第四章 大数据处理方法布隆过滤器
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开放定址法只要在散列表未填满时，总是可以找到不发生冲突的地址。
• 2.链地址法（拉链法） • 和开放定址法的求法类似，只不过当冲突的时候，不再 像后查找，而是在当前位置生成一条链，是单链表的结 构，按照顺序依次计算就可以。 • 已知一组关键字为(30，11，41，26，15，9)，我们用 前面同样的7为除数，进行除留余数法： • 下面的每个元素的存储空间大小都应该是相同的
• 令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在 ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：
• (1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好 选中1的区域，即false positive rate。 • 分别将p和p’代入上式中，得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 2.存在的问题 • （1）查找结果不保证100%正确。 • （2）不支持删除一个已经插入的关键字，因为该关键 字对应的位会牵动到其他的关键字。 • 改进办法：counting Bloom filter，用一个counter数组代 替位数组，就可以支持删除了。
• 3.如何根据输入元素个数n，确定位数组m的大小及hash 函数个数 • 当hash函数个数k=(ln2)*(m/n)时错误率最小。在错误率 不大于E的情况下，m至少要等于n*lg(1/E)才能表示任意 n个元素的集合。但m还应该更大些，因为还要保证bit数 组里至少一半为0，则m应该>=nlg(1/E)*lge 大概就是
第四章 大数据处理方法
4.1布隆过滤器
• 1.基本原理及要点： • 当一个元素被加入集合时，通过K个散列函数将这个元 素映射成一个数组中的K个点，把它们置为1，检索时， 只需看这些点是否是1就知道集合中是否有它。如果这 些点有任何一个为0，则被检元素一定不在，若都是1， 则很可能在。
• Bloom Filter是由Bloom在1970年提出的一种多哈希函数 映射的快速查找算法。通常应用在一些需要快速判断某 个元素是否属于集合，但是并不严格要求100%正确的 场合。
• 除留余数法 • 取关键字被某个不大于散列表长度 m 的数 p 求余，得到 的作为散列地址。 • 即 H(key) = key % p, p < m。 • 例：
• 数字分析法 • 当关键字的位数大于地址的位数，对关键字的各位分布 进行分析，选出分布均匀的任意几位作为散列地址。 • 仅适用于所有关键字都已知的情况下，根据实际应用确 定要选取的部分，尽量避免发生冲突。
• （3）哈希函数的重要性 • 我们通常使用数组或者链表来存储元素，一旦存储的内 容数量特别多，需要占用很大的空间，而且在查找某个 元素是否存在的过程中，数组和链表都需要挨个循环比 较，而通过 哈希 计算，可以大大减少比较次数。
• 例：现在有 4 个数 {2,5,9,13}，需要查找 13 是否存在。 • 使用数组存储： • int[] numbers = new int[]{2,5,9,13}; • • • • • for (int i = 0; i < numbers.length; i++) { if (numbers[i] == 13){ System.out.println("find it!"); return; } }需要遍历 4 次才能找到，时间复杂度为 O(n)。
个放入元素的位置，就如开放定址法的表满的时候不能
放入元素，而链地址法只是在后面动态申请节点就可以。
• 5.集合表示和元素查询 • 下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合 的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组， 每一位都置为0。
• 为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合， Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到 {1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映 射的位置hi(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个 位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几
• 随机数法 • 选择一个随机函数，把关键字的随机函数值作为它的哈 希值。 • 通常当关键字的长度不等时用这种方法。
• （6）哈希冲突的解决 • 选用哈希函数计算哈希值时，可能不同的 key 会得到相 同的结果，一个地址怎么存放多个数据呢？这就是冲突。 • 常用的主要有两种方法解决冲突：
• 1.开放定址法： • 只要经过哈希计算后又冲突，就去寻找下一个空的散列 地址，只要这个散列表足够大，就一定可以找到一个合 适的地址。但是散列表不能定义太大，会带来内存上的 巨大开销，所以散列表大小要设计合理。 • Hi(key) = (H(key)+di) MOD m (di=1,2,3,......,m-1)， 其 中：H(key)为哈希函数；m为哈希表表长；di为增量序 列
平均查找长度就是比较次数相加除以元素个数（1+1+2+1+1+1）/6=7/6
• 步骤：1.每个数对7取余计算，30%7=2，地址为2的位 置为空，把30放入2位置，比较次数为1次；1%7=4，4 位置为空，放入，比较次数1次；41%7=6，6位置为空 放入；26%7=5，位置为空放入；15%7=1，位置为空放 入；9%7=2，地址2位置已经放入了30，此地址不为空， 就接着向下找，（9+1）%7=3，3的位置为空放入。如
• H[2] = 2 % 3 = 2; • H[5] = 5 % 3 = 2; • H[9] = 9 % 3 = 0; • H[13] = 13 % 3 = 1;
然后把它们存储到对应的位置。
当要查找 13 时，只要先使用哈希函数
计算它的位置，然后去那个位置查看 是否存在就好了，本例中只需查找一
次，时间复杂度为 O(1)。
果得到的地址还不为空，就接着向下找，直到找到空的
地址放进去。
• 二次探测散列法： • 如果有一个数正好得到1的位置，可是1的后面没有位置， 但是他的前面有位置，这样他需要把表中的每个地方都 判断一遍，效率很差。 • 因此我们可以改进di = 12, -12, 22, -22,……, q2, -q2 (q <= m/2),这样就等于是可以双向寻找到空位置，可以避免前 面的需要判断整个表的情况 • 我们称这种方法为二次探测法。
• 7.最优的哈希函数个数
• 既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应 该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？ • 这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不 属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大； • 但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为 了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公 式进行计算。
• 原理：给定一组数字，首先选取合适的哈希表的长度， 尽量选择合适的长度。之后依次进行计算，每得到一个 值，去哈希表中看是否该数字对应的地址为空，如果为 空此次地址寻找完毕，探测次数为一，如果不为空，原 数据加一再进行计算，每次加一，直到找到地址为空的 地方，探测次数为找到空的地址判断了多少次。
• 例：已知一组关键字为(30，11，41，26，15，9)，用 除余法构造散列函数，用线性探查法解决冲突构造这组 关键字的散列表。 • 已知数据个数为6个，不如取m=7，构建一个从0~6的一 个哈希表（散列表），散列函数为：h(key)=key％7
• 4.哈希函数 • （1）哈希函数又叫散列函数，一个哈希函数的输入域
可以是非常大的范围，但是他的输出域是一个固定的范
围 • （2）性质： • 典型的哈希函数都拥有无限的输入值域 • 输入值相同的时候，输出值也一样 • 输入值不一样时，输出值可能一样，也可能不一样 不同的输入值得到的哈希值，整体均匀的分布在输出域上
• （4）哈希函数 • 哈希的过程中需要使用哈希函数进行计算。 • 哈希函数是一种映射关系，根据数据的关键词 key ，通 过一定的函数关系，计算出该元素存储位置的函数。 • 表示为： • address = H [key]
• （5）几种常见的哈希函数（散列函数）构造方法 • 直接定址法 • 取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。 • 即 H(key) = key 或 H(key) = a*key + b，其中a和b为常 数。 • 例：
开放地址法处理冲突的散列表上执行删除操作，只能在
被删结点上做删除标记，而不能真正删除结点。
• 拉链法的缺点：指针需要额外的空间，所以当结点规模 较小时，开放定址法较为节省空间，而若将节省的指针 空间用来扩大散列表的规模，可使装填因子（a=表中填 入的记录数 / 哈希表的长度）变小，这又减少了开放定 址法中的冲突，从而提高平均查找速度。 • 链地址法相比于开放定址法，链地址法一定可以找到一
• 6.错误率估计 • 在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函 数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都 被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中 某一位还是0的概率是：
其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机 的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中， 需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就 是（1-1/m）的kn次方
• 平方取中法 • 先计算出关键字值的平方，然后取平方值中间几位作为 散列地址。 • 随机分布的关键字，得到的散列地址也是随机分布的。
• 折叠法（叠加法） • 将关键字分为位数相同的几部分，然后取这几部分的叠 加和（舍去进位）作为散列地址。 • 用于关键字位数较多，并且关键字中每一位上数字分布 大致均匀。
次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函
数选中同一个位置（从左边数第五位，即第二个 “1“处）。
• 在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函 数，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就 认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。 下图中y1就不是集合中的元素（因为y1有一处指向了 “0”位）。y2或者属于这个集合，或者刚好是一个 false positive。
nlg(1/E)1.44倍(lg表示以2为底的对数)。
• 举个例子我们假设错误率为0.01，则此时m应大概是n的 13倍。这样k大概是8个 • Bloom filter将集合中的元素映射到位数组中，用k（k为 哈希函数个数）个映射位是否全1表示元素在不在这个 集合中。Counting bloom filter（CBF）将位数组中的每 一位扩展为一个counter，从而支持了元素的删除操作。 Spectral Bloom Filter（SBF）将其与集合元素的出现次 数关联。SBF采用counter中的最小值来近似表示元素的 出现频率。
因此可以发现，哈希 其实是随 机存储的一种优化，先进行分 • 使用哈希函数进行计算： 类，然后查找时按照这个对象 的分类去找。 哈希通过一次计算大幅度缩小 构造哈希函数 H[key] = key % 3; 查找范围，自然比从全部数据 • 四个数 {2,5,9,13} 对应的哈希值为 里查找速度要快。
• 链地址法有如下几个优点： • 链地址法处理冲突简单，且无堆积现象，他的数据不会 非常密集的出现在一块区域，因此平均查找长度较短； • 由于链地址法中是一个链表的结构，拥有链表的所有特 点，各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于 造表前无法确定表长的情况，减少对不必要内存的开销；
• 在用链地址法构造的散列表中，删除结点的操作易于实 现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放 地址法构造的散列表，删除结点不能简单地将被删结 点 的空间置为空，否则将截断在它之后填入散列表的同义 词结点的查找路径。这是因为各种开放地址法中，空地 址单元（即开放地址）都是查找失败的条件。因此在用
• 2.链地址法（拉链法） • 和开放定址法的求法类似，只不过当冲突的时候，不再 像后查找，而是在当前位置生成一条链，是单链表的结 构，按照顺序依次计算就可以。 • 已知一组关键字为(30，11，41，26，15，9)，我们用 前面同样的7为除数，进行除留余数法： • 下面的每个元素的存储空间大小都应该是相同的
• 令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在 ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：
• (1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好 选中1的区域，即false positive rate。 • 分别将p和p’代入上式中，得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 2.存在的问题 • （1）查找结果不保证100%正确。 • （2）不支持删除一个已经插入的关键字，因为该关键 字对应的位会牵动到其他的关键字。 • 改进办法：counting Bloom filter，用一个counter数组代 替位数组，就可以支持删除了。
• 3.如何根据输入元素个数n，确定位数组m的大小及hash 函数个数 • 当hash函数个数k=(ln2)*(m/n)时错误率最小。在错误率 不大于E的情况下，m至少要等于n*lg(1/E)才能表示任意 n个元素的集合。但m还应该更大些，因为还要保证bit数 组里至少一半为0，则m应该>=nlg(1/E)*lge 大概就是
第四章 大数据处理方法
4.1布隆过滤器
• 1.基本原理及要点： • 当一个元素被加入集合时，通过K个散列函数将这个元 素映射成一个数组中的K个点，把它们置为1，检索时， 只需看这些点是否是1就知道集合中是否有它。如果这 些点有任何一个为0，则被检元素一定不在，若都是1， 则很可能在。
• Bloom Filter是由Bloom在1970年提出的一种多哈希函数 映射的快速查找算法。通常应用在一些需要快速判断某 个元素是否属于集合，但是并不严格要求100%正确的 场合。
• 除留余数法 • 取关键字被某个不大于散列表长度 m 的数 p 求余，得到 的作为散列地址。 • 即 H(key) = key % p, p < m。 • 例：
• 数字分析法 • 当关键字的位数大于地址的位数，对关键字的各位分布 进行分析，选出分布均匀的任意几位作为散列地址。 • 仅适用于所有关键字都已知的情况下，根据实际应用确 定要选取的部分，尽量避免发生冲突。
• （3）哈希函数的重要性 • 我们通常使用数组或者链表来存储元素，一旦存储的内 容数量特别多，需要占用很大的空间，而且在查找某个 元素是否存在的过程中，数组和链表都需要挨个循环比 较，而通过 哈希 计算，可以大大减少比较次数。
• 例：现在有 4 个数 {2,5,9,13}，需要查找 13 是否存在。 • 使用数组存储： • int[] numbers = new int[]{2,5,9,13}; • • • • • for (int i = 0; i < numbers.length; i++) { if (numbers[i] == 13){ System.out.println("find it!"); return; } }需要遍历 4 次才能找到，时间复杂度为 O(n)。
个放入元素的位置，就如开放定址法的表满的时候不能
放入元素，而链地址法只是在后面动态申请节点就可以。
• 5.集合表示和元素查询 • 下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合 的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组， 每一位都置为0。
• 为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合， Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到 {1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映 射的位置hi(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个 位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几
• 随机数法 • 选择一个随机函数，把关键字的随机函数值作为它的哈 希值。 • 通常当关键字的长度不等时用这种方法。
• （6）哈希冲突的解决 • 选用哈希函数计算哈希值时，可能不同的 key 会得到相 同的结果，一个地址怎么存放多个数据呢？这就是冲突。 • 常用的主要有两种方法解决冲突：
• 1.开放定址法： • 只要经过哈希计算后又冲突，就去寻找下一个空的散列 地址，只要这个散列表足够大，就一定可以找到一个合 适的地址。但是散列表不能定义太大，会带来内存上的 巨大开销，所以散列表大小要设计合理。 • Hi(key) = (H(key)+di) MOD m (di=1,2,3,......,m-1)， 其 中：H(key)为哈希函数；m为哈希表表长；di为增量序 列
平均查找长度就是比较次数相加除以元素个数（1+1+2+1+1+1）/6=7/6
• 步骤：1.每个数对7取余计算，30%7=2，地址为2的位 置为空，把30放入2位置，比较次数为1次；1%7=4，4 位置为空，放入，比较次数1次；41%7=6，6位置为空 放入；26%7=5，位置为空放入；15%7=1，位置为空放 入；9%7=2，地址2位置已经放入了30，此地址不为空， 就接着向下找，（9+1）%7=3，3的位置为空放入。如
• H[2] = 2 % 3 = 2; • H[5] = 5 % 3 = 2; • H[9] = 9 % 3 = 0; • H[13] = 13 % 3 = 1;
然后把它们存储到对应的位置。
当要查找 13 时，只要先使用哈希函数
计算它的位置，然后去那个位置查看 是否存在就好了，本例中只需查找一
次，时间复杂度为 O(1)。
果得到的地址还不为空，就接着向下找，直到找到空的
地址放进去。
• 二次探测散列法： • 如果有一个数正好得到1的位置，可是1的后面没有位置， 但是他的前面有位置，这样他需要把表中的每个地方都 判断一遍，效率很差。 • 因此我们可以改进di = 12, -12, 22, -22,……, q2, -q2 (q <= m/2),这样就等于是可以双向寻找到空位置，可以避免前 面的需要判断整个表的情况 • 我们称这种方法为二次探测法。
• 7.最优的哈希函数个数
• 既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应 该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？ • 这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不 属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大； • 但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为 了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公 式进行计算。
• 原理：给定一组数字，首先选取合适的哈希表的长度， 尽量选择合适的长度。之后依次进行计算，每得到一个 值，去哈希表中看是否该数字对应的地址为空，如果为 空此次地址寻找完毕，探测次数为一，如果不为空，原 数据加一再进行计算，每次加一，直到找到地址为空的 地方，探测次数为找到空的地址判断了多少次。
• 例：已知一组关键字为(30，11，41，26，15，9)，用 除余法构造散列函数，用线性探查法解决冲突构造这组 关键字的散列表。 • 已知数据个数为6个，不如取m=7，构建一个从0~6的一 个哈希表（散列表），散列函数为：h(key)=key％7
• 4.哈希函数 • （1）哈希函数又叫散列函数，一个哈希函数的输入域
可以是非常大的范围，但是他的输出域是一个固定的范
围 • （2）性质： • 典型的哈希函数都拥有无限的输入值域 • 输入值相同的时候，输出值也一样 • 输入值不一样时，输出值可能一样，也可能不一样 不同的输入值得到的哈希值，整体均匀的分布在输出域上
• （4）哈希函数 • 哈希的过程中需要使用哈希函数进行计算。 • 哈希函数是一种映射关系，根据数据的关键词 key ，通 过一定的函数关系，计算出该元素存储位置的函数。 • 表示为： • address = H [key]
• （5）几种常见的哈希函数（散列函数）构造方法 • 直接定址法 • 取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。 • 即 H(key) = key 或 H(key) = a*key + b，其中a和b为常 数。 • 例：
开放地址法处理冲突的散列表上执行删除操作，只能在
被删结点上做删除标记，而不能真正删除结点。
• 拉链法的缺点：指针需要额外的空间，所以当结点规模 较小时，开放定址法较为节省空间，而若将节省的指针 空间用来扩大散列表的规模，可使装填因子（a=表中填 入的记录数 / 哈希表的长度）变小，这又减少了开放定 址法中的冲突，从而提高平均查找速度。 • 链地址法相比于开放定址法，链地址法一定可以找到一
• 6.错误率估计 • 在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函 数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都 被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中 某一位还是0的概率是：
其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机 的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中， 需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就 是（1-1/m）的kn次方
• 平方取中法 • 先计算出关键字值的平方，然后取平方值中间几位作为 散列地址。 • 随机分布的关键字，得到的散列地址也是随机分布的。
• 折叠法（叠加法） • 将关键字分为位数相同的几部分，然后取这几部分的叠 加和（舍去进位）作为散列地址。 • 用于关键字位数较多，并且关键字中每一位上数字分布 大致均匀。
次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函
数选中同一个位置（从左边数第五位，即第二个 “1“处）。
• 在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函 数，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就 认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。 下图中y1就不是集合中的元素（因为y1有一处指向了 “0”位）。y2或者属于这个集合，或者刚好是一个 false positive。
nlg(1/E)1.44倍(lg表示以2为底的对数)。
• 举个例子我们假设错误率为0.01，则此时m应大概是n的 13倍。这样k大概是8个 • Bloom filter将集合中的元素映射到位数组中，用k（k为 哈希函数个数）个映射位是否全1表示元素在不在这个 集合中。Counting bloom filter（CBF）将位数组中的每 一位扩展为一个counter，从而支持了元素的删除操作。 Spectral Bloom Filter（SBF）将其与集合元素的出现次 数关联。SBF采用counter中的最小值来近似表示元素的 出现频率。
因此可以发现，哈希 其实是随 机存储的一种优化，先进行分 • 使用哈希函数进行计算： 类，然后查找时按照这个对象 的分类去找。 哈希通过一次计算大幅度缩小 构造哈希函数 H[key] = key % 3; 查找范围，自然比从全部数据 • 四个数 {2,5,9,13} 对应的哈希值为 里查找速度要快。
• 链地址法有如下几个优点： • 链地址法处理冲突简单，且无堆积现象，他的数据不会 非常密集的出现在一块区域，因此平均查找长度较短； • 由于链地址法中是一个链表的结构，拥有链表的所有特 点，各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于 造表前无法确定表长的情况，减少对不必要内存的开销；
• 在用链地址法构造的散列表中，删除结点的操作易于实 现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放 地址法构造的散列表，删除结点不能简单地将被删结 点 的空间置为空，否则将截断在它之后填入散列表的同义 词结点的查找路径。这是因为各种开放地址法中，空地 址单元（即开放地址）都是查找失败的条件。因此在用