01-4-第4章-功和能-力学-大学物理-海南大学

功
A F r Fr cos
讨论
功是标量，但有正负。 = /2，力与位移方向垂直，cos = 0，力 不作功。 如物体作圆周运动时，向心力不作功； 人担水走平路时，支撑力不作功。 < /2，cos > 0，力对物体作正功。 如自由落体，重力作正功。
一对力的功
1.一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向相 反的力，称之为一对力。 一对力通常是作用力与反作用力，但也可以 不是。另外，一对力中的两个力也并不要求 必须在同一直线上。
F1 F2 F1 F2
一对力的功
2.一对力的功
dA F1 dr1 F2 dr2 F2 dr1 F2 dr2 F2 (dr2 dr1 ) F2 dr21
令
1 E k mv 2 2
称为物体的动能
动能和动能定理
1 1 1 2 2 2 A d ( mv ) mv mv 0 E k E k 0 v0 2 2 2
v
即: 合力对质点所作的功等于质点动能的增 加，称为动能定理。 合力作的功是力在空间的积累效应，与过程 有关，但作功大小却等于力作用始末的质点 动能差，与物体动能变化的过程无关。 动能单位：与功相同，千克 米2/秒2 ，称为 焦耳（J）
由势能求保守力
弹力做正功，弹性势能减小
1 2 dA F dx d ( kx ) 2 1 2 E P kx 2 dE P F F dx dE P dx
由势能求保守力
总结
保守力沿空间某一方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数在该方向上的空间变化率 的负值。 dE P Fl dA F dl Fl dl dE P dl F Fl l dl
统机械能增加，如炸弹爆炸，人在船上行走等 。 Aint, n cons 0 ，系统内部非保守力作负功 , 系 统机械能减少，即被消耗，这样的非保守力 又称为耗散力。 如摩擦力作为系统内力时，一对摩擦力作 功之和总是负值。
A dA A
dA F dr
B
F
F dr
A

dr
功
在直角坐标系
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk B A F dr
A
Fx dx F y dy Fz dz
1 2 令 E P kx 2
A x
AAB ( E PB E PA ) E P
定义为弹簧和质点组成系统的弹性势能
弹性势能
弹性势能曲线是一条抛物线
EP 1 2 E P kx 2
O
x
由势能求保守力
1.由势能求保守力 万有引力做正功，引力势能减小
m1 m 2 dA F dr G 2 dr r m1 m 2 m1 m 2 E p G dE p G 2 dr r r F dr dE P dE P F dr
A
r rA
引力势能
AAB m1 m 2 m1 m 2 G G rB rA
所做的功与相对移动的路径无关，而只决定 于相互作用的物体的始末相对位置，这样的 力称为保守力。 重力、万有引力、弹性力和静电力都是保守 力。 摩擦力、空气阻力、磁场力和爆破力都是非 保守力。
引力势能
m1 m 2 令 E p G ，定义为引力势能 r AAB m1 m 2 m1 m 2 E pB E pA G G rB rA
AAB 0 E P 0
弹性势能
F kx F kx
F
m
B O dx dA F dx 1 kx d x cos 0 kxdx d ( kx 2 ) 2 xB 1 2 1 1 2 2 AAB d ( kx ) ( kx B kx A ) xA 2 2 2
动能和动能定理
动能仅仅是能量存在的一种形式，在物体相 互作用时，动Hale Waihona Puke Baidu往往可以转化成其他形式的 能，如势能、热能、电能等，物质的运动形 式也随能量的转化而发生变化。 动能是表征物体机械运动转化为一定量的其 他运动形式的能力的一种量度。 表P.182 例题P.183
动能和动能定理
质点系的动能定理
引力势能
m1 m 2 E p G r E p 0 称为势能零点 Ep 0
r
r
称为势阱
引力势能曲线
例题P.193
引力势能
A F dr L1
L1 L2

rB
rA
F dr L2

rB
rA
F dr 0
F dr 0
由势能求保守力
dE P Fl dl
dE P F dr
保守力等于相应的势能函数的梯度的负值。 分量式
E P E P E P Fy Fz Fx y z x E P E P E P F Fx i Fy j Fz k ( i j k) x y z gradE P i j k E P x y z
hB hA
h
dh<0
dr dh
A
hB
B
O
AAB mgdh mg ( hA hB )
hA P

令 E P mgh，定义为重力势能
AAB ( E PB E PA ) E P
重力势能
E P mgh
h 0 EP 0
即取高度为零时质点的势能为零。 AAB E P 上式表明重力对质点作正功，系统的重力势 AAB 0 E P 0 能降低。 如果重力作负功，即外界反抗重力对系统作 功，则系统重力势能增加。
称为矢量的点乘
F

Fx
x
r
功
功的单位：牛顿米（Nm），称为焦耳（J） 功的量纲: ML2T -2。 功的非SI单位：
尔格（erg）1 erg = 10-7 J 电子伏特（ eV ） 1 eV = 1.610-19 J
此外，在电工学上还常用千瓦小时作单位 （KWh）： 1KWh = 3.6×106 J
( E pB E pA ) E P
万有引力作的功等于系统势能的减少 质点作自由落体运动，万有引力作正功， 引力势能降低。根据动能定理，质点的动 能将增加，速度增大。
引力势能
注意 万有引力是质点与地球组成的系统的内部相 互作用力。由此定义的引力势能是整个系统 的能量，但习惯上称为质点的势能。 万有引力所做的功与质点从 A 到 B 的具体 路径无关，仅与质点的始末位置有关。
B2 B1
dr1 m1 r1
F1 F2
r21 A r2 2
dr2 m2
A：初位形, B：末位形
A
B A
A1
B F2 dr21 F1 dr12
A
F1 F2
一对力的功
3.说明 一对力的功与参考系选取无关，只决定与 两质点的相对路径。为方便起见，计算时 常认为其中一个质点静止，并以该质点所 在位置为原点，再计算另一质点受力所做 的功，这就是一对力的功。 比如：物体在地球表面受的重力与地 球受它的引力做功之和为
第4章
功和能
第 4 章 功和能
功 动能和动能定理 一对力的功 势能 机械能守恒定律 碰撞
功
1.恒力做功 恒力对物体所作的功等于作用于物体的力 与物体沿力的方向所作位移大小的乘积。
F
r
r
A F r
功
当力与物体的位移有一恒定夹角时
A Fx r F cos r 上式可记为 A F r
令 E E k E P 称为系统的机械能
机械能守恒定律
Aext Aint, n cons E E 0
上式表明：质点系机械能的增量等于系统外 力和系统内部非保守力所作功的代数和，称 为系统的功能原理。
机械能守恒定律
讨论
Aint, n cons 0 ，系统内部非保守力作正功，系
由势能求保守力
2.由势能曲线求保守力 势 能 曲 线 上 某 点 斜 率 的负值，就是该点对 应的位置处质点所受 的保守力。
r r0 F 0 r r0 F 0 r r0 F 0
O
r0
r
EP
dE P F dr
双原子相吸 双原子相斥
双原子分子势 能曲线
机械能守恒定律
引力势能
万有引力
m1 m 2 ˆ F G 2 r r dA F dr
ˆ r
F

dr
B
dr
r dr
rB
m1 m 2 ˆ dr G 2 r r m1 m 2 G 2 dr ˆ dr cos dr dr r r rB m1 m 2 m1 m 2 m1 m 2 AAB G 2 dr G G rA rB rA r
1.功能原理 质点系的动能定理
Aext Aint E k E k 0 Aint Aint, n cons Aint, cons Aint, cons ( E P E P 0 )
Aext Aint, n cons ( E P E P 0 ) E k E k 0 Aext Aint, n cons ( E k E P ) ( E k 0 E P 0 )
rA rA rA
rB
rB
rB
功
当质点同时受到几个力作用时
F Fi F1 F2
i
A F dr A rB ( F1 F2 ) dr
B rA

rB
rA
rB F1 dr F2 dr
ˆ r

dr
B
dr
上 式 表 明 ： 保守力沿闭 合路径一周 所做的功为 零。
L1 A
r rA
F
r dr
rB
L2
重力势能
质点在地球表面时，受重力
P mg dA P dr m g dr mg dr cos mgdh
A mgh
一对力的功
一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热 是一对滑动摩擦力作功的结果）。 在 无 相 对 位 移 或 相 对 位 移 与 一 对 力 垂 直 的情况下，一对力的功必为零。
势能
势能指与相互作用的物体间相对位置有关的 能量。因此，势能只有相对意义上的值。
势能
引力势能 重力势能 弹性势能 由势能求保守力
rA
A1 A2
例题P.179
动能和动能定理
功的物理意义
可以通过与功有联系的物理规律揭示出来。 dv F m a Ft ma t m dt dr dv F dr dA F dr m dr mdv t dt dt 1 mdv v d ( mv 2 ) 2
第 i 个质点同时受到系统外力、内力的作用
Ai Ai ,ext Ai ,int E ki E ki 0
对所有质点，将上式两端求和
Aext Aint E k E k 0
A Ai
i
即：系统的内力可以改变系统的总动能， 但：不能改变系统的总动量。 如：地雷爆炸
功
> /2，cos < 0，力对物体作负功，或物 体反抗外力作正功。 如竖直上抛，重力作负功。 功是力在空间上的累积效应。
F
A F r

Fx
x
r
功
2.变力做功 力的大小或方向随时间而变化
在物体运动轨道上任取一位移微元
则力作的功微元 物体从A运动到 B，变力作的总功 为 B