浙江科技学院线性代数 克莱姆法则与解齐次线性方程组

x1 1 x2 2 x 3 3 1 2 7 63
D 5 2 2 5 D2 5 22 2 4
D1 22 2
1 3 2
5 4 1 3
7 126 D3 5 2 22 189 2 5 4 4
6
例2
判断以下方程组是否仅有零解?
2 x 2 y z 0 x 2 y 4z 0 5 x 8 y 2 z 0 2 2 1
3
b1 a12 a1n b2 a22 a2 n D1 ห้องสมุดไป่ตู้ bn an 2 ann a11
a11 b1 a1n a21 b2 a2 n D2 an1 bn ann a12 b1 a22 b2 an 2 bn

a21 Dn an1
4
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n （2） an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 必有零解 x1 x2 xn 0
k 1 或 k 4 时，有非零解 k 1 且 k 4 时，只有零解
8
小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
9
作业
P28 8（1），10
1.6 克莱姆法则与解齐次线性方程组
1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
定理1
克莱姆法则
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
系数行列式
如果 D 0, 则（1）有唯一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn , D D D 其中的 D j ( j 1, 2,, n) 是将D中第j列元素用常数项代替后得到的n阶行列式。
若有解 x1 , x2 ,, xn 不全为零， 称为它的一个非零解. 推论1 如果（2）的 D 0, 则（2）只有唯一零解. 如果（2）有非零解， 则 D 0. 事实上，若 D 0, 则（2）有非零解 所以， （2）有非零解 D 0
（在第3章中给予证明）
5
例1
1
x y 2 z 3 5 x 2 y 7 z 22 2 x 5 y 4 z 4 1 2 7 63 4 3 4 1
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零,
则称方程组为非齐次线性方程组，
若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
则称方程组为齐次线性方程组.
2
a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 a x a x a x b D 21 1 22 2 2n n 2 （1） an1 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
解： D 1 2 4 18 0 5 8 2 所以方程组仅有零解.
7
kx y z 0 例3 k＝？时，有非零解？只有零解？ x ky z 0 2 x y z 0 k 1 1 0 1 k 2 1 k 解：D 1 k 1 1 k 1 (1 k )(k 4) 2 1 1 0 1 2k 3
10