2015年各地中考数学模拟试卷精选汇编：图形的相似与位似(含答案)

图形的相似与位似
一.选择题
1. （2015·吉林长春·二模）
答案：C
2．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（）
A．△ACD B．△ADF C．△BDF
D．△CDE
答案：C
3.(2015·屯溪五中·3月月考)一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为【】
A.24cm
B.21 cm
C.13 cm
D.9cm、
答案：A
第1题图
·
·
·
D.
C.
B.
A.
图1
4. (2015·屯溪五中·3月月考)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
答案：B
5. (2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图，在ABC
∆中，DE∥BC，1
2
AD
DB
=，4
DE=，则BC的长是【】
A．8 B．10 C．11 D．12
答案：D
6．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图1，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的
A．甲B．乙C．丙
D．丁
答案：C；
第6题图
图2 7．（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图2，点D在△ABC 的边AC上，要
判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C
B．∠ADB=∠ABC
C．
AB CB
BD CD
=D．
AD AB
AB AC
=
答案：C；
8．（2015·山东省枣庄市齐村中学二模）在直角坐标系中，已知点A（－2，0）、B（0，4）、C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线最多可以作（）
A．2条B．3条C．4条
D．6条
答案：
C
9．（2015·山东枣庄·二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点N是AB上一点，且BN = 2AN，AC、DN相交于点M，则ADM CMNB
S S
∆四边形
∶的值为（）
A．3∶11 B．1∶3 C．1∶9 D．3∶10 答案：A
10.（2015山东·枣庄一摸）如图，为测量池塘边上两点A、B之间的距离，小
明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE ＝14米，则A、B间的距离是（）．
A ．18米
B ．24米
C ．28米
D ．30米
答案：C
11．(2015·江苏南京溧水区·一模)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是
AB 、AC 上的点，且DE //BC ，若S △ADE ：S △ABC ＝4︰9，则AD ：AB ＝( ▲ )
A ．1∶2
B ．2∶3
C ．1∶3
D ．4∶9
答案: B
二.填空题
1. （2015·湖南岳阳·调研）如图，△ABC 中，如果AB AC =，AD BC ⊥于点
D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值
为 ；
答案：
1
4
(第4题)
B
A
C
D E
2．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，
F 分别在边AB ，BC 上，AE =BF =1，小球P 从点E 出发沿直线向
点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 所经过的路程长为______________．
答案：3．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，
BC =6，P 是BC 上一点，BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点
为D 、E .若△PDE 为直角三角形，则BD 的长为 ▲ .
答案：
512或3
20
4. (2015·屯溪五中·3月月考)若04
35≠==c b a ，则
b c
b a ++＝___________. 答案：4
5. (2015·合肥市蜀山区调研试卷)如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、
b 、
c 分别交于点A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AB =6，DE =3，EF =4，
则BC = .
P
E
A
B
D
第2题
F
E
D
C
B
A
第1题图
图2
答案：8 14.
6.（2015·福建漳州·一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，则DE∶BC的值是.
答案：
3
5
7．（2015•山东滕州张汪中学•质量检测二）如图2，在△ABC中，若
DE∥BC，
DB
AD
=
1
2
，DE=4cm，则BC的长为
_________．
答案：12；
. 8．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有___________个．
答案：3
9．(2015·江苏无锡北塘区·一模)已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，若EG＝3，则AC＝▲．
答案: 9
10．（2015·无锡市南长区·一模）如图,△ABC 中,AB =5,BC =3,CA =4,D 为AB 的中点,过点D 的直线与BC 交于点E ,若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似,则
DE =_________.
答案： 2
三.解答题
1. （2015·江苏常州·一模）（本题满分10分）如图，矩形ABCD 中，
AB ＝2，AD ＝4，动点E 在边BC 上，与点B 、C 不重合，过点A
作DE 的垂线，交直线CD 于点F ．设DF ＝x ，EC ＝y ． ⑴ 求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． ⑵ 当CF ＝1时，求EC 的长．
⑶ 若直线AF 与线段BC 延长线交于点G ，当△DBE 与△DFG 相
似时，求DF 的长．
F
D
F
G
B
C
D E A （第16题）
C
A
D
·
第16题
⑴ 如图1，x y 2
1
=（80<<x ） -------------------------------------------------- 2′
⑵ DF ＝1或DF ＝3，相应地，21=EC 或2
3
=EC -------------------------- 4′
⑶ 由∠DEC ＝∠AFD 得，∠BED ＝∠DFG ．
DF ＝x ，FG ＝
1622+-x x
x ，DE ＝
16212+x ，BE ＝4－21
x ---------------------------------------------------------------------------- 6′
当∠DBE ＝∠GDF 时，x ·
16212+x ＝1622+-x x
x ·（4－21
x ）， ---------------------------------------------------------------------------- 7′
解得x ＝
5
8
．
当∠BDE ＝∠GDF 时，x （4－
21x ）＝1622+-x x
x ·16212
+x ， ---------------------------------------------------------------------------- 8′
解得x ＝
3
4
（x ＝－4舍去） 即DF 的长为58或3
4
． 10′
2．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，
AC =4㎝，BC =5㎝，D 是BC 边上一点，CD =3㎝，点P 为边AC
上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PE// BC，交AD于点E．点P以1㎝/s的速度从A到C匀速运动。

（1）设点P的运动时间为t s，DE的长为y(㎝)，求y关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时∠DPE的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB’D，连接B’C．如果
∠ACE=∠BCB’，求
的值．
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
答案：解：（1）抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣3，
顶点M（1，﹣
3），………………………………………………………………1分
令x=0，则y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，
点A（0，﹣
2），………………………………………………………………2分
x=3时，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，
点B（3，1）； (3)
分
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴==，………………………………………………………………4分又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°，
∴tan∠ABM==；………………………………………………………………5分
（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2，
∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），
①点P在x轴的上方时，=，
整理得，3x2﹣7x﹣6=0，
解得x1=﹣（舍去），x2=3，
∴点P的坐标为（3，1）；………………………………………………………………7分
②点P在x轴下方时，=，
整理得，3x2﹣5x﹣6=0，
解得x1=（舍去），x2=，
x=时，x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣，
∴点P的坐标为（，﹣
）…………………………………………………9分
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）． (10)
分
5 (2015·北京市朝阳区·一模)如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O
切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；
（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.
答案：.解：（1）连接OD，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥ED．……………………………………………………………………………1分
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°. ………………………………………………………………………… 2分
∵BC∥ED,
∴∠ACB=∠E=∠EDO
∴AE∥OD.
∴∠DAE=∠ADO.
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO.
∴∠BAD=∠DAE. ………………………………3分（2）连接BD，
∴∠ADB=90°.
∵AB=6，AD=5，
∴BD
==.……………………………………………………………4分
∵∠BAD=∠DAE=∠CBD ，
∴tan∠CBD = tan∠BAD
.
在Rt△BDF中，
∴DF=BD·tan∠CBD
=11
5
. ……………………………………………………………5分
6. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，已知BE是△ABC的外接圆0的直径，CD是△ABC的高
(1)求证：AC·BC=BE·CD：
(2)已知：CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O
的直径BE的长。

答案：(1)证明:连接EC,则∠BEC=∠CAD;
BE为直径,则:∠BCE=90°= ∠CDA.
故
⊿CDA∽⊿BCE,CD/BC=AC/BE,则AC*BC=BE*CD.
AC= √(CD^2+AD^2)=3√5; BC=√(CD^2+BD^2)=10.
AC*BC=BE*CD(已证).
即:(3√5)*10=BE *6,BE =5√5.
7 (2015·北京市朝阳区·一模)阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 是
AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相
交于点P ，求
AP
PD
的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AP
PD
的值为 ．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，
AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：
3 ． （1）求
AP
PD
的值； （2）若CD=2，则BP = ．、 答
案
：
解
：
PD
AP
的值为
图2
图3
2
3
. …………………………………………………………………1分 解决问题： （1）过点
A 作AF ∥D
B ，交BE 的延长线于点
F ，……………………………………2分
设DC ＝k ，
∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .
∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，
∴△AEF ≌△CEB .
………………………………………
……………………3分
∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ，
∴△AFP ∽△DBP . ∴
DB
AF
PD AP =
. ∴
3
2
=PD AP . …………………………………………………………………4分
（
2
）
6. ……………………………………………………………………………5分
8(2015·屯溪五中·3月月考)如图1，李华晚上在路灯下散步．已知
李华的身
高A B＝h，灯柱的高O P＝O′P′＝b，两灯柱之间的距离O O′＝m．
（1）若李华距灯柱O P的水平距离O A＝a，
求他影子A C的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（D A＋AC）是否是定值？请说明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图2箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．
答案：（1）由已知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC．
∵，
∵OP=l，AB=h，OA=a，
∴，
∴解得：．
（2）∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，即．
∴．
同理可得：，
∴=是定值．
（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．
由（1）可知，即，∴，
同理可得：，
∴，
由等比性质得：，
当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，
因此速度与路程成正比
∴，
所以人影顶端在地面上移动的速度为．
9. (2015·屯溪五中·3月月考)如图,直线与x轴、y轴交于Ａ、Ｂ两点，且
OA=OB=1,点Ｐ是反比例函数
1
2
y
x
图象在第一象限的分支上的任意一点，Ｐ点坐
标为（a,b），由点Ｐ分别向x轴,y轴作垂线PM、PN,垂足分别为M、N；PM、PN分别与直线交于点Ｅ，点Ｆ。

（１）设交点E、F都在线段AB上，分别求出点E、点F的坐标。

（用含a 的代数式表示）
（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由。

（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内
角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论。

答案：(1)设直线EF 解析式为y kx b =+ 由题知A (1,0),B (0,1),代入k =－1,b =1 ∴1y x =-+‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1分 点Ｐ(a ,b )是反比例函数1
2y x
=
图象的点 ∴12b a
=
∴E (a ,1－a ),F 11
(1,)22a a
-
‥‥‥‥‥‥‥‥‥3分 (2) △AOF 与△BOE 一定相似 ∵OA =OB =1, ∴2AB =∠OBA =∠OAB =45°
∴22(1)AE a =
=-,122(1)2BF BN a
==-
∴2BE BA AE a =-=,2
2AF BA BF a
=-=
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4分 ∴2
212BE AF a a
•=
==OA ·OB =1 ∴
BE OA
OB AF
=
,∠OBA =∠OAB =45° ∴△AOF ∽△BEO ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥6分
(3) ∠FOE =45°角度始终不变
∵△AOF ∽△BEO ∴∠FOA =∠OEB
∴∠FOE +∠EOA =∠EOA +∠EAO
得∠FOE =∠EAO =45° ‥‥‥‥‥‥‥9分
10. (2015·屯溪五中·3月月考)如图,四边形ABCD 各顶点的坐标 分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一 象限内,画出以原点为位似中心,相似比为12
的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标.
答案：略
11. (2015·安庆·一摸)【试题再现】如图1，Rt △ABC 中，∠
ACB =90°，AC =BC ,直线过点C ,过点A ,B 分别作AD ⊥DE 于点D ,BE ⊥DE 于点E ,则DE =AD +BE （不用证明）.
y
O
1
2134
56
7
762
3
4
5
A
B
C D
（1）【类比探究】如图2，在△ABC中，AC=BC,且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°.上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出一个你认为正确的结论
.
（2）【拓展延伸】①如图3，在△ABC中，AC=nBC,且∠ACB=∠ADC=∠BEC=1000，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想.
②若图1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并将直线绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E.请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE之间满足
的一种
．．数量关系(不要求写出证明过程).
答案：解：（1）【类比探究】猜想DE=AD+BE.…………1分
理由：∵∠ADC=100°,∴∠DAC+∠DCA=80°,∵∠ACB=100°,∴∠DCA+∠ECB=80°,
∴∠DAC=∠ECB,
在△ACD和△CBE中，
∵
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∠
=
∠
∠
=
∠
CB
AC
ECB
DAC
CEB
ADC
∴△ACD ≌△CBE , ∴AD =CE ,CD =BE , ∴DE =AD +BE .
………………………………………………5分 （2）【拓展延伸】①猜想：DE =
n
1
AD +nBE .………………6分 理由：∵∠ADC =100°,∴∠DAC +∠DCA =80°,∵∠ACB =100°,∴∠DCA +∠ECB =80°,
∴∠DAC =∠ECB .∵∠ADC =∠CEB ,∴△ADC ∽△CEB ,∴
n BC
AC
BE CD CE AD ===,∴CE =
n
1AD ,CD =nBE ,∴
DE =DC +CE =
n
1
AD +nBE .………………10分 ② nBE AD n DE -=1或AD n
nBE DE 1
-=…………………………14分
12. (2015·合肥市蜀山区调研试卷)如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2；
（1）若点A 、C 的坐标分别为（－3,0）、（－2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B 的坐标；
（2）画出△ABC 关于y 轴对称再向上平移1个单位后的图形△A 1B 1C 1； （3）以图中的点D 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2．
第17题
答案：解：（1）坐标系如图所示，B（－4,2）；…………………………………………2分
（2）、（3）的图形如图所示，每个图形3分. …………………………………………8分
x
第17题图
13. (2015·安庆·一摸)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，
给出了格点四边形ABCD （顶点是网络线的交点）和点O ，按要求画出四边形
A 1
B 1
C 1
D 1和四边形A 2B 2C 2D 2。

（1）将四边形ABCD 绕O 点顺时针旋转90。

，得到四边形A 1B 1C 1D 1； （2）以O 点为位似中心，在异侧作位似变换，且使四边形ABCD 的面积扩大为原来的4倍，得到四边形A 2B 2C 2D 2。

答案：（1）四边形1111D C B A 如图所示. ……………………4分
（2）四边形2222D C B A 如图所示. ……………………8分
14. (2015·安庆·一摸)如图，△ABC 的顶点A 是线段PQ 的中
点，PQ //BC ,连接PC ,QB ，分别交AB ，AC 于M ，N ，连接MN .若MN =1,BC =3,求线段PQ 的长.
答案：解：∵PQ //BC ，∴
3
1
==BC MN AB AM ………3分 ∴2
1
=BM AM …………5分 ∴12AP AM BC BM ==, 2
321==BC AP ............7分 ∵AP =AQ ，∴PQ =3 (8)
分
15.（2015·广东广州·二模）如图8，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D .
（1）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明； （2）如果AC=6，BC=8，求AD 的长.
解：（1）三对相似的三角形是：
△ACD ∽△ABC ，△CDB ∽△ACB ，△ACD ∽△CBD
-----------------3分
证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD ， --------------------------------4分 又∵∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD ∽△ABC ．---------------------------------5分
（2）∵在Rt △ABC 中， AB 2210AC BC += -----------------------------------------6分
又∵由（1）证得△ACD ∽△ABC ，
D
B
A
（图8）
图3
图4
16．（2015•山东潍坊•第二学期期中）如图3，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象交()3,1(2)A B n -、，于两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于D C 、两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求AD
CD
的值．
答案：解：（1）将x =－3,y =1代入
m y x
=
，得m =－3 所以反比例函数解析式为x y 3
-
= （2分） 将x =2,y =n 代入x
y 3-=，得n =－23
所以B (2，2
3
-)
将x =－3,y =1;x =2,y =2
3
-代入y kx b =+，得
31322k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：121
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩； 所以一次函数解析式为：y =2
1
-
x －1（4分） (2)如图4，过A 点作y 轴的垂线，垂足为E 。

把y =0代入y =2
1
-
x －1，得x =－2
∴D (－2.0),DO =2
∵A (－3,1), ∴AE =3（6分） ∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥DO ∴△ACE ∽△DCO （7分） ∴
DO AE DC AC =，23==DO AE DC AC ，
2
1
=DC AD （8分）
17．（2015·广东中山·4月调研）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．
解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．
∴CD===4.8．
∴线段CD的长为4.8．………… 2分
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8﹣t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴．
∴．
∴PH=﹣t．
∴S△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t2+t．…………3分
②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．
∵S△ABC=×6×8=24，
且S△CPQ：S△ABC=9：100，
∴（﹣t2+t）：24=9：100．
整理得：5t2﹣24t+27=0．
即（5t﹣9）（t﹣3）=0
解得：t=或t=3．
∵0≤t≤4.8，
∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．………… 6分（3）存在
①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8﹣t．
解得：t=2.4．………… 7分
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=QC=．
∵△CHP∽△BCA．
∴．
∴．
解得；t =
．………… 8分
③若QC =QP ，
过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E
，如图
3所示． 同理可得：t =
．
综上所述：当t 为2.4秒或秒或
秒时，△CPQ 为等腰三角形．…………
9分
18. (2015•山东济南•模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，动点P 从点D 出发，以每秒5个单位的速度向点B 匀速运动，同时动点Q 从
点A 出发，以每秒4个单位的速度向点D 匀速运动，运动的时间为t 秒（0＜t ＜
2）．
（1）连接CQ ，当t 为何值时CQ ＝BC ；
（2）连接AP ，BQ ，若BQ ⊥AP ，求△ABP 的面积； （3）求证PQ 的中点在△ABD 的一条中位线上．
解：（1）∵AQ ＝4t ，AD ＝8，∴DQ ＝
8－4t ．
又∵AB ＝6，∴由勾股定理得：
CQ 22684t +-（）P
Q A C
D P
Q
A
D
． ---------- 1分
∵CQ ＝BC
，∴
8，
解得：t ＝2
－
2
． ------------ 3分
（2）过点P 作PE ⊥AD ，垂足
为E ，
∴AB ∥PE ，
∴△DEP ∽△
DAB ，
∴DB DP
AB PE
DA DE
==，
∴10568t
PE
DE
=
=， ∴DE ＝4t ，EP ＝3t ，
∴AE ＝8－4t ． ------------- 5分
又∵BQ ⊥AP ，AB ⊥AD ，
∴∠ABQ +∠BAP ＝90°，∠EAP +∠BAP ＝90°， ∴∠ABQ ＝∠EAP ．∵∠BAQ ＝∠APE ，
∴△BAQ ∽△AEP ． ---------------------------------------- 6分 ∴
PE AQ
AE
BA
=
，即
t t
t 34486=
-，
解得：t ＝87
． -------------------------------------------------------- 7分
∴ AE ＝9
2
，
∴ △ABP 的面积为12×6×92＝27
2
． ------------------------ 8分
（3）过点P 作PF ⊥AB ，垂足为F ，连接
Q A D
M P
Q A C
D E
第27题
QF 、DF ，DF 交PQ 于O ．
∴AD ∥PE ，∴△PFB ∽△DAB ， ∴PF BP
AD DB
=
． ------------------- 9分 ∴
10
5108t
PF -=
， ∴PF ＝8－4t ． ∴PF =DQ ，
∴四边形QFPD 为平行四边形．11分
∴点O 是PQ 和DF 的中点．
过点O 作MN ∥AB 交AD 、BD 于M 、N 两点，则
1DM OD
AM OF
==．
∴M 是AD 的中点，同理N 是BD 的中点，∴MN 是△ABD 的中位线，
∴PQ 的中点O 在△ABD 的中位线MN 上． ---------- 13分。