第6章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题（第6章）

一、单项选择题

1、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,

则X 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

答案：①

2、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

答案：①

3、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

答案：④

4、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，

T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

答案：④

5、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

答案：③

6、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

答案：③

7、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开 邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

答案：①

8、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存 在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

答案：②

9、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )

①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间

答案：④

10、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )

①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间

答案：④

11. 设（X ., T ）是度量空间，则（X ., T ）不必是：（ ）

空间）（）紧致空间（）正规空间（空间）（21T D C B A A

答案：C

12. 下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ D ）

(A) 1T 公理 (B) 2T 公理 (C) 3T 公理 (D) 4T 公理

二、填空题

1．T 1空间__不一定是______有限补空间，有限补空间 ___是______T 1空间。(填” 是”或”不是”或”不一定是”)。

2. 正规空间的每一个 闭子空间 也是正规空间. 可分空间的每一个 开子空间 也是可分空间.

三．判断题

1、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )

答案：×

理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.

注：也可以说明X 不是1T 空间．

2、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )

答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间.

注：也可以考虑点２和点３.

3、3T 空间一定是2T 空间.（ ）

答案：√

理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间.

4．具有可数基的正则空间是正规空间。 （ √ ）

5．在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集是有界闭集。 （ √ ）

6．在T 0空间中，A 的凝聚点的任一邻域中含有A 的无限多个点 。（× ）

四．简答题（每题4分）

1、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.

答案：对x X ∀∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点y 有一个邻域U 使得x U ∉，即{}U x φ⋂=，故{}y x ∉，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.

2、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.

答案：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x '和{}y '分别是y 和x

的开邻域，并且有{}x x '∉,{}y y '∉.从而X 是一个1T 空间.

3、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的

一个开邻域V ,使得V U ⊂.

答案: 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.

4、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，

都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.

答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.

5、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.

答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故

{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '

是开集，因此()d A 是闭集.

五、证明题

1、设X 是一个1T 空间,A X ⊂,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的 无限多个点.（即U A ⋂是无限集）

证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，

设{}B U A x =⋂-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域.