线性系统的运动分析ppt课件

x0u (t) eAt x0 , t 0
当 t0 0 时（即 x& Ax, x(t0 ) x0 , t t0），线
性定常系统的零输入响应为：
x2 x(t0)
x(t1)
x0u (t) eA(tt0 ) x0 , t t0
x(t2)
x(t)
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x1
第3章 线性系统的运动分析
证：设齐次状态方程 x& Ax, x(0) x0, t 0 的解为：
零输入响应：指系统输入u为零时，由初始状态 x0单独作用所引起的运动。即状态方程
x& A(t)x, x(t0) x0 , t t0,t
的解，用 x0u (t) 表示。
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第3章 线性系统的运动分析
2. 零初态响应
零初态响应：指系统初始状态x0为零时，由系统 输入u单独作用所引起的运动。即状态方程
用u，求解出状态方程的解x(t)，即由初始状态和外 输入作用所引起的状态响应。
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第3章 线性系统的运动分析
二．零输入响应和零初态响应
线性系统满足叠加原理，利用该属性可把系 统在初始状态和输入向量作用下的运动分解为
两个单独的分运动，即由初始状态引起的自由 运动和由输入作用引起的强迫运动。
1. 零输入响应
x(t) b0 b1t b2t2 L bktk ,
t0
k 0
其必满足状态方程，可得出
b1 2b2t 3b3t 2 L Ab0 Ab1t Ab2t 2 L
由比较上列等式 tk 两边的系数向量，可定出待定向量为：
b1
Ab0 , b2
1 2
Ab1
21！A2b0 , b3
1 3
Ab2
31！A3b0 ,K
3.1 引 言
一．运动分析的数学实质
线性系统的状态方程为：
或
x& A(t)x B(t)u, x(t0) x0 , t t0,t
x& Ax Bu, x(0) x0 , t 0
运动分析的目的：从系统数学模型出发，定量地 和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的 实际运动过程做出估计。
数学实质：相对于给定的初始状态x0和外输入作
本章以线性系统为对象，讨论系统的定量分析问题，指出 系统的运动规律，阐明系统的运动性质，介绍系统的分析方法。
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第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
3.1 引言 3.2 线性时不变系统的运动分析（※） 3.3 线性时不变系统的状态转移矩阵（※） 3.4 线性时变系统的运动分析
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第3章 线性系统的运动分析
直接利用矩阵指数函数的定义式计算，即
eAt At L 1 Akt k L 1 Akt k
k!
k0 k !
说明：该方法只能得到eAt的数值结果，一般不能写成闭合
形式。实际计算时，可取前有限项给出近似结果。
N
eAt
1 Akt k
k0 k !
其中：N可根据实际系统精度要求确定。 11
第3章 线性系统的运动分析
犏 犏 犏 臌
1+
l nt +
1l 2!
n2t 2
+
L
轾 犏el 1t
=
犏 犏
O
犏 犏 臌
el nt
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第3章 线性系统的运动分析
(2)当A具有如下形式
0 1 0 A 0 0 1
0 0 0
则A是零幂矩阵，即自乘若干次后化成零矩阵。
应用矩阵指数函数定义，可得
1
eAt
k 0
1 Aktk k!
2 k 0
e( AF )t e At eFt eFt e At
(6) d e At AeAt e At A dt
(7) 对给定方阵A，必成立
(e At )m e A(mt) , m 0,1,2,
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第3章 线性系统的运动分析
4 矩阵指数函数的计算方法（※）
方法一：定义法
如何求矩阵 指数函数？
, bk
1 k
Abk 1
k1！Akb0 ,L
解的表达式进而表为：
x(t)
I
At
21！A2t 2
31！A3t3 L
b0
,
t0
令上式中t=0，则x(0)=b0，已知初始条件x(0)=x0，故b0 =x0
x(t)
I
At 21！A2t 2 31！A3t3 L
x0
eAt x0 ,
t0 8
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
建立起系统的状态空间描述之后，可以利用这些描述来分 析系统的运动行为，其分析方法主要包括定量分析和定性分析 两种。
在定量分析中，主要分析系统对给定输入的精确响应及其 性质，其数学上的体现为状态方程解析形式的解。
在定性分析中，则着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如可控性、可观测性和稳定性等， 进行定性研究。
(1)当A为对角线矩阵，即 A diag{1,时 ,n}
e At = I + At + 1 A2t 2 + L 2!
轾 犏 l 1 = I + 犏 犏 O
犏 臌
ln
t+
1
轾 犏 l 12 犏
2!
犏 犏 犏 臌
O
t2 + L
l
2 n
轾 犏 犏 犏 1+
l 1t +
1l 2!
12t 2
+
L
= 犏 犏
O
1 Akt k k!
0 0
t 1 0
t 2 2
t
1
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第3章 线性系统的运动分析
推广可得
称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入 响应，其实就是求该齐次状态方程的解。
1. 矩阵指数函数
定义n×n的矩阵函数
eAt I At 21！A2t 2 L
k 0
k1！Akt k
为矩阵指数函数 。
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第3章 线性系统的运动分析
2. 零输入响应
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由状态方程 x& Ax, x(0) x0, t 0 描述 的线性定常系统的零输入响应的表达式为
3 矩阵指数函数性质
(1) lim e At I t 0
(2) (eAt )T eATt
(3) 令t和τ为两个自变量，则必成立
e A(t ) e At e A e A e At
(4) (e At )1 e At
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第3章 线性系统的运动分析
(5) 设有n×n常阵A和F,如果A和F是可交换的， 则必成立
x& A(t)x B(t)u, x(t0) 0, t t0,t
的解，用 x0x (t)表示。
系统总的运动响应 x(t) 是零输入响应和零初 态响应的叠加，即
x(t) x0u (t) x0x (t)
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第3章 线性系统的运动分析
3.2 线性时不变系统的运动分析
一．零输入响应
输入u = 0时，线性定常系统的状态方程： x& Ax, x(0) x0, t 0