有向无环图及其应用

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图论及其应用

图论及其应用

图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支,研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。

图论的应用广泛,涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。

本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。

图的基本概念图由顶点(Vertex)和边(Edge)组成,记作G=(V, E),其中V为顶点的集合,E为边的集合。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图有向图中的边具有方向性,即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。

有向图可以表示一种有序的关系,比如A到B有一条边,但B到A可能没有边。

有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

无向图无向图中的边没有方向性,任意两个顶点之间都有相互连接的边。

无向图可以表示一种无序的关系,比如A与B有一条边,那么B与A之间也有一条边。

无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。

常用图论算法图论中有许多经典的算法,其中一些常用的算法包括:深度优先搜索(DFS)深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。

通过从起始顶点开始,沿着一条路径尽可能深入图中的顶点,直到无法再继续前进时,返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。

DFS可以用于判断图是否连通,寻找路径以及检测环等。

广度优先搜索(BFS)广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。

不同于深度优先搜索,广度优先搜索逐层遍历顶点,先访问离起始顶点最近的顶点,然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点,以此类推。

BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。

最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。

其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法(Dijkstra’s A lgorithm)和弗洛伊德算法(Floyd’s Algorithm)。

迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图,而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。

最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。

其中最常用的算法是普里姆算法(Prim’s Algorithm)和克鲁斯卡尔算法(Kruskal’s Algorithm)。

7.5有向无环图及其应用(精)

7.5有向无环图及其应用(精)
13
2018/9/21
数据结构
关键活动:关键路径上的活动都是关键 活动。
(1)关键路径上的各项活动能按期或
提前完成,则整个工程则能按期或提前
完成。 (2)如果关键活动拖延了时间,整个 工程的工期必定拖延。
14
2018/9/21
数据结构
1)事件vj的最早发生时间Ve(j)
是从源点到顶点vj的最长路径长度,这个时
6 2018/9/21
数据结构
逆拓扑排序,其方法和步骤与拓扑排序 正好形成对偶关系: (1)在AOV网中选取一个没有后继 (即出度为0)的顶点并输出之。 (2)从AOV网中删除该顶点以及射向 该顶点的所有有向边(可以用有向边发出 的顶点的出度减1实现)。 (3)重复(1)、(2),直至全部顶 点输出完毕(逆拓扑排序成功),或者再 也找不到没有后继的顶点(逆拓扑排序失 败)为止。
10 2018/9/21
7.5.2 关键路径
数据结构
1. AOE网 如果在带权的有向图中,用顶点 表示事件,用有向边表示活动,边上 的权表示活动持续的时间,这种带权 的有向图称为AOE网(Activity On Edge Network)。
11
2018/9/21
数据结构
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2018/9/21
2. 关键路径
7 2018/9/21
数据结构
#define MAXVER 21 typedef struct listnode { int adjvex; struct listnode *next; }listnode; typedef struct { int indegree; listnode *first; }headnode; typedef struct

dag实现原理

dag实现原理

dag实现原理DAG,全称为有向无环图(Directed Acyclic Graph),是一种常用于解决并行计算和任务调度问题的数据结构。

在计算机科学中,DAG被广泛应用于任务调度、依赖管理、编译优化等领域。

DAG的实现原理主要包括以下几个关键点:1. 有向图:DAG是一种有向图,其中的节点表示任务或操作,边表示任务之间的依赖关系。

节点之间的有向边表示任务的执行顺序,即后续任务依赖于前置任务的执行结果。

2. 无环性:DAG中不能存在环路,也就是说,不能存在从某个节点出发经过若干条边后回到该节点的情况。

这是为了保证任务的执行顺序不会出现循环依赖,避免死锁和无限循环的问题。

3. 任务调度:DAG可以用于任务的调度和执行。

在一个DAG中,每个节点表示一个任务,节点之间的边表示任务之间的依赖关系。

通过解析DAG中的依赖关系,可以确定任务的执行顺序,从而实现任务的调度。

4. 并行计算:DAG可以帮助实现任务的并行计算。

在一个DAG中,存在多个没有前置依赖的任务,这些任务可以并行执行,提高计算效率。

而有依赖关系的任务则需要按照依赖关系的顺序进行执行,确保前置任务的结果正确地传递给后续任务。

在实际应用中,DAG的实现可以基于不同的算法和数据结构。

一种常见的实现方式是使用拓扑排序算法和邻接表数据结构。

拓扑排序算法通过遍历有向图的节点,按照节点的依赖关系生成一个线性的序列。

在这个序列中,前置任务总是排在后续任务的前面。

拓扑排序算法可以保证任务的执行顺序满足依赖关系,同时判断是否存在环路。

邻接表是一种常用的数据结构,用于表示有向图的邻接关系。

对于每个节点,邻接表记录了指向该节点的所有边。

通过邻接表,可以很方便地查找节点的后续任务。

使用拓扑排序算法和邻接表数据结构,可以很好地实现DAG的任务调度和并行计算。

首先,构建DAG的数据结构,将任务和依赖关系表示为节点和边。

然后,使用拓扑排序算法对DAG进行排序,得到任务的执行顺序。

36、CSP-J、CSP-S初赛复习4_图及其应用(2019-10-17)

36、CSP-J、CSP-S初赛复习4_图及其应用(2019-10-17)

(v3,v4),(v3,v5),(v2,v5) }
V4
V5
G1
§ 边用顶点的无序偶对(vi, vj)表示,称顶点vi和顶点vj互
为邻接点,边(vi, vj)依附于顶点vi和vj。
4
弧 有向图
• 图中顶点之间的连线若有方向,则称这条连
线为弧,则称该图为有向图。
G2=(V2,E2)
V1
V2
V2={v1,v2,v3,v4 }
推论 无向图G具有一条欧拉回路,当且仅当G是连 通的,且所有结点度数全为偶数。
权 网络
• 与边有关的数据信息称为权(weight)
边上带权的图称为网图或网
A8
B 络(network)
5
3
2
C
D
弧或边带权的图分别称作
7
有向网或无向网
11
路径 路径长度
• 顶点vp到顶点vq之间的路径(path)是指顶 点序列vp,vi1,vi2, …, vim,vq。其中,(vp,vi1 ),(vi1,vi2),…,(vim, vq)分别为图中的边。
V1 V3
V2
V1
V6
生成森林
V7
V4
V5
V4
V2 V3 V6 V7
V5
19
小练习
• 无向图G有7个顶点,若不存在由奇数条边构成的
12 简单回路,则它至多有_______条边。(
NOIP2010提高)
V1
V2
V3
V7
V4V5V6练习2.无向图 G 有 7 个顶点,若不存在由奇数条边构成的简单回路,则它至多有____ ____条边。(NOIP2010 提高组)
一个含有n个顶点的无向完全图中,有n(多n-1少)/条2条边边?

拓扑排序算法与有向无环图

拓扑排序算法与有向无环图

拓扑排序算法与有向无环图拓扑排序算法是一种对有向无环图(DAG)进行排序的算法,它可以将图中的顶点按照一定的顺序进行排序,使得图中的任意一条有向边从排在前面的顶点指向排在后面的顶点。

在实际应用中,拓扑排序算法可以用来解决诸如任务调度、依赖关系分析等问题。

一、拓扑排序算法的定义
拓扑排序算法的基本思想是通过不断地选择入度为0的顶点,并且将该顶点从图中删除,最终得到的顶点序列就是图的拓扑排序。

在实际应用中,可以采用深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)等方法来实现拓扑排序算法。

二、拓扑排序算法的步骤
1. 初始化:将所有顶点的入度计数初始化为0,并将入度为0的顶点加入一个队列中。

2. 遍历:循环遍历队列中的顶点,每次取出一个顶点并将其加入拓扑排序的结果序列中。

3. 更新:将该顶点指向的顶点的入度减1,并将入度减为0的顶点加入队列中。

4. 结束条件:直到队列为空时,所有顶点都已经被处理,得到的顺序即为拓扑排序的结果。

三、拓扑排序算法的应用
1. 任务调度:在任务调度中,拓扑排序算法可以用来确定任务执行
的顺序,保证任务之间的依赖关系得到满足。

2. 依赖关系分析:在软件工程中,拓扑排序算法可以用来分析软件
中各个模块之间的依赖关系,有助于代码的组织与管理。

3. 课程安排:在学校教学中,拓扑排序算法可以用来安排课程的上
课顺序,确保学生按照一定的顺序学习各门课程。

综上所述,拓扑排序算法是一种重要的图算法,可以用来处理有向
无环图中顶点的排序问题,具有广泛的应用价值。

通过深入理解和掌
握拓扑排序算法,可以更好地解决实际生活和工作中遇到的各种问题。

《有向无环图的应用》课件

《有向无环图的应用》课件

基于拓扑排序的算法实现
总结词
拓扑排序适用于有向无环图,通过排序可以确定图中各节点的先后顺序。
详细描述
基于拓扑排序的算法实现主要利用拓扑排序的性质,从入度为0的节点开始,依次访问相邻节点,并 将已访问的节点从图中删除。如果所有节点都被访问过,则说明该图为有向无环图。
基于动态规划的算法实现
总结词
动态规划算法可以高效地解决有向无环 图中的最长路径和最短路径问题。
详细描述
在复杂的网络结构中,路由器需要使用有向 无环图来表示网络拓扑结构,通过图的顶点 和边来表示网络中的节点和连接关系。通过 有向无环图,路由器可以快速计算出数据包 从源到目的地的最佳路径,提高网络传输效 率。
数据库设计中的ER图生成
总结词
有向无环图在数据库设计中用于生成实体关系图(ER图),帮助设计人员更好地理解 和管理数据库结构。
在程序设计中,流程图是一种重要的工具, 用于表示程序的执行流程。有向无环图可以 用来生成流程图,通过顶点和边来表示程序 的各个步骤和它们之间的逻辑关系。通过流 程图,程序员可以更好地理解程序的执行过
程,发现潜在的逻辑错误并进行优化。
社交网络分析中的影响力传播
要点一
总结词
要点二
详细描述
有向无环图在社交网络分析中用于研究影响力传播,帮助 理解信息如何在社交网络中传播。
基于图的分解的构建方法
该方法是将一个有向无环图分解成若干个子图,每个子图都 是一个强连通子图,然后将这些子图进行排序,最后将它们 连接起来形成完整的有向无环图。
具体步骤包括:将有向无环图中的所有顶点按照强连通性进 行分类;对每个强连通子图进行拓扑排序;将所有强连通子 图的拓扑序列连接起来,形成一个完整的序列。

数据结构-有向无环图及其应用

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目 录
• 引言 • 有向无环图的基本概念 • 有向无环图的构建 • 有向无环图的应用场景 • 有向无环图的实际应用案例 • 有向无环图的未来研究方向和挑战
详细描述
目前有向无环图已经在许多领域得到应用,如社交网络分析、生物信息学和推荐系统等。未来可以进 一步探索有向无环图在金融、交通和能源等领域的应用,挖掘其更大的潜力。
提高有向无环图的表示能力和分析精度
总结词
提高有向无环图的表示能力和分析精度 是另一个重要的研究方向,旨在更好地 表示复杂数据关系和提高分析结果的准 确性。
拓扑排序
有向无环图可以用于进行拓扑排 序,即将图中所有节点按照依赖 关系进行排序,使得对于任何一 条从节点i到节点j的有向边,i都
在j之前出现。
关键路径
在项目管理中有向无环图可以用 于确定项目的关键路ห้องสมุดไป่ตู้,即确定
项目的最短完成时间路径。
PART 03
有向无环图的构建
构建有向无环图的算法
基于邻接矩阵的算法
通过构建一个二维矩阵来表示图的节点之间的关系,如果存在一条从节点i到节点j的 边,则矩阵中第i行第j列的值为1,否则为0。
基于邻接表的算法
使用一个列表来存储每个节点所连接的节点,如果存在一条从节点i到节点j的边 ,则在节点i的列表中添加节点j。
构建有向无环图的步骤
01

有向无环图

有向无环图

有向无环图有向无环图(DAG)是一种重要的图形数据结构,在计算机科学、网络和算法分析等领域中都有广泛的应用。

它与普通无向图有所不同,因为它会在连接时增加一个方向,这就意味着它可以表示有序的数据。

有向无环图被广泛应用于计算机科学领域,比如拓扑排序、分布式处理、编译器设计等等。

概念有向无环图是由一些顶点和一些有序的边组成,它将数据结构中的每个顶点连接起来。

每条边都有一个方向,这就决定了图中的有序性,也决定了如何遍历图中的每个顶点。

它只有在没有重复出现的边时,才能保证从一个顶点开始,能够遍历到整个图中的每个顶点。

另外一个特点是,它不能有环,也就是说,从一个顶点出发,不能回到该顶点本身。

拓扑排序有向无环图是一种很强大的数据结构,它可以用来实现拓扑排序(Topological Sorting)。

拓扑排序是一种重要的技术,可以根据有向边的方向,对顶点进行排序,以便给定时序性任务分配排序方式。

比如,在建筑工程中,需要用到拓扑排序,比如地基建完再搭框架,搭框架后再安装门窗等等。

拓扑排序能保证输出的顺序和输入的顺序一致,也可以用于求解最短路径问题,比如求解从一个城市到另外一个城市的最短路径。

分布式处理有向无环图也可以用来实现分布式处理(Distributed Processing),它可以把任务分解成一些独立的子任务,然后把它们连接起来,形成有向无环图,这样每一个子任务可以在不同的处理器上完成。

分布式处理可以使用有向无环图的拓扑排序算法,实现对任务的排序,从而保证任务的正确执行。

同时,由于它不存在环路,因此也可以保证它是安全的,不会出现死锁的情况,这样也就可以保证流程的有序性。

编译器设计有向无环图也可以用于编译器设计(Compiler Design)。

编译器是计算机科学中一种重要的应用,它可以把高级语言翻译成机器语言,从而可以让计算机处理高级语言编写的程序。

有向无环图可以用来构建编译器,因为它可以实现对语句的排序,这样可以保证编译器在编译过程中符合语法规则,并且能够正确翻译,从而使程序能够正确执行。

有向图与无向图的性质与算法

有向图与无向图的性质与算法

有向图与无向图的性质与算法1. 引言在图论中,有向图和无向图是两种最基本的图模型。

它们在表达和解决各类实际问题时具有重要的应用价值。

本文将介绍有向图和无向图的性质以及相关算法,以便读者对其有更深入的理解。

2. 有向图的性质有向图是由一系列顶点和有方向的边组成的图模型。

以下是有向图的几个重要性质:2.1 有向边的方向性与无向图不同,有向图中的边是有方向的,它们从一个顶点指向另一个顶点。

这种方向性在描述一些实际问题时非常有用,比如描述物流运输的路径。

2.2 顶点的入度和出度有向图中的每个顶点都有一个入度和一个出度。

顶点的入度是指指向该顶点的边的数量,而出度是指从该顶点出发的边的数量。

通过计算入度和出度,我们可以了解顶点在图中的连接情况。

2.3 有向环和拓扑排序有向图中存在一个重要的概念,即有向环。

有向环是指从一个顶点出发,经过若干个有向边后又回到该顶点的路径。

有向环在一些问题的分析和解决中具有特殊意义。

而拓扑排序是一种常用的对有向无环图进行排序的方法,它可以按照顶点之间的依赖关系进行排序。

3. 无向图的性质无向图是由一系列顶点和无方向的边组成的图模型。

以下是无向图的几个重要性质:3.1 无向边的无方向性与有向图不同,无向图中的边是无方向的,它们连接着两个顶点,代表了两个顶点之间的关系。

无向图可以用来表示一些没有方向性的问题,比如社交网络中的好友关系。

3.2 顶点的度数无向图中的顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。

顶点的度数越高,说明该顶点在图中的重要性越高,具有更多的连接关系。

3.3 联通性和连通分量无向图中有一个关键性质,即联通性。

若两个顶点之间存在一条连接它们的路径,则称这两个顶点是连通的。

连通分量则是将图中所有连通的顶点分为若干个集合,每个集合内的顶点都是连通的。

4. 算法与应用4.1 有向图的最短路径算法有向图中的最短路径算法是指寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径的方法。

其中,Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的有向图最短路径算法。

有向无环图应用之关键路径

有向无环图应用之关键路径

第6讲 有向无环图应用之关键路径——教学讲义关键路径有向图在工程计划和经营管理中有着广泛的应用。

通常用有向图来表示工程计划时有两种方法:(1)用顶点表示活动,用有向弧表示活动间的优先关系,即上节所讨论的AOV 网。

(2)用顶点表示事件,用弧表示活动,弧的权值表示活动所需要的时间。

把用第二种方法构造的有向无环图叫做边表示活动的网(Activity On Edge Network ),简称AOE-网。

AOE-网在工程计划和管理中很有用。

在研究实际问题时,人们通常关心的是: ● 哪些活动是影响工程进度的关键活动? ● 至少需要多长时间能完成整个工程?在AOE 网中存在惟一的、入度为0的顶点,叫做源点;存在惟一的、出度为0的顶点,叫做汇点。

从源点到汇点的最长路径的长度即为完成整个工程任务所需的时间,该路径叫做关键路径。

关键路径上的活动叫做关键活动。

这些活动中的任意一项活动未能按期完成,则整个工程的完成时间就要推迟。

相反,如果能够加快关键活动的进度,则整个工程可以提前完成。

例如,在下图所示的AOE-网中,共有9个事件,分别对应顶点v 0, v 1, v 2, …,v 7, v 8。

其中v 0为源点,表示整个工程可以开始。

事件v 4表示a 4,a 5已经完成,a 7,a 8可以开始。

v 8为汇点,表示整个工程结束。

v 0到v 8的最长路径(关键路径)有两条:(v 0,v 1,v 4,v 7,v 8)或(v 0,v 1,v 4,v 6,v 8),长度均为18。

关键活动为(a 1,a 4,a 7,a 10)或(a 1,a 2,a 8,a 11)。

关键活动a 1计划6天完成,如果a 1提前2天完成,则整个工程也可以提前2天完成。

在讨论关键路径算法之前,首先给出几个重要的定义:(1)事件v i 的最早发生时间ve(i):从源点到顶点v i 的最长路径的长度,叫做事件v i 的最早发生时间。

求ve(i) 的值可从源点开始,按拓扑顺序向汇点递推: ve(0)=0;ve(i)=Max{ve (k )+dut (<k,i>)}<k,i>∈T,1≤i ≤n-1;AOE-网其中,T为所有以i为头的弧<k,i>的集合,dut(<k,i>)表示与弧<k,i>对应的活动的持续时间。

(16)有向无环图及其应用讲解

(16)有向无环图及其应用讲解
有向无环图 及其应用
1
一、定义
一个无环的有向图称为有向无环图,简写为 DAG(directed acycline graph)。 与有向二叉树相比,有向无环图是更一般的特 殊有向图。 实例:
有向树
有向无环图
有向图
有向无环图的一个简单应用: 用有向无环图描述 2 算术表达式。
二、拓扑排序
1.引例:现有计算机课程12门,如下表所示:
vertex
adjvexnextadj firstedge
0
v1
v2
13v4源自v3254
v5
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 2 1 1 2 2 3 3 4 0 5
10
二、拓扑排序
indegree一维数组初值的程序: 4.求 算法说明:为了使说明过程简单起见,我们以下 FindInDegree(ALGraph G,indegree[0..G.vexnum-1]){ 图为例:
拓扑序列:C1 C2 C3 C4 C5 C7 C9 C10 C11 C6 C12 C8
8
二、拓扑排序
3.方法: 注意1 :从某种意义下来说,拓扑排序的结果是不 唯一的。 注意2 :这种以顶点表示活动的有向无环图称为活动 在顶点的网,简称AOV(Activity On Vertex Network) 网。 注意3 :当有向图中包含有向环路时,拓扑排序算法 结束时图中还有若干顶点没有被输出(即有向环路 中的所有顶点没有参加排序)。
C6 C11
6
二、拓扑排序
3.方法:
C4 C5 C2 C1 C3 C7
C12 C9 C10 C8
C6 C11

tdag的名词解释

tdag的名词解释

tdag的名词解释TDAG(Topologically Directed Acyclic Graph)是一种拓扑有向无环图,是计算机领域中一种常见的数据结构。

它以一种优化的方式存储和表示数据,并在许多应用中被广泛使用。

本文将对TDAG进行详细解释,并探讨它在实际应用中的一些重要特点和用途。

I. TDAG的概念与原理TDAG是一种图形数据结构,它由节点(Node)和有向边(Edge)组成。

顾名思义,它是拓扑有向无环图,拓扑(Topology)表示节点和边构成的结构,有向(Directed)表示边具有方向性,无环(Acyclic)表示从任意节点出发,经过有向边最终不可能回到原始节点。

TDAG通过节点和边的连接方式来表示数据的关系和依赖关系。

每个节点表示一个数据元素或操作,而有向边则表示数据元素之间的依赖关系。

通过这种方式,TDAG可以清晰地描述出数据流、计算流程、任务依赖等。

II. TDAG的特点与优势1. 高效的数据处理:TDAG以拓扑的方式存储数据,可以使用拓扑排序算法对节点进行有序处理。

这使得TDAG在数据流分析和计算中能够高效地处理数据,减少时间复杂度和计算成本。

2. 灵活的数据依赖:TDAG中的有向边表示节点之间的数据依赖关系。

这使得数据的传输和计算变得非常灵活,因为可以根据实际需求在不同的节点之间建立和断开依赖关系。

这种灵活性有助于优化计算过程和并行化处理。

3. 容错性强:由于TDAG不允许存在有向环,因此它可以有效地检测和避免循环依赖的问题。

这种特点使得TDAG在任务调度和并行计算中非常有用,能够提高系统的容错性和稳定性。

III. TDAG的应用领域1. 数据流分析:TDAG在数据流分析中有着广泛的应用。

例如,在编译器的优化过程中,TDAG可以用于表示程序的控制流图和数据依赖图,从而辅助编译器进行性能优化和代码生成。

2. 并行计算:由于TDAG的拓扑结构和数据依赖性,它可以被用于并行计算任务的调度和优化。

图论基础:图的基本概念和应用

图论基础:图的基本概念和应用

图论基础:图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域,研究的是图的性质和图上的问题。

图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。

本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。

一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的,顶点代表图中的元素,边则代表元素之间的关系。

通常顶点表示为V,边表示为E。

2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。

在无向图中,边是没有方向的,顶点之间的关系是双向的;而在有向图中,边是有方向的,顶点之间的关系是单向的。

3. 权重在一些应用中,边可能具有权重。

权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。

有权图是指带有边权重的图,而无权图则是指边没有权重的图。

4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列,路径的长度是指路径上边的数量。

环是一种特殊的路径,它的起点和终点相同。

5. 度数在无向图中,顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

在有向图中分为出度和入度,出度是指从该顶点出去的边的数量,入度是指指向该顶点的边的数量。

二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题,它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。

这个问题有许多实际应用,例如在导航系统中寻找最短驾驶路径,或者在电信网络中找到最短的通信路径。

2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图,并且具有最小的边权重之和。

这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。

3. 路由算法在计算机网络中,路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。

图论提供了许多解决路由问题的算法,如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。

4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。

通过构建社交网络图,可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。

这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。

5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。

通过将电路设计问题转化为图论问题,可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。

有向无环图及其应用

有向无环图及其应用

有向树, 图7.15 有向树,DAG图和有向图一例 图和有向图一例
(2)表达式子式共享 ) 例如,下述表达式 例如,下述表达式((a +b ) * (b * (c + d)) + (c + d) * e) * ((c + d) * e),用 , 二叉树表示如图7.16所示,用有向无环图表示如图7.17所示. 所示, 所示. 二叉树表示如图 所示 用有向无环图表示如图 所示 * + * + a b b c * + d 图7.16 用二叉树描述表达式 c + d * e c + d * e
count = 0; while (!StackEmpty (S)) { Pop (S, i); printf (i, G.vertices[i].data); //输出 号顶点并计数 输出i号顶点并计数 输出 ++ count; for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) { - k = p->adjvex; //对i号顶点的每个邻接点的入度减 号顶点的每个邻接点的入度减1 - 对 号顶点的每个邻接点的入度减 if (!(――indegree[k])) Push (S, k); //若入度减为 ,则入栈 若入度减为0, 若入度减为 } // for } // while if (count < G.vexnum) return ERROR; //该有向图有回路 该有向图有回路 } // TopologicalSort
v6 → v1 → v 4 → v3 → v 2 → v5
£7.5.3 关键路径
(1)定义 ) 关键路径( ):在 网中有些活动可以并行的进行, 关键路径(Critical Path):在AOE-网中有些活动可以并行的进行, ): 网中有些活动可以并行的进行 所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度( 所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(路径 长度是指路径上各活动持续时间之和,而不是路径上弧的数目). ).这个 长度是指路径上各活动持续时间之和,而不是路径上弧的数目).这个 路径长度最长的路径叫关键路径. 路径长度最长的路径叫关键路径. 关键活动: 的活动. 关键活动:l(i) = e(i)的活动.即活动的最早开始时间=最迟开始时间. 的活动 即活动的最早开始时间=最迟开始时间. 显然,关键路径上的所有活动都是关键活动. 显然,关键路径上的所有活动都是关键活动. (2)AOE-网 ) 网 AOE-网(Activity On Edge):即边表示活动的网.AOE-网是一个 网 ):即边表示活动的网 ):即边表示活动的网. 网是一个 带权的有向无环图.其中,顶点表示事件(Event),弧表示活动,权 带权的有向无环图.其中,顶点表示事件( ),弧表示活动, ),弧表示活动 表示活动持续的时间. 表示活动持续的时间.

数据结构第7章图3有向无环图及其应用ppt课件

数据结构第7章图3有向无环图及其应用ppt课件
while (!StackEmpty(S)) { Pop(S,i); printf(i,G.vertices[i].data); ++count; //输出i号顶点并计数
for(p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc){ k=p—>adivex;//对i号顶点的每个邻接点入度减1 if(!(--indegree[k])) Push(S,k); //若入度减为0,则入栈
§7.5 有向无环图及其应用
❖有向无环图
在工程实践中,一个工程项目往往由若干个子项 目组成,这些子项目间往往有多种关系:
①先后关系,即必须在一子项目完成后,才能开 始实施另一个子项目;
②子项目之间无次序要求,即两个子项目可以同 时进行,互不影响。
§7.5 有向无环图及其应用
❖两种常用的活动网络(Activity Network)
3
4 4^
4
2 1^ 3^
1^
s
0 V1 3 V4
5 V6
4
V2 1 V3 2 V5 4
indegree[0..5] 0 0 0 0 0 0 012345
最后输出的拓扑序列为:v6v1v3v2v4v5
§7.5 有向无环图及其应用
G.vertices[0] v1
3
2
G.vertices[1] v打2 印^G.vertices[4].data
1. 输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 2. 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; 3. 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边; 4. 重复以上 2、3 步, 直到:
全部顶点均已输出,拓扑有序序列形成,拓扑排序完成 或者,图中还有未输出的顶点,但已跳出处理循环。这说 明图中还剩下一些顶点,它们都有直接前驱,再也找不到 没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。

拓扑排序应用场景

拓扑排序应用场景

拓扑排序应用场景拓扑排序是一种常用的图算法,用于对有向无环图(DAG)进行排序。

在实际应用中,拓扑排序有着广泛的应用场景,本文将介绍其中几个常见的应用场景。

1. 任务调度在任务调度中,往往存在一些任务之间的依赖关系。

例如,任务A 需要先执行完才能执行任务B,任务B又依赖于任务C。

这样的任务调度可以被建模成一个有向无环图,每个任务对应一个节点,任务之间的依赖关系对应有向边。

通过拓扑排序,可以确定任务的执行顺序,保证依赖关系得到满足。

2. 课程安排在学校的课程安排中,一些课程可能存在先修课程的要求。

例如,学生必须先修完高等数学才能学习线性代数。

这种课程安排可以被看作是一个有向无环图,每门课程对应一个节点,先修关系对应有向边。

通过拓扑排序,可以确定课程的学习顺序,确保学生按照正确的顺序完成课程。

3. 代码编译在软件开发中,代码之间也存在依赖关系。

例如,某个源文件A可能依赖于另一个源文件B中定义的函数。

在编译过程中,需要先编译B文件,再编译A文件。

这种依赖关系可以被建模成一个有向无环图,源文件对应节点,依赖关系对应有向边。

通过拓扑排序,可以确定源文件的编译顺序,保证依赖关系得到满足。

4. 任务优先级排序在一些任务管理系统中,任务往往具有不同的优先级。

通过拓扑排序,可以对任务进行优先级排序,确保高优先级的任务先被执行。

5. 课程表排列在学校的课程表排列中,需要考虑到教室资源的合理利用和老师的时间安排。

通过拓扑排序,可以对课程进行排列,确保每个教室的使用时间不冲突,并且老师的上课时间也不冲突。

6. 事件触发在事件驱动的系统中,往往存在多个事件之间的依赖关系。

通过拓扑排序,可以确定事件的触发顺序,保证事件之间的依赖关系得到满足。

7. 任务分解在项目管理中,一个大型任务往往需要分解成多个子任务,并且这些子任务之间存在依赖关系。

通过拓扑排序,可以确定子任务的执行顺序,确保依赖关系得到满足。

8. 电路布线在电路设计中,往往需要对电路进行布线,确保信号能够正确传输。

7.5 有向无环图及应用

7.5  有向无环图及应用

四、存储结构(邻接表 2 1 2 3 0
id
v1 v2 v3 v4 v5 v6
vex data first arc
4 Χ 5 5 Χ
3
2
Χ
2 0
v1 v2
Χ
5
adjvex next arc
4
Χ
v4
v3
v6
v5
typedef struct arcnode{ int adjvex; arcnode* nextarc; } * pointer; // 表结点 struct node{ char vexdata; int id ; //顶点的入度 顶点的入度 pointer firstarc; } dig[100]; // 一组头结点
有向无环图
三、拓扑排序的过程
v1 v2 v1 v2 (1) 输出顶点 输出顶点v6 (2) 输出顶点 输出顶点v1 v4 v3 (3) 输出顶点 输出顶点v3 v4 v3 (4) 输出顶点 输出顶点v4 (5) 输出顶点 输出顶点v2 v6 v5 v6 v5 (6) 输出顶点 输出顶点v5
有向无环图
if (count<n) error(“该图中存在回路”) 该图中存在回路” 该图中存在回路
} 分析此拓扑排序算法可知,如果AOV网络有 分析此拓扑排序算法可知,如果AOV网络有n 个顶 网络有n 条边, 在拓扑排序的过程中, 点 , e 条边 , 在拓扑排序的过程中 , 搜索入度为零 的顶点,建立链式栈所需要的时间是O(n 的顶点 , 建立链式栈所需要的时间是 O(n) 。 在正常 的情况下, 个顶点,每个顶点进一次栈, 的情况下,有向图有 n 个顶点,每个顶点进一次栈, 出一次栈, 出一次栈,共输出 n 次。顶点入度减一的运算共执 所以总的时间复杂度为O(n 行了 e 次。所以总的时间复杂度为O(n+e)。
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5
C7
C12
C8 C9 C10 C6
C11
图7.19 表示课程之间优先关系的有向图 图7.19中,顶点表示课程,有向边(弧)表示先决条件。若课程i是 课程j的先决条件,则图中有弧<i, j>。 如下,为图7.19中的有向图的拓扑有序序列的其中两个序列: 1.(C1, C2, C3, C4, C5, C7, C9, C10, C11, C6, C12, C8) 2.(C9, C10, C11, C6, C1, C12, C4, C2, C3, C5, C7, C8)
图7.15 有向树、DAG图和有向图一例
(2)表达式子式共享 例如,下述表达式((a +b ) * (b * (c + d)) + (c + d) * e) * ((c + d) * e),用 二叉树表示如图7.16所示,用有向无环图表示如图7.17所示。 * + * + a b b c * + d 图7.16 用二叉树描述表达式 c + d * e c + d * e
* + * + a 图7.17 b * c + d * e
描述表达式的有向无环图
表达式((a +b ) * (b * (c + d)) + (c + d) * e) * ((c + d) * e)
£7.5.2 拓扑排序
(1)定义 拓扑排序(Topological Sort):简单地说,由某个集合上的一个 偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。 偏序关系:若集合X上的关系R是自反的、反对称的和传递的,则 称R是集合X上的偏序关系。
7.1图的定义和术语
7.2 图的存储结构
7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
£7.5 有向无环图及其应用
£7.5.1 有向无环图
有向无环图(directed acycline graph):无环的有向图,简称DAG 图。DAG图是一类较有向树更一般的特殊有向图。 例如,图7.15示例了有向树、DAG图和有向图的例子。
count = 0; while (!StackEmpty (S)) { Pop (S, i); printf (i, G.vertices[i].data); //输出i号顶点并计数 ++ count; for (p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) { k = p->adjvex; //对i号顶点的每个邻接点的入度减1 if (!(――indegree[k])) Push (S, k); //若入度减为0,则入栈 } // for } // while if (count < G.vexnum) return ERROR; //该有向图有回路 } // TopologicalSort
例如,一个软件专业的学生必须学习一系列基本课程(如图7.18所示), 其中有些课程是基础课,它独力于其他课程,如《高等数学》;而另一些 课程必须在学完作为它的基础的先修课程才能开始。如,在《程序设计基 础》和《离散数学》学完之前就不能开始学习《数据结构》。这些先决条 件定义了课程之间的领先(优先)关系。这个关系可以用有向图7.19清楚 的表示。 课程编号 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 图7.18 课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言 语言的设计和分析 计算机原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析 软件专业的学生必须学习的课程 先决条件 无 C1 C1,C2 C1 C3,C4 C11 C3,C5 C3,C6 无 C9 C9 C9,C10,C1
(3)拓扑排序 ①算法思想: 1.在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之。 2.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。 3.重复上述两步,直至全部顶点均已输出,或者当前图中步存在 无前驱的顶点为止。 ②算法实现: 针对上述操作,采用邻接表作有向图的存储结构,且在头结点中 增加一个存放顶点入度的数组(indegree)。入度为0的顶点即为没有 前驱的顶点,删除顶点及以它为弧的操作,则可换以弧头顶点的入度 减1来实现。 算法7.10如下: Status TopologicalSort (ALGraph G) { //有向图G采用邻接表存储结构。 //若G无回路,则输出G的顶点的一个拓扑序列,并返回OK,否则ERROR。 FindInDegree (G, indegree); //对各顶点求入度indegree[0..vernum-1] InitStack (S); for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) //建0入度顶点栈S if (!indegree[i]) Push (S, i); //入度为0者进栈
时间复杂度:O(n + e)。
③例子 以图7.20(a)中的有向图为例。 V1 V4 V6 V2 V3 V5 V1 V4 V2 V3 V5 V4 V2 V3 V5 V2 V3 V5 (d) V5 (e) V2
V5
(f)
(a)
(b)
(c)
图7.20 AOV-网及其拓扑有序序列产生的过程 (a) AOV-网; (b) 输出v6之后; (c) 输出v1之后; (d) 输出v4之后; (e) 输出v3之后; (f) 输出v2之后; 说明:图中v1和v6没有前驱,则可任选一个。假设先输出v6,在输出v6及弧 < v6, v4>,< v6, v5>之后,只有顶点v1没有前驱,则输出v1且删去v1及弧< v1, v2>, < v1, v3>和< v1, v4>,之后v3和v4都没有前驱。依次类推,可从中任选一个继续进 行。最后得到该有向图的拓扑有序序列为:
全序关系:R是集合X上的偏序,若对每个x, y∈X必有xRy或yRx, 则称R是集合X上的全序关系。
(2)AOV-网 AOV-网:用顶点表示活动,用弧表示活动间的优先关系的有向图 称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex Network),简称AOV-网。 在网中,若从顶点i到顶点j有一条有向路径,则i是j的前驱; j是i的后继。若<i, j>是网中的一条弧,则i是j的直接前驱; j是i的直接后继。
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