圆标准方程知识点总结(十一专用)
圆与方程知识点整理甄选
圆与方程知识点整理甄选圆与方程是数学中的重要内容，涉及到平面几何和代数方程的知识。
下面将对圆的基本概念、圆的方程及其性质进行整理。
一、圆的基本概念1.圆的定义：圆是平面上到给定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧。
3.圆的主要性质：圆上任意两点到圆心的距离相等；圆的任意弦与圆心的连线垂直；圆的任意弦等分其中心角等。
二、圆的方程1.标准方程：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
2.一般方程：圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
3.圆心在原点的圆方程：若圆心在原点，则圆的方程可写为x²+y²=r²，其中r为半径长度。
4. 圆的参数方程：以圆心为原点建立极坐标系，圆的方程可以写为x=r*cosθ，y=r*sinθ，θ为参数。
5. 圆的三角方程：对于圆的三角函数方程，如sinθ=0、cosθ=0等，可以通过简单的代数变换得到圆的方程。
三、圆的性质1.圆与直线的关系：(1)圆内的直线：圆内的任意直线与圆相交于两点，圆内部不会与直线相切或相离。
(2)圆上的直线：圆上的直线可以与圆相切，也可以穿过圆，穿过圆的直线与圆有两个交点。
(3)注意点：当直线不与圆相交时，直线和圆的位置关系可以通过代入方程验证。
2.圆与圆的关系：(1)相交：两个圆相交于两个交点。
(2)相切：两个圆相切于一个交点，此时交点即为两个圆的公共切点。
(3)相离：两个圆之间没有交点。
3.圆的切线：(1)切线定义：圆上一点处的切线是过该点且与圆只有该点重合的直线。
(2)切线性质：切线与半径垂直，切线与切点处的弧夹角为90度。
4.圆的切点与切线的性质：(1) 切点坐标：设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，切点的坐标为(a+r*cosθ, b+r*sinθ)。
圆标准方程知识点总结(十一专用)
1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
（一般情况下，解圆的标准方程都用待定系数法来解）3、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=4、圆的一般方程分为以下三种情况：（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E --为半径的圆。
（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
5、圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。
6、()()()()()()11221212A ,,,0x y B x y x x x x y y y y --+--=以为直径端点的圆的方程是：7、()()()()()()()()22200200M ,M ,,x y r x y x y x a x a y b y b r +=--+--=20022200圆的切线方程：过圆上一点的切线方程是x x+y y=r ，过圆x-a +y-b =r 上一点的切线方程是8、（初中知识点：圆和圆的位置关系。
）圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。
圆的方程知识点整理
4.已知圆 ： ，直线 ： （ ）
（1）证明：不论 取什么值，直线 与圆 均有两个交点；
（2）求其中弦长最短的直线方程.
5.若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围.
6.已知圆 与直线 交于 ， 两点， 为坐标原点，问：是否存在实数 ，使 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
条件方程形式
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上
圆心在 轴上
圆心在 轴上且过原点
圆心在 轴上且过原点
与 轴相切
与 轴相切
与两坐标轴都相切
二、一般方程
1. 表示圆方程则
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材 例 4
3. 常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离 与半径 的大小关系
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（ 为圆心距）
（1） 外离（2） 外切
（3） 相交（4） 内切
（5） 内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆 ： ，圆 ： ，
则 为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若 与 相切，则表示其中一条公切线方程；
若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
（1）过两圆 ： 和 ： 交点的圆系方程为 （ ）
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线 与圆 相切意味着什么？
圆心 到直线 的距离恰好等于半径
（2）常见题型——求过定点的切线方程
圆与方程总结知识点
圆与方程总结知识点在数学中，圆与方程是几何学和代数学的重要内容之一，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。
圆与方程的学习不仅有助于学生对数学的理解和应用，还有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
本文将对圆与方程的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一内容。
圆的基本概念首先，我们来认识一下圆这个几何图形。
圆是一个平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，所有距离相等的点到圆心的距离叫做半径。
圆的直径是通过圆心的两条平行线段的长。
圆的周长是圆的边界的长度，用符号C表示。
圆的面积是圆内部的所有点的集合，用符号A表示。
圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
标准方程是x²+y²=r²，其中(x, y)是圆上的任意一点，r是圆的半径。
一般方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h, k)是圆心的坐标。
圆的方程可以通过圆心和半径来确定，也可以通过圆上的某一点和圆的半径来确定。
圆的方程求解求解圆的方程是圆与方程的重要内容之一。
在求解圆的方程时，我们通常需要已知圆的中心坐标和半径。
如果已知圆的中心坐标和半径，我们可以根据标准方程的形式直接写出圆的方程。
如果已知圆上的某一点和圆心的坐标，我们可以利用已知点和圆心的距离等于半径来确定圆的方程。
圆与直线的关系圆与直线的关系是圆与方程的另一个重要内容。
在圆与直线的关系中，我们通常需要研究直线与圆的位置关系、直线与圆的交点和直线与圆的切点等问题。
首先，直线与圆的位置关系包括直线在圆内部、外部和与圆相切三种情况。
其次，直线与圆的交点是指直线与圆的交点的个数。
最后，直线与圆的切点是指直线与圆相切的点的位置。
圆与方程的应用圆与方程的应用是圆与方程的重要内容之一。
在实际应用中，圆与方程的知识可以帮助我们解决实际问题。
例如，在工程领域中，圆与方程的知识可以帮助我们设计圆形结构、计算圆形结构的尺寸等。
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
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圆的高考知识点总结
圆的高考知识点总结一、圆的性质1. 圆的定义：平面上到定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。
2. 圆的标准方程：圆的标准方程为（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）是圆心坐标，r为半径。
3. 圆的性质：圆的性质包括圆心、半径、直径、弧、圆周长和面积。
4. 圆的弧长：弧长公式为S=rθ，其中S为弧长，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
5. 圆的面积：圆的面积公式为A=πr^2，其中A为面积，r为半径，π≈3.14。
二、圆的相关概念1. 圆的切线：与圆相切的直线叫做圆的切线，切线与半径的夹角为90度。
2. 圆的切点：切线与圆的交点叫做圆的切点。
3. 关于圆的几何变换：包括平移、旋转、对称等几何变换。
4. 圆锥曲线的定义：平面上一个点到两定点的距离之比等于一个定值的轨迹称为圆锥曲线。
三、圆的相关性质1. 直径定理：直径等于周长的一半，即d=2r。
2. 平行切线定理：平行切线所切的弦长相等。
3. 关于弧和角的关系：圆心角、弧、半径、正切线之间有一定的关系。
4. 圆的几何关系：包括圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系等。
四、相关题型解析1. 圆的证明题：包括通过已知条件证明圆的性质等。
2. 圆的计算题：包括计算圆的周长、面积、半径、直径等。
3. 圆的几何问题：包括求解关于圆的几何问题，包括切线问题、相切问题等。
4. 圆的几何变换：包括求解通过平移、旋转、对称等几何变换后的圆的性质等。
五、应试技巧1. 熟练掌握圆的相关定理和性质，灵活运用解题。
2. 多做圆的计算题和几何问题，提高解题能力。
3. 善于分析题目，归纳规律，合理运用几何知识解决问题。
4. 必要时候灵活使用代数方法解题，提高解题效率。
总结：圆是高考数学中重要的几何知识点，掌握圆的相关定理、性质以及解题技巧对于高考数学至关重要。
在备考过程中，要多练习相关题型，理解圆的性质和运用方法，提高解题能力。
同时要善于发现圆与其他几何图形之间的联系，提高综合解题能力。
圆的知识点总结高中
圆的知识点总结高中哎呀呀，说起高中数学里圆的知识点，那可真是让人又爱又恨呢！咱先来说说圆的方程吧。
圆的标准方程是(x - a)² + (y - b)² = r² ，这就好像给圆办了个身份证，一下子就把它的位置（圆心坐标(a, b) ）和大小（半径r ）都给表明啦！你想想，这是不是就像给一个人登记了家庭住址和身高体重一样清楚明白？还有圆的一般方程x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ，这里面的D、E、F 可藏着不少秘密呢！要判断一个方程是不是圆的方程，那还得看看D² + E² - 4F 是不是大于0 。
这就好比是个门槛，只有跨过了这个门槛，才能算是真正的圆方程。
直线和圆的位置关系也很有趣哟！当圆心到直线的距离d 小于圆的半径r 时，直线和圆相交，这不就像是两个人靠得太近，都快碰上啦？要是d 等于r ，那就是相切，就像在跑道上，运动员的脚尖刚好碰到终点线。
要是d 大于r ，那就是相离，仿佛两个人离得老远老远的。
圆和圆的位置关系也有好多讲究呢！两圆的圆心距d 跟两圆半径R、r 之间的关系决定了它们是外离、外切、相交、内切还是内含。
这是不是有点像两个小伙伴之间的距离，决定了他们关系的亲疏远近？在做题的时候，有时候要根据条件求圆的方程，这可得仔细分析题目给出的信息，就像侦探破案一样，从一点点线索里找出关键所在。
还有啊，计算圆的弦长、切线方程等等，都需要我们把圆的知识掌握得牢牢的。
我就觉得吧，圆的知识点虽然有点复杂，但只要我们用心去学，多做几道题，多琢磨琢磨，就一定能把它拿下！难道不是吗？总之，高中数学里圆的知识点就像是一座宝藏，等着我们去挖掘，去探索。
只要我们有耐心，有决心，就一定能在这座宝藏里找到属于我们的宝贝！。
圆的标准方程知识点
圆的标准方程知识点
1. 嘿，你知道圆的标准方程里那个圆心坐标很重要吗？就像要找到宝藏就得先知道藏宝地的位置一样！比如，给定一个圆的圆心是(3,4)，那在这个圆里好多事情就能确定啦！
2. 哇塞，半径在圆的标准方程里那可是关键角色呀！想想看，半径决定了圆的大小，就好像人的胖瘦一样影响很大呢！比如圆的方程是(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，这就知道半径是 3 啦！
3. 你有没有想过，圆的标准方程就像给圆画了一幅画像！比如(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4，这不就把这个圆清楚地描绘出来了嘛！
4. 哎呀呀，利用圆的标准方程能解决好多实际问题呢。
好比要围一个圆形的花坛，知道了方程不就好计算材料啦！
5. 你说圆的标准方程是不是像一个神奇的钥匙呀，能打开圆的各种秘密！像知道圆和其他图形的关系，用它就能分析出来哟！
6. 嘿，当你看到一个圆的标准方程的时候，是不是感觉像看到了圆的身份证呀！比如(x-5)^2 + (y+3)^2 = 16，一下子就把这个圆了解个大概啦！
7. 哇哦，圆的标准方程可不是孤立的，它和其他知识点也有联系呢，就像朋友之间手牵手！比如和直线方程结合起来做题，可有意思啦！
8. 哈哈，圆的标准方程就像是圆的魔法咒语一样，掌握了它就能操控圆啦！像要画个特定的圆，有了方程就简单多啦！
9. 总之呢，圆的标准方程太重要啦，一定要好好学呀！它能让我们更清楚地认识圆，解决好多问题呢！。
圆的标准方程-高中数学知识点讲解
圆的标准方程1．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r 的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r 的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r 的方程组；（3）求出a，b，r 的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r 值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r 的值或解得圆的一般方程再进行转化．例 1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M 经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，1/ 3故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例 2：若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x﹣3y＝0 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线 4x﹣3y＝0 相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a 与b 的关系式，又圆与x 轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径 1，由圆心在第一象限可知b 等于圆的半径，确定出b 的值，把b 的值代入求出的a 与b 的关系式中，求出a 的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线 4x﹣3y＝0 相切，可得圆心到直线的距离d =|4푎―3푏|5=r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x 轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1 或b＝﹣1（舍去），把b＝1 代入①得：4a﹣3＝5 或 4a﹣3＝﹣5，解得a＝2 或a =―12（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d 等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例 3：圆x2+y2+2y＝1 的半径为（）A．1 B．2C．2 D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1 化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，2/ 3故半径等于2，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．3/ 3。
圆与方程知识点
圆与方程知识点GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-关于圆与方程的知识点整理一、标准方程:()()222x a y b r -+-=二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += （2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x =-=（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --= 3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,2E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 设(),G x y ，则4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD ABCD AC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为∴2225b a d -=当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ①0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆与方程知识点
1 2 2 ）半径 2 D E 4F
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关 键能理解）
圆心在原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切
x2 y 2 r 2 r 0
2 2 x a y r r 0 2
变式5．求圆 x2 y 2 4 x 12 y 39 0 关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.
题型二 求轨迹方程与切线方程
例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的 1 比是 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程
2
例2.从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2=4引切线,求切线方程.
③ M 在圆 C 外 ( x0 a)2 ( y 0 b)2 r 2
三、直线与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d和圆的半径r的 大小关系来判断。 d=r 为相切， d<r 为相交， d>r为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系。 利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长， 以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
D F 4, 3 2 2
得圆心坐标为（4，-3）.
变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆 心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（C）
A.( x 3) ( y 1) 4
2 2
B.( x 3) ( y 1) 4
2 2
C.( x 1) ( y 1) 4
解：将圆的方程写成标准形式有 x2+(y+2) 2=25,所以圆心为(0,-2),半径为 5.因为直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,所以弦心距为 5 (2 5 ) = 5 ,圆心到直线的距离
圆的函数知识点总结
圆的函数知识点总结圆是几何学中非常重要的一种形状，对于圆的函数也是数学学科中的重要内容。
圆的函数是指与圆有关的函数，可以描述圆的性质和特点，对于圆的函数有很多重要的知识点需要掌握，下面我们就来总结一下圆的函数知识点。
1. 圆的标准方程圆的标准方程是表示圆的一般形式，通常写作(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b) 表示圆心坐标，r 表示半径。
通过这个方程，我们可以得到圆心坐标和半径的信息。
2. 圆的一般方程将圆的标准方程展开可以得到圆的一般方程，通常写作 x²+y²+dx+ey+f=0，其中 (d,e) 表示圆心坐标，f 表示半径。
3. 圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式来表示圆的方程，通常写作x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b) 表示圆心坐标，r 表示半径，θ 表示参数。
4. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程是用极坐标形式来表示圆的方程，通常写作r=r₀，其中r₀ 表示圆的半径。
5. 圆的直径圆的直径是指通过圆心并且同时与圆上两点相交的线段，直径的长度是圆的半径的两倍。
圆的直径也可以表示为对角线的长度，这个对角线是圆的直径。
6. 圆的弧长圆的弧长是指圆上的一段弧的长度，可以通过圆的半径和圆心角来计算。
弧长公式为s=r*θ，其中 r 表示圆的半径，θ 表示圆心角。
7. 圆的面积圆的面积是指圆所包含的平面内的所有点的集合，圆的面积可以通过半径和π 来计算。
圆的面积公式为A=πr²，其中 r 表示圆的半径。
8. 圆的周长圆的周长是指圆的边界的长度，可以通过圆的直径或者圆的半径和π 来计算。
圆的周长公式为C=2πr 或者C=πd，其中 r 表示圆的半径，d 表示圆的直径。
9. 圆的切线圆的切线是指与圆相切的直线，切线与圆相切的点称为切点。
切线的斜率可以通过圆心和切点的坐标来计算，切线的方程可以通过圆的一般方程和斜率来确定。
圆与方程知识点整理
关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程:()()222x a y b r -+-= 二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 222200004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=（2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--= 由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=- 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩ 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用 弦长公式：()()222121212114l k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去） 变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫ ⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5y x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划） （3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =，则k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切（3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= （3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=Q ，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C B Cx x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,2E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=Q ，2294E E x y ∴+=L L （1） 2222B C E B C E B C E B C E x x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y y y +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),G x y ，则()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩L L L 4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ③内角平分线定理：BDABCD AC =④定比分点公式：AM MB λ=，则1A B M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理. 高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴5252yx yx +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t tt ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r = 又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52ba d -= ∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x解法二：同解法一，得52ba d -=． ∴db a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得： 01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ， ∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-k k解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
数学圆的方程知识点总结
数学圆的方程知识点总结一、圆的标准方程。
1. 定义。
- 在平面直角坐标系中，到定点C(a,b)的距离等于定长r的点的轨迹叫做圆，其中定点C(a,b)为圆心，定长r为半径。
2. 方程形式。
- (x - a)^2+(y - b)^2=r^2。
例如，圆心为(2, - 3)，半径为4的圆的方程为(x - 2)^2+(y+3)^2 = 16。
- 圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
3. 确定圆的标准方程的要素。
- 要确定圆的标准方程，需要确定圆心坐标(a,b)和半径r。
二、圆的一般方程。
1. 方程形式。
- x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。
2. 与标准方程的转化。
- 将圆的标准方程(x - a)^2+(y - b)^2=r^2展开得x^2 - 2ax+a^2+y^2 - 2by +b^2=r^2，即x^2+y^2 - 2ax - 2by+a^2 + b^2 - r^2=0。
- 令D=-2a，E = - 2b，F=a^2 + b^2 - r^2，就得到圆的一般方程。
3. 圆心和半径的确定。
- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，其圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)。
三、点与圆的位置关系。
1. 判断方法。
- 设点P(x_0,y_0)，圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。
- 计算点P到圆心C(a,b)的距离d=√((x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2)。
- 若d>r，则点P在圆外；若d = r，则点P在圆上；若d，则点P在圆内。
- 对于圆的一般方程x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，同样先求出圆心(-(D)/(2),-(E)/(2))和半径r=(1)/(2)√(D^2+E^2 - 4F)，再按照上述距离公式判断点与圆的位置关系。
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1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
（一般情况下，解圆的标准方程都用待定系数法来解）
3、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=
4、圆的一般方程分为以下三种情况：
（1）当F E D 42
2
-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，
方程02
2
=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E --
为半径的圆。
（3）当F E D 422-+＜0时，方程02
2=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
5、圆的一般方程的定义：
当2
2
4D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：
（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。
6、()()()()()()11221212A ,,,0x y B x y x x x x y y y y --+--=以为直径端点的圆的方程是：
7、
()()()()()()()()222002
00M ,M ,,
x y r x y x y x a x a y b y b r +=--+--=2002
2
2
00圆的切线方程：过圆上一点的切线方程是x x+y y=r ，
过圆x-a +y-b =r 上一点的切线方程是
8、（初中知识点：圆和圆的位置关系。
）
圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；
当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。
9、
()()2211112222121212C 0,C 0D D 0
y D x E y F y D x E y F x E E y F F ++++=++++=+-+-=22圆的公切线方程与公共弦所在的直线方程：
圆：x 圆：x 它们的内公切线方程或公共弦所在的直线方程为：
－
10、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为2
2B A C Bb Aa d +++=，则有
相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<
（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22
2
:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式2
00r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()
00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。
11、空间直角坐标系
（1）定义：如图，,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点， 分别以OD,O ,A ,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴.y 轴.z 轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标） （4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。