第3章点集拓扑学练习题

点集拓扑学练习题（第3章）

一、单项选择题（每题 2分）

1、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子

空间A 的拓扑为( )

① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=

③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=

2、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）

① {,}T Z φ= ② ()T P Z =

③ T Z = ④ {}T Z =

3、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

4、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则

有（ ）

① A B A B ?≠? ② A B A B ?=?

③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???

5、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是平庸空间

③ 平庸空间 ④ 不连通空间

6、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是离散空间

③ 平庸空间 ④ 连通空间

二、填空题（每题2分）

1、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑

是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;

2、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的

象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;

3、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的

象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;

4、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连

续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；

5、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商

空间所具有，则称这个性质是一个 ；

6、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间

12n X X X ??? 也具有性质P ，则性质P 称为 ;

四．简答题（每题4分）

1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()d A d B ?.

2、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .