最新版本机械控制工程基础第二章答案

习 题
2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i
o
o
o
o 222=++ (2) x tx x x
i
o
o
o
222=++ (3) x x x x
i
o 222o
o
=++ (4) x tx x x x
i
o
o
o
222o
=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。

线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。

该题中（2）和（3）是线性系统。

2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。

求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。

图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
x
m x c x x c i
o
o
2
o
1
)(=-- 即
x c x c c x
m i
1
2
1
o
o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有
)1()()(1
x x
c k x x o
i
-=- )2()(2
x k x x
c o
o
=-
消除中间变量有
x ck x k k x
k k c i
o
1
2
1
o
2
1
)(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x x
c o
o
i
o
i
2
1
)()(=-+-
即
x k x c x k k x
c i
i
o
o
1
2
1
)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图（题2.3）
解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有
⎰+=idt C
i R u o
12
2
i R u u o i 1
1=-
dt
i i C
u u o
i
)(1
1
1
⎰-=-
消除中间变量,并化简有
u R C u C
C R R u
R C u R C u C C R R u R C i
i
i
o
o
o
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1)()1(1+++=-+++
(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有
⎰++=idt
C i R u u o
i
11
1
⎰+=i R idt C
u o
2
2
1 消除中间变量,并化简有
u C
u R u C C u R R i
i
o
o
2
2
2
1
2
1
1)11()(+=+
++
2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。

图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。

解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
)(x R Rk C J M m
-++=θθθ
x
c x m x R k +=-)(θ 消除中间变量
x
,即可得到系统动力学方程
KM M c M
m C R c k KJ c C km R cJ mC mJ m
m
m
++=++-++++ θ
θθθ）（2
2
)()()
4(2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x 3(t)。

（1）求当工作点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。

解: (1) 将
x o =0,x o =1,x o =2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5x 3
(t)中,即当工作
点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态输出值分别为0=y o ,5.20
=y ,
8=y o。

(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点)(,y x o
o
附近,将
非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得
x
x x x y y x x o
o
o
o
∇•=+++=∇+|)5.12(5.022
3
∴ x
x y x
x o
∇
•=+=∇|)5.12(2
若令x x
∇=
,y
y ∇=有
x x y )5.12(20+=
当工作点为0=x o 时,
x
x x y 2)5.12(20=+= 当工作点为1=x o 时, x x x y 5.3)5.12(2
0=+=
当工作点为2
=
x o 时,
x x x y 8)5.12(2
=+=
2.6已知滑阀节流口流量方程式为ρ
p
cwx Q
v
2=，式中．Q 为通过
节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；x v 为节流阀的位移量；c 为疏量系数；w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。

试以Q 与p 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(x v ，p)在预定工作点F(x o ，p o )处按泰勒级数展开为
+∇•÷∇•∂∂+=∂
∂p p x x p x x F p x F Q o vo P
F
v o vo v
o vo ),()(),()(
),(
消除高阶项，有
p
p x x p x x F p x F Q o vo P
F
v o vo v
o vo ∇•+∇•∂∂+=∂
∂),()(),()(
),(
∴
),(),(p x F p x F Q o vo v -=∇
)
,(),()(),()(
),(p x F p p x x p x x F p x F o vo o vo P
F
v o vo v
o vo -∇•+∇•∂∂+=∂
∂
p
p x x p x x F o vo P
F
v o vo v
∇•+∇•∂∂=∂
∂),()(),()(
若令）（p x x F K o
vo v
,|)(1
∂∂=，）（p x F K o vo ,|)p (2
∂∂=， p
K
x K Q
v
∇
•∇•∇+=2
1
将上式改写为增量方程的形式
p
K x K Q v
••+=2
1
2.7 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。

（1）)(2)()(500)(50)(15)(t r t r t y t y t y t y
+=+++
（2）)(5.0)(25)(5t r t y
t y =+ （3）)(5.0)(25)(t r t y
t y =+ （4）)(4)(4)(6)(3)(t r dt t y t y t y
t y
=+++⎰ 解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。

(1)
)(2)()(500)(50)(15)(2
2
3
s sR s R s s Y s sY s Y s s Y s +=+++ ∴ 500
50152)(/)(22
2
++
++=s s s s
s s R s Y
(2)
)
(5.0)(25)(52
s sR s sY s Y s =+
∴ s
s s
s R s Y 2555.0)(/)(2
+= (3)
)
(5.0)(25)(2
s R s SY S Y s =+
∴ s
s s R S Y 255.0)(/)(2
+=
(4)
)(4)(1
4)(6)(3)(2
s Y s Y s
s Y S sY s Y s =+++
∴ 4
634)(/)(2
3+++=s s s s
s R s Y
2.8 如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x 为输入量，位移y 为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。

2.9 试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为
1)(+=
Ts K s G ,Ts s G =)(,s K s G =)(,而闭环传递函数为
)
()(1)()(s H s G s G s G B •±=
,则
(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，
K Ts K Ts K Ts K
s H s G s G s G B ±+=+±
+=•±=
1111)()(1)()(
(2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，
Ts
Ts s H s G s G s G B ±=•±=1)()(1)()(
(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，
K s K s
K s K
s H s G s G s G B ±=
±=•±=1)()(1)()(
2.10 证明图（题2.10）与图（题2.3（a ）所示系统是相似系统
（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。

)1(1
2
2
⎰+=idt
C
R u o
)2(1
1i
R u u o
i
=-
)
3()(1
1
1
dt
i i C
u u o
i
⎰-=-
对以上三式分别作Laplce 别换，并注意到初始条件为零,即
0)0()0(0)0()0(21
====I
I I
I
则
）
（4)
()1()()()(2222
s I s
C R s
C s I s I R s U O
+
=+
= ）
（5)()()(1
s I R S U s U i
O
i
=- ）（6)
()()()(11s
C s I s C s I S U s U O
i
-=
-
s
C 11)5(⨯
,得
)
7()
()()
(111110
s I s
C R s U s U s
C i
=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
R ⨯)6(1, 得 )8()()
()
()(11111
1s I s
C R s C s I R s U s U R i -=
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡
)
8()7(+, 得
)()
()()1(
11110
s I s
C R s U s U R s
C i
=
-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
即 )(1)(1)()(11111111s I C R R s I s
C R s C s C R s U s U O
i
+=+⨯=-
则 )
9()(1)()
(11
10s I C R R s U s U i ++
=
将(4)式中的)(0s U 代入(9)式 )(1)()1()
(11
122s I C R R s I s
C R s U i ++
+
=
)()11
(111
22s I s
C R R s C R ++
+
=
再用(4)式与上式相比以消去)(s I ,即得电系统的传递函数为
)
())
1(1()
()1
()()
()(111222210s I s C R R s C R s I s C R s U s U s G ++++
=
=
)
1(1
1111
2222s C R R s C R s
C R ++
+
+
=
而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有 c
x x c x x k x x o i i
)-()()-(1
2
o
2
=-+
x k c x x
i =-1
1
o
)(
对上二式分别进行拉式变换有
[]sc
s X s X s s X sc s X X k O i
i
1
2
)()()(X -)()(02-=+-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
s
c k s X s c s X +=
1101)()(
消除)(s X 有
s
k c c s k c s k c s c k s c k s c k s c k s X s X s G i 1
11222211112
22201)()()(++++=
++++==
比较两系统的传递函数有
C
k 2
21
⇔
C
k 1
11
⇔
R c
22
⇔ R c 1
1
⇔
故这两个系统为相似系统。

2.11 一齿轮系如图（题2.11）所示。

图中，z 1、z 2、z 3和z 4分别为各齿轮齿数；J 1、J 2、和J 3表示各种传动轴上的转动惯量，θ1、
θ
2
和θ3为各轴的角位移；M m 是电动机输出转矩。

试列写折算到电
动轴上的齿轮系的运动方程。

2.12 求图（题2.12）所示两系统的传递函数。

图（题2.12） 解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为
)()()()(t x c t x m k t x t x o o o i
+=-⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 作Laplce 别换，得
)()()()(2s csX s X s m k s X s X o o o i +=-⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ 则有
)/()(/)()(20k cs ms k s X s X s G i ++==
(2)由图(b)中系统,设i 为电网络的电流，可得方程为
⎰++=idt
C
dt di L Ri u i
1
⎰=idt C
u o
1
作Laplce 别换，得 )(1)()()(s I Cs s LsI s RI s U i
++= )(1)(o
s I Cs
s U = 消除中间变量有 1
1
)(/)()(2
0++==RCs LCs s U s U s G i
2.13 某直流调速系统如图（题2.13）所示，u s 为给定输入量，电动机转速n 为系统的输出量，电动机的负载转矩T L 为系统的扰动量。

各环节的微分方程：
比较环节 u u u fn s n -=∇ 比例调节器
u
K u n
k
c
∇= （K k 为放大系数）
晶闸管触发整流装置 u
K u c
k
d = (K s 为整流增益)
电动机电枢回路
e dt
di L R i u a
d
d
a
d
++=
(R d 为电枢回路电阻,L d 为电枢回路电感,i a 为电枢电流 ) 电枢反电势 n K e d
= (K
d
为反电势系数)
电磁转矩
i
K M a
m e
= (K m 为转矩系数)
负载平衡方程 T
dt
dn J M L
G
e
+= (J G 为转动惯量，T L 为负
载转矩) 测速电动机
n
u fn α= (α为转速反馈系数)
试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和
控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数
)
()
(s U s N s
和
)
()(s T s N L。

2.14 试绘制图（题2.14）所示机械系统传递函数方框图。

2.15 若系统传递函数方框图为图（题2.15）。

(1) 求以)(s R 为输入，当0)(=s N 时，分别以)(s C 、
)(s Y 、)(s B 、)(s E 为输出的闭环传递函数；
(2) 求以)(s N 为输入，当0)(=s R 时，分别以)(s C 、
)(s Y 、)(s B 、)
(s E 为输出的闭环传递函数；
(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论？
图(题2.15)
解:(1)求以)(s R 为输入，当0)(=s N 时: 若以)(s C 为输出,有
)
()()(1)()()()()(2121s H s G s G s G s G s R s C s G C
+==
若以)(s Y 为输出,有
)
()()(1)()()()(211s H s G s G s G s R s Y s G Y
+==
若以)(s B 为输出,有
)
()()(1)
()()()()()(2121s H s G s G s H s G s G s R s B s G B
+==
若以)(s E 为输出,有
)
()()(11
)()()(21s H s G s G s R s E s G E
+==
(2)求以)(s N 为输入，当0)(=s R 时: 若以)(s C 为输出,有
)
()()(1)()()()(212s H s G s G s G s R s C s G C
+=
=
若以)(s Y 为输出,有
)
()()(1)()()()()()(2121s H s G s G s H s G s G s R s Y s G Y
+-=
=
若以)(s B 为输出,有
)
()()(1)()()()()(212s H s G s G s H s G s R s B s G B
+=
=
若以)(s E 为输出,有
)
()()(1)()()()()(212s H s G s G s H s G s R s E s G E
+-=
=
(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递出数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。

2.16 已知某系统的传递函数方框图为图（题 2.16），其中，
)(s X i
为输入，)
(s X O
为输出,N(s)为干扰，试问：G(s)为何值时，
系统可以消除干扰的影响。

图（题2.16）
解：方法一：根据线性系统的叠加原理，令0)(=s X i ,N(s)为输入，系统的输出为
[])()()()()(241s G K s G s G s N s X B B oN
-=
其中
K K K s Ts K K K Ts K s K K Ts K S K K s G B
3
221321321
321
111)(1++=+++=
K K K s Ts s K Ts K s K K Ts K s G B
3
2213321
3
1
11)(2++=+++=
∴
[])()()()()(241s G K s G s G s N s X B B oN
-=
K K K s Ts s K K K s G K K K 3
212214321)(++⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡-=
令 0
)(=s X oN
有 s
K K K s G 2
14)(=
方法二：令0)
(=s X i ，N(s)为输入，则系统的传递函数方框图
可以表示成图（题2.16.b ）所示。

图（题
2.16.b ）
根据相加点前后移动的规则可以将其进一步简化成图（题2 .16. c ）和图（题2.16．d ）所示的形式。

图（题
2.16.c ）
图（题
2.16.d ）
因此，系统在N(s)为输入时的传递函数为
K K K s Ts s K K K s G K K K s G N
3
212
214321)()(++⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡-=
同样可得s
K K K s G 2
14)(=
时，系统可消除干扰的影响。

2.17 系统结构如图(题2.17)所示，求系统传递函数。

)
1(1)()()
()(321241G G G G G G s R s C s G B
+++==
2.18 求出（题2.18）所示系统的传递函数)(/)
(s X s X i
O 。

图(题2.18)
解：方法一：利用梅逊公式，可得
H G G H G G H G G G H G G G G G G G G s X s X s G i O B
4
4313223213432143211)()()
(+-+-==
方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.18.b）图（题2.18.b）
H G G H G G H G G G H G G G G G G G G s X s X s G i O B
4
4313223213432143211)()()
(+-+-==
2.19 求出图（题2.19）所示系统的传递函数)(/)(s X s X i
O 。

图（题
2.19）
解：根据方框图简化规则，有图（题2.19.b ）
图（题
2.19.b ）
H H G G G H G G G G G G G G s X s X s G i O B
2
1321343214321)(1)()()
(-+++==
2.20 求出图（题2.20）所示系统的传递函数)(/)
(s X s X i
O 。

图（题2.20） 解：根据方框图简化规则，有图（题2.20.b ）
图（题2.20.b ）
H G G G G G G G G H G G G G G G G G G G s X s X s G i O B
2
3252143312154321521)1(1)()()
(-++++==
2.21 设描述系统的微分方程为 (1)
02=++y y y (2) A y y y
=++ 2 试导出系统的状态方程。

2.22 RLC 电网络如图（题2.22）所示，u(t)为输入，流过电阻R 2的电流i 2为输出，试列写该网络的状态方程及输出方程。

2.23 系统传函数方框图为图（题2.23），试列写该系统的状态方程及输出方程。

2.24 图（题2.24）为某一级倒立摆系统示意图。

滑台通过丝杠传动，可沿一直线的有界导轨沿水平方向运动；摆杆通过铰链与滑台连接，可在沿直线平面内摆动。

滑台质量为M，摆杆质量为m，摆杆转动惯量为J，滑台摩擦系数为c,摆杆转动轴心到杆质心的长度为L,加在滑台水平方向上的合力为u,滑台位置为x,摆杆与铅直向上的夹角为ϕ。

(1)以u为输入，ϕ为输出，列写系统的微分方程；
(2)求系统的传递函数；
(3) 试列写该系统的状态方程及输出方程。

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