一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法

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学点 四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2,求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、 韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题? 实数k取何值时,含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 (1)有实根、无实根、有两个相等实根. (2)有两正根、两负根,一正一负根. (3)有零根. (4)有两个大于k的根,有两个小于k的根,一根大 于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方 面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间 端点处的函数值. 方法有三类:(一)判别式、韦达定理法;(二) 判别式、对称轴、构造函数法;(三)求根公式法. 以下几类是常见问题:(在a≠0条件下) (1)方程ax2+bx+c=0有实根,有两不等实根,无实 根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1, ≨ ≨1<m<19. 1<m<19,
综上1≤m<19. 【评析】(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为
a>0,
Δ<0.
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立,求 a与m之间的关系. 解:
一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法1. (1)解不等式:(x+4)(x-1)<0,{x|-4<x<1}(2)解不等式:2x 2-3x-2>0,{x|x<21,或x>2}(3)解不等式:-3x 2+6x>2 }331x 331|x {+<<-(4)解不等式:4x 2-4x+1>0 }21x |R x {≠∈解不等式:)x 4(x )1x 2x 2(42->+- 解:32x x 04x 12x 9212==⇒>+-∴原不等式的解集为}32x |R x {≠∈4.分式不等式 3.(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0;(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0;c有两相等实根(3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ;(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f17.(本小题满分6分)已知R U =, 且{}0162<-=x x A , {}0342≥+-=x x x B ,求(1)A ∪B ; (2))(A C U ∪)(B C U解:(1)A ∪B=R ;(2)(C U A )∪(C U B )={x ∣x ≤-4或1﹤x ﹤3或x ≥4}12. 当0<a 时,关于x 的不等式05422>--a ax x 的解集是BA .{}a x a x x -<>或5|B .{}a x a x x -><或5|C .{}a x a x -<<5|D .{}a x a x 5|<<-15.不等式2601x x x --->的解集为(C ) (A ){}2,3x x x -<或> (B ){}213x x x -<,或<<(C ) {}213x x x -<<,或> (D ){}2113x x x -<<,或<< 21.已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩,≤,,,则不等式2()f x x ≥的解集为(A )A .[]11-,B .[]22-,C .[]21-,D .[]12-,10.设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤,则A B = (A )(A ){12}x x -≤< (B )1{|1}2x x -<≤ (C ){|2}x x < (D ){|12}x x ≤<19.已知全集R U =,集合}0)1)(2(|{>-+=x x x A ,}01|{<≤-=x x B ,则)(B C A U 为(C) (A)}12|{>-<x x x 或 (B)}02|{≥-<x x x 或(C)}01|{≥-<x x x 或 (D)}11|{>-<x x x 或 2.若二次不等式ax 2+8ax+21<0的解集为-7<x <-1,则a 的值为(C)(A) 1 (B )2 (C)3 (D) 4 5.不等式252(1)x x +-≥的解集是(D )(A) 132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (B) 132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (C )(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ,, (D) (]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,,11.函数2log (2)y x =++的定义域为(D)(A) (,1)(3,)-∞-+∞ (B) (,1][3,)-∞-+∞ (C) (2,1]-- (D) (2,1][3,)--+∞ 2、(广东5月模拟)不等式(1)(2)0x x +->的解集为(C ) (A )(,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B ) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C )(1,2)- (D ) (2,1)- 2、(福建质检)不等式203x x ->+的解集是 (D )(A )(2,)+∞ (B ) [2,)+∞ (C )(,3)-∞- (D )(,3)(2,)-∞-⋃+∞4、已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或.求,a b ; 答案:1,2a b ==5、若关于x 的不等式01x a x ->+的解集为(,1)(4,)-∞-⋃+∞,则实数4a =.3、(2010全国卷2理数)不等式2601x x x --->的解集为(C )(A ){}2,3x x x -<或> (B ){}213x x x -<,或<< (C ) {}213x x x -<<,或> (D ){}2113x x x -<<,或<<例1 解不等式:3124x x -<-.误:去分母,得324x x -<-,即37x >,得73x >,∴原不等式的解集为7|3x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.析:因为分母正负未定,故不等式两边同乘以24x -后不等号方向直接就“定义”不变是不对的.应通过移项、通分解决.正:原不等式变形为3731002424x x x x ---<⇔<--(37)(24)02x x x ⇔-->⇔<或73x >.∴原不等式的解集为7|23x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭,或.第21题. 对任意实数x ,不等式2(2)2(2)40a x a x ----<恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(2)-,∞B.(]2-,∞C.(22)-,D.(]22-,答案:D.例2.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤,求实数,m n 之值.例3.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集.解:由题意 23230b ac a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩, 即560b ac a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩.代入不等式20cx bx a -+>得:2650(0)ax ax a a ++=<.即26510x x ++<,∴所求不等式的解集为11{|}32x x -<<-.例4.已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ,求m 的取值范围.解:2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数,2m ∴≠二次函数的值恒大于零,即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R . 200m ->⎧∴⎨∆<⎩, 即 224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩,解得:226m m >⎧⎨<<⎩ m ∴的取值范围为{|26}m m <<例5.若函数y =中自变量x 的取值范围是一切实数,求k 的取值范围解:y =中自变量x 的取值范围是R , ∴220x kx k ++≥恒成立.∴2440k k ∆=-≤ ∴01k ≤≤ 故k 的取值范围是{|01}k k ≤≤.例3 (课本第88页)解不等式0322>-+-x x . 解:整理,得0322<+-x x .因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解,所以不等式0322<+-x x的解集是∅.从而,原不等式的解集是∅.8.在R 上定义运算⊙:a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙0)2(<-x 的实数x 的取值范围为B (A ))2,0( (B ))1,2(-(C )),1()2,(+∞⋃--∞ (D ))2,1(-【解析】依题意:x ⊙0)2(<-x (2)220x x x x ⇔-++-<,解得21x -<<。
一元二次不等式及解法

(1)a 0 a 4
1 (2)m m 且m 0 4
深化练习
(1)若对于x 1,3, mx mx 1 m 5
2
恒成立,求m的取值范围.
6 (1)m m 7
(2)已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0
延伸训练
解关于x的不等式 ax (a 1) x 1 0, (a R )
2
综上所述: 1 a<-1 时,解集为{x|-1<x< }; a a=-1 时,原不等式无解; 1 -1<a<0 时, 解集为{x| <x<-1}; a a=0 时,解集为{x|x<-1}; 1 a>0 时,解集为{x|x<-1 或 x> }. a
1 , 3
(4)a, b均为负值;
a 3, b 2
考点二
解含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式x 2 (a 1) x a 0, (a R)
( x 1)( x a) 0
当a 1时,解集为x a x 1 当a 1时,解集为 当a 1时,解集为x 1 x a 综上所述:
有参变量时,往往需要针对这个系数是否为0进行分类讨论,并且如果对应的一
元二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时,还要再次针对这 两根的大小进行分类讨论.
3.有关一元二次不等式的恒成立问题 此类问题关键提炼出问题有关于一元二次不等式的本质,对变量进行 分类讨论及借助数形结合等方法进行求解计算.
b 4ac
2
0
y
0
y
x1 x2
0
y
y ax bx c
2
x
x1
x2
一元二次不等式及其解法

2 1 ∴原不等式的解集为{x|- ≤ x≤ }. 3 2 (2)∵ Δ=(- 4)2- 4× 2× 7=- 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax +bx+2>0 的解为- <x< , 2 3
2
求 2x2+bx+a<0 的解.
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax +5x+c>0 的解集为{x| <x< }, 3 2
2.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是(
)
A.(0,2)
C.(2,+∞)
B.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的 解集,解得0<x<2,故选A. 答案:A
3.不等式- 6x2- x+ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A. {x|- ≤ x≤ } 3 2 1 C. {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时,(x-1)(x- )<0⇔1<x< ; a a 1 ②当 a=1 时,(x-1)(x- )<0⇔(x-1)2<0⇔x∈Ø; a 1 1 ③当 a>1 时,(x-1)(x- )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< 或 x>1};当 a a 1 =0 时, 解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时, 解集为{x|1<x< }; a 1 当 a=1 时,解集为 Ø;当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a
)
2 1 B.{x|x≤- 或 x≥ } 3 2 2 D. {x|x≤- } 3
一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法基础知识1.一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零,左边为二次项系数大于零的不等式ax 2+bx +c >0(a >0)或ax 2+bx +c <0(a >0). 在不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)中,如果二次项系数a <0,可根据不等式的性质,将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1.一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0),x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0; (2)不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0),x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0; (3)若a 可以为0,需要分类讨论,一般优先考虑a =0的情形. 2.简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0,g (x )≠0;(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式:(1)-3x 2-2x +8≥0;(2)0<x 2-x -2≤4;[解] (1)原不等式可化为3x 2+2x -8≤0,即(3x -4)(x +2)≤0,解得-2≤x ≤43,所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -2>0,x 2-x -2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -2>0,x 2-x -6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x -2)(x +1)>0,(x -3)(x +2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <-1,-2≤x ≤3. 借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为{}x |-2≤x <-1或2<x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2-(a +1)x +1<0(a >0). [解] 原不等式变为(ax -1)(x -1)<0, 因为a >0,所以a )1(ax -(x -1)<0. 所以当a >1,即1a <1时,解为1a <x <1;当a =1时,解集为∅;当0<a <1,即1a >1时,解为1<x <1a.综上,当0<a <1时,不等式的解集为}11|{ax x <<; 当a =1时,不等式的解集为∅; 当a >1时,不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1.不等式(x +5)(3-2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析:选D 不等式(x +5)(3-2x )≥6可化为2x 2+7x -9≤0,所以(2x +9)(x -1)≤0,解得-92≤x ≤1.所以不等式(x +5)(3-2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2.已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是]31,21[--,则不等式x 2-bx -a <0的解集是( )A .(2,3)B .(-∞,2)∪(3,+∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析:选A 由题意知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的两根,所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧-12+⎝⎛⎭⎫-13=b a,-12×⎝⎛⎭⎫-13=-1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =5,不等式x 2-bx -a <0即为x 2-5x +6<0,解集为(2,3).3.求不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R )的解集.解:原不等式可化为12x 2-ax -a 2>0,即(4x +a )(3x -a )>0, 令(4x +a )(3x -a )=0,解得x 1=-a 4,x 2=a3.当a >0时,不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ; 当a =0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞); 当a <0时,不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .[)2,2(-C .(-2,2]D .(-∞,-2) [解析] 当a -2=0,即a =2时,不等式为-4<0,对一切x ∈R 恒成立.当a ≠2时,则⎩⎪⎨⎪⎧ a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(-2,2]. [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0,b 2-4ac <0.(2)ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0,b 2-4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-,都有x 2-2x +a ≤0(a 为常数),则a 的取值范围是( ) A .(-∞,-3] B .(-∞,0] C .),1[+∞[ D DD D .]1,(-∞(解析] 法一:令f (x )=x 2-2x +a ,则由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)=(-1)2-2×(-1)+a ≤0,f (2)=22-2×2+a ≤0,解得a ≤-3,故选A.法二:当x ∈[)2,1(-]时,不等式x 2-2x +a ≤0恒成立等价于a ≤-x 2+2x 恒成立,则由题意,得a ≤(-x 2+2x )min (x ∈[)2,1(-]).而-x 2+2x =-(x -1)2+1,则当x =-1时,(-x 2+2x )min =-3,所以a ≤-3,故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立,即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题,即已知函数f (x )的值域为[m ,n ],则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ,即m ≥a ;f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ,即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围. 解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x -3)a +x 2-6x +9>0. 令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9,因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立,所以 (1)若x =3,则f (a )=0,不符合题意,舍去.(2)若x ≠3,则由一次函数的单调性,可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)>0,f (1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0,解得x <2或x >4,综上可知,使原不等式恒成立的x 的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞). [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解. [题组训练]1.(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则实数m 的取值范围为( )A .(-∞,-3]B .[-3,+∞)C .[-3,0)D .[-4,+∞)解析:选A x 2-4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,令f (x )=x 2-4x ,∵f (x )图象的对称轴为直线x =2,∴f (x )在(0,1]上单调递减,∴当x =1时,f (x )取到最小值,为-3,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3],故选A. 2.若不等式x 2+mx -1<0对于任意x ∈[m ,m +1]都成立,则实数m 的取值范围是________.解析:由题意,得函数f (x )=x 2+mx -1在[m ,m +1]上的最大值小于0,又抛物线f (x )=x 2+mx -1开口向上,所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )=m 2+m 2-1<0,f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)-1<0,即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2-1<0,2m 2+3m <0,解得-22<m <0. 答案:)0,22(-3.不等式(a -3)x 2<(4a -2)x 对a ∈(0,1)恒成立,则x 的取值范围是________.解析:由题意知(a -3)x 2<(4a -2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2-4x )a -3x 2+2x <0对a ∈(0,1)恒成立.令g (a )=(x 2-4x )a -3x 2+2x ,当x =0时,g (a )=0,不满足题意.当x ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)=-3x 2+2x ≤0,g (1)=(x 2-4x )-3x 2+2x ≤0,得x ≤-1或x ≥23.答案:(-∞,-1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1.(2019·石家庄模拟)若集合A ={x |x 2-2x <0},B ={x ||x |≤1},则A ∩B =( )A .[-1,0)B .[-1,2)C .(0,1]D .[1,2)解析:选C 由x 2-2x <0得0<x <2,所以A ={x |0<x <2},由|x |≤1得-1≤x ≤1,所以集合B ={x |-1≤x ≤1},所以A ∩B ={x |0<x ≤1},故选C. 2.不等式3x -1x -2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D .{x |x <2} 解析:选C 不等式3x -1x -2≤0等价于(3x -1)(x -2)≤0,且x -2≠0,解得13≤x <2.故选C.3.不等式-3<4x -4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B .{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或 解析:选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x -1)≥0,4x 2-4x -3<0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1,-12<x <32,所以-12<x ≤0或1≤x <32.4.(2019·广州模拟)已知不等式ax 2-5x +b >0的解集为{x |-3<x <-2},则不等式bx 2-5x +a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C .{x |-3<x <2} D .{x |x <-3或x >2} 解析:选A 由题意得⎩⎨⎧5a=-3-2,ba =-3×(-2),解得a =-1,b =-6,所以不等式bx 2-5x +a >0为-6x 2-5x-1>0,即(3x +1)(2x +1)<0,所以解集为}3121|{-<<-x x ,故选A. 5.若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )A .[]2,(-∞)B B . (-∞,-6]]C . ]2,6[-D .(-∞,-6]∪[2,+∞)解析:选D 由关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集,得对应方程x 2-ax -a +3=0有实数根,即Δ=a 2+4(a -3)≥0,解得a ≥2或a ≤-6,所以a 的取值范围是 (-∞,-6]∪[2,+∞).故选D.6.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )A .12元B .16元C .12元到16元之间D .10元到14元之间解析:选C 设销售价定为每件x 元,利润为y ,则y =(x -8)[100-10(x -10)], 依题意有,(x -8)[100-10(x -10)]>320,即x 2-28x +192<0,解得12<x <16, 所以每件销售价应为12元到16元之间.7.存在x ∈[-1,1],使得x 2+mx -3m ≥0,则m 的最大值为( )A .1 B.14 C.12D .-1解析:选C 若对于任意x ∈[-1,1],不等式x 2+mx -3m <0恒成立,则由函数f (x )=x 2+mx -3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)=1-m -3m <0,f (1)=1+m -3m <0,解得m >12.所以若存在x ∈[-1,1],使得x 2+mx -3m ≥0,则m ≤12,所以m的最大值为12.故选C.8.(2018·北京东城区期末)设不等式x 2-2ax +a +2≤0的解集为A ,若A ⊆]3,1[,则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D .[)3,1( 解析:选A 设f (x )=x 2-2ax +a +2,因为不等式x 2-2ax +a +2≤0的解集为A ,且A ⊆[]3,1[], 所以对于方程x 2-2ax +a +2=0,若A =∅,则Δ=4a 2-4(a +2)<0,即a 2-a -2<0,解得-1<a <2;若A ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4a 2-4(a +2)≥0,f (1)≥0,f (3)≥0,1≤a ≤3,即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤-1,a ≤3,a ≤115,1≤a ≤3,所以2≤a ≤115.综上,a 的取值范围为]511,1(-,故选A. 9.不等式|x (x -2)|>x (x -2)的解集是________.解析:不等式|x (x -2)|>x (x -2)的解集即x (x -2)<0的解集,解得0<x <2,故不等式的解集为{x |0<x <2}. 答案:{x |0<x <2}10.若a <0,则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax -a 2<0,x 2-ax -2a 2<0的解集为________. 解析:因为a <0,所以由ax -a 2=a (x -a )<0,得x >a ,由x 2-ax -2a 2=(x -2a )(x +a )<0,得2a <x <-a .所以原不等式组的解集为(a ,-a ). 答案:(a ,-a )11.若关于x 的不等式5x 2-a ≤0的正整数解是1,2,3,则实数a 的取值范围是________.解析:关于x 的不等式5x 2-a ≤0的正整数解是1,2,3,所以a >0,解不等式得x 2≤a5,所以-a5≤x ≤ a5,所以3≤ a 5<4,所以9≤a5<16,即45≤a <80, 所以实数a 的取值范围是[45,80). 答案:[45,80)12.不等式a 2+8b 2≥λb (a +b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,则实数λ的取值范围为________.解析:因为a 2+8b 2≥λb (a +b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,所以a 2+8b 2-λb (a +b )≥0恒成立,即a 2-λba +(8-λ)b 2≥0恒成立,由二次不等式的性质可得Δ=λ2b 2+4(λ-8)b 2=b 2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4. 答案:[-8,4]13.已知函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值范围; (2)若函数f (x )的最小值为22,解关于x 的不等式x 2-x -a 2-a <0. 解:(1)因为函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax +1≥0恒成立, 当a =0时,1≥0恒成立.当a ≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=(2a )2-4a ≤0,解得0<a ≤1,综上可知,a 的取值范围是[0,1]. (2)因为f (x )=ax 2+2ax +1=a (x +1)2+1-a ,因为a >0,所以当x =-1时,f (x )min =1-a ,由题意得,1-a =22,所以a =12, 所以不等式x 2-x -a 2-a <0可化为x 2-x -34<0.解得-12<x <32,所以不等式的解集为)23,21(-。
一元二次不等式及其解法

∵ 32 4 2 2 7 0
∴方程 2x 2 3x 2 0 无实数根 ∴原不等式的解集为 R.
习题 1: 解下列不等式: (1) x 2 5x 6 0 ;
(2) x 2 7x 6 ;
x 2 6x 10 0
(3) 2 xx 3 0 ;
;
当 a 1 ,即 a 1或0 a 1 时,原不等式的解集为 x a x 1 .
原不等式可化为 x 22 0 或 x 22 0 ,所以原不等式的解集为 x x 2或 x x 2;
当 0 ,即 4 a 4 时 方程 x 2 ax 4 0 无实数根,所以原不等式的解集为 R.
例 7. 解不等式 m2 1x 2 4x 1≥0 m R.
第1页
(2)一元二次不等式 ax 2 bx c 0 (≤0)的解集就是二次函数 y ax 2 bx c 0a 0
的图象位于 x 轴下方(包括 x 轴)的部分所对应的自变量的取值范围.
表(1)一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式 b 2 4ac
解:∵ m 2 ≥0 ∴m2 1 0
42 4m2 1 12 4m2
当 0 ,即
一元二次不等式及其解法

2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠-b2a{x|x∈R} ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?提示ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?提示显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0,Δ<0;ax2+bx+c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0,Δ<0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2+bx +c <0的解集为(x 1,x 2),则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-∞,x 1)∪(x 2,+∞),则方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根,则不等式ax 2+bx +c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下,则不等式ax 2+bx +c <0的解集一定不是空集.( √ )题组二 教材改编2.已知集合A ={x |x 2-x -6>0},则∁R A 等于( )A .{x |-2<x <3}B .{x |-2≤x ≤3}C .{x |x <-2}∪{x |x >3}D .{x |x ≤-2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2-x -6>0,∴(x +2)(x -3)>0,∴x >3或x <-2,即A ={x |x >3或x <-2}.在数轴上表示出集合A ,如图所示.由图可得∁R A ={x |-2≤x ≤3}.故选B.3. y =log 2(3x 2-2x -2)的定义域是________________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1-73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1+73,+∞ 解析 由题意,得3x 2-2x -2>0,令3x 2-2x -2=0,得x 1=1-73,x 2=1+73, ∴3x 2-2x -2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1-73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1+73,+∞. 题组三 易错自纠4.不等式-x 2-3x +4>0的解集为________.(用区间表示)答案 (-4,1)。
一元二次不等式及其解法

反思与感悟
解析答案
方法二
当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
1 3 2 2 ∵x -x+1=x-2 +4>0,
6 又 m(x -x+1)-6<0,∴m< 2 . x -x+1
当 a>0
1 ; x | - < x < 1 时,原不等式的解集是 a
当a=-1时,原不等式的解集是{x|x≠1};
当-1<a<0
当 a<-1
1 时,原不等式的解集是x|x<1或x>-a .
1 . x | x <- 或 x > 1 时,原不等式的解集是 a
反思与感悟
跟踪训练2
解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.
解
原不等式可化为
(x-a)(x-a2)>0
讨论a与a2的大小
(1)当a2>a即a>1或a<0时,
x>a2或x<a.
(2)当a2=a即a=0或a=1时,
x≠a.
解析答案
(3)当a2<a即0<a<1时, x>a或x<a2. 综上,当a<0或a>1时,解集为{x|x>a2或x<a}, 当a=0或1时,解集为{x|x≠a}, 当0<a<1时,解集为{x|x>a或x<a2}.
当a=0时,x<1;
当 a>0
1 ∴-a<x<1;
当a=-1时,x≠1;
当-1<a<0
1 时,x+a(x-1)>0,
1 ∴x>-a或 x<1;
反思与感悟 解析答案
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提示:交点的横坐标为方程的根.
问题 4:观察二次函数图象,x 满足什么条件,图象在 x 轴上 方?
提示:x>2 或 x<0.
问题 5:能否利用问题 4 得出不等式 x2-2x>0,x2-2x<0 的解集?
提示:能,不等式的解集为{x|x>2 或 x<0},{x|0<x<2}.
[导入新知] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表
[活学活用]
2
1 3.已知方程 ax +bx+2=0 的两根为- 和 2.(1)求 a、b 的值; 2 (2)解不等式 ax2+bx-1>0.
1 解:(1)∵方程 ax +bx+2=0 的两根为- 和 2, 2
2
b 1 - + 2 =- 2 a, 由根与系数的关系,得 -1×2=2. a 2 解得 a=-2,b=3.
高中数学高一年级必修五 第三章 第二节
一元二次不等式及其解法
学习目标
学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函 数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次 函数、一元二次方程的关系。 学法指导:发现、讨论法;数形结合。”的观念。 掌握一元二次不等式的解法及步骤。 学习重点、难点:一元二次不等式、二次函数、一 元二次方程的关系;一元二次不等式的解法及其步 骤。
(2)原不等式可化为 x2-7x+6<0. 解方程 x2-7x+6=0 得,x1=1,x2=6. 结合二次函数 y=x2-7x+6 的图象知,原不等式的解集为 {x|1<x<6}. (3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0 两根为 2 和-3. 结合二次函数 y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为 {x|x<-3 或 x>2}.
[随堂即时演练] 1.不等式 x(2-x)>0 的解集为( A.{x|x>0} C.{x|x>2 或 x<0} ) B.{x|x<2} D.{x|0<x<2}
解析:原不等式化为 x(x-2)<0,故 0<x<2.
答案:D
2.已知集合 M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0}, 则 M∩N 为( )
[活学活用] 2.解关于 x 的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).
解:原不等式可化为: (ax+1)(x-1)<0,当 a=0 时,x<1,当 a>0 -1)<0 1 ∴-a<x<1.当 a=-1 时,x≠1,
1 时x+a(x
当-1<a<0
1 1 时,x+a(x-1)>0,∴x>-a或
92 (3)原不等式可化为 2x-2 ≤0 ,所以原不等式的解集为 9 x|x= . 4
(4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4 <0,所以方程 x2-6x+10=0 无实根,又二次函数 y=x2-6x +10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2-3x+2>0,因为 Δ=9-4×2×2=-7 <0,所以方程 2x2-3x+2=0 无实根,又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 R.
[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没 有实根; (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集.
[解]
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数
y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上,则当 a<-1 时,原不等式 解集为{x|a<x<-1}; 当 a=-1 时,原不等式解集为∅; 当 a>-1 时,原不等式解集为{x|-1<x<a}.
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时: (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式 Δ 进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
答案:A
3.二次函数 y=x2-4x+3 在 y<0 时 x 的取值范围是________.
解析:由 y<0 得 x2-4x+3<0,∴1<x<3
答案:(1,3)
4.若不等式 ax +bx+2>0
2
1 的解集为x|-2<x<2 ,则实数
a=________,实数 b=________.
1 1 =- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两个实数根, 2 3
1 1 3-2=-p, 由根与系数的关系得 1 1 ×- =q, 3 2
2
1 p=6, 解得 q=-1 . 6
1 2 1 所以不等式 qx +px+1>0 即为- x + x+1>0,整理得 x2 6 6 -x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.
[活学活用] 1.解下列不等式: (1)x2-5x-6>0; (3)(2-x)(x+3)<0; (2)-x2+7x>6. (4)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
解:(1)方程 x2-5x-6=0 的两根为 x1=-1, x2=6. 结合二次函数 y=x2-5x-6 的图象知,原不等式的解集为 {x|x<-1 或 x>6}.
A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3}
解析:∵M={x|x2-3x-28≤0} ={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2 或 x>3} ∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}.
[类题通法] 1.一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根, 也是函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分,是由 不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的值构成的; 图象在 x 轴下方的部分, 是由不等式 ax2+bx+c<0 的 x 的值构成的, 三者之间相互依存、 相互转化.
判别式 Δ=b2 -4ac 一元二次方程
2
Δ>0 有两相异
Δ= 0 有两相等
Δ<0
实根 x1=x2 没有实数 ax +bx+c= 实根 x1, 根 b 0(a>0)的根 x2, (x1<x2) =- 2a
判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 ax +bx+ c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集
(2)由(1)知,ax2+bx-1>0 可变为-2x2+3x-1>0, 1 即 2x -3x+1<0,解得 <x<1. 2
2
1 ∴不等式 ax +bx-1>0 的解集为{x| <x<1}. 2
2
5.有关三个“二次”关系的不等式的解法
[ 典例 ] 已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是 ax2-bx+c>0 的解集.
1 x|x<-2或x>- ,求 2
[活学活用] 已知一元二次不等式 x +px+q<0 求不等式 qx2+px+1>0 的解集.
2
1 1 的解集为x|-2<x<3 ,
解:因为 x +px+q<0
2
1 1 的解集为x|-2<x<3 ,所以 x1
[提出问题] 观察下列不等式: (1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0. 问题 1:以上给出的 3 个不等式,它们含有几个未知数?未 知数的最高次数是多少?
提示:它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是 2. 问题 2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点?
提示:形如 ax2+bx+c>0(或≤0),其中 a,b,c 为常数, 且 a≠0.
合或区间的形式.
[提出问题] 已知:一元二次函数 y=x2-2x,一元二次方程 x2-2x=0, 一元二次不等式 x2-2x>0. 问题 1:试求二次函数与 x 轴交点坐标
提示:(0,0)、(2,0)
问题 2:一元二次方程根是什么?
提示:x1=0,x2=2.
问题 3:问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系?
x<1.
1 1 当 a<-1 时,-a<1,∴x>1 或 x<-a, 综上原不等式的解集是: 当 a=0 时,{x|x<1};当 a>0
1 时, x|-a<x<1; 1 时,x|x<1或x>-a .
当 a=-1 时,{x|x≠1};当-1<a<0 当 a<-1
(4)由原不等式得 8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于 9x2-12x+4>0. 2 解方程 9x -12x+4=0,得 x1=x2= . 3
2
结合二次函数 y=9x2-12x+4 的图象知, 原不等式的解集为 2 {x|x≠ }. 3
[例 2]
解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
[例 1]
解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0; 81 1 2 (3)-4x +18x- ≥0;(4)- x +3x-5>0; 4 2
2
(5)-2x2+3x-2<0.
[解]
(1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0, 所以方程 2x2+7x
1 +3=0 有两个不等实根 x1=-3,x2=- .又二次函数 y=2x2 2 1 +7x+3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>- , 2 或 x<-3}. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 所以原不等式的解集 为{x|-1≤x≤5}.