图及有向图的应用

单源最短路径问题是：给定带权有向图G=(V, E)和源点s∈V，找出从源点s到V 中其他各顶点的最短路径
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求单源最短路径
Dijkstra算法如下所示：
Dijkstra(G,D,s)
{
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s};D[s]=0;
//设置初始的红点集及最短距离
for( all i∈ V-S )do
//对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i];
//设置i初始的估计距离为w<s，i>
//以下是扩充红点集
for(i=0;i<n-1;i++)do
{
//最多扩充n-1个蓝点到红点集
D[k]=min{D[i];all i V-S};//在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
基本术语：
1. 路径（Path） 在无向图G中，如果存在一个顶点序列vp, vi1, vi2, …, vim, vq，使得(vp, vi1)，(vi1, vi2)，…，(vim, vq)都属于E(G)，则称顶点vp到vq存在一条路径（Path）
2. 简单路径 如果一条路径上除vp和vq外，其余顶点均不相同，则称此路径为一条简单路
径（这里vp和vq可以相同也可以不同）
3. 简单回路 起点和终点都相同的简单路径称为简单回路（Cycle）。
4. 有根图和图的根 在一个有向图中，如果存在一个顶点v，从v可以到达图中 其他所有顶点，则称此有向图为有根图，其中v称作图的根。
5. 连通图和连通分量 在无向图中，如果从顶点V到顶点V′有路径，则称V和V′ 是连通的。如果对于图中的任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称G为连通图
8. 哈密顿图 若图G中存在一条通过图中所有顶点一次且仅一次的回路， 则称此回路为图的哈密顿回路；具有哈密顿回路的图称为哈密顿图
4.2 图的存储结构
4.2.1 图的邻接矩阵表示法
1. 图的邻接矩阵表示法
在图的邻接矩阵表示法中，用一个顺序表来存储顶点信息，用邻接矩阵来表示顶点间的相邻关 系。
2. 邻接矩阵（Adacency Matrix）
设G=(V, E)是具有n个顶点的图，则G4的.2邻.2接邻矩接阵表是表一个示n法阶方阵：
Vi,Vj 是E(G)中的边 若(Vi,V j)或 Vi,Vj 不是E(G)中的边
4.2.2 邻接表表示法
图的邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法
邻接表的类型定义如下：
#define MaxVerNum 100
//最大顶点数为100
typedef struct node
{
//边表结点
int adjvex;
//邻接点域
struct node *next;
//链域
//若要表示边上的权，则应增加一个数据域
}EdgeNode;
typedef struct vnode
6. 强连通图和强连通分量 在有向图G中，若对于V(G)中任意两个不同 的顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是强连通图。 有向图的极大强连通子图称为G的强连通分量。
7. 欧拉图 如果图中存在一条通过图中每条边一次且仅一次的回路，则 称此回路为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图
： 搜索过程
（a）无向图 G
（b）G 的深度优先搜索过程
4.3.2 广度优先搜索
特点：尽可能优先对横向搜索 基本思想是：从图中某个顶点v1出发，访问了v1之后依次访问v1的所有邻接点；然
后分别从这些邻接点出发按深度优先搜索遍历图的其他顶点，直至所有顶点都被 访问到
： 广度优先搜索的过程
4.4 单源最短路径问题
{
//顶点表结点
VertexType vertex;
//顶点域
EdgeNode *firstedge;
//边表头指针
}VertexNode;
typedef VertexNode AdjList[MaxVertexNum]; //AdjList是邻接表类型
typedef struct
{
AdjList adjlist;
//给二维数组d赋初值，等于邻接矩阵G for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++) d[i][j]=G[i][j];
D[j]=D[k]+G[k][j];
}
}
4.5 顶点对之间最短路径
为了求出每一对顶点之间的最短路径，可以应用dijkstra算法，分别以每 个顶点为源点，求出从源点到各个顶点最短路径，除此之外，还可以应 用另一种算法，称为floyd算法
floyd算法的具体过程如下 ： void Floeyd(adjmatrix G,adjmatrix d,int n) //利用弗洛伊德算法求图GA每对顶点间的最短长度，对应存于二维数组A中 { int i,j,k;
4.1 基本定义与术语
基本定义：
图的二元组定义：图G由两个集合V和E组成，记为： G=(V, E)
其中：V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对（称为边）的有穷集 有向图还是无向图，顶点数n、边数e和度数之间有如下关系：
1 n
e 2 i1 D(vi )
其中：n为图中的顶点数，e为图中的边数，D(Vi)为图中的第i顶点的度数
if(D[k]==∞)
return; 路径不存在
//蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，表示这些顶点的最短
S=S∪{k};
//将蓝点k涂红后扩充到红点集
for( all j∈V-S )do
//调整剩余蓝点的估计距离
if(D[j]>D[k]+G[k][j])
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，使j离s更近
//邻接表
int n,e; 图中当前顶点数和边数
}ALGraph; AdjList类型
//对于简单的应用，无须定义此类型，可直接使用
4.3 图的遍历
图的遍历基本方法有两种：深度优先搜索和广度优先搜索，这两种
方法都适用于有向图和无向图的遍历
4.3.1 深度优先搜索
特点：尽可能先对纵深方向进行搜索。 基本思想是：以图中某个顶点v1为出发点，先访问v1，然后选一个v1的邻 接点v2，以v2为新的出发点继续进行深度优先搜索，直至图中所有顶点都被访 问过。