一元二次不等式及其解法

[随堂即时演练] 1．不等式 x(2－x)＞0 的解集为( A．{x|x＞0} C．{x|x＞2 或 x＜0} ) B．{x|x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：原不等式化为 x(x－2)＜0，故 0＜x＜2.
答案：D
2．已知集合 M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}， 则 M∩N 为( )
[活学活用] 1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (3)(2－x)(x＋3)<0； (2)－x2＋7x>6. (4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1， x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－1 或 x>6}．
1 时，x|x＜－a或x＞1，
[例 3]
已知关于 x 的不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x
＜2}，求关于 x 的不等式 bx2＋ax＋1＞0 的解集．
[ 解]
∵x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2 是 x2＋ax＋b＝0 的两根．
[解]
方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数
y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[活学活用] 2．解关于 x 的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为： (ax＋1)(x－1)＜0，当 a＝0 时，x＜1，当 a＞0 －1)＜0 1 ∴－a＜x＜1.当 a＝－1 时，x≠1，
1 时x＋a(x
当－1＜a＜0
1 1 时，x＋a(x－1)＞0，∴x＞－a或
答案：A
3．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y＜0 时 x 的取值范围是________．
解析：由 y＜0 得 x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3
答案：(1,3)
4．若不等式 ax ＋bx＋2＞0
2
1 的解集为x|－2＜x＜2 ，则实数
a＝________，实数 b＝________.
[活学活用]
2
1 3．已知方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2.(1)求 a、b 的值； 2 (2)解不等式 ax2＋bx－1＞0.
1 解：(1)∵方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2， 2
2
b 1 － ＋ 2 ＝－ 2 a， 由根与系数的关系，得 －1×2＝2. a 2 解得 a＝－2，b＝3.
判别式 Δ＝b2 －4ac 一元二次方程
2
Δ>0 有两相异
Δ＝ 0 有两相等
Δ<0
实根 x1＝x2 没有实数 ax ＋bx＋c＝ 实根 x1， 根 b 0(a>0)的根 x2， (x1＜x2) ＝－ 2a
判别式 Δ＝b2－ 4ac 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 ax ＋bx＋ c>0(a>0) 的解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0) 的解集
－a＝1＋2， 由韦达定理有 b＝1×2，
a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[例 1]
解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0； 81 1 2 (3)－4x ＋18x－ ≥0；(4)－ x ＋3x－5＞0； 4 2
2
(5)－2x2＋3x－2＜0.
[解]
(1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程 2x2＋7x
1 ＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－ .又二次函数 y＝2x2 2 1 ＋7x＋3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－ ， 2 或 x＜－3}． (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集 为{x|－1≤x≤5}．
(4)由原不等式得 8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于 9x2－12x＋4>0. 2 解方程 9x －12x＋4＝0，得 x1＝x2＝ . 3
2
结合二次函数 y＝9x2－12x＋4 的图象知， 原不等式的解集为 2 {x|x≠ }. 3
[例 2]
解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.

Δ>0
Δ＝ 0
Δ<0
2

x|x<x1
或 x>x2}
b x|x≠－ 2a
R
x|x1<x<x2

∅
∅
[化解疑难] 一元二次方程的根对应于二次函数图象与 x 轴的交点，一 元二次不等式的解对应于二次函数图象在 x 轴上方(下方)，或 在 x 轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与 x 轴的 交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二 次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
1 解析： 由题意可知－ ， 2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根． 2 b 1 －2＋2＝－a， 由根与系数的关系得 －1×2＝2， a 2 解得 a＝－2，b＝3.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7 ＜0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没 有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
A．{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2 或 3≤x＜7} C．{x|x≤－2 或 x＞3} D．{x|x＜－2 或 x≥3}
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2 或 x＞3} ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7}．
合或区间的形式.
[提出问题] 已知：一元二次函数 y＝x2－2x，一元二次方程 x2－2x＝0， 一元二次不等式 x2－2x＞0. 问题 1：试求二次函数与 x 轴交点坐标
提示：(0,0)、(2,0)
问题 2：一元二次方程根是什么？
提示：x1＝0，x2＝2.
问题 3：问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系？
[导入新知] 1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的
不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等Biblioteka Baidu．
2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 ， 叫做这个一元二次不等式 的 解 ，其解的 集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 . [化解疑难] 1． 定义的简单应用： 判断一个不等式是否为一元二次不等式， 应严格按照定义去判断，即未知数只有 1 个，未知数的最高次数 是 2，且最高次的系数不能为 0. 2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0 可变为－2x2＋3x－1＞0， 1 即 2x －3x＋1＜0，解得 ＜x＜1. 2
2
1 ∴不等式 ax ＋bx－1＞0 的解集为{x| ＜x＜1}． 2
2
5.有关三个“二次”关系的不等式的解法
[ 典例 ] 已知关于 x 的不等式 ax2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集是 ax2－bx＋c＞0 的解集．
高中数学高一年级必修五 第三章 第二节
一元二次不等式及其解法
学习目标



学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函 数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次 函数、一元二次方程的关系。 学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。 掌握一元二次不等式的解法及步骤。 学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一 元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步 骤。
(2)原不等式可化为 x2－7x＋6<0. 解方程 x2－7x＋6＝0 得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－7x＋6 的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0 两根为 2 和－3. 结合二次函数 y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－3 或 x>2}．
提示：交点的横坐标为方程的根．
问题 4：观察二次函数图象，x 满足什么条件，图象在 x 轴上 方？
提示：x＞2 或 x＜0.
问题 5：能否利用问题 4 得出不等式 x2－2x＞0，x2－2x＜0 的解集？
提示：能，不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜0}，{x|0＜x＜2}．
[导入新知] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表
1 x|x＜－2或x＞－ ，求 2
[活学活用] 已知一元二次不等式 x ＋px＋q＜0 求不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
2
1 1 的解集为x|－2＜x＜3 ，
解：因为 x ＋px＋q＜0
2
1 1 的解集为x|－2＜x＜3 ，所以 x1
1 1 ＝－ 与 x2＝ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根， 2 3
1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1 1 ×－ ＝q， 3 2
2
1 p＝6， 解得 q＝－1 . 6
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1＞0 即为－ x ＋ x＋1＞0，整理得 x2 6 6 －x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集为{x|－2＜x＜3}．
92 (3)原不等式可化为 2x－2 ≤0 ，所以原不等式的解集为 9 x|x＝ . 4
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4 ＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x ＋10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
[提出问题] 观察下列不等式： (1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0. 问题 1：以上给出的 3 个不等式，它们含有几个未知数？未 知数的最高次数是多少？
提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是 2. 问题 2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
提示：形如 ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中 a，b，c 为常数， 且 a≠0.
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．