离散点拟合曲线
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第三章 离散点绘制平面曲线
§1 概述 §2 贝塞尔(Bezier) 曲线 §3 B样条曲线 §4 抛物线调配曲线 §5 三次参数样条曲线
本章小结
§1 概述
一、规则曲线与不规则曲线
平面曲线一般分 规则和不规则曲线两类。 ? 规则曲线 是指可以用一个方程
y ? f (x) 或 f (x, y) ? 0
[ p(t) ? x(t), y(t)] ? ? t ? ?
? ? ? (? )
描述的曲线，即 曲线的方程已知 。 这类曲线的绘制方法：以足够小的步长取曲线上足够
多的点，然后利用曲线方程求出这些点的坐标，最后用直 线连接相邻的点即可绘出曲线。
曲线的绘制精度取决于曲线上取点的密度，密度越大， 精度就越高，曲线就越光滑。
拟合方法不同 → 曲线拟合方程不同 → 绘制的曲线形 状也不同。
但是，一旦拟合方法确定并得到相应的曲线拟合方程， 不规则曲线也就变成了规则曲线。
本章的内容就是介绍： 如何根据离散点的坐标，利用 拟合方法建立曲线拟合方程，绘制不规则曲线 。
§1 概述
二、不规则曲线（拟合曲线）的分类
在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲 线分为两类：
§1 概述
2. “平均通过 ”式
当已知数据点有一定误差时， 所 拟合的曲线不通过所有已知点 ，曲线 代表的是这些数据点的 变化趋势 。
要求 ：设计的曲线方程与
所有已知点的“距离”总和最
10 20 30 40 2.0 2.2 2.4
小。
即：曲线方程是对所有已 知点的“逼近”。
典型例子：地层孔隙度－ 深度变化曲线。
其中
P
(t)
?
? ???
x (t ) y(t)
? ???
,
A0
?
????ba00
??? ?
,
A1
?
????ba11
??? ?
,
A2
?
??? ?
a2 b2
??? ?
p(t)
?
?x (t )? ?? y (t ) ??
? 不规则曲线 （拟合曲线 ）：指已 知平面一些离散点的坐标，但 曲线方 程未知 ，需要人为设计曲线方程对这 些点进行拟合形成的曲线。
对于这类曲线的绘制，首先要 找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。
拟合方法包括：贝塞尔曲线法、 B样条曲线法、抛物 线调配曲线法、三次参数样条曲线法，最小二乘法等。
(x - x 0)2 + (y - y0)2 = r2 参数方程为：
x = x0 y = y0
+ r cos(t) + r sin (t) （0≤t≤2π）
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。
参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
?? x (t ) ? a0 ? a1t ? a2t 2
2. C 2连续
在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即
p ?j( ? ) ? p ?j( ? ) 及 p ?j?( ? ) ? p ?j?( ? )
称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到 C 2连续。 。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的 连接满足 C 1或C 2连续，其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
特征多边形是用直线段依次 连接平面上离散点所形成的折线 多边形。它反映了所要设计曲线 P0 的大致轮廓。
P1 P2
P3
P4 P5
可以设计一个光滑的曲线段去逼近这个特征多边形。
1000-
总孔隙度 （% ）
2000-
深 度 /m
3000-
密度
（g/cm3 )
（g/cm3 )
“点点通过”式也称为插
值曲线，“平均通过”式也称 4000-
为逼近曲线。
§1 概述
三、曲线的方程分类
一般可分为 直角坐标方程 和参数方程 两类。
例如：对于圆心坐标为 (x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为：
P3
P4
P1
P1
Hale Waihona Puke P5两条曲线段在连接点 P3处，并非光滑，需对该点进行
光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？
给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同 的切线），或者说一阶导数连续，即
p ?j( ? ) ? p ?j( ? )
pj
称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到 C 1连续。
②
方程②称为曲线的 参数矢量方程 。
在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在 绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。
P(t)
?
? ???
x (t ) ? y(t) ???
?
????
a0 b0
???? ?
????ba11
????t
?
????ba22
???t 2 ?
§1 概述
四、曲线段的光滑连接
1. “点点通过 ”式 当已知离散点的位置较精确时， 拟合的曲线通过所有的已知点 。
曲线方程确定后 → 规则曲线 → 以足够小的步长获取 相邻离散点之间若干个数据点（插值点）的坐标，并用直 线连接它们 。
当步长极小时，所绘出的直线连线在视觉上便是一条 光滑的曲线。
求相邻离散点之间若干数据点的问题称为 插值问题 。
? ??
y(t)
?
b0
?
b1t
?
b2 t 2
(0 ? t ? 1)
①
设
P
(t)
?
??? ?
x(t y(t
)) ????
,
A0
?
? ???
a0 b0
? ???
,
A1
?
? ???
a1 b1
? ???
,
A2
?
????ba22
? ???
上述参数方程可写为：
P(t) ? A0 ? A1t ? A2t 2 0 ? t ? 1
贝塞尔曲线 就属于这类曲线。
该曲线由法国汽车工程师 Bezier 首先提出，最初用于 汽车零件外形的设计。目前广泛应用于与计算机绘图相关 的各个领域。
2. Bezier 曲线的参数方程 已知三个平面离散点 P0、P1、P2，那么由这三点可以 定义二次抛物线段，其 参数矢量方程 可表示为：
P(t) ? A0 ? A1t ? A2t 2 (0 ? t ? 1)
当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方 程有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。
可分别针对部分点进行 分段拟合 ，分段拟合得到的曲 线段会涉及到 曲线段的连接问题 。
例如：若已知 3个平面离散点，用 1条抛物线段对其拟 合；若有 5个点，可用 2条抛物线段进行分段拟合。
P2
P3
P2
§1 概述 §2 贝塞尔(Bezier) 曲线 §3 B样条曲线 §4 抛物线调配曲线 §5 三次参数样条曲线
本章小结
§1 概述
一、规则曲线与不规则曲线
平面曲线一般分 规则和不规则曲线两类。 ? 规则曲线 是指可以用一个方程
y ? f (x) 或 f (x, y) ? 0
[ p(t) ? x(t), y(t)] ? ? t ? ?
? ? ? (? )
描述的曲线，即 曲线的方程已知 。 这类曲线的绘制方法：以足够小的步长取曲线上足够
多的点，然后利用曲线方程求出这些点的坐标，最后用直 线连接相邻的点即可绘出曲线。
曲线的绘制精度取决于曲线上取点的密度，密度越大， 精度就越高，曲线就越光滑。
拟合方法不同 → 曲线拟合方程不同 → 绘制的曲线形 状也不同。
但是，一旦拟合方法确定并得到相应的曲线拟合方程， 不规则曲线也就变成了规则曲线。
本章的内容就是介绍： 如何根据离散点的坐标，利用 拟合方法建立曲线拟合方程，绘制不规则曲线 。
§1 概述
二、不规则曲线（拟合曲线）的分类
在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲 线分为两类：
§1 概述
2. “平均通过 ”式
当已知数据点有一定误差时， 所 拟合的曲线不通过所有已知点 ，曲线 代表的是这些数据点的 变化趋势 。
要求 ：设计的曲线方程与
所有已知点的“距离”总和最
10 20 30 40 2.0 2.2 2.4
小。
即：曲线方程是对所有已 知点的“逼近”。
典型例子：地层孔隙度－ 深度变化曲线。
其中
P
(t)
?
? ???
x (t ) y(t)
? ???
,
A0
?
????ba00
??? ?
,
A1
?
????ba11
??? ?
,
A2
?
??? ?
a2 b2
??? ?
p(t)
?
?x (t )? ?? y (t ) ??
? 不规则曲线 （拟合曲线 ）：指已 知平面一些离散点的坐标，但 曲线方 程未知 ，需要人为设计曲线方程对这 些点进行拟合形成的曲线。
对于这类曲线的绘制，首先要 找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。
拟合方法包括：贝塞尔曲线法、 B样条曲线法、抛物 线调配曲线法、三次参数样条曲线法，最小二乘法等。
(x - x 0)2 + (y - y0)2 = r2 参数方程为：
x = x0 y = y0
+ r cos(t) + r sin (t) （0≤t≤2π）
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。
参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
?? x (t ) ? a0 ? a1t ? a2t 2
2. C 2连续
在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即
p ?j( ? ) ? p ?j( ? ) 及 p ?j?( ? ) ? p ?j?( ? )
称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到 C 2连续。 。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的 连接满足 C 1或C 2连续，其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
特征多边形是用直线段依次 连接平面上离散点所形成的折线 多边形。它反映了所要设计曲线 P0 的大致轮廓。
P1 P2
P3
P4 P5
可以设计一个光滑的曲线段去逼近这个特征多边形。
1000-
总孔隙度 （% ）
2000-
深 度 /m
3000-
密度
（g/cm3 )
（g/cm3 )
“点点通过”式也称为插
值曲线，“平均通过”式也称 4000-
为逼近曲线。
§1 概述
三、曲线的方程分类
一般可分为 直角坐标方程 和参数方程 两类。
例如：对于圆心坐标为 (x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为：
P3
P4
P1
P1
Hale Waihona Puke P5两条曲线段在连接点 P3处，并非光滑，需对该点进行
光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？
给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同 的切线），或者说一阶导数连续，即
p ?j( ? ) ? p ?j( ? )
pj
称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到 C 1连续。
②
方程②称为曲线的 参数矢量方程 。
在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在 绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。
P(t)
?
? ???
x (t ) ? y(t) ???
?
????
a0 b0
???? ?
????ba11
????t
?
????ba22
???t 2 ?
§1 概述
四、曲线段的光滑连接
1. “点点通过 ”式 当已知离散点的位置较精确时， 拟合的曲线通过所有的已知点 。
曲线方程确定后 → 规则曲线 → 以足够小的步长获取 相邻离散点之间若干个数据点（插值点）的坐标，并用直 线连接它们 。
当步长极小时，所绘出的直线连线在视觉上便是一条 光滑的曲线。
求相邻离散点之间若干数据点的问题称为 插值问题 。
? ??
y(t)
?
b0
?
b1t
?
b2 t 2
(0 ? t ? 1)
①
设
P
(t)
?
??? ?
x(t y(t
)) ????
,
A0
?
? ???
a0 b0
? ???
,
A1
?
? ???
a1 b1
? ???
,
A2
?
????ba22
? ???
上述参数方程可写为：
P(t) ? A0 ? A1t ? A2t 2 0 ? t ? 1
贝塞尔曲线 就属于这类曲线。
该曲线由法国汽车工程师 Bezier 首先提出，最初用于 汽车零件外形的设计。目前广泛应用于与计算机绘图相关 的各个领域。
2. Bezier 曲线的参数方程 已知三个平面离散点 P0、P1、P2，那么由这三点可以 定义二次抛物线段，其 参数矢量方程 可表示为：
P(t) ? A0 ? A1t ? A2t 2 (0 ? t ? 1)
当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方 程有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。
可分别针对部分点进行 分段拟合 ，分段拟合得到的曲 线段会涉及到 曲线段的连接问题 。
例如：若已知 3个平面离散点，用 1条抛物线段对其拟 合；若有 5个点，可用 2条抛物线段进行分段拟合。
P2
P3
P2