f ( X , t，i, j) f ( X , t, j, i) 成立
工件i放在工件j前面的条件：
max( bi bj aj,bj) max( bi bj ai,bi) min( ai,bj) min( aj,bi)
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
• 能用动态规划方法求解的多阶段决策过程 是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无 后效性的多阶段决策过程。
如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改
变状态的定义或规定方法。
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方
程如下
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 ) sk 1 Tk ( sk , uk )
（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
最优排序规则：
a1 a2 … an 建立工时矩阵 M= b1 b2 … bn 在工时矩阵M中找出最小元素（若不止一个
可任选其一），若它在上行，则相应的工件 排在最前位置；若它在下行，则相应的工件 排在最后位置。 将排定位置的工件所对应的列从M中划去， 然后对余下的工件再进行排序。如此进行下 去，直到把所有工件都排完为止。