正弦级数与余弦级数
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n1
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2
(1)n1 sin nx
n1 n
( x ; x ,3 ,)
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
2
3
4
5
观
察
两
函 数
y x
图
形
函数定义在[0, ]上 函数延拓到一个周期[ , ]上
函数按周期延拓到整个数轴上
定义在[0, ]上的函数展开成傅立叶级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的
函数 F ( x).
令
F
(
x)
f ( x), g( x),
0 x ; 且F( x 2 ) F( x),
x 0.
傅里叶级数时, 它的傅里叶系数为
an 0,
(n 0,1, 2, )
2
bn
f ( x)sin nxdx,
0
(n 1, 2,
)
(2) 当周期 2 为的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶
级数时, 它的傅里叶系数为
an
2
f ( x)cos nxdx,
0
(n 0,1, 2,
)
bn 0,
(n 1, 2, )
y
则F
(
x)
f f
( x), ( x),
0 x x 0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
~
a0 2
an
n1
cos
nx,
(0 x )
正弦级数 bn sin nx
n1
例 x1
将2函[(数f
(x) 2) sin
x x
1(s0in2xx1)(
2) sin
3
x
]
分别展开成正弦级2数和余弦3级数.(0 x )
3 2
O 2 3 x
所给函数满足狄利克雷充分条件.
x (2k 1) 时 f ( x)是以2为周期的奇函数
an 0, (n 0,1,2,)
bn
2
0
f ( x)sin nyxdx和f函2(x数)的图x图s象i形n nxdx
0
32
[2x
cos nx n
sin On
2nx]0
2
3 x
定义 如果f ( x)为奇函数,傅氏级数 bn sin nx n1
称为正弦级数.
如果
f
( x)为偶函数,
傅氏级数
a0 2
an
n1
cos nx
称为余弦级数.
例1设 f (x)是周期为2 的周期函数,它在 [ , )上
上的表达式为 f ( x) x,将 f (x)展开成傅氏级数.
y
解
f (x)的图形
解 (1) 求正弦级数.对f ( x)进行奇延拓, an 0
bn
2
0
f ( x)sinnxdx 2
( x 1)sin nxdx
0
2 (1 cos n cos n )
y
n
2
2, n
n 1,3,5,
1
O
x
2 ,
n 2,4,6,
1
n
(2)
求余弦级数.对f
( x)进行
余弦级数 a0 2
2 cos n 2(1)n1
n
n
(n 1,2,)
在点x (2k 1) (k 0,1,2,)处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) ( ) 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1) )处收敛于f ( x),
bn
2 (1)n1 n
(n
1,2,)
正弦级数 bn sin nx
现只考虑如下两种情况
奇 延 拓, 偶 延 拓.
奇延拓: g( x) f ( x)
y
f ( x), 0 x
则F
(
x)
0,
x0
f ( x), x 0 0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) ~ bn sinnx, (0 x )
n1
偶延拓: g( x) f ( x)
第八节 正弦级数与余弦级数 sine series and cosine series
一、正弦级数与余弦级数的概念
一般来说, 一个函数的傅里叶级数既含有正 弦项, 又含有余弦项. 但是, 也有一些函数的傅里 叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理 (1) 当周期 2 为的奇函数 f ( x) 展开成
偶延拓, bn
0
an
n1
cosnx
a0
2
( x 1)dx 2
0
y
an
2
( x 1)cos nxdx
0
1
2
n2
(cos
n
1)
O x
x
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos 5x
(0
)
x
)
注 仅在[0, ]上有定义的函数, 既可展成正弦级数,
又可展成余弦级数, 其傅氏级数不唯一.
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2
(1)n1 sin nx
n1 n
( x ; x ,3 ,)
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
2
3
4
5
观
察
两
函 数
y x
图
形
函数定义在[0, ]上 函数延拓到一个周期[ , ]上
函数按周期延拓到整个数轴上
定义在[0, ]上的函数展开成傅立叶级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的
函数 F ( x).
令
F
(
x)
f ( x), g( x),
0 x ; 且F( x 2 ) F( x),
x 0.
傅里叶级数时, 它的傅里叶系数为
an 0,
(n 0,1, 2, )
2
bn
f ( x)sin nxdx,
0
(n 1, 2,
)
(2) 当周期 2 为的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶
级数时, 它的傅里叶系数为
an
2
f ( x)cos nxdx,
0
(n 0,1, 2,
)
bn 0,
(n 1, 2, )
y
则F
(
x)
f f
( x), ( x),
0 x x 0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
~
a0 2
an
n1
cos
nx,
(0 x )
正弦级数 bn sin nx
n1
例 x1
将2函[(数f
(x) 2) sin
x x
1(s0in2xx1)(
2) sin
3
x
]
分别展开成正弦级2数和余弦3级数.(0 x )
3 2
O 2 3 x
所给函数满足狄利克雷充分条件.
x (2k 1) 时 f ( x)是以2为周期的奇函数
an 0, (n 0,1,2,)
bn
2
0
f ( x)sin nyxdx和f函2(x数)的图x图s象i形n nxdx
0
32
[2x
cos nx n
sin On
2nx]0
2
3 x
定义 如果f ( x)为奇函数,傅氏级数 bn sin nx n1
称为正弦级数.
如果
f
( x)为偶函数,
傅氏级数
a0 2
an
n1
cos nx
称为余弦级数.
例1设 f (x)是周期为2 的周期函数,它在 [ , )上
上的表达式为 f ( x) x,将 f (x)展开成傅氏级数.
y
解
f (x)的图形
解 (1) 求正弦级数.对f ( x)进行奇延拓, an 0
bn
2
0
f ( x)sinnxdx 2
( x 1)sin nxdx
0
2 (1 cos n cos n )
y
n
2
2, n
n 1,3,5,
1
O
x
2 ,
n 2,4,6,
1
n
(2)
求余弦级数.对f
( x)进行
余弦级数 a0 2
2 cos n 2(1)n1
n
n
(n 1,2,)
在点x (2k 1) (k 0,1,2,)处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) ( ) 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1) )处收敛于f ( x),
bn
2 (1)n1 n
(n
1,2,)
正弦级数 bn sin nx
现只考虑如下两种情况
奇 延 拓, 偶 延 拓.
奇延拓: g( x) f ( x)
y
f ( x), 0 x
则F
(
x)
0,
x0
f ( x), x 0 0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) ~ bn sinnx, (0 x )
n1
偶延拓: g( x) f ( x)
第八节 正弦级数与余弦级数 sine series and cosine series
一、正弦级数与余弦级数的概念
一般来说, 一个函数的傅里叶级数既含有正 弦项, 又含有余弦项. 但是, 也有一些函数的傅里 叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理 (1) 当周期 2 为的奇函数 f ( x) 展开成
偶延拓, bn
0
an
n1
cosnx
a0
2
( x 1)dx 2
0
y
an
2
( x 1)cos nxdx
0
1
2
n2
(cos
n
1)
O x
x
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos 5x
(0
)
x
)
注 仅在[0, ]上有定义的函数, 既可展成正弦级数,
又可展成余弦级数, 其傅氏级数不唯一.