圆的方程总结
圆与方程公式总结
圆与方程公式总结圆在数学中可是个相当重要的角色，从小学到高中，它都时不时地出来“刷一波存在感”。
那咱今天就好好唠唠圆与方程的那些公式。
咱先从圆的标准方程说起。
圆的标准方程就像是圆的“身份证”，能一下子把圆的关键信息都给透露出来。
它是这样的：(x - a)² + (y - b)² = r²。
这里的 (a, b) 就是圆心的坐标，r 呢，就是圆的半径。
比如说，有个圆的圆心在 (3, 4) ，半径是 5 ，那它的标准方程就是 (x - 3)² + (y - 4)²= 25 。
再来说说圆的一般方程，它长这样：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 。
不过这里得有个条件，就是 D² + E² - 4F > 0 ，不然可就不是圆啦。
我记得我上学那会，有一次数学考试，就考到了圆的方程。
当时有一道题，给了一个圆的一般方程 x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 ，让求出圆心和半径。
我一开始还有点懵，后来静下心来，先把方程配方，变成 (x - 2)² + (y + 3)² = 25 ，一下子就得出圆心是 (2, -3) ，半径是 5 。
那次考试因为这道题做对了，成绩还不错，可把我高兴坏了。
接下来咱们说说怎么从圆的一般方程求出圆心和半径。
圆心的坐标就是 (-D/2, -E/2) ，半径是√(D² + E² - 4F) / 2 。
这个可得记住喽，考试的时候经常会用到。
还有啊，圆与直线的位置关系也和这些方程有关系。
通过联立圆的方程和直线的方程，然后判断判别式的大小，就能知道圆和直线是相交、相切还是相离。
在做练习题的时候，经常会碰到那种让你求圆上某点到直线距离的最值问题。
这时候就得先求出圆心到直线的距离，然后再根据圆的半径来算最值。
总之，圆与方程的这些公式在数学学习中特别重要，不管是解题还是实际应用，都离不开它们。
圆的方程的知识点总结
圆的方程的知识点总结一、圆的标准方程圆的标准方程是圆心在原点(0,0)、半径为r的圆的方程。
它可以表示为：x^2 + y^2 = r^2其中，(x,y)是圆上的任意点，r是圆的半径。
这个方程可以用来描述一个圆的几何形状和位置。
当圆心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方式将圆心移到原点，然后再应用标准方程。
这样，任意圆的方程都可以被化简为标准方程的形式。
二、圆的一般方程圆的一般方程是一个更一般的表示方法，它可以描述任意圆的方程，即圆心不一定在原点，半径也不一定为正值。
一般方程的形式如下：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以描述圆的任何位置和大小。
三、圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式表示的圆的方程。
一个圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t是一个参数，取值范围一般是[0,2π]。
通过不同的参数取值，我们可以得到圆上的所有点。
参数方程的形式在一些数学和物理问题中有一定的应用价值。
四、圆的性质1.圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的任意一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。
而圆的周长则是圆周的长度，可以通过以下公式计算：C = 2πr其中，r是圆的半径，C是圆的周长。
2.圆的面积圆的面积是圆内部的所有点的集合，可以利用下面的公式来计算：A = πr^2其中，r是圆的半径，A是圆的面积。
这个公式也可以通过积分的方式来推导。
3.切线对于给定的圆和一点P在圆上，我们可以找到一条直线，它通过点P且与圆相切。
切线的斜率可以通过圆心和点P的连线来确定。
这个性质在解决与圆有关的问题时有很大的帮助。
五、圆的应用圆在日常生活和工程中有着广泛的应用，下面是一些例子：1. 圆的几何构造：利用圆的性质可以进行各种几何构造，例如正多边形的内切圆和外接圆、切线的构造等。
2. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学问题是一个常见的问题，如圆周运动、圆形轨道的运动等。
圆的方程公式大全总结
圆的方程公式大全总结圆是平面上的一种特殊的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，我们经常需要用到圆的方程公式来描述和计算圆的相关问题。
本文将总结圆的方程公式，包括标准方程、一般方程以及其他相关的公式，希望能够为读者提供一个全面的了解和参考。
1. 圆的标准方程。
圆的标准方程是圆的一种基本描述方式，通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
这个方程可以直观地表达出圆心和半径的位置关系，是描述圆的一种常用形式。
2. 圆的一般方程。
除了标准方程外，圆还可以用一般方程来表示，即x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
在这个方程中，D、E、F分别表示圆心坐标和半径的关系，通过一般方程可以更灵活地描述圆的特征。
3. 圆的参数方程。
除了以上两种常见的方程形式外，圆还可以用参数方程来表示。
参数方程是一种用参数表示函数的方式，对于圆来说，可以表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心坐标，r表示半径，θ表示参数。
通过参数方程，我们可以更直观地理解圆的轨迹和运动规律。
4. 圆的相关公式。
除了上述的方程形式外，圆还有许多与之相关的重要公式，如圆的周长公式C = 2πr，圆的面积公式S = πr²，圆心角和弧度的关系公式θ = s/r，以及切线和法线的斜率公式等。
这些公式在解决圆的相关问题时起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解和运用圆的性质。
总结，圆的方程公式是描述和计算圆的重要工具，通过标准方程、一般方程和参数方程等不同的形式，我们可以更全面地理解和运用圆的性质。
此外，圆的相关公式也为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
希望本文的总结能够帮助读者更好地掌握圆的方程公式，提高数学应用能力。
圆的方程 知识点总结
圆的方程知识点总结圆是平面上一组距离等于定值的点构成的集合。
圆的方程是描述圆的位置和形状的数学公式。
在平面直角坐标系中，圆的方程通常以(x,y)表示平面上的点，以(r)表示圆的半径。
圆的方程有多种表示形式，包括标准圆的方程和一般圆的方程。
在本文中，我们将讨论这两种表示形式，并就圆的方程的一些重要知识点进行总结。
一、标准圆的方程在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
在标准圆的方程中，圆心的坐标是负号，而圆的半径是正号。
例：方程(x - 2)² + (y + 3)² = 4这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的标准圆的方程。
二、一般圆的方程一般圆的方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中D，E和F是常数，而一般圆的方程的系数则表示圆心的坐标和半径。
在一般圆的方程中，圆心的坐标可以通过系数D和E计算：圆心的横坐标(h) = -D/2圆心的纵坐标(k) = -E/2而圆的半径可以通过系数D，E和F计算：r² = h² + k² - F一般圆的方程可以通过圆心的坐标和半径的公式推导出来。
例：方程x² + y² - 4x + 6y + 12 = 0这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的一般圆的方程。
三、圆的一般方程与标准方程的转换在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到，而一般圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到。
通过圆心的坐标和半径的公式，我们可以将一般圆的方程转换成标准圆的方程。
同样地，我们也可以将标准圆的方程转换成一般圆的方程。
四、圆的方程的性质1. 圆的方程中，系数D和E总是成对出现，即D和E的系数相等。
2. 圆的半径r永远是正数。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
高二圆与方程的知识点总结
高二圆与方程的知识点总结圆与方程是高二数学学习中的重要知识点，掌握好这部分内容对于后续学习和解题都非常关键。
本文将对高二圆与方程的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、圆的基本性质1. 定义：平面上到定点距离相等的点的集合就是一个圆。
2. 圆的部分：圆心、半径和圆周。
3. 公式：- 圆心坐标公式：设圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
- 圆的一般方程：将圆心坐标公式展开，整理得：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
（注：D、E、F为常数）二、直线与圆的位置关系1. 直线与圆相交的情况：- 相离：直线与圆没有交点。
- 相切：直线与圆有且仅有一个交点。
- 相交：直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆的判别方法：- 写出直线方程和圆方程，将直线方程代入圆方程，解方程组即可得到交点或判别关系。
- 使用几何方法判别，如定理、推论等。
三、圆的方程与位置关系1. 一般方程的性质：- 如果D²+E² > 4F，则方程代表一个实心圆。
- 如果D²+E² = 4F，则方程代表一个过圆心的直线。
- 如果D²+E² < 4F，则方程代表一个过圆心的虚圆。
2. 圆的标准方程：- 圆的标准方程为：(x-h)² + (y-k)² = r²。
其中，(h, k)为圆心坐标，r为半径。
四、圆的切线与法线1. 切线与法线的定义：- 切线：圆上的一点到圆心的直线称为该点处的切线。
- 法线：垂直于切线的直线称为切线的法线。
2. 切线的斜率公式：- 设圆的方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，过圆上一点P(x₀, y₀)的切线方程为：xx₀ + yy₀ + (Dx₀+Ey₀) + F = 0。
圆与方程知识点总结
圆与方程知识点总结圆的定义和性质：圆的方程及表达方式：1.标准方程：圆的标准方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。
标准方程用于表示圆心不在原点的圆。
2.一般方程：圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为任意实数。
一般方程用于表示圆心在原点的圆。
3. 参数方程：圆的参数方程分别为x=h+r*cosθ y=k+r*sinθ，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径，θ为取值范围在0到2π之间的参数。
参数方程用于描述圆上各点的坐标。
圆的方程与图像的关系：1.圆心位置：圆的方程可以帮助确定圆心的位置。
当方程为标准方程时，圆心的坐标就是方程中"(h,k)"的值。
当方程为一般方程时，根据方程的形式可以得知圆心在(x等于D/2，y等于E/2)的点上。
2.半径大小：圆的方程中的r值表示半径的大小。
半径是圆上任意一点到圆心的距离，通过方程可以得到半径的值。
3.图像形状：圆的方程描述了圆的几何形状，通过方程可以确定圆的半径，并且可以利用方程画出圆的图像。
当方程中的常数项F为0时，表示圆心在原点，可以用该方程画出圆的图像。
圆与方程的应用：1.几何学中，圆是一种重要的几何图形，广泛应用于计算圆的面积、周长和弧长。
通过圆的方程可以帮助几何学家推导圆的相关性质，以及与其他几何图形的关系。
2.物理学中，圆的方程用于描述运动中的圆形轨迹，如行星在椭圆轨道上运动。
通过分析轨道方程可以计算出行星的运动轨迹、速度和加速度等物理量。
3.工程学中，圆的方程广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）和机器人技术等领域。
利用圆的方程可以计算出圆形图案和零件的尺寸，使得工程师能够更好地设计和制造产品。
4.经济学中，圆的方程可应用于计算边际收益、成本曲线和供求关系等经济学模型。
通过圆的方程可以计算出最优决策和市场均衡等经济指标。
总结：圆是数学中一个重要的几何图形，通过方程可以描述圆的几何形状、圆心位置和半径大小。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422FE D r -+=（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x（4）圆的参数方程：①)0(222>=+r r y x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）；②)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-222)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-222)()(r b y a x 点P 在圆上； ③⇔<-+-222)()(r b y a x 点P 在圆内.（2）点),(00y x P 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：①⇔>++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆外； ②⇔=++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆上； ③⇔<++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程 思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b )和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）ABC ∆的三个顶点分别为A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A (6,5),B (0,1),且圆心在直线3x +10y +9=0上； （3）经过点P (-2,4),Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-0505508220265F E D F E D F E D 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=2024F E D 故所求圆的方程为0202422=---+y x y x解法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x =2,BC 的中垂线方程为x +y -3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P (2,1),且半径5)51()12(||22=-++==AP r所以所求圆的方程为25)1()2(22=-+-y x 即0202422=---+y x y x（2）AB 的中垂线与AB 垂直，则斜率231-=-=ABk kAB 的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(233--=-x y ， 即线段AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x ，解得⎩⎨⎧-==37y x ，所以圆心为C(7,-3),又65||=BC故所求的圆的方程为65)3()7(22=++-y x（3）设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点P ，Q 的坐标分别代入，得⎩⎨⎧-=+-=--1032042F E D F E D ，又令y =0,得02=++F Dx x .设21,x x 是方程的两根，则由韦达定理有F x x D x x =-=+2121,，由6||21=-x x有364)(21221=-+x x x x ，即3642=-F D解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=842F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=086F E D故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程例9.18 已知圆的半径为10，圆心在直线y =2x 上，圆被直线y=x 截得的弦长为24，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求222)()(r b y a x =-+-中的a,b,r ，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为10)()(22=-+-b y a x .由圆心在直线y=2x 上，得b=2a （①） 由圆在直线y=x 上截得的弦长为24，将y=x 代入10)()(22=-+-b y a x ，整理得010)(22222=-+++-b a x b a x 由弦长公式，得24||221=-x x即24)10(2)(2222=-+-+b a b a ，化简得2±=-b a （②） 由式①②可得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距2)22(22=-=r d ，又弦心距等于圆心(a,b )到直线x-y =0的距离，即22||=-=b a d ，又已知b =2a ，解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a 故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x 轴相切，圆心在直线3x-y =0上，且被直线x-y =0截得的弦长为72的圆的方程例9.19 圆01222=--+x y x 关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）A.21)2()3(22=-++y x B.21)2()3(22=++-y xC.2)2()3(22=-++y x D.2)2()3(22=++-y x解析 解法一：（推演法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)1(22=+-y x ，得圆心为(1,0)，半径为2，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+⨯2110032212a b b a ,得⎩⎨⎧=-=23b a . 故对称圆的方程是2)2()3(22=-++y x 解法二：（排除法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)2(22=+-y x ,得2=r ,则对称圆的半径也应为2，故排除选项A,B ，在选项C 中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为211302-=---，与直线032=+-y x 垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P ,Q 的坐标分别为，)3,3(),,(a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线l 对称的圆的方程为______题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：0)()(22221111=+++++C y B x A C y B x A λλ)0(2221≠+λλ简记为：)0(022212211≠+=+λλλλl l 当01≠λ时，简记为：021=+l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x简记为：)1(021-≠=+λλC C ，不含2C当1-=λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 注 与圆C 共根轴l 的圆系0:=+l C C λλ例9.20 （1）设直线01:1=+-y x l 与直线022:2=++y x l 相交于点P,求过点P 且与直线0132:3=--y x l 平行的直线4l 的方程.（2）求圆心在直线0143=-+y x 上且过两圆0222=-+-+y x y x 与522=+y x 的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由⎩⎨⎧=++=+-02201y x y x ，得交点)0,1(-P .因为34//l l ，故设032:4=+-C y x l ，又4l 过点)0,1(-P ，故0)1(2=+-C ，得2=C即0232:4=+-y x l解法二：设0)1(22:4=+-+++y x y x l λ，即02)1()2(:4=++-++λλλy x l 因为34//l l ，所以）（）（λλ-=+-1223，得8-=λ，故0232:4=+-y x l (2)设所求圆为)1(0)5(222-≠=-++-+-+λλy x y x y x 化为一般式0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 所以)1(212,)1(212λλ+-=-+=-E D ，故圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++）（，）（λλ121-121代入直线0143=-+y x 中，得01)1(24)1(23=-+-+λλ解得23-=λ，把23-=λ代入所设的方程中，得0112222=--++y x y x 故所求圆的方程为0112222=--++y x y x评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往能够简化运算，快速得出结论.变式1 过直线042=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程是_________ 变式2 （1）设直线0:1=-y x l 与直线04:2=-+y x l 相交于点P ，求过点P 且与直线0543:3=++y x l 垂直的直线4l 的方程.（2）已知圆042:22=---+m y x y x C ，若直线02:=-+y x l 与圆C 相交于A,B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点），求m 的值和以AB 为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点)0,4(),0,1(N M 的距离之比为21.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）若直线3:+=kx y l 与曲线W 交于A,B 两点，在曲线W 上是否存在 一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 解析 （1）设点P 的坐标为),(y x P ，由题意知21||||=PN PM ，即2222)4()1(2y x y x +-=+- 即4:22=+y x W（2）因为直线3:+=kx y l 与曲线W 相交于A,B 两点，所以213),(2<+=kl O d即25>k 或25-<k ① 假设曲线W 上存在点Q ，使得2||,=+=OQ OB OA OQ 因为A,B 在圆上，所以||||OB OA =，且OB OA OQ +=由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直平分. 故1||21),(==OQ l O d ，即1132=+k，解得22±=k ，符合式①所以存在点Q ，使得OB OA OQ +=评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆. 变式1 在ABC ∆中，若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值为__________变式2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面B A l ,,=βα 是l 上的两个点，C,D 在平面β内，且αα⊥⊥CB DA ,,AD =4,AB =6,BC =8，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则P-ABCD 体积的最大值是（ ）A.324B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P (4,0)是圆3622=+y x 内的一点，A,B 是圆上两动点，且满足︒=∠90APB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析 解法一：设AB 的中点为R ,点Q 的坐标为(x,y ),则在ABP Rt ∆中||||PR AR =，又因为R 是弦AB 的中点，由垂径定理，在ORA Rt ∆中36||||22=+OR AR ，又2222|)|2(|)|2()|||(|2PR OR OP OQ +=+(*), 得72362)|||(|2||||2222=⨯-+=+PR OR OP OQ , 故56||72||22=--OP OQ则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是5622=+y x 解法二：设AB 的中点为R ，Q 的坐标为(x,y),则⎪⎭⎫⎝⎛+2,24y x R ，在矩形APBQ 中有||21||||PQ AR PR ==在ORA Rt ∆中，36||||||222==+OA RA OR则()[]364412242222=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ，即5622=+y x 评注 式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ 外一点，有2222OB OA OQ OP +=+变式1 已知圆422=+y x 上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内的一定点，P ，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；（2）若︒=∠90PBQ ，求线段PQ 中点N 的轨迹.变式2 已知点P (0,5)及圆024124:22=+-++y x y x C（1）直线l 过P 且被圆C 截得的线段长34||=AB ，求l 的方程； （2）求过点P 的圆C 的动弦的中点M 的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 思路提示方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径F E D r 42122-+=例9.23方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.()2,-∞-B.⎪⎭⎫⎝⎛-0,32 C.()0,2-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2解析 由0122222=-+++++a a ay ax y x可得0143)(2222>+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a y a x即04432<-+a a ，得322<<-a .故选D 评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程042422=+-++m y mx y x 表示圆的方程的充要条件是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,41mB.()+∞∈,1mC.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈41,mD. ),1(41,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈ m变式2 若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数a 的值为______ 题型5 点与圆的位置关系判断 思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A (1,1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B.)1,0(C.),1()1,.(+∞-∞-D.{}1,1-解析 点A (1,1)在圆内部，满足4)()(22<++-a y a x ，即4)1()1(22<++-a a ，解得11<<-a 故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点),(00y x P 在圆上,则22020)()(r b y a x =-+-； 若点),(00y x P 在圆外,则22020)()(r b y a x >-+-； 若点),(00y x P 在圆内,则22020)()(r b y a x <-+-.反之也成立.变式1 点A (1,0)在圆0332222=-++-+a a ax y x 上，则a 的值为_______变式2 过占P (1,2)可以向圆024222=-+-++k y x y x 引两条切线，则k 的范围是（ ）A.)7,(-∞B.)7,0(C.)7,3(D.),5(+∞题型6 与圆有关的最值问题 思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y 满足方程01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值； （2）求x y -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值分析 方程01422=+-+x y x 表示圆心为（2，0），半径为3的圆.--=x y x y 的几何意义是圆上一点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b ，可看作直线y=x+b 在y 轴上的截距；22y x +是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.解析 （1）原方程可化为3)2(22=+-y x ，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k xy=，即kx y =.当直线kx y =与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时31|02|2=+-k k ，解得3±=k故xy的最大值为3，最小值为3- （2）设y-x =b ，即y =x +b ，当y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时32|02|=+-b ，即62±-=b ，故y-x 的最大值为62+-，最小值为62--（3）解法一：（几何法）22y x +表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()347)32(2max22+=+=+y x,()347)32(2min22-=-=+y x解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22=+-y x设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x （θ为参数,)2,0[πθ∈） 则()θθθcos 347)sin 3(cos 322222+=++=+y x故当1cos -=θ时，()347)32(2min22-=-=+y x当1cos =θ时，()347)32(2max22+=+=+y x解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22=+-y x ，可得222(3）--=x y且[]32,32+-∈x故14)2(32222-=--+=+x x x y x 由[]32,32+-∈x故[]347,3471422+-∈-=+x yx故所求最大值为347+，最小值为347-评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如ax b y --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题 变式 1 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0≥-+m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞B.),21[+∞-C.]12,(---∞D.]12,(+-∞ 变式2 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0)2(22≥-+-m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞ B.),51[+∞- C.]15,(--∞ D.]15,(+-∞题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程225x y --=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围解析 由题可知0,55≤≤≤-y x ，且2522=+y x ，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程21y x -=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆 例9.27 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A.{}2,2- B.{}211|-=≤<-b b b 或 C.{}11|≤≤-b b D.{}2|≥b b 分析 利用数形结合法求解解析 将曲线方程21y x -=变形为)0(122≥=+x y x ，当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时，满足12|00|=--b ，整理可得2||=b ，即2±=b .如图9-12所示，可得当2-=b 或11≤<-b 时，直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.故选B变式1 当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 变式2 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[]221,1+- B.[]221,221+- C.[]3,221- D.[]3,21- 变式3 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222, {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122),(，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______有效训练题1.若直线y =kx 与圆03422=+-+x y x 的两个交点关于直线x +y +b =0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2 2.若点(4a -1,3a +2)不在圆25)2()1(22=-++y x 的外部，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55,55 B.)1,1(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-55,55 D.]1,1[- 3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P （ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 4.已知圆422=+y x ，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)1(22x y x B. ()104)1(22<≤=+-x y xC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)2(22x y x D. ()104)2(22<≤=+-x y x 5.已知两点A (-1,0),B (0,2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是（ ） A.)54(21,2- B.)54(21),54(21-+ C.54,5- D. )25(21),25(21-+ 6.已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A.31 B.51 C.31- D.51- 7.定义在),0(+∞上的函数f (x )的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若1)(22≤+y x f ，则y x y x 2222+++的最小值是______8.已知圆C 经过()()5,1,1,3A B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______9.已知直线R m m x y l ∈+=,:.若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，该圆的方程为_______10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点(1,1)P 和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -；（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C -（4）已知一圆过(4,2),(1,3)P Q --两点，且在y 轴上截得的线段长为.11.设定点(3,4)M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边做平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.12.集合22(,)|((1)4A x y x y ⎧⎫⎪⎪=++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 集合{}22()(,)|22,B m x y y x mx m m m R ==-++∈，设集合B 是所有()B m 的并集，求A B ⋂的面积。
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梗概：
1、关于圆与直线的三种位置关系的判定，分代数法和几何法。
三种情况分别各有研究重点。
相交时，研究弦长，中点弦，最长最短弦；相切时，研究切线方程，切线段长,切点所在直线方程；相离时，研究圆上动点到直线距离的最值（其它两种位置关系也可研究）；直线和圆系方程及圆系方程。
2、圆与圆位置关系的判定，连心线性质（平分公共弦），公切线条数判断（实质及两圆位置关系判断），公共弦所在直线方程及公共弦长，两圆上动点距离的最值，圆系方程。
注：关注各种利用几何意义求最值
求圆的方程
一、已知圆上三点，求圆的方程
例1
、(1,0),1,1),(3,2).
A B C
--
解法一：待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，
求出a,b,r,或者D，E，F
解法二：垂直平方线的焦点为圆心，两点间距离求半
径。
二、已知两点和圆心所在直线
解法一：待定系数法，设出标准或一般方程。
解法二：垂直平分线与圆心所在直线的交点求圆心，
两点间距离求半径。
三、已知弦长求圆的方程
(2,4)Q3-1
P-
例2、过及（，）两点，且在x轴上
截得的弦长为6的圆的方程。
例3、圆心在直线30
x
y
-=上，与x轴相切，且
被直线0
x y
-=截得的弦长为，求圆的方程。
（课
本132A6）
例4、求与x轴切于（5,0），并在y轴上截得
的弦长为10的圆的方程。
例5、已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的
正半轴上，直线被圆C所截得的弦长为
求过圆心且与直线l垂直的直线方程。
四、已知切点，求圆的方程
例6、直线43350
x y
+-=与圆心在原点的圆C相
切，求圆的方程。
例7、圆心在y轴上，半径为5，且与直线6
y=
相切的圆的方程。
（课本132A2（2））
例8、圆心在直线2
y x
=-上，且过点A（2，-1），
与直线1
x y
+=相切的圆的方程。
五、过直线和圆的交点
直线与圆系方程
六、过两圆交点的圆的方程
圆系方程
例11、圆心在直线40
x y
--=上，并且经过圆22640
x y x
++-=与226280
x y y
++-=的交点的圆的方程。
例12、经过点M（3，-1），且与圆C：
222650
x y x y
++-+=相切于N（1,2）的圆的方程。
例13、求过两圆222880
x y x y
+++-=和
224420
x y x y
+---=的交点且面积最小的圆的
方程。
解法一：解出两个交点
解法二：连心线过圆心且圆心在某直线上，由此得出圆心，然后设出一般方程，再利用三圆有公
共弦，直线重合求出m
解法三、圆系方程
七、最值问题
（1）点和圆
圆上动点与定点距离和的最值
例、A（-2，-1）与圆22
(1)(3)1
x y
-+-=上点的距离的
最值。
例、一束光线从点A（-1,1）出发经x轴反射到圆
22
(2)(3)1
x y
-+-=上的最短距离
（2）直线和圆
圆上动点到直线距离的最值
例、直线l：210
x y
+-=和圆22
(2)(2)
1
x y
-+-=
（3）圆和圆
两个圆上动点距离的最值
八、利用几何意义求最值（距离，斜率，截距）
例、若
x，y满足
（1）4
3
y
x
-
-
的最值
（2）的范围
（3
（4）2x+y的最值
九、典型题拾遗
1、讨论直线y x b
=+与曲线y=的交点个
数
2、若直线y x b
=+与曲线3
y=
求b的取值范围。
3、已知圆224
x y
+=，直线l：y x b
=+，当b为何值
时，圆上恰有3个点到直线l的距离相等。
（课本133B3）
4、若圆222
(3)(5)(0)
x y r r
-++=>上有且仅有两个
点到直线4x-3y-2=0的距离为1，求r的范围。
5、已知点A（-2，-2），B（-2,6），C（4，-2），
点P在圆224
x y
+=上运动，求222
PA PB PC
++
的最大值和最小值。
6、点P是直线2x+y+10=0上的动点，PA、PB
与圆224
x y
+=分别相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值。
关于弦
一、求弦长
法一：垂径定理法二：弦长公式
1、直线l：360
x y
--=被圆C：22240
x y x y
+--=截得的弦AB的长。
二、过圆内定点的中点弦、最长弦、最短弦问题
2、圆228
x y
+=内有一点P（-1,2），AB是过点P且倾
斜角为α的弦
（1）当α=135度时，求AB的长
（2）当弦AB被点P评分时，求直线AB的方程。
（课本133 B4）
三、过圆内定点的最长弦、最短弦问题
3、（课本144B6）
四、求切线方程、切线段长及切点所在直线方程4、过点A（-1,4），作圆22
(2)(3)1
x y
-+-=的切线方
程，并求切线段长。
5、（课本144B5）
五、两圆的公共弦及公共弦长
144A4, 133A9，133B5
6、已知两圆方程为22210240
x y x y
+-+-=和
222280
x y x y
+++-=，
（1）判断两圆的位置关系
（2）求公共弦所在直线方程
（3）求公共弦长
求轨迹方程
定义法：124B1,2
直接法：124B3，144B2
相关点法：书上例题
综合题
已知圆C：222430
x y x y
++-+=
（1）求圆心C的坐标及半径r的大小
（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴和
y轴上的截距相等，求直线l的方程
（3）从圆外一点p(x,y)向圆引一条切线，切点为M，
O为坐标原点，且MP OP
=，求点P的轨迹方程。