(完整word版)判断一个图是否有环无向图有向图讲解

一、无向图：

方法1：

∙如果存在回路，则必存在一个子图，是一个环路。环路中所有顶点的

度>=2。

∙ n算法：

第一步：删除所有度<=1的顶点及相关的边，并将另外与这些边相关的其它顶点的度减一。

第二步：将度数变为1的顶点排入队列，并从该队列中取出一个顶点重复步骤一。

如果最后还有未删除顶点，则存在环，否则没有环。

∙ n算法分析：

由于有m条边，n个顶点。

i)如果m>=n，则根据图论知识可直接判断存在环路。（证明：如果没有环路，则该图必然是k棵树k>=1。根据树的性质，边的数目m = n-k。k>=1，所以：m

ii)如果m

∙注：

该方法，算法复杂度不止O(V)，首先初始时刻统计所有顶点的度的时候，复杂度为(V + E)，即使在后来的循环中E>=V，这样算法的复杂度也只能为O(V + E)。其次，在每次循环时，删除度为1的顶点，那么就必须将与这个顶点相连的点的度减一，并且执行delete node from list[list[node]]，这里查找的复杂度为list[list[node]]的长度，只有这样才能保证当degree[i]=1时，list[i]里面只有一个点。这样最差的复杂度就为O(EV)了。

方法2：

DFS搜索图，图中的边只可能是树边或反向边，一旦发现反向边，则表明存在环。该算法的复杂度为O(V)。

方法3：

摘自：

/lzrzhao/archive/2008/03/13/2175787.aspx PS：此方法于2011-6-12补充

假定：图顶点个数为M，边条数为E

遍历一遍，判断图分为几部分（假定为P部分，即图有P 个连通分量）

对于每一个连通分量，如果无环则只能是树，即：边数＝结点数－1

只要有一个满足边数> 结点数－1

原图就有环

将P个连通分量的不等式相加，就得到：

P1:E1=M1-1

P2:E2=M2-1

...

PN:EN>MN-1

所有边数(E) > 所有结点数(M) - 连通分量个数(P)

即： E + P > M 所以只要判断结果 E + P > M 就表示原图有环，否则无环.

实例代码如下：

1.#include

2.#include

ing namespace std;

4.#define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数

5.int visited[maxNum];//通过visited数组来标记这个顶点是否被访问过，0表示未被访问，

1表示被访问

6.int DFS_Count;//连通部件个数，用于测试无向图是否连通，DFS_Count=1表示只有一个连通

部件，所以整个无向图是连通的

7.int pre[maxNum];

8.int post[maxNum];

9.int point;//pre和post的值

10.

11.//图的邻接矩阵表示结构

12.typedef struct

13.{

14.char v[maxNum];//图的顶点信息

15.int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息

16.int vNum;//顶点个数

17.int eNum;//边的个数

18.}graph;

19.void createGraph(graph *g);//创建图g

20.void DFS(graph *g);//深度优先遍历图g

21.void dfs(graph *g,int i);//从顶点i开始深度优先遍历与其相邻的点

22.void dfs(graph *g,int i)

23.{

24.//cout<<"顶点"<v[i]<<"已经被访问"<

25. cout<<"顶点"<

26. visited[i]=1;//标记顶点i被访问

27. pre[i]=++point;

28.for(int j=1;j<=g->vNum;j++)

29. {

30.if(g->e[i][j]!=0&&visited[j]==0)

31. dfs(g,j);

32. }

33. post[i]=++point;

34.}

35.

36.void DFS(graph *g)

37.{

38.int i;

39.//初始化visited数组，表示一开始所有顶点都未被访问过

40.for(i=1;i<=g->vNum;i++)

41. {

42. visited[i]=0;

43. pre[i]=0;

44. post[i]=0;

45. }

46.//初始化pre和post

47. point=0;

48.//初始化连通部件数为0

49. DFS_Count=0;

50.//深度优先搜索

51.for(i=1;i<=g->vNum;i++)

52. {

53.if(visited[i]==0)//如果这个顶点为被访问过，则从i顶点出发进行深度优先遍

历

54. {

55. DFS_Count++;//统计调用void dfs(graph *g,int i);的次数

56. dfs(g,i);

57. }

58. }

59.}

60.void createGraph(graph *g)//创建图g

61.{

62. cout<<"正在创建无向图..."<

63. cout<<"请输入顶点个数vNum:";

64. cin>>g->vNum;

65. cout<<"请输入边的个数eNum:";

66. cin>>g->eNum;

67.int i,j;

68.//输入顶点信息

69.//cout<<"请输入顶点信息："<

70.//for(i=0;ivNum;i++)