量子光学华师

五、量子光学在交叉学科中的应用
量子信息科学； 冷原子物理。
由于篇幅所限，本章对量子光学只作选择性的介绍：已相当成熟且自成体系的内容不予 介绍（如第二部分内容）；虽然基本或活跃但占篇幅较大的内容不予介绍（如第一部分中的 阻尼的量子理论、第五部分中的冷原子物理、以及第四部分中的大部分内容）。另外，我们 不一定按上列次序进行介绍，有些内容将穿插进行。在本章最后，我们将给出各部分的参考 文献，以供有兴趣的读者参考。
k
k
k
k
（2）算符的表象变换
∑ Fmn ( B) = Bm F Bn = Bm Ak
k ,l
Ak F Al
∑ ( ) Al Bn = Smk Fkl A Sn*l
k ,l
即 F ( B) = SF ( A) S +
表明算符在不同表象的变换为相似变换。
4． 幺正变换的性质
用U （unitary）代替 S 表示幺正矩阵，带‘号和不带‘号分别表示不同的表象。
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量子光学
—— Mars
量子力学（QM）基础
一、QM 的历史背景
1900，Planck，黑体辐射，能量量子化： ε = hν
1905，Einstein, 光电效应，光量子——光子
E = hν ， p = h λ （ p = E c = hν c = h λ ）
1913， Bohr, 原子光谱和原子结构，定态、；量子跃迁及频率条件：
则测量力学量 A 得到相应的本征值 An ，测量后系统仍处于本征态 ψ n ；若系
∑ 统处于任意态 ψ = cn ψ n ，则测量力学量 A 时以概率 cn 2 得到本征值 n
An ，若测量得到本征值 An ，则测量后系统塌缩到相应的本征态 ψ n 。
b) 若两个力学量算符 A和 B 彼此对易，即[ A, B] ≡ AB − BA = 0 ，则 A和 B 具
{ } { } 设有力学量算符 A ，其正交归一的本征态为 ψ n ， ψ n 张起一个完备的矢量空
间，用这个空间的矢量表示量子态和算符，称为 A 表象。
1． 态矢量在 A 表象中的表示 设有任意态矢量 ψ ，
∑ ∑ ψ = ψ n ψ n ψ = cn ψ n
n
n
c n = ψ n ψ 是态矢量 ψ 沿基矢 ψ n 的分量（投影）。
量子光学
—— Mars
量子光学目录
第一节 引言和量子力学基础 第二节 电磁场的量子化
一、驻波形式 二、行波形式 第三节 电磁场的量子态 一、光子数态
（一）、电磁场的真空涨落 （二）、电磁场的正交分量算符 二、相干态 三、压缩态 （一）、压缩真空态 （二）、平移压缩真空态 （三）、压缩相干态 （四）、压缩态的产生 （五）、压缩态的探测 四、双模压缩真空态 五、热光场态 六、光学分束器及其对电磁场量子态的变换 （一）、光学分束器的经典描述 （二）、光学分束器的量子描述 （三）、光学分束器对电磁场量子态的变换 第四节 电磁场量子态在相空间的准概率分布函数
第十节 本章结束语 附录 A：纯态、混合态、密度算符 附录 B：两态系统、泡利自旋算符 附录 C：复合系统、纠缠态、约化密度算符、von Neumann 熵 参考文献
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量子光学
—— Mars
第一节 引言
量子光学是研究光场的量子性质以及光与物质相互作用的一门学科。传统的量子光学研 究光场的量子统计性质、量子相干性质、以及量子光场与物质（主要是原子、离子、分子） 的相互作用。近年来量子光学与其他学科相结合，产生了两个非常活跃的研究领域：量子信 息科学（包括量子通信与量子计算等）和冷原子物理（包括离子和中性原子的激光冷却与 囚禁、原子光学、玻色-爱因斯坦凝聚、相干原子波激射等）。本章介绍量子光学的基础知识 以及近年来的主要研究动态。
2． 算符在 A 表象中的表示 设有任意算符 F ，
∑ ∑ ∑ F = ψ m ψ m F ψ n ψ n = ψ m F ψ n ψ m ψ n
m
n
m,n
∑ = Fmn ψ m ψ n
m,n
其中矩阵 Fmn = ψ m F ψ n 称为算符 F 在 A 表象中的表示。
3． 表象变换
{ } { } 设有两个表象 A 和 B，其基矢分别为 An 、 Bm 。
ν mn = ( Em − En ) / h
1923， de Broglie, 物质粒子的波动性，物质波
ν = Eh，λ = h p
1926, Schrodinger, 波函数ψ (r , t ) ，波动方程- Schrodinger 方程，波动力学
∫ 1926， Born, 波函数的统计诠释： ψ (r ,t) 2 概率密度， dr ψ (r , t) 2 = 1
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量子光学
（1） 幺正变换不改变两个态矢的内积
设ψ ' =U ψ , φ' =U φ
—— Mars
则 ψ ' φ ' = ψ U +U φ = ψ φ
特例： ψ ' ψ ' = ψ ψ ，即幺正变换不改变态矢的模。
（2） 幺正变换不改变算符的本征值
设 Fˆ ψ = F ψ
则 Fˆ ' ψ ' = UFˆU +U ψ = UFˆ ψ = FU ψ = F ψ '
一、 P -函数
二、 Q -函数
三、Wigner 函数 四、特征函数 第五节 电磁场的相干性 一、经典一阶相干函数 二、量子一阶相干函数 三、经典二阶相干函数 四、量子二阶相干函数 五、量子高阶相干函数 第六节 电磁场与原子的相互作用 一、经典电磁场与原子的相互作用
（一）、哈密顿量的一般形式 （二）、单模电磁场与两能级原子的相互作用 二、量子电磁场与原子的相互作用 （一）、哈密顿量的一般形式 （二）、单模量子电磁场与两能级原子的相互作用
其中ψ ( x) = x ψ 是态矢 ψ 在 x 表象中的表示——波函数
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量子光学
—— Mars
ψ ψ = ∫ dx∫ dx ' x x ' ψ * ( x)ψ ( x ') = ∫ dx∫ dx 'δ ( x − x ')ψ * ( x)ψ ( x ') = ∫ dxψ * ( x)ψ ( x) = ∫ dx ψ ( x) 2 = 1
i d ψ (t) = H ψ (t)
dt 若 H 不含时间，则
ψ (t)
= U (t) ψ (0)
，U
(t)
=
exp
⎛ ⎜⎝
−
i
Ht
⎞ ⎟⎠
，时间演化算符，幺正演化。
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量子光学
—— Mars
4． 量子力学中的测量问题
a) 设算符 A 的本征方程为 A ψ n = An ψ n ，若系统处于算符 A 的本征态 ψ n ，
1925， Heisenberg， 矩阵力学
1926， Dirac， 量子力学的变换理论、表象理论 ψ
1927， Dirac，电磁场的量子化 1928，Dirac， 相对论性波动方程
至此，量子力学的基本架构已建立，用其处理实际问题：原子、分子、固体等 但是，关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论。
二、在量子光学发展史上曾很活跃但目前已相对成熟的论题
激光理论； 光学双稳态； 共振荧光和超荧光。
三、量子光学与量子相干操纵
腔量子电动力学与囚禁离子； 原子相干和干涉效应（包括电磁感应透明、无反转激光等）。
四、量子光学方法在量子力学研究中的应用
量子态重构； 量子非破坏性测量 量子力学基本原理的量子光学方法检验。
2． 力学量的描述：算符
线性算符： F ⎡⎣c1 ψ1 + c2 ψ 2 ⎤⎦ = c1F ψ1 + c2F ψ 2
算符 F 的厄密共轭算符： F +
可观测的力学量——线性厄密算符， F + = F
算符的本征方程、本征值和本征态： A ψ n = An ψ n
线性厄密算符具有下列性质： 1） 本征值为实数；
1．共振相互作用 2．色散相互作用
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量子光学
—— Mars
第七节 量子耗散和消相干 一、量子跳跃理论 二、消相干
第八节 腔量子电动力学和囚禁离子 一、腔量子电动力学 （一）、里德堡原子的有关性质 （二）、耗散腔中二能级原子与单模腔场的相互作用 （三）、JC 模型的实验实现 （四）、制备原子的纠缠态 （五）、制备腔场的薛定谔猫态 （六）、光子数的非破坏性测量 二、囚禁离子 （一）、利用囚禁离子实现 JC 模型
n
∫ 连续变量： dx x x = I
算符 A 在量子态 ψ 中的期望值（平均值）： A = ψ A ψ
∑ ∑ 设 ψ = cn ψ n ，则 ψ = cn* ψ n
n
n
∑ ∑ A = ψ A ψ = cm* cn ψ m A ψ n = cn 2 An
m,n
n
3． 状态随时间的演化：Schrodinger 方程
第九节 量子信息处理 一、量子信息中的若干基本概念 （一） 经典比特与量子比特 （二） 量子态不可克隆定理 （三） Bell 态 二、量子通信 （一） 量子密集编码 （二） 量子隐性传态 （三） 量子密钥分发 三、量子计算 （一） 量子寄存器 （二） 量子逻辑门 （三） 量子算法 （四） 用量子光学方法实现若干量子逻辑门
（3） 幺正变换不改变算符的迹
Tr (F ') = Tr (UFU + ) = Tr (F )
矩阵 S = {Smn} 称为从表象 A 到表象 B 的变换矩阵。容易证明，S = {Smn} 为幺正矩阵，
表明态矢在不同表象的变换为幺正变换。
证明： S +S = I
( ) ∑ ∑ ∑ ∑ S+S = mn
Sm+k Skn = Sk*mSkn =
Bk Am * Bk An =
Am Bk Bk An = Am An = δmn
列矢量 ψ
⎛ c1 ⎞
⎜ ⎜
c2
⎟ ⎟
= ⎜ . ⎟ 称为态矢量 ψ
⎜ ⎜
.
⎟ ⎟
⎜⎝ . ⎟⎠
。—— 选定一组单位矢量——选定一个坐标系。
在连续变量表象
ψ = ∫ dx x x ψ = ∫ dx x ψ ( x) ， ψ = ∫ dxψ * ( x) x
1935， Schrodinger 猫态 1935， EPR 佯谬 1960 前后，量子理论用于电磁场———量子光学 1956， Hanbury Brown and Twiss，强度关联实验 1963， Glauber（2005 年诺奖得主），光的量子相干性 1963， Jaynes & Cummings, J-C model, 量子电磁场与原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax et al） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光 1980’s，光学双稳态、光场非经典性质（群聚效应、亚泊松分布、压缩态）
量子光学新发展：原子的激光冷却、量子信息
二、 量子力学的基本假设（原理）
1． 状态的描述：态矢量：右矢 ψ 态叠加原理： ψ = c1 ψ1 + c2 ψ 2 ，
∑ ψ = cn ψ n
n
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量子光学
—— Mars
左矢 ψ = ( ψ )+
态矢量的内积： ψ ϕ
态的正交性： ψ ϕ = 0
态的归一化： ψ ψ = 1
有共同本征态，可以同时具有确定值；若 A 和 B 彼此不对易，即[ A, B] ≠ 0 ，
则 A 和 B 不具有共同本征态，他们不能同时具有确定值，其不确定度服从
不确定性原理： ΔA ⋅ ΔB ≥ 1 [ A, B] ，其中 ΔA = A2 − A 2 。
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5． 全同粒子假设
三、态矢量和算符的矩阵表示、表象及表象变换
2） 属于不同本征值的本征矢彼此正交： ψ m ψ n = 0 ；
正交归一性： ψ m ψ n = δmn
连续变量： x x ' = δ ( x − x ')
∑ 3） 本征矢张起一个完备的矢量空间： ψ n ψ n = I ，任意态矢量 ψ 可以用算符的
n
∑ 本征态 ψ n 展开： ψ = cn ψ n 。
（1）态矢的表象变换
∑ ∑ ψ = An An ψ = an An ， an = An ψ
n
n
∑ ∑ ψ = Bm Bm ψ = bm Bm ， bm = Bm ψ
m
m
∑ ∑ ∑ bm = Bm ψ = Bm An An ψ = Smn An ψ = Smnan ， Smn = Bm An
n
n
n
简写成 ψ ( B) = Sψ ( A)
量子光学的内容大体上可分为下面几个部分：
一、量子光学的基本内容：
电磁场的量子化； 电磁场的量子态：包括光子数态、相干态、压缩态、热光场态等； 电磁场量子态的准概率分布函数：包括 P 函数、Q 函数、Wigner 函数等； 电磁场的相干性：包括一阶相干性和高阶相干性； 电磁场与原子的相互作用； 耗散的量子理论及消相干性。