有向无环图及其应用
dag实现原理
dag实现原理DAG，全称为有向无环图（Directed Acyclic Graph），是一种常用于解决并行计算和任务调度问题的数据结构。
在计算机科学中，DAG被广泛应用于任务调度、依赖管理、编译优化等领域。
DAG的实现原理主要包括以下几个关键点：1. 有向图：DAG是一种有向图，其中的节点表示任务或操作，边表示任务之间的依赖关系。
节点之间的有向边表示任务的执行顺序，即后续任务依赖于前置任务的执行结果。
2. 无环性：DAG中不能存在环路，也就是说，不能存在从某个节点出发经过若干条边后回到该节点的情况。
这是为了保证任务的执行顺序不会出现循环依赖，避免死锁和无限循环的问题。
3. 任务调度：DAG可以用于任务的调度和执行。
在一个DAG中，每个节点表示一个任务，节点之间的边表示任务之间的依赖关系。
通过解析DAG中的依赖关系，可以确定任务的执行顺序，从而实现任务的调度。
4. 并行计算：DAG可以帮助实现任务的并行计算。
在一个DAG中，存在多个没有前置依赖的任务，这些任务可以并行执行，提高计算效率。
而有依赖关系的任务则需要按照依赖关系的顺序进行执行，确保前置任务的结果正确地传递给后续任务。
在实际应用中，DAG的实现可以基于不同的算法和数据结构。
一种常见的实现方式是使用拓扑排序算法和邻接表数据结构。
拓扑排序算法通过遍历有向图的节点，按照节点的依赖关系生成一个线性的序列。
在这个序列中，前置任务总是排在后续任务的前面。
拓扑排序算法可以保证任务的执行顺序满足依赖关系，同时判断是否存在环路。
邻接表是一种常用的数据结构，用于表示有向图的邻接关系。
对于每个节点，邻接表记录了指向该节点的所有边。
通过邻接表，可以很方便地查找节点的后续任务。
使用拓扑排序算法和邻接表数据结构，可以很好地实现DAG的任务调度和并行计算。
首先，构建DAG的数据结构，将任务和依赖关系表示为节点和边。
然后，使用拓扑排序算法对DAG进行排序，得到任务的执行顺序。
36、CSP-J、CSP-S初赛复习4_图及其应用(2019-10-17)
(v3,v4),(v3,v5),(v2,v5) }
V4
V5
G1
§ 边用顶点的无序偶对（vi, vj）表示，称顶点vi和顶点vj互
为邻接点，边（vi, vj）依附于顶点vi和vj。
4
弧 有向图
• 图中顶点之间的连线若有方向，则称这条连
线为弧，则称该图为有向图。
G2=(V2,E2)
V1
V2
V2={v1,v2,v3,v4 }
推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连 通的，且所有结点度数全为偶数。
权 网络
• 与边有关的数据信息称为权（weight）
边上带权的图称为网图或网
A8
B 络（network）
5
3
2
C
D
弧或边带权的图分别称作
7
有向网或无向网
11
路径 路径长度
• 顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶 点序列vp,vi1,vi2, …, vim,vq。其中，（vp,vi1 ），(vi1,vi2)，…,(vim, vq)分别为图中的边。
V1 V3
V2
V1
V6
生成森林
V7
V4
V5
V4
V2 V3 V6 V7
V5
19
小练习
• 无向图G有7个顶点，若不存在由奇数条边构成的
12 简单回路，则它至多有_______条边。（
NOIP2010提高）
V1
V2
V3
V7
V4V5V6练习2．无向图 G 有 7 个顶点，若不存在由奇数条边构成的简单回路，则它至多有____ ____条边。（NOIP2010 提高组）
一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(多n-1少)/条2条边边？
拓扑排序算法与有向无环图
拓扑排序算法与有向无环图拓扑排序算法是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法，它可以将图中的顶点按照一定的顺序进行排序，使得图中的任意一条有向边从排在前面的顶点指向排在后面的顶点。
在实际应用中，拓扑排序算法可以用来解决诸如任务调度、依赖关系分析等问题。
一、拓扑排序算法的定义
拓扑排序算法的基本思想是通过不断地选择入度为0的顶点，并且将该顶点从图中删除，最终得到的顶点序列就是图的拓扑排序。
在实际应用中，可以采用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等方法来实现拓扑排序算法。
二、拓扑排序算法的步骤
1. 初始化：将所有顶点的入度计数初始化为0，并将入度为0的顶点加入一个队列中。
2. 遍历：循环遍历队列中的顶点，每次取出一个顶点并将其加入拓扑排序的结果序列中。
3. 更新：将该顶点指向的顶点的入度减1，并将入度减为0的顶点加入队列中。
4. 结束条件：直到队列为空时，所有顶点都已经被处理，得到的顺序即为拓扑排序的结果。
三、拓扑排序算法的应用
1. 任务调度：在任务调度中，拓扑排序算法可以用来确定任务执行
的顺序，保证任务之间的依赖关系得到满足。
2. 依赖关系分析：在软件工程中，拓扑排序算法可以用来分析软件
中各个模块之间的依赖关系，有助于代码的组织与管理。
3. 课程安排：在学校教学中，拓扑排序算法可以用来安排课程的上
课顺序，确保学生按照一定的顺序学习各门课程。
综上所述，拓扑排序算法是一种重要的图算法，可以用来处理有向
无环图中顶点的排序问题，具有广泛的应用价值。
通过深入理解和掌
握拓扑排序算法，可以更好地解决实际生活和工作中遇到的各种问题。
《有向无环图的应用》课件
基于拓扑排序的算法实现
总结词
拓扑排序适用于有向无环图，通过排序可以确定图中各节点的先后顺序。
详细描述
基于拓扑排序的算法实现主要利用拓扑排序的性质，从入度为0的节点开始，依次访问相邻节点，并 将已访问的节点从图中删除。如果所有节点都被访问过，则说明该图为有向无环图。
基于动态规划的算法实现
总结词
动态规划算法可以高效地解决有向无环 图中的最长路径和最短路径问题。
详细描述
在复杂的网络结构中，路由器需要使用有向 无环图来表示网络拓扑结构，通过图的顶点 和边来表示网络中的节点和连接关系。通过 有向无环图，路由器可以快速计算出数据包 从源到目的地的最佳路径，提高网络传输效 率。
数据库设计中的ER图生成
总结词
有向无环图在数据库设计中用于生成实体关系图（ER图），帮助设计人员更好地理解 和管理数据库结构。
在程序设计中，流程图是一种重要的工具， 用于表示程序的执行流程。有向无环图可以 用来生成流程图，通过顶点和边来表示程序 的各个步骤和它们之间的逻辑关系。通过流 程图，程序员可以更好地理解程序的执行过
程，发现潜在的逻辑错误并进行优化。
社交网络分析中的影响力传播
要点一
总结词
要点二
详细描述
有向无环图在社交网络分析中用于研究影响力传播，帮助 理解信息如何在社交网络中传播。
基于图的分解的构建方法
该方法是将一个有向无环图分解成若干个子图，每个子图都 是一个强连通子图，然后将这些子图进行排序，最后将它们 连接起来形成完整的有向无环图。
具体步骤包括：将有向无环图中的所有顶点按照强连通性进 行分类；对每个强连通子图进行拓扑排序；将所有强连通子 图的拓扑序列连接起来，形成一个完整的序列。
数据结构-有向无环图及其应用
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数据结构-有向无环图 及其应用
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目 录
• 引言 • 有向无环图的基本概念 • 有向无环图的构建 • 有向无环图的应用场景 • 有向无环图的实际应用案例 • 有向无环图的未来研究方向和挑战
详细描述
目前有向无环图已经在许多领域得到应用，如社交网络分析、生物信息学和推荐系统等。未来可以进 一步探索有向无环图在金融、交通和能源等领域的应用，挖掘其更大的潜力。
提高有向无环图的表示能力和分析精度
总结词
提高有向无环图的表示能力和分析精度 是另一个重要的研究方向，旨在更好地 表示复杂数据关系和提高分析结果的准 确性。
拓扑排序
有向无环图可以用于进行拓扑排 序，即将图中所有节点按照依赖 关系进行排序，使得对于任何一 条从节点i到节点j的有向边，i都
在j之前出现。
关键路径
在项目管理中有向无环图可以用 于确定项目的关键路ห้องสมุดไป่ตู้，即确定
项目的最短完成时间路径。
PART 03
有向无环图的构建
构建有向无环图的算法
基于邻接矩阵的算法
通过构建一个二维矩阵来表示图的节点之间的关系，如果存在一条从节点i到节点j的 边，则矩阵中第i行第j列的值为1，否则为0。
基于邻接表的算法
使用一个列表来存储每个节点所连接的节点，如果存在一条从节点i到节点j的边 ，则在节点i的列表中添加节点j。
构建有向无环图的步骤
01
有向无环图及其应用
图7.21 一个AOE-网
第11页/共19页
②从vl(n－1) = ve(n－1)起向后递推 vl(i) = Min{vl(j)－dut(<i, j>)} <i, j>∈S, i = n－2, … , 0其中，S是所有以第i个顶点为尾的弧的集合。
Status CriticalPath (ALGraph G) { //G为有向网，输出G的各项关键活动。 if (!TopologicalOrder (G, T)) return ERROR; vl[0..G.vexnum－1] = ve[0..G.vexnum－1]; //初始化顶点事件的最迟发生时间
算法7.10如下：
第7页/共19页
count = 0; while (!StackEmpty (S)) { Pop (S, i); printf (i, G.vertices[i].data); //输出i号顶点并计数 ++ count; for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p－>nextarc) { k = p－>adjvex; //对i号顶点的每个邻接点的入度减1 if (!(――indegree[k])) Push (S, k); //若入度减为0，则入栈 } // for } // while if (count < G.vexnum) return ERROR; //该有向图有回路 } // TopologicalSort
（5）关键路径算法
②算法实现 如①所述，计算各顶点的ve值是在拓扑排序的过程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改： 1．在拓扑排序之前设初值，令ve[i]＝0(0≤i≤n－1)； 2．在算法中增加一个计算vj的之间后继vk的最早发生时间的操作：若ve(j) + dut(<j, k>) > ve[k]，则ve[k]＝ve(j) + dut(<j, k>)； 3．为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值，需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，这需要在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则在计算求得各顶点的ve值之后，从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序列。
有向无环图
有向无环图有向无环图（DAG）是一种重要的图形数据结构，在计算机科学、网络和算法分析等领域中都有广泛的应用。
它与普通无向图有所不同，因为它会在连接时增加一个方向，这就意味着它可以表示有序的数据。
有向无环图被广泛应用于计算机科学领域，比如拓扑排序、分布式处理、编译器设计等等。
概念有向无环图是由一些顶点和一些有序的边组成，它将数据结构中的每个顶点连接起来。
每条边都有一个方向，这就决定了图中的有序性，也决定了如何遍历图中的每个顶点。
它只有在没有重复出现的边时，才能保证从一个顶点开始，能够遍历到整个图中的每个顶点。
另外一个特点是，它不能有环，也就是说，从一个顶点出发，不能回到该顶点本身。
拓扑排序有向无环图是一种很强大的数据结构，它可以用来实现拓扑排序（Topological Sorting）。
拓扑排序是一种重要的技术，可以根据有向边的方向，对顶点进行排序，以便给定时序性任务分配排序方式。
比如，在建筑工程中，需要用到拓扑排序，比如地基建完再搭框架，搭框架后再安装门窗等等。
拓扑排序能保证输出的顺序和输入的顺序一致，也可以用于求解最短路径问题，比如求解从一个城市到另外一个城市的最短路径。
分布式处理有向无环图也可以用来实现分布式处理(Distributed Processing)，它可以把任务分解成一些独立的子任务，然后把它们连接起来，形成有向无环图，这样每一个子任务可以在不同的处理器上完成。
分布式处理可以使用有向无环图的拓扑排序算法，实现对任务的排序，从而保证任务的正确执行。
同时，由于它不存在环路，因此也可以保证它是安全的，不会出现死锁的情况，这样也就可以保证流程的有序性。
编译器设计有向无环图也可以用于编译器设计（Compiler Design）。
编译器是计算机科学中一种重要的应用，它可以把高级语言翻译成机器语言，从而可以让计算机处理高级语言编写的程序。
有向无环图可以用来构建编译器，因为它可以实现对语句的排序，这样可以保证编译器在编译过程中符合语法规则，并且能够正确翻译，从而使程序能够正确执行。
【全版】有向无环图及其应用推荐PPT
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数据结构
拓扑排序的方法和步骤： （1）在AOV网中选取一个没有前趋（即入 度为0）的顶点并输出之； （2）从AOV网中删除该顶点以及从该顶点 发出的所有有向边（可以用有向边射入的顶 点入度减1实现）； （3）重复（1）、（2），直至全部顶点输 出完毕（称为拓扑排序成功），或者再也找 不到没有前趋的顶点（对应于拓扑排序失败， 即图中存在有向环）为止。
7.5 有向无环图及其应用
数据结构
有向无环图（directed acyline graph， DAG）：
不存在由有向边构成的有向环 。
（1）AOV网 如果在图中，用顶点表示活动，弧表
示活动间的先后关系，则称这样的DAG图
为AOV网（Acivity On Vertex network）
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int vexnum,arcnum;
如果在图中，用顶点表示活动，弧表示 #define MAXVER 21
如果在带权的有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权表示活动持续的时间，这种带权的有向图称为AOE网
（Activity On Edge Network）。
活动间的先后关系，则称这样的DAG图 时间余量:A l (k)−Ae (k)表示完成活动ak的时间余量，它表示不延误工期的前提下活动ak可以延迟的时间。
/* 对
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数据结构
for(i=1;i<=G.vexnum;i++) /* 假定G
中各顶点入度未知，先求各顶点入度 */
G.vexs[i].indegree=0;
for(i=1;i<=G.vexnum;i++)
有向图与无向图的性质与算法
有向图与无向图的性质与算法1. 引言在图论中，有向图和无向图是两种最基本的图模型。
它们在表达和解决各类实际问题时具有重要的应用价值。
本文将介绍有向图和无向图的性质以及相关算法，以便读者对其有更深入的理解。
2. 有向图的性质有向图是由一系列顶点和有方向的边组成的图模型。
以下是有向图的几个重要性质：2.1 有向边的方向性与无向图不同，有向图中的边是有方向的，它们从一个顶点指向另一个顶点。
这种方向性在描述一些实际问题时非常有用，比如描述物流运输的路径。
2.2 顶点的入度和出度有向图中的每个顶点都有一个入度和一个出度。
顶点的入度是指指向该顶点的边的数量，而出度是指从该顶点出发的边的数量。
通过计算入度和出度，我们可以了解顶点在图中的连接情况。
2.3 有向环和拓扑排序有向图中存在一个重要的概念，即有向环。
有向环是指从一个顶点出发，经过若干个有向边后又回到该顶点的路径。
有向环在一些问题的分析和解决中具有特殊意义。
而拓扑排序是一种常用的对有向无环图进行排序的方法，它可以按照顶点之间的依赖关系进行排序。
3. 无向图的性质无向图是由一系列顶点和无方向的边组成的图模型。
以下是无向图的几个重要性质：3.1 无向边的无方向性与有向图不同，无向图中的边是无方向的，它们连接着两个顶点，代表了两个顶点之间的关系。
无向图可以用来表示一些没有方向性的问题，比如社交网络中的好友关系。
3.2 顶点的度数无向图中的顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。
顶点的度数越高，说明该顶点在图中的重要性越高，具有更多的连接关系。
3.3 联通性和连通分量无向图中有一个关键性质，即联通性。
若两个顶点之间存在一条连接它们的路径，则称这两个顶点是连通的。
连通分量则是将图中所有连通的顶点分为若干个集合，每个集合内的顶点都是连通的。
4. 算法与应用4.1 有向图的最短路径算法有向图中的最短路径算法是指寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径的方法。
其中，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的有向图最短路径算法。
有向无环图应用之关键路径
第6讲 有向无环图应用之关键路径——教学讲义关键路径有向图在工程计划和经营管理中有着广泛的应用。
通常用有向图来表示工程计划时有两种方法：（1）用顶点表示活动，用有向弧表示活动间的优先关系，即上节所讨论的AOV 网。
（2）用顶点表示事件，用弧表示活动，弧的权值表示活动所需要的时间。
把用第二种方法构造的有向无环图叫做边表示活动的网（Activity On Edge Network ）,简称AOE-网。
AOE-网在工程计划和管理中很有用。
在研究实际问题时，人们通常关心的是： ● 哪些活动是影响工程进度的关键活动？ ● 至少需要多长时间能完成整个工程？在AOE 网中存在惟一的、入度为0的顶点，叫做源点；存在惟一的、出度为0的顶点，叫做汇点。
从源点到汇点的最长路径的长度即为完成整个工程任务所需的时间，该路径叫做关键路径。
关键路径上的活动叫做关键活动。
这些活动中的任意一项活动未能按期完成，则整个工程的完成时间就要推迟。
相反，如果能够加快关键活动的进度，则整个工程可以提前完成。
例如，在下图所示的AOE-网中，共有9个事件，分别对应顶点v 0, v 1, v 2, …,v 7, v 8。
其中v 0为源点，表示整个工程可以开始。
事件v 4表示a 4，a 5已经完成，a 7,a 8可以开始。
v 8为汇点，表示整个工程结束。
v 0到v 8的最长路径（关键路径）有两条：（v 0，v 1，v 4，v 7，v 8）或（v 0，v 1，v 4，v 6，v 8），长度均为18。
关键活动为（a 1，a 4，a 7，a 10）或（a 1，a 2，a 8，a 11）。
关键活动a 1计划6天完成，如果a 1提前2天完成，则整个工程也可以提前2天完成。
在讨论关键路径算法之前，首先给出几个重要的定义：（1）事件v i 的最早发生时间ve(i)：从源点到顶点v i 的最长路径的长度，叫做事件v i 的最早发生时间。
求ve(i) 的值可从源点开始，按拓扑顺序向汇点递推： ve(0)=0；ve(i)=Max{ve （k ）＋dut （<k,i>）}<k,i>∈T,1≤i ≤n-1;AOE-网其中，T为所有以i为头的弧<k,i>的集合，dut（<k,i>）表示与弧<k,i>对应的活动的持续时间。
卡恩拓扑排序
卡恩拓扑排序引言概述：卡恩拓扑排序是一种常用的图算法，用于对有向无环图（DAG）进行拓扑排序。
它可以帮助我们确定一组任务或事件的执行顺序，以及检测是否存在环路。
在本文中，我们将详细介绍卡恩拓扑排序的原理和应用。
正文内容：1. 基本概念1.1 有向无环图（DAG）：DAG是一种图结构，其中的边都是有方向的，且不存在环路。
1.2 拓扑排序：拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法，它可以确定图中节点的执行顺序。
2. 卡恩拓扑排序算法2.1 算法思想：卡恩拓扑排序算法基于贪心策略，通过不断选择入度为0的节点，并移除它们的出边来实现拓扑排序。
2.2 算法步骤：a) 初始化一个队列，并将所有入度为0的节点加入队列。
b) 当队列不为空时，循环执行以下步骤：i) 从队列中取出一个节点，并将其输出。
ii) 将该节点的所有邻接节点的入度减1。
iii) 若邻接节点的入度变为0，则将其加入队列。
c) 若所有节点都被输出，则拓扑排序成功；否则，图中存在环路，拓扑排序失败。
3. 应用场景3.1 任务调度：卡恩拓扑排序可以帮助确定任务的执行顺序，以避免任务间的依赖关系导致的死锁或冲突。
3.2 课程安排：在学校或培训机构中，卡恩拓扑排序可以帮助安排课程的先后顺序，以确保学习的连贯性。
3.3 依赖关系管理：在软件开发中，卡恩拓扑排序可以帮助管理模块或组件之间的依赖关系，以确保正确的编译和部署顺序。
4. 算法复杂度4.1 时间复杂度：卡恩拓扑排序算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V表示图中的节点数，E表示图中的边数。
4.2 空间复杂度：卡恩拓扑排序算法的空间复杂度为O(V)，其中V表示图中的节点数。
总结：通过本文的介绍，我们了解了卡恩拓扑排序算法的基本概念和原理。
卡恩拓扑排序可以帮助我们确定任务或事件的执行顺序，并检测是否存在环路。
它在任务调度、课程安排和依赖关系管理等场景中具有广泛的应用。
同时，我们也了解了该算法的时间复杂度和空间复杂度，为实际应用提供了参考。
图的拓扑排序应用场景
图的拓扑排序应用场景图的拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的方法，它可以帮助我们解决一些实际问题。
本文将介绍图的拓扑排序的应用场景，并讨论其在各个领域中的具体应用。
1. 任务调度在项目管理、作业调度等领域，经常需要对一系列任务进行排序，以确定它们的执行顺序。
通过将任务间的依赖关系表示为有向图，可以使用拓扑排序来确定任务的执行顺序。
拓扑排序保证了所有先序任务在后续任务之前执行，确保了任务的顺利进行。
2. 课程安排在学校的课程安排中，需要确定学生的修读顺序。
通过将课程之间的先修关系构建成有向图，可以使用拓扑排序来确定课程的学习顺序。
这样可以避免学生在学习某一门课程之前没有掌握必要的先修知识。
3. 编译器优化在编译器的优化过程中，需要根据变量之间的依赖关系重新排序代码的执行顺序，以提高程序的性能。
通过构建变量依赖的有向图，可以使用拓扑排序来确定变量的计算顺序，从而减少计算的冗余和提高程序的执行效率。
4. 任务调度器在操作系统中，任务调度器负责管理系统中的各种任务，使得它们能够按照一定的优先级和顺序进行执行。
通过使用图的拓扑排序，可以确定任务之间的执行顺序，从而保证系统中任务的有序执行。
5. 依赖管理在软件开发中，软件包或模块之间可能存在依赖关系。
通过使用拓扑排序，可以确定软件包的依赖关系，从而实现依赖管理。
这样可以确保软件包的正确加载和使用，并减少冲突和错误的发生。
6. 词法分析在自然语言处理和信息检索等领域中，需要对文本进行词法分析，以提取其中的有效信息。
通过使用拓扑排序，可以确定词语之间的依赖关系，从而实现词法分析的有序处理。
总结：图的拓扑排序在不同的领域有着广泛的应用。
它能够帮助我们解决任务调度、课程安排、编译器优化、任务调度器、依赖管理和词法分析等问题。
通过构建图的拓扑结构，并应用拓扑排序算法，我们可以确定各个节点（任务、课程、软件包等）的执行顺序，从而达到提高效率和减少冲突的目的。
有向无环图及其应用
有向树, 图7.15 有向树,DAG图和有向图一例 图和有向图一例
(2)表达式子式共享 ) 例如,下述表达式 例如,下述表达式((a +b ) * (b * (c + d)) + (c + d) * e) * ((c + d) * e),用 , 二叉树表示如图7.16所示,用有向无环图表示如图7.17所示. 所示, 所示. 二叉树表示如图 所示 用有向无环图表示如图 所示 * + * + a b b c * + d 图7.16 用二叉树描述表达式 c + d * e c + d * e
count = 0; while (!StackEmpty (S)) { Pop (S, i); printf (i, G.vertices[i].data); //输出 号顶点并计数 输出i号顶点并计数 输出 ++ count; for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) { - k = p->adjvex; //对i号顶点的每个邻接点的入度减 号顶点的每个邻接点的入度减1 - 对 号顶点的每个邻接点的入度减 if (!(――indegree[k])) Push (S, k); //若入度减为 ,则入栈 若入度减为0, 若入度减为 } // for } // while if (count < G.vexnum) return ERROR; //该有向图有回路 该有向图有回路 } // TopologicalSort
v6 → v1 → v 4 → v3 → v 2 → v5
￡7.5.3 关键路径
(1)定义 ) 关键路径( ):在 网中有些活动可以并行的进行, 关键路径(Critical Path):在AOE-网中有些活动可以并行的进行, ): 网中有些活动可以并行的进行 所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度( 所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(路径 长度是指路径上各活动持续时间之和,而不是路径上弧的数目). ).这个 长度是指路径上各活动持续时间之和,而不是路径上弧的数目).这个 路径长度最长的路径叫关键路径. 路径长度最长的路径叫关键路径. 关键活动: 的活动. 关键活动:l(i) = e(i)的活动.即活动的最早开始时间=最迟开始时间. 的活动 即活动的最早开始时间=最迟开始时间. 显然,关键路径上的所有活动都是关键活动. 显然,关键路径上的所有活动都是关键活动. (2)AOE-网 ) 网 AOE-网(Activity On Edge):即边表示活动的网.AOE-网是一个 网 ):即边表示活动的网 ):即边表示活动的网. 网是一个 带权的有向无环图.其中,顶点表示事件(Event),弧表示活动,权 带权的有向无环图.其中,顶点表示事件( ),弧表示活动, ),弧表示活动 表示活动持续的时间. 表示活动持续的时间.
有向无环图及应用共24页
谢谢！
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
有向无环图及应用
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
第二十三讲有向无环图的应用案例
程序设计
离散数学 数据结构 编译原理 操作系统 计算机组成原理
无
C1 C2 C3 C2 C4 C4 C7 C2
c2
c5
用顶点表示活动，用弧表示活 动间的优先关系的有向图称为 Activity On Vertex Network(AOV-网) 前驱、后继、直接前驱、直接 后继
学习顺序：
c1 c3 c2
定义几个与计算关键活动有关的量：
事件(顶点) i：
最早发生时间ve(i)， 最晚发生时间vl(i)；
活动(边) a(i,j)：
最早开始时间e(i,j)， 最晚开始时间l(i,j)。
于是，整个工程完工的时间就是汇点的最 早发生时间；关键路径就是路径长度最长的 路径。
几个量的解释：
①事件i的最早可能开始时间Ve(i) 是从源点到顶点i 的最长路径长度。 ②事件i的最迟允许开始时间Vl(i) 是在保证汇点在其ve时刻完成的前提下，事件i的允许 的最迟开始时间。 ③活动a(i,j)的最早可能开始时间 e(i,j) 设活动a(i,j)在弧< i , j>上，则e(i,j)是从源点到顶点i 的 最长路径长度。因此, e(i,j) =Ve(i) 。 ④活动a(i,j)的最迟允许开始时间 l(i,j) l(i,j)是在不会引起时间延误的前提下，该活动允许的 最迟开始时间。 l(i,j) = vl(j) - dur(<i, j>)。 其中，dur(<i, j>)是完成a(i,j)所需的时间。
概念： 源点：入度为零的点，即工程的开始点， 在正常情况下只有一个。 汇点：出度为零的点，即工程的完成点， 在正常情况下只有一个。
AOE网的特点
在AOE网络中, 有些活动顺序进行，有 些活动并行进行；如图所示：
数据结构第7章图3有向无环图及其应用ppt课件
for(p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc){ k=p—>adivex；//对i号顶点的每个邻接点入度减1 if(！(--indegree[k])) Push(S，k); //若入度减为0，则入栈
§7.5 有向无环图及其应用
❖有向无环图
在工程实践中，一个工程项目往往由若干个子项 目组成，这些子项目间往往有多种关系：
①先后关系，即必须在一子项目完成后，才能开 始实施另一个子项目；
②子项目之间无次序要求，即两个子项目可以同 时进行，互不影响。
§7.5 有向无环图及其应用
❖两种常用的活动网络(Activity Network)
3
4 4^
4
2 1^ 3^
1^
s
0 V1 3 V4
5 V6
4
V2 1 V3 2 V5 4
indegree[0..5] 0 0 0 0 0 0 012345
最后输出的拓扑序列为：v6v1v3v2v4v5
§7.5 有向无环图及其应用
G.vertices[0] v1
3
2
G.vertices[1] v打2 印^G.vertices[4].data
1. 输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 2. 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; 3. 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边; 4. 重复以上 2、3 步, 直到：
全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成 或者，图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说 明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到 没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。
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3
0 1 0 3
C1
C2
5
1 5 0
C3
C4 C5
0
0 0Βιβλιοθήκη C01C15
C2
0
5
C3
C4
C5
在邻接表中增设一个数组indegree[ ]，记 录各顶点入度。入度为零的顶点即无前驱 顶点。 在算法中, 使用一个存放入度为零的顶点 的栈, 供选择和输出无前驱的顶点。
拓扑排序算法可描述如下： 建立入度为零的顶点栈; 当入度为零的顶点栈不空时, 重复执行 从顶点栈中退出一个顶点, 并输出之; 从AOV网络中删去这个顶点和它发出 的边, 边的终顶点入度减一; 如果边的终顶点入度减至0, 则该顶点 进入度为零的顶点栈; 如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点 个数, 则报告网络中存在有向环。 P182算法7.12
为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪 些活动? 从源点到各个顶点, 以及从源点到汇点的有 向路径可能不止一条，这些路径的长度也可 能不同，完成不同路径的活动所需的时间虽 然不同，但只有各条路径上所有活动都完成 了, 整个工程才能完成。 因此, 完成整个工程所需的时间取决于从源 点到汇点的最长路径长度, 即在这条路径上 所有活动的持续时间之和。这条路径长度最 长的路径叫做关键路径(Critical Path)。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
高等数学 程序设计基础 离散数学 数据结构 高级语言程序设计 编译原理 操作系统 大学物理 计算机原理
C1, C3, C2 C5, C4, C1 C8
C2 C2 C4 C9
C8 C1 C3
C9 C7
C4
C2 C5 C6
学生课程学习工程图
可以用有向图表示一个工程。在这种有向 图中，用顶点表示活动，用有向边<Vi, Vj> 表示活动Vi 必须先于活动Vj 进行。这种有 向图称作顶点表示活动的AOV网 (Activity On Vertex)。 在AOV网络中不能出现有向回路, 即有向 环。如果出现了有向环，则意味着某项活 动应以自己作为先决条件。
为求得 e[k]与 l[k], 需要先求得从源点 V0 到各 个顶点 Vi 的 ve[i] 和 vl[i]。 求ve[i]和vl[i]的递推公式 从 ve[0] = 0 开始，向前递推 Ve[i ] max{ Ve[ j ] dur ( V j , Vi ) }, j < Vj, Vi > S2, i = 1, 2, , n-1 S2 是所有指向Vi 的有向边< Vj , Vi >的集合。 从vl[n-1] = ve[n-1]开始，反向递推 Vl[i ] min{ Vl[ j ] dur ( Vi , V j ) },
7 a9=6
a10=12
8
定义几个与计算关键活动有关的量：
① 事件Vi 的最早发生时间ve(i) 是从源点V0 到顶点Vi 的最长路径长度 ② 事件Vi 的最迟发生时间vl[i] 是在保证汇点Vn-1 在ve[n-1] 时刻完成（即 不影响整个工程工期）的前提下，事件Vi 允许的最迟开始时间。 ③ 活动ak 的最早可能开始时间 e[k] 设活动ak 在弧< Vi , Vj >上, 则e[k]是从源点 V0到顶点Vi 的最长路径长度。因此, e[k] = ve[i]
C8 C1 C9 C7 C4 C2 C6
C3
C5
拓扑排序的方法
① 输入AOV网络，令 n 为顶点个数。 ② 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; ③ 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出 的有向边; ④ 重复以上 ②、③步, 直到 全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成， 拓扑排序完成；或 图中还有未输出的顶点, 但已跳出处理 循环。说明图中还剩下一些顶点, 它们都 有直接前驱。这时网络中必存在有向环。
最后得到的拓扑有序序列为 C4 , C0 , C3 , C2 , C1 , C5 。它满足图中给出的所有前驱和后继关系， 对于本来没有这种关系的顶点，如C4和C2，也排 出了先后次序关系。
AOV网络及其邻接表表示
indegree data adj 0
1 2 3 4 1 C0 dest link 1 3 0
有向无环图
• 无环的有向图称为有向无环图，简称DAG 图 • P179 图7.21：有向树、DAG图、有向图 • DAG图可用于： 描述含有公共子式的表达式； 描述工程的进行过程； • 有向无环图是描述一项工程进行过程的有 效工具，主要进行拓扑排序和关键路径的 操作。 工程能否顺利进行—拓扑排序
活动网络 (Activity Network)
< Vi, Vj > S1, i = n-2, n-3, , 0 S1是所有源自Vi的有向边< Vi , Vj >的集合。
j
这两个递推公式的计算必须分别在拓扑有序 及逆拓扑有序的前提下进行。 设活动ak (k=1,2,…,e)在带权有向边< Vi , Vj > 上, 其持续时间用dur (<Vi , Vj >) 表示, 则有 e[k] = ve[i]； l[k] = vl[j] - dur(<Vi , Vj >)；k = 1, 2, …, e。 这样就得到计算关键路径的算法。 为了简化算法, 假定在求关键路径之前已经 对各顶点实现了拓扑排序, 并按拓扑有序的 顺序对各顶点重新进行了编号。
要找出关键路径，必须找出关键活动, 即不 按期完成就会影响整个工程完成的活动。 关键路径上的所有活动都是关键活动。因 此, 只要找到了关键活动, 就可以找到关键 路径。例如, 下图就是一个AOE网。
2 a1=8 a7=6 5 a =18 8
a3=14 1 4 a =8 a4=10 6 6 a2=12 3 a5=28
用顶点表示活动的网 (AOV-网)
计划、施工过程、生产流程、程序流程等都 是“工程”。除了很小的工程外，一般都可 以将工程分为若干个称作“活动”的子工程， 完成了这些活动，整个工程就可以完成了。 例：计算机专业学生的学习就是一个工程， 每一门课程的学习就是整个工程的一个活动， 其中有些课程要求先修课程，有些则不要求， 这样在有的课程之间就存在领先关系，而有 的课程则可以并行学习。
三条关键路径：1-2-4-5-7-8 1-3-4-5-7-8 1-3-6-7-8
a3=14 1 4 a =8 a4=10 6 a2=12 3 6 a5=28
a10=12
8
注意
所有顶点按拓扑有序的次序编号
仅计算
ve[i] 和 vl[i] 是不够的，还须计算 e[k] 和 l[k]。 不是任一关键活动加速一定能使整个工程 提前。 想使整个工程提前，要考虑各条关键路径 上所有关键活动。
拓扑排序的过程
C0 C1 C2 C0 C1 C2
C3
C4
C5
C3
C4
C5
(a) 有向无环图
C0 C1 C2
(b) 输出顶点C4
C1 C2
C3
C5
C3
C5
(c) 输出顶点C0
(d) 输出顶点C3
C1
C2
C1
C5
C5
(e) 输出顶点C2
C5
(f) 输出顶点C1 (h) 拓扑排序完成
(g) 输出顶点C5
用边表示活动的网络(AOE网)
如果在带权的有向无环图中, 用有向边表示 一个工程中的活动 (Activity), 用边上权值表 示活动持续时间 (Duration), 用顶点表示事 件 (Event), 则这样的有向图叫做用边表示 活动的网络, 简称 AOE ( Activity On Edges ) 网。 AOE网在某些工程进度估算方面非常有用。 例如，可以使人们了解： 完成整个工程至少需要多少时间(假设网 络中没有环)?
对算法7.12作如下修改得算法7.13： （算法7.13求各事件的ve） ① 设初值ve(i)=0 (0≤ i≤ n-1) ② 计算Vj的直接后继Vk的ve(k)： 若ve(j)+dut(<j,k>) > ve(k) 则ve(k)=ve(j)+ dut(<j,k>) ③ 为求vl，设一栈记录拓扑有序序列，之后 弹栈求逆拓扑有序序列 算法7.14 （先求各事件的vl，再求各活动的e和l（7.14 中用ee和el表示），当某个活动的e=l，则该 活动是关键活动）
1
2
3
4
5
6
7
8
Ve Vl
1
0 0
2
8 12 22 28 40 46 58 8 12 22 28 40 46 58
3 4 5 6 7 8 9 10
e 0 0 8 12 12 22 22 28 40 46 l 0 0 8 12 12 32 22 28 40 46 a1=8 2 a7=6 5 a =18 8 7 a9=6
因此，对给定的AOV网络，必须先判断它 是否存在有向环。
检测有向环的一种方法是对AOV网络构造 它的拓扑有序序列。即将各个顶点 (代表各 个活动)排列成一个线性有序的序列，使得 AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系 都能得到满足。 这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序 列的运算就叫做拓扑排序。 如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶 点都排入一个拓扑有序的序列中, 则该网络 中必定不会出现有向环。
④ 活动ak 的最迟允许开始时间 l[k] 在不会引起整个工程时间延误的前提下, 该 活动允许的最迟开始时间。 l[k] = vl[j] - dur(<i, j>)。 其中, dur(<i, j>)是完成 ak 所需的时间。 ⑤ 时间余量 l[k] - e[k] 表示活动 ak 的最早可能开始时间和最迟允 许开始时间的时间余量。l[k] == e[k] 表示活 动 ak 是没有时间余量的关键活动。 为找出关键活动, 需要求出各个活动的 e[k] 与 l[k]，以判别是否 l[k] == e[k]。