常微分方程的大致知识点
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结1.常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。
2.函数的导数和微分的概念导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。
3.一阶常微分方程一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。
常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。
4.可分离变量的方程可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。
通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。
5.线性方程线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。
线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。
6.齐次方程齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。
齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。
7.恰当方程恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。
通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。
8.一阶常系数线性齐次方程一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。
一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
9.二阶常微分方程二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。
常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。
10.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。
线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
11.线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。
通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点第一章 绪论1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要）例：03)(22=-+y dx dyx dx dy（1阶非线性）； x e dx yd y=+22sin 。
2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。
（以书后练习题为主） （习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________.第二章 一阶方程的初等解法1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）3.线性非齐次方程的常数变易法；4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程；(2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1)32(1'2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221'y x y -=为：线性方程。
5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；6.恰当方程的解法（分项组合方法）。
（重要）第三章 一阶方程的存在唯一性定理1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ；2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题3.1的1，2，3题）第四章 高阶微分方程1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系；3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（，特解的确定（比较系数法、复数法比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-¢¢，确定特解类型？（习题4.2相关题目）6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。
常微分方程初步
常微分方程初步常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是单变量函数的导数与自变量的关系。
在实际生活和科学研究中，很多问题都可以用常微分方程来描述和解决。
本文将介绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程和二阶常微分方程的求解方法。
一、基本概念1.1 导数导数是函数在某个点处的变化率，它表示的是函数曲线在这个点的斜率。
如果在某点处的导数存在，则该点为函数的可导点。
设函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(△x→0) (f(x0+△x) - f(x0))/△x如果导数存在，则称函数在该点可导；反之，则称函数在该点不可导。
1.2 常微分方程常微分方程是一个未知函数在其自变量上的导数的关系式，其中该未知函数是自变量的函数。
通俗地讲，就是描述未知函数在自变量上的变化的一种数学方程。
常微分方程通常用y表示未知函数，x表示自变量。
一般形式为：F(x, y, y', y'', …, yⁿ）= 0其中，y'、y''、…、yⁿ分别表示y对于x的一阶、二阶、…、n 阶导数。
1.3 初值问题初值问题是求解常微分方程的一种方法，其本质是通过确定函数在某一个特定点的值，从而确定未知常数的值。
一个初值问题包括一阶常微分方程和一个初始点，形式为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，f(x, y)为已知函数，通常称为方程的右端，y0和x0分别是给定的初值。
二、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x, y)这是一个仅含未知函数y及其一阶导数y'的方程。
2.1 可分离变量方程如果该一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中，g(x)和h(y)都是已知函数，那么称其为可分离变量方程。
对上式两边同时积分，得到：∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx + C0其中C0为常数。
常微分方程的大致知识点
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常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有x
y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程
5令 6781方法：特征方程
单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=
重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y ？
当
f 当f 当f 1当0,021><λλ，鞍点，图像
当0,021<<λλ，稳定结点，图像
当0,021>>λλ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i
当0=α，中心，图像
当0<α，稳定焦点，图像
当0>α，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，λλλ==21
当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像
当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像
23。
常微分方程主要内容
常微分方程主要内容
摘要：
1.常微分方程的概述
2.常微分方程的主要内容
3.常微分方程的应用
4.学习常微分方程的方法和技巧
正文：
一、常微分方程的概述
常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究变量随时间变化的规律。
它在数学、物理、化学、生物学等领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的关键工具。
二、常微分方程的主要内容
1.基本概念：常微分方程涉及的基本概念包括导数、微分、积分等，这些概念是理解常微分方程的基础。
2.基本定理：常微分方程的基本定理包括解的存在唯一性定理、解的延展定理等，这些定理是研究常微分方程的关键。
3.解法：常微分方程的解法包括初等基分法、线性微分方程组解法、n 阶线性微分方程解法等，这些解法是求解常微分方程的具体方法。
4.特殊类型：常微分方程中的特殊类型包括线性微分方程、非线性微分方程、隐式微分方程、显式微分方程等，这些特殊类型需要特殊的处理方法。
三、常微分方程的应用
常微分方程在实际应用中具有广泛的应用，包括数值计算、微分方程建模等。
例如，在物理学中，常微分方程可以用来描述物体的运动规律；在生物学中，常微分方程可以用来描述生物种群的演化规律等。
四、学习常微分方程的方法和技巧
学习常微分方程需要掌握一定的数学基础，包括微积分、线性代数等。
此外，学习常微分方程还需要掌握一些基本的数学分析方法，如极限、连续、导数、微分等。
在解决常微分方程问题时，需要灵活运用这些方法和技巧，以求得问题的解决。
总之，常微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的应用。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。
- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。
- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：g(y)dy = f(x)dx。
- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。
常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。
1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。
它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。
常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。
2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。
一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。
3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。
它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。
求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。
4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。
这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。
5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。
6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。
例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。
7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。
这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。
总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。
第九讲常微分方程知识点
第九讲常微分方程知识点常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是用来描述系统变化的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
常微分方程的基本形式为：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和二阶微分方程，下面将对一阶和二阶微分方程进行介绍。
一阶微分方程：一阶微分方程是指未知函数的导数仅包含一阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中f(x,y)为已知函数。
解一阶微分方程的方法有几种，如可分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
可分离变量法是最常见的解一阶微分方程的方法。
首先，将方程中的dy和dx分开，并移项得到：\[dy=f(x,y)dx\]然后，将dy与dx移到等号两侧，并将x和y分别提取到一侧得：\[\int\frac{{dy}}{{f(x,y)}}=\int dx+C\]其中C为常数。
然后，对两边分别求不定积分，并将等式两边的常数合并得到最终的解。
齐次方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]的方程的方法。
其基本思路是将方程转化为\[\frac{{dy}}{{dx}}=\phi(\frac{{y}}{{x}})\]的形式，其中\(\phi(u)=f(1,u)\)。
解这个齐次方程后，再通过变量替换将解转化为原方程的解。
线性方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)\]的方程的方法。
线性方程法的基本思路是将方程中的非线性部分转化为线性的部分，然后利用已知的线性微分方程的解的性质得到方程的解。
一般情况下，可以利用积分因子法将方程转化为线性方程。
二阶微分方程：二阶微分方程是指未知函数的导数包含了一阶和二阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{d^2 y}}{{dx^2}}=f(x,y,\frac{{dy}}{{dx}})\]其中f(x,y,y')为已知函数。
常微分
常微分方程知识点总结归纳第一章绪论主要概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式。
包含自变量，未知函数和倒数关系。
常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数构成的等式。
偏微分方程：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。
微分方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表出的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
n阶线性微分方程:方程的左端为及，...，的一次有理整式。
一般的阶线性微分方程具有形式这里是的已知函数。
非线性方程：不是线性方程的方程。
积分曲线：一阶微分方程的解代表平面上的一条曲线。
第二章一阶微分方程的初等解法本章主要介绍一阶微分方程的初等解法,即把微分方程的求解问题转化为几分问题.2.1.1 变量分离方程与变量变换 定义1形如 方程,称为变量分离方程 变量分离方程的解法:)2.2()()(cdx x f y dy+=⎰⎰ϕ可化为变量分离方程类型 情形一: 齐次函数: 函数 ),(y x f 称为m 次齐次函数, 如果 齐次函数的性质: 齐次方程: 形如的方程称为齐次方程,齐次方程: 引入一个新变量化为变量可分离方程求解。
()()dyf x dxy φ=分离变量,(2.1)将写成()()(2.1)dy f x y dxφ=()0y φ≠当时两边积分得(2.2)(,)(2.1).y x c φ=由所确定的函数就为的通解()0y φ=当时000,()0,(2.1),(2.2),.y y y y φ==若存在使则也是的解若它不包含在方程的通解中则须予以补上()dy y g dx x=(,)(,),0.m f tx ty t f x y t =>(,)(,)(,)x y xf x y yf x y mf x y +=()dy y g dx x=().g u u 这里是的连续函数()dy y g dx x=03.变量还原02解以上的变量分离方程01(),yu x=作变量代换引入新变量方程化为,)(xu u g dx du -=为齐次方程,由(I )可化为变量分离方程. 程.)(2211x y g xy b a x yb a =++=y b x a y b x a dx dy 2211++=121.0c c ==的情形分三种情况讨论此方程可经过变量变换化为变量分离方程. 程. .,,,,,222111为常数这里c b a c b a ,222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=● 情形二:这就是变量分离方程dxdyb a 22+则方程化为令,22y b x a u +=)(22y b x a f +=222122)(c y b x a c y b x a k ++++=则方程可改写成设,2121k b b a a ==12122.0a a b b =的情形222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.Yb X a Yb X a dX dY 2211++=则方程化为作变量代换(坐标变换) ,⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ,00222111⎩⎨⎧=++=++c y b x a c y b x a 则).0,0(),(,≠βα解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy 不同时为零的情形与且21212103c c b b a a ≠2.2 线性微分方程与常数变易法变量还原05求解04离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu =Yb X a Y b X a dX dY 2211++=方程化为作变换,20⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ,12221110⎩⎨⎧=++=++c y b x a c y b x a 解方程组,⎩⎨⎧==βαy x 得解()()()0dya xb x yc x dx++=()0,(1)Q x ≠若则称为一阶非齐线性方程(2)称为一阶齐次线性方程()(2)dyP x y dx=()0,(1)Q x =若则变为(),()P x Q x x 这里假设在考虑的区间上是的连续函数()0a x ≠在的区间上可写成()()(1)dyP x y Q x dx=+()()(1),p x dxy c x e ⎰=令为的解则((),(1))c x c x 将常数变为的待定函数使它为的解)1()()(x Q y x P dxdy+=常数变易法求解(),p x y ce dx c ⎰=为任意常数得对应齐次方程解()(2)dyp x y dx =解对应的齐次方程注:求(1)的通解可直接用公式(3)2.3 恰当方程与积分因子如:)2()3(322=+++dy xy x dx y y x =+)(23xy y x d 0=+ydx xdy =)(xy d 是恰当方程.(1)(,).u x y c =此时的通解为)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M dyy x N dx y x M y x du ),(),(),(+=则称微分方程(,),u x y 若有函数使得定义12.3.1 恰当微分方程(,)dyf x y dx←−−−=改写§2.3 恰当方程与积分因子(,)(,)0M x y dx N x y dy +=~()()(())(3)p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(1)故的通解为~)()()(cdx e x Q x c dxx p +⎰=⎰-积分得代入(1)得 dxx p e x Q dx x dc ⎰=-)()()(dx x p dxx p e x p x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰=)()()()()(0400.n y >=时，方程还有解：03变量还原02求以上线性方程的通解解法:011,n z y -=引入变量变换方程变为(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+-形如(),()P x Q x x ≠这里为的连续函数,n 0,1是常数()()n dyp x y Q x y dx=+的方程,称为伯努利方程.()Bernoulli 伯努利方程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M恰当方程的求解 方法一:不定积分法 方法二:分组凑微法 方法三:线积分法可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.).2(,),(),(xy x N y y x M ∂∂=∂∂为恰当方程的充要条件是)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 定理1(,)(,),M x y N x y R 设函数和在一个矩形区域中连续且有连续的一阶偏导数则方程方程(1)为恰当方程的充要条件件●若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?●若(1)是恰当方程,怎样求解?●方程(1)是否为恰当方程? 需考虑的问题是恰当方程.xy y x f ∂∂==∂-∂)(10))((ϕ得方程两边同乘以,)(1y ϕ,0)()(1=-dx x f dy y ϕ不是恰当方程.,0)()(=-dx y x f dy ϕ2.3.2 积分因子 非非恰恰当当方方程程如如何何求求解?对变量分离方程:1.只要方程有解，积分因子必存在。
专升本第九讲 常微分方程知识点
第九讲 常微分方程一、基本概念（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。
其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。
（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。
（3）微分方程的解：满足微分方程)(x f y =或0),(=y x f 。
前者为显示解，后者称为隐式解（4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。
（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。
二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程（1）形如)()(y g x f dxdy =的微分方程。
解法：变形为dx x f dy y g )()(1=，两边作不定积分求出通解。
（2）形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程。
解法：令u xy =，则ux y =，两边对x 求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程 形如0)(=+y x P dxdy 。
解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程 形如)()(x Q y x P dxdy =+ 解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰-C dx e x Q ey dx x P dx x P )()()( 在通常使用中建议选择常数变易法三、可降阶微分方程形如())(x f y n =的微分方程 解法：作n 次不等式形如),(y x f y '=''的微分方程 解法：令u y =' 四、二阶常系数线性微分方程形如0=+'+''qy y p y 的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。
（其中，p,q 均为常数）。
有关解的结构定理(1) 定理 1 若21,y y 是二阶线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的解，则其任意一个线性组合2211y c y c +也是该方程的解函数21,y y 若满足k k y y ,21=为常数，称21,y y 线性相关，若k k y y ,21≠为常数，称21,y y 线性无关 (2) 定理2 若21,y y 是二阶线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的两个线性无关的解，则2211y c y c +就是该方程的通解。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程总复习
常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。
方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表出的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程： 形如 )()(d d y g x f xy=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程：形如)(d d xyx y ϕ=的方程，称为齐次微分方程。
线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。
一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p xy称为一阶线性齐次方程。
如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y=+为一阶线性非齐次方程。
伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p xy)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。
全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。
积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。
常微分方程相关知识点大一
常微分方程相关知识点大一常微分方程是数学中的一个重要分支，是描述自然界中各种现象的数学模型。
在大一的学习中，常微分方程也是数学课程中的重点内容之一。
本文将介绍常微分方程的相关知识点，帮助大一学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知的函数。
常微分方程的解是满足方程的函数，可以通过积分等数学方法求解。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为几个主要的类型，常见的有一阶线性方程、一阶可分离变量方程、二阶线性齐次方程等。
1. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解一阶线性方程可以通过积分因子法、变量代换法等方法。
2. 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程的一般形式为dy/dx=g(x)/h(y)，其中g(x)和h(y)都是已知的函数。
求解可分离变量方程可以通过分离变量、分别积分等方法。
3. 二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解二阶线性齐次方程可以通过特征方程、常数变易法等方法。
三、常微分方程的初值问题初值问题是指在方程中给出了未知函数在某一点的值和导数的值，求解该点附近的解。
对于一阶常微分方程，初值问题可以通过直接代入初值，得到特定的解。
对于高阶方程，可以通过降阶等方法求解出整个解。
四、常微分方程的应用领域常微分方程是数学中的一种工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
常微分方程可以描述弹簧振子、电路等自然界中的现象，通过求解方程可以得到系统的运动规律，为科学研究和工程设计提供理论支持。
五、常微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法求得解析解。
这时可以利用数值解法来求得近似解。
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。
3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。
6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。
【总结】常微分方程知识总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。
注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
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常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有x
y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程
常数变易法，或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dx x a dx x a
5、伯努力方程
令n y z -=1，则dx
dy y n dx dz n
--=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x
N y M ∂∂=∂∂，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若
x N y M ∂∂≠∂∂，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程
),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx
y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx
y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族
（二）毕卡序列
⎰+=x
x dx y x f y y 0),(001，⎰+=x x dx y x f y y 0),(102，⎰+=x
x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程
1、常系数齐次0)(=y D L
方法：特征方程
单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y
当x m e x P x f α)()(=时，=*y x m k e x Q x α)(
当vx e x Q vx e x P x f ux m ux m sin )(cos )()(+=时，=*y )sin )(cos )((vx x S vx x R e x m m ux k + 当)(x f 是一般形式时，=*y ξξξξd f W x W x
x )()(),(0⎰，其中W(.)是郎斯基行列式 （四）常系数方程组
方法：三部曲。
第一步求
X t A dt
dX )(=的通解，C t )(Φ。
利用特征方程0=-I A λ，并分情况讨论。
第二步求)()(t f X t A dt dX +=的特解，⎰-ΦΦds s f s t )()()(1，（定积分与不定积分等价） 第三步求)()(t f X t A dt
dX +=的通解，⎰-ΦΦ+Φds s f s t C t )()()()(1 （五）奇点与极限环
1、分析方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx 的奇点的性质，用特征方程：0=-I A λ 特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。
第一种情况：相异实根，21λλ≠
当0,021><λλ，鞍点，图像
当0,021<<λλ，稳定结点，图像
当0,021>>λλ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i
当0=α，中心，图像
当0<α，稳定焦点，图像
当0>α，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，λλλ==21
当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像
当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像 如果0<λ，稳定退化结点，图像
2、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt
dy y x X dt dx 的奇点的性质，Perron 定理 3、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt dy y x X dt dx 的极限环的性质，引入极坐标⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 讨论。