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无穷级数习题课含解答

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时，，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性，而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数，令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛；其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，，所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则，因为，所以，于是，即级数收敛；其绝对值级数为，因为，所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（绝对收敛），在处（发散）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛，故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1）（2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，，对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，，两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得，当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为，则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数；（2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点，对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1）对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

高数无穷级数习题课

幂级数绝对收敛; 当 x < R 时,幂级数绝对收敛;
幂级数发散; 当 x > R 时,幂级数发散幂级数发散
当 x = R与x = − R 时,幂级数可能收敛也可能发散. 幂级数可能收敛也可能发散.
四川职业技术学院数学教研室
第八章无穷级数无穷级数
无穷级数习题课
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径定义: 正数称为幂级数的收敛半径幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
∞ n= =1
n=1
n
n
∞
n→∞
n
∞
n
∑(u
n=1
∞
性质 3 设两收敛级数 s =
n
∑u ,σ = ∑v ,则级数
n=1 n n=1 n
∞
n= =1
收敛, ± vn )收敛,其和为 s ± σ.
一个级数加上或减少有限项，性质 4 一个级数加上或减少有限项，不改变级数的敛散性，但在级数收敛时级数的和要改变. 敛散性，但在级数收敛时，级数的和要改变.
四川职业技术学院数学教研室
第八章无穷级数无穷级数
无穷级数习题课
∞
(3)幂级数的运算 (3)幂级数的运算
设 ∑ a n x n 和 ∑ bn x n的收敛半径各为 R1和 R2 ,
∞
R = min{R1 , R2 }
①加减法
∞ ∞ n
n= 0
n= 0
an x ± ∑ bn x = ∑ cn x n . x ∈ (− R, R ) ∑
a n +1 设 lim = ρ (或 lim n a n = ρ ) 或 n→ ∞ n→ ∞ a n

高数第六章

x ∈ ( ∞ ,+∞ )
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径定义: 正数称为幂级数的收敛半径幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其数敛且和s ≤ u1 ,其项n 的对 rn ≤ un+1. 余 r 绝值

习题课讲义(级数)

第九讲：无穷级数一、常数项级数 1、概念与性质：（1）数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。

数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。

若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。

例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ：解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n：解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ；解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。

④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛（2）性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n ∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性；推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散）比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n：解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ，故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim ≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。

word版习题课无穷级数

第十二章无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2、正项级数的审敛法若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→，失效，发散收敛11,1lim1ρρρρnn n u u ；对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=∞→，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ；对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做；注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当nn n u u 1lim+∞→存在时，n nn u ∞→lim 也存在，且nn n nn n u u u 1limlim+∞→∞→=，反之不一定成立。

3、任意项级数审敛法∑∞=1n nu为收敛级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu条件收敛；莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞→n n u 则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。

（二）求幂级数收敛域的方法1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1lim+∞→=n nn a a R ，再讨论R x ±=的敛散性；2、⎩⎨⎧直接用比值法或根值法式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。

（三）幂级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；4、⎩⎨⎧数，再代值；间接求和：转化成幂级求部分和；直接求和：直接变换，数项级数求和（四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。

习题课讲义(级数

若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。

④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛（2）性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n ，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性；推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散）比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n：解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ，故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。

第一次知识题课无穷级数高数

n n k1 3k
k
例5 (1)设偶函数f (x)在x=0的某邻域二阶导数连
续，且
f (0)=1，证明级数
[ f ( 1 ) 1]绝对收敛。
n1
n
证明因为偶函数f (x)在x=0的某邻域有连续的二阶
导数，故f (0) 0，
且f ( 1 ) f (0) f (0) 1 f (0) ( 1 )2 o( 1 )
(4) (1 cos )
n1
n
ln n
(5)
3
n n1 2
(6)
n1
n cos2 2n
n
3
;
1 cos
lim
n 1,收敛
n
2
2n2
取vn
1 ,收敛 4
n3
un
ncos2 n
3 2n
n 2n
,收敛
an
(7)
(a 0, s 0).
ns
n1
a
lim n
n
un
lim ( n n
n)s
a
从而
当 a 1 时, 原级数收敛；
当a 1 时, 原级数发散；
当 a 1 时,
原
级
数
为
n1
1 ns
,
p
级
数
，
故
当s 1时，收敛：当s 1时，发散。
(8)
un
/ n sin x dx,
0 x1
un 是否收敛？
n1
解：n≥2时，
0 un
/ n sin x dx
0 x1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),

10.6_无穷级数习题课

幂级数
收
三角级数
敛
半泰勒展开式傅氏展开式
径
R
Rn ( x) 0 满足狄氏条件
泰勒级数傅氏级数
数或函数
函数
无穷级数习题课
1、常数项级数
定义

un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
16
无穷级数习题课
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.

定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当时,R 0 .
无穷级数习题课
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质:

设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
加减法

an xn bn xn cn xn .
n0
n0
n0
x R, R
2!
n!
x (1,1)
无穷级数习题课
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
eix cos x i sin x,
sin t eit eit , 2i
e it e it
cos t
,
2
无穷级数习题课
8、傅里叶级数
(1) 三角函数系三角函数系

高等数学第10章无穷级数习题详解

1 ，故该级数收敛，且 3
1
(3n 2) (3n 1) 3 .
n 1
1
5．若级数
un 与 vn 都发散时，级数 (un vn ) 的收敛性如何？若其中一个收敛，一
n 1 n 1 n 1

个发散，那么，级数
(u
n 1

n
vn ) 收敛性又如何？
当 n 时， S n 1 ，故级数收敛 .
2 3 n sin sin sin 6 6 6 6 1 2 3 n (2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin ) 12 6 12 6 12 6 12 6 2 sin 12 1 3 3 5 2n 1 2n 1 [(cos cos ) (cos cos ) (cos cos )] 12 12 12 12 12 12 2 sin 12 1 (2n 1) [cos cos ] 12 12 2 sin 12 2n 1 不存在，所以 lim S n 不存在，因而级数发散 . 由于 lim cos n n 12

sin
（ 5）由于 lim
n
sin n n 2 lim 2 ， n 1 2n 2n
而
1 收敛，故 sin n 也收敛. n 2 n 1 2 n 1
而级数
n
n 1

1
2
收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛 .
(sin 2n) 2 1 1 1 （4 ） u n ，而为公比 q 1 的等比级数，该级数收敛，由比 n n n 6 6 6 n 1 6

无穷级数习题课(2)

第七章无穷级数习题课 (一)
常数项级数
1
一、定义及性质
1．常数项级数 2．敛散性定义
an
n1
n
设Sn
k 1
an，如果
lim
n
Sn
s
存在，
3．性质
则级数收敛，否则级数发散。
必要性:
级数
an 收敛
n1
lim
n
an
0.
线性运算性质: 设级数 un s, vn , , 为常数
n1
n1
n1
No
Yes
| an 收| 敛
n1
lim an1 a n
n
lim
n
n
an
No
1
No
找正项收敛
级数 bn n1
找正项发散
级数 cn n1
an (1)n un No
Yes
an为交错级数
n1
用其它方法证明
1
Yes 1
an发散
n1
an收敛
n1
an bn
an收敛
n1
an cn
解：
由于
an
2n 1 3n
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
Sn
(1
2) 3
(2 3
3 32
)
3 ( 32
4 33
)
(
n 3n1
n1 3n )
1
n1 3n
S
lim
n
Sn
lim(1
n
n1 3n )
1
所以原级数收敛，且和为1。
6
【例2】判别级数

无穷级数习题课资料

无穷级数习题课资料一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。

幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。

二、本章重点用定义判别级数的收敛，正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。

三、本章难点用定义判别级数的收敛，级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。

四、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。

（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln 3ln 3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。

例2：利用柯西审敛原理证明级数2cos cos(1)n n n n ∞=-+∑收敛。

证明：1cos cos(1)n pn p n m n m m S S m ++=+-+-=∑ ()()()11cos 1cos 111()cos 111n p m n n n p m n m m n p+-=++++=--+-+++∑11111111()112n p m n n m m n p n n+-=+≤+-+=<++++∑，对任意的0ε>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，对所有p N ∈，都有n p n S S ε+-<，故原级数收敛。

例3：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ，（2）211ln n n n ∞=-∑ ，（3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑，（0x ≥）（6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）22221111111111ln ln(1)(())()22n o o n n n n n n n n n n+-=-+=--+=+，因为 22221111()ln 12limlim 112n n n o n n n n n n →∞→∞++-==，且211n n∞=∑收敛，所以级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。

《高等数学》第十章无穷级数(电子讲稿)

380 第十章无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑，（2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性．解部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑．（3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---．当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -；当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散．例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的．二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ．证设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=．性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性．性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变．应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散．习题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑；（2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数．在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1）的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界．由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证（1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式）设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的．证因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性．解（1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散．（2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散．（3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭．由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛．综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑．（2）称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解（1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =）从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰　d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =），故数列{}n s 有界，所以级数（2）收敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑；（2）1111n nn∞+=∑；（3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）21e n n n ∞-=∑．解（1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛．（2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散．（3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性．解因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证（1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）．即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3）或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法）如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤．因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤．因为 21221n n n s s u ++=+，所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解令1n u n =, 显然有（1） 1111n n u u n n +=>=+，（1,2,n =），（2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==．由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛．证因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知：当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散；当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑；（7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项．当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2）而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++，（3）或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理）如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ．因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间．由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果（1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知：（1）当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛．对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛；当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ．相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）．（2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰．逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数．解因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-．设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑，逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +．对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数：（1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和．第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1）其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项．这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2）来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3）幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。

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（×）（ ×）
n1
n 10
13 o 若
a
2 n
收
敛
,
b
2 n
收
敛
,则
a n bn绝对收敛 .
（ √）
n1
n1
n1
14 o 若正项级数
u n满足
n1
u n 1 1，则此级数收敛 . （ × ）
un
例： 1 n1 n
un1 n 1 un n1
2. 确定幂级数收敛域
(1)求幂级数
an
8 o 对级数
u n，若有
n1
lim u n1 n un
1 或者
lim
n
n
|
un
|
1,
则级数 u n _必___定__发___散_ . n1
9 o * 绝对收敛级数各项重排
后，新级数
___仍__然___收__敛 __ ，且
. . .
.
其和 ___不__变____.
10 o * 两个绝对收敛级数
u n s ， v n ，则其乘积是新级数
n1
n1
___u _1 _v _1 _ __( _u 1 v _2 _ __u __2 _v _1 _) _ _ _ __( _u _1 _v _n __ u 2 _v _n _ _1 __ _ _ _ _ u _n _v _1 _) _ __ _ _ ,
(2)求幂级数 an ( x x0 )n收敛区间的方法是 _令__y_=__x_–x_0_, ___先__考__虑_ n0 ___n__0a_n_y_n_的 ___收__敛 ___区 __,间 ____再__换__回__x_的__收__敛__区__间_。_____ . .
.
. . . .
3. 函数可展为幂级数的充要条件
时级数收敛。其和 S ____u_1__ ，余项 | rn | ____u_n_+_1__ .
. .
.
7 o 级数 u n 绝对收敛，是指 n1
级数 u n条件收敛，是指 n1
____若 ___n__1|_un
| 收敛
__________
___ .
__若 ___n_1_|_u__n | 发 ___散 __,___而__n1 u__n__收__敛 __ .
例：
(1)n1
1
n1
n
（ ×）
.
8 o 若
u
n
收
敛
,则
u n收敛 .
（ ×）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（√）
10 o
若 u n发散，则
n1
1 n1 u n
必收敛
.
（ ×）
11 o
1 n1 ( n 2
0 .0001
)
收敛
.
.
12 o 若 u n 收敛 , 则 u n 收敛 , 且和不变 .
展开成正弦级数和余弦级数；会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。
二典型例题(8个) 三课堂练习(4个)
.
4 o 级数 1 1 1 1 1 叫 __P__–__级___数_ .
np
n1
2p 3p
np
当 __P__>__1 时它收敛；当 ___P____1_ 时它发散 .
x
n收
敛
半
径
的
方
法是
求liman1 , 再推得R: ____n ___a_n_____________
n0
_当 _____0_,_R____1_;____当 _____0_,_R _____ _;____当 ___ ____, __R _ __0._.
求它的收敛区间的方法是 _先__求__出_R__, 再___考_虑__端__点__x=_±___R_处_的__敛__散__性__. ;
设f(x)在x0的某邻域内具导有数任，意则阶在该邻 f(x)可展为幂级数件的是 :f(x充 )的要泰条勒公式中
R n(x) 0(n ).
称 n 0 f n n ( ! x 0 ) ( x x 0 ) n f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 ) f 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
5 o 判定正项级数敛散性的方法主要有 _比__较___法_, __比___值__法_,
_根__值___法__ 和 _积___分__法__ 等。 6 o 级数 u1 u 2 u 3 u4 (u n 0, n 1, 2, )叫 __交__错___级___数__.
当它满足条件 1o _u _n __ _u _n _ _1 _(_n _1 _,_2 _,_ __), 2 o ___lni _m__u_n___ 0___
且新级数的和为 ___s____ .
(2) 判断是非（是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（√）
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（×）
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（√）
n1
n1
4 o 若 u n 收敛，则 | u n | 收敛 .
2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念；
熟练掌握确定幂级数收敛域的方法；
会求简单的幂级数的和函数；
3.函数可展为幂级数的充要条件；
4. 掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麦克劳林展开式会用间接法把函数展开成幂级数。
5. 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为 2 （或2l )的函数展开成傅立叶级数；掌握函数延拓思想，会把[0,](或[0,l ] )上的函数
（×）
n1
n1
5 o 若 u n 收敛， v n 发散 , 则 ( u n v n )发散 .
（ √）
n1
n1
n1
√ 6 o 若 u n 发散 , v n 发散 , 则 ( u n v n )可以收敛 .（
）
.
n1
n1
n1
7 o 若 u n 收敛
n 1
,则
u
2 n
收敛
n1
.
f(nn )(!x0)(xx0)n 为函数 f (x)的泰勒级数。
当x0 0时，称
f n (0) xn f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
第六部分：无穷级数
第六部分无穷级数
一重点与难点
1.无穷级数及其收敛、发散的概念；
无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；
正项级数的比较审敛法及几何级数和 p-级数的收敛性；
正项级数的比值审敛法和根值审敛法；
交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的
概念和判别方法。
(1) 填空(10个)
(2) 判断是非(14个)