自动控制理论1 王孝武(2014年7-8)

1
max 是该连续频谱的最大角频率
max
0
max

1 求采样信号e * (t ) 的频谱 E *( j) ： 由 E *( s) E (s jks ) T k 1 s j 给出了离散信号的频 令 E *( j ) E[ j ( ks )] 谱和连续信号频谱之 T k 间的关系 1 1 E ( j ) E[ j ( s )] T T
信号保持过程是将采样脉冲序列转换成连续信号的过程。实现信号保持 过程的元件称为保持器。
从时域上看，保持器的任务是在采样信号各采样时刻之间进行插值，
恢复连续信号；具体地讲,就是根据 e(kT ) e[(k 1)T ], e[(k 2)T ]， 计算出 e(t ) 在 kT (k 1)T 之间的值 。
从频域上看，保持器的任务是把采样信号频谱中的高频分量全部滤
掉，只保留频谱的主分量，也就是恢复连续信号的频谱。 不同的插值算法或者不同的滤波性能就形成了不同的保持器。
1. 保持器的数学描述
保持器是具有外推功能的元件，它利用e(kT ) 以及 k 以前各时刻的采样 值 e[(k 1)T ], e[(k 2)T ]， 外推求得 e(kT t )（0 t T ) 。 使用多项式外推公式：
期工作。
本章仅讨论线性定常离散系统。且所有采样器均以同步采样、周期采样 的方式工作。
离散系统的研究方法： 模型方法： 差分方程
z变换
脉冲传递函数
结构图
分析方法：
时域法

稳定性分析 瞬态性能分析 稳态误差计算
校正方法：
用连续系统的校正方法设计数字控制器 直接数字控制器的设计方法
7.2 信号的采样与恢复
e(kT t ) a0 a1t a2 (t )2
取 m=0, 称为零阶保持器
am (t )m
--- 称为m阶保持器
e(kT t ) a0
当 t 0， e(kT ) a0
0 t T
e(kT t ) e(kT )
取 m=1, 称为一阶保持器
自动控制理论
主讲教师: 平兆武 合肥工业大学电气与自动化工程学院自动化系
教材：《自动控制理论》王孝武，方敏，葛锁良编. 机械工业出版社 2010.6
参考书： 《自动控制理论》（第五版），胡寿松主编.科学出版社 《现代控制工程》 绪方胜彦著,科学出版社 《自动控制原理》 孙虎章主编，中央广播电视大学 参考葛锁良老师课件
四、
采样定理
香农(Shannon)采样定理
如果 s 2max ，则经采样得到的脉冲序列能够无失真地恢复到原连 max 为连续信号频谱的最高角频率。 续信号。 s 是采样角频率，
采样定理的条件也可表示为： f s 2 f max
五、 采样周期的选取 采样周期 T 是计算机控制系统设计中的一个关键参数，需要根据实 际情况合理选择。
e(t )
0
t
一、 离散控制系统的结构
计算机控制系统
r (t )
e(t )
—
e * (t )
A/D
数字控制器 数字计算机及接口
u * (t )
D/A
u h (t )
c(t )
被控对象
测量元件
将A/D看作理想开关， D/A等效为保持器，离散控制系统的一般结构：
r (t )
e(t )
—
e * (t )
当 t 0， a0 e(kT ) e(kT t ) a0 a1t 1 当 t T， a1 {e(kT ) e[(k 1)T ]} T e(kT ) e[(k 1)T ] e(kT t ) e(kT ) t 0 t T T
E( j) 是 的离散函数， 在信号分析理论中知道，当 e(t ) 为周期信号时， E( j) e(t ) E是 ( j) 的连 所以 是一个离散频谱；当 为非周期信号时， E是一个连续频谱。 ( j) 续函数，则
设 e(t ) 是具有有限带宽的非周期连续信号，其幅值谱为：
E( j)
k
e *(t ) e(0) (t ) e(T ) (t T ) e(2T ) (t 2T )
e(kT ) (t kT )
k 0

理想采样器相当于一个脉冲调制器
考虑到当t<0时，e(t)=0，所以 数学描述为
e *(t ) e(kT ) (t kT ) e(t ) (t kT )
{e(0) [1(t ) 1(t )]
{e(0) (t ) e(T ) (t T ) }
e(T )
[1(t T ) 1(t T )]


}
数学描述为
e *(t ) e(0) (t ) e(T ) (t T ) e(2T ) (t 2T )

2. 零阶保持器
e *(t )
Gh (s)
eh (t )
eh (t )
e(kT )
（1）零阶保持器的传递函数
e *(t ) e(kT ) (t kT )
E *( s) e(kT )e kTs
k 0

0
kT (k 1)T
t
eh (t ) e(kT )[1(t kT ) 1(t kT T )]
e(kT ) (t kT )
k 0
输出采样信号可看成是一串理想脉冲序列，其强度等于相应瞬间 e(t)的数值
e(t )
e(t )
0
e* (t )
e(kT )
e* (t )
T
t
0 T 2T 3T ….
t
若e(0 ) e(0 ), 取e(0) e(0 )
定义理想脉冲序列
T (t )
采样器在系统的闭合回路之外，或者系统中不存在闭合回路，
称这样的离散系统为开环离散系统；
采样器在系统的闭合回路之内，称为闭环离散系统。
采样器的工作方式：
周期采样（等速采样）：指一个采样器的采样时刻是等间隔的。 同步采样：指系统中两个或以上的采样器的采样周期相同，并
且相位上同步。
多速采样：指系统中两个或以上的采样器分别按不同的采样周
A/D
Gc (s)
u(t ) u * (t )
Gh (s)
D/A
u h (t )
Gp (s)
c(t )
数字控制器
H (s)
A/D转换器和D/A转换器的介绍见课本292页。
二、 离散控制系统的研究方法
离散系统的分类：
采样器输出信号的幅值与输入信号的幅值之间满足线性关系，
并且系统中的连续部分为线性的，称为线性离散系统；
(2) s 2max的情况
E *( j)
1T
…
s
max
0
max
s
…

s / 2
由于采样信号频谱中的各分量之间存在混叠，各分量叠加后的频谱由图 中的红色线表示。在这种情况下，即使用理想的低通滤波器，也无法恢 复原来连续信号的频谱。 连续信号经采样后能够不失真地恢复，需要两个条件。
e *(t ) e(kT ) (t kT )
k 0
(t kT ) (t ) (t T ) (t 2T )
k 0

例7-2
设
e(t ) t

求
e * (t )
e *(t ) e(kT ) (t kT )
k 0
5c
T
1 ts 40
六、 信号的恢复 理想低通滤波器F(s)的幅频特性:
F ( j)
T
0
s 2

T F ( j ) 0

s
2

s
2
经过理想滤波器，脉冲信号能恢复成原来的连续信号。 但是，在现实中理想滤波器是无法实现的。工程上通常采用接近理 想滤波器性能的保持器来代替。
k 0
Ts 1 kTs 1 ( k 1)Ts 1 e Eh (s) e(kT )[ e e ] e(kT )e kTs s s s k 0 k 0
自动控制理论Ⅰ
研究对象: 单输入、单输出线性定常连续系统
r (t )
Gc (s) G0 (s)
c(t )
主要内容:
1、建模 2、分析
3、校正
第 7章
7.1引言
线性离散控制系统
连续时间系统：简称连续系统。是指控制系统中所有的信号都是时间变 量t 的连续函数。 离散时间系统: 简称离散系统。是指系统中有一处或几处信号是脉冲序列 形式或数字序列形式，这些信号只在离散的时刻上有值。
k 0


e(t ) (t kT ) e(t )T (t )
k

k 0
e *(t ) e(0) (t ) e(T ) (t T ) e(2T ) (t 2T )
e(kT ) (t kT )
k 0

例7-1
设

e(t ) 1(t ) 求 e * (t )
必须满足采样定理（最基本的要求）。
s 太大（T太小），实现困难（硬件上的困难、软件实现的困
难），会增加不必要的开支。 在一般的过程控制系统中：
过程控制参数
流 压 液 温 成 量 力 位 度 分
在随动系统中：
采样周期（s）
1 5 5 20 20
s 10c 即 T
T 1 tr 10
k
(t kT )
k 0

0 T 2T 3T ….
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t
考虑到当t<0时，e(t)=0，所以 数学描述为
e *(t ) e(kT ) (t kT ) e(t ) (t kT )
k 0

e(t ) (t kT ) e(t )T (t )
1 e *(t ) e(t )T (t ) e(t )e jkst T k 1 E * ( s) E ( s jk s ) T k
表示了 E *( s) 与 E ( s ) 之间 的关系
三、 采样信号的频谱
连续信号 e(t ) 的傅氏变换为 E ( j )，称 E( j) 为e(t ) 的幅值谱，它表示构 成 e(t ) 的所有不同角频率正弦分量的幅值与角频率的函数关系。
k 0 k 0


kTs
表示了 E *( s) 与 e(kT ) 之间 的关系
(2) e *(t ) e(t )T (t )
T (t )
k
jk s t c e k

1 T 1 jks t 2 dt 傅里叶级数展开 ck T T (t )e T 2 T
在离散控制系统中，由于采样器和保持器的存在，信号传递过程需要不
断将连续信号变成离散信号，同时也要将离散信号变成连续信号。
e(t )
S
e* (t )
Gh (s)
eh (t )
问题：
能否保证信号不失真地传递？ 也就是在什么样的条件下可以使得
eh (t ) e(t )
这就是信号的采样与恢复问题。
一、采样过程及采样信号的表示
e(t )
e(t )
0
e (t )
*
e* (t )
e(kT )

e (t )
T
0 T 2T 3T ….
*
t
：采样周期
t
0 T 2T 3T ….
t
2 T

T
fs
：采样频率
f s 1/ T
：采样持续时间即脉冲宽度
s
：采样角频率 s 2f s
e *(t ) e(0)[1(t ) 1(t )] e(T )[1(t T ) 1(t T )]
kT (t kT )
k 0
二、 采样信号的拉氏变换 对采样信号 e * (t ) 进行拉氏变换，变换后的象函数记为 E * (s) ，即
L [e *(t )] E *(s)
（ 1）
e *(t ) e(kT ) (t kT )
k 0

E *( s) e(kT ) L[ (t kT )] e(kT )e
(1) s 2max的情况
E *( j)
T 主分量
1T
…
2s
s
s 2
max 0 max
s 2
…
s
2s

E * ( j) 是以采样角频率 s 为周期的无穷多个频谱之和，它的主分量与
连续信号频谱 E( j) 形状一致，仅在幅值上变化了1/T倍。若采用理想 的低通滤波器，可以恢复原来的连续信号的频谱。