第四章Lebesgue积分的知识要点与复习自测

第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测

一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点：

◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示；

◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异；

◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。

◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。

◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法；

注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。

◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。

◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论：

① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0E

f x x =??()0..f x a e =于E （称

为非负可测函数积分值为零的特征）；

② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈?()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）；

③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足：

n

y ，lim n n y →∞

=+∞，00y =，1n n y y δ+-<，

则()()f x L E ∈?10

[()]n n n n y mE x y f x y ∞

+=≤<<+∞∑；

④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ??，A 为可测集，总有

lim

()d 0mA A

f x x →=?，

即0ε?>，0δ?>，使得A E ??，A 为可测集，当mA δ<时，总有

0()d A

f x x ε≤

⑤ ④的另一种表示：若0()()f x L E ≤∈，可测集n e E ?，且lim 0n n me →∞

=，则

lim ()d 0n

n e f x x →∞

=?。

◇ 将非负可测函数()f x 表示成单调递增非负可测函数列的极限的几种方法： ① 对任意自然数m ，先将

21

01

[0,][0,)[,][

,)[,]22

m m m m k k k m m m -=++∞=?+∞=??+∞， 再利用逆象集的保持集合的运算性得

21

2,001

[0()][()][()]22

m m

m m m k m m k k k k E E x f x E x f x E x f x m E -?==+=≤≤+∞=?≤

作非负简单函数列

1,

[()],0,1,,21

2

22

(),[()]m m m m m k k k x E x

f x k m x m x E x f x m ??+∈≤<=-?=??∈≥?

,

则()m x ?，且l i m ()()m m x f x ?→∞

=（将非负可测函数表示成单调递增非负简单函数列的极

限的方法）。

② 对任意自然数n ，取(),()()min{,()},()n f x f x n f x n f x n f x n

≤?==?

>?——称为n 截断函

数，则

()

n f x ，且lim ()()n n f x f x →∞

=。

（将非负可测函数表示成单调递增非负可测函数列的极限的截断函数法）

③ 若0()..f x a e ≤<+∞于E ，取(),

()[()]0,

()n f x f x n f x f x n

≤?=?

>?，则

()

n f x ，且lim ()()n n f x f x →∞

=..a e 于E 。

④ 若()f x 在可测集E 上非负可测，记(0,)n E E B n =?（显然n

E ，且n E 收敛于

E ）

，()()()n n E f x f x x χ=?，其中()n E x χ为n E 的特征函数，则 ()n f x ，且lim ()()n n f x f x →∞

=。

二、一般可测函数L 积分的知识要点：

◇ 掌握一般可测函数L 积分的定义，理解为什么并非可测集上的任何可测函数都有L 积分，并知道一般可测函数L 可积的含义，以及与L 积分存在的区别；

◇ 熟练掌握L 可积函数的常用性质【绝对可积性、有限性、唯一性、线性性、不等式性、集合的完全可加性、积分的绝对连续性】。

◇ 熟习积分绝对连续性的三种表现形式：

① ()()f x L E ∈?0ε?>，0δ?>，使得A E ??，A 为可测集，当mA δ<时，总

有

()d A

f x x ε

② ()()f x L E ∈?A E ??，A 为可测集，总有0

lim

()d 0mA A

f x x →=?；

③ ()()f x L E ∈?n e E ??，n e 为可测集，只要lim 0n n me →∞

=，总有，lim ()d 0n

n e f x x →∞

=?。

◇ 熟练掌握L 积分的控制收敛定理的两种形式：

几乎处处收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理：

依测度收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理：

以及在mE <+∞下的有界控制收敛定理。并能利用控制收敛定理解决一些简单的问题（如：求某些由积分定义的数列的极限，证明一般可测函数L —积分的逐项积分性（P 112第37题）等。

◇ 通过几乎处处收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理的证明仔细体会Fatou 引理在讨论可测函数列L 积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用Fatou 引理讨论积分与极限可交换性问题的方法。

◇ 通过依测度收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理的证明仔细体会反证法和F.Riesz 定理的联合试使用在讨论可测函数列L 积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用反证法和F.Riesz 定理讨论积分与极限可交换性问题的方法。

三、R —积分与L —积分的关系的知识要点：

◇ 掌握R —正常积分与L —积分的关系；在一定条件下的R —反常积分与L —积分的关系；并能利用这些关系来求某些函数的L —积分的值（注意：在求值时，往往需要先利用积分的惟一性将所求积分转化为某R —可积函数的L —积分，然后再利用关系），判断某些函数的L —可积性。

◇ 理解函数R —可积与函数连续的关系，并能利用这种关系判断某些函数R —不可积。

四、Fubini 定理的知识要点：

◇ 能正确理解并掌握Fubini 定理的条件，正确叙述Fubini 定理（包括非负可测函数的情形与一般可测函数的情形），并了解利用Fubini 定理解决概率论中的一些简单的问题的方法（如：卷积不等式，利用分布函数将重积分转化为单积分），并会用Fubini 定理证明一些累次积分的可交换性。

五、几种常用的转换方法：

◇ 将可测子集上的积分转化为n R 上的积分的方法：

设()f x 是n R 上的可测函数，n E R ?是可测集，()d n

R f x x ?存在，记

(),()()()0,E f x x E

F x f x x x E χ∈?=?=?

??，则()()d

n

E R f xd x Fx x =??（将子集上的积分转化为n R 上

的积分的方法）；

◇ 将可测函数表示成一列可测函数列的极限的几种有效方法： ③ 设()f x 为可测集E 上的可测函数，

① 记(0,)n E E B n =?，()()()n n E f x f x x χ=?，其中()n E x χ为n E 的特征函数，则

lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈

一般地，任取n

y +∞，记(0,)n n E E B y =?，()()()n n E f x f x x χ=?，

其中()n E x χ为

n E 的特征函数，则lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈

② 设()f x 是可测集E 上的可测函数，{n E }是E 的一列收敛于E 的可测子集，记

()()()n n E f x f x x χ=?（x E ∈），其中()n E x χ为n E 的特征函数，则

lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈。

③ 设()(1,2,)n f x n =，()f x 都是可测集E 上的可测函数，1

n n E E ∞==，n E 单调递

增 ，n E 为E 的一列可测子集，且lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈，记

()()()n n E n f x f x x χ=?（x E ∈）

， 其中()n E x χ为n E 的特征函数，则仍有lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈。

④ 设()f x 是可测集E 上的可测函数，{n E }是E 的一列收敛于E 的可测子集，且lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈，记()()()n n E n f x f x x χ=?（x E ∈）

，其中()n E x χ为n E 的特征函数，则仍有lim ()(),n n f x f x x E →∞

=∈。

⑤ 由lim ()()d 0n E

n f x f x x →∞

-=?

可以推出()()

0n f x f x -?于E ，进而推出

()()n f x f x ?于

E 。 复习自测题：

1、据理说明下面所列的结论是否成立：

（1）设n

E R ?为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数或非负可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；

（2）设n E R ?为可测集，()f x 为E 上的可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数； （3）设n E R ?为零测集，()f x 为E 上的可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数； （3）设n E R ?为可测集，且mE <+∞，()f x 为E 上的可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；

（4）设n E R ?为可测集，且mE <+∞，若()f x 为E 上的有界可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；

（5）设n

E R ?为可测集，()k f x ，

1,2,k =为E 上的一列非负可测函数，则1

()()

k

k f x f

x ∞

==

∑为E 上的Lebesgue 可积函数；

（6）设n E R ?为可测集，()k f x ，1,2,

k =为E 上的一列非负可测函数，且

lim ()()k k f x f x →∞

=，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函数；

（7）设n E R ?为可测集，()k f x （1,2,

k =）为E 上的一列非负可测函数，则lim ()k k f x →∞

和

lim ()k k f x →∞

为E 上的Lebesgue 可积函数；

（8）设n E R ?为可测集，()f x 为E 上的非负可测函数，则()f x 在E 上几乎处处有限；

2、利用积分的绝对连续性解决下面的问题：

① 设n

E R ?为可测集，()()f x L E ∈，记[()]k E E x f x k =≥，1,2,k =，则

（1）lim 0k k mE →∞

=，lim 0k k kmE →∞

=，lim

()d 0k

E k f x x →∞

=?

；

（2）0()f x ≤<+∞..a e 于E 。

② 设n E R ?为可测集，()()f x L E ∈，则

（1） 对任意0ε>，存在n

R 上的连续函数()x ε?，使得，

()()d E

x f x x ε?ε-

；

提示：注意恰当利用延拓形式的鲁金定理。

（2）存在n

R 上的一列连续函数()k x ?，使得，

1

()()d k E

x f x x k

?-<

?

，进而lim ()()d 0k E k x f x x ?→∞-=?。

③ 设n

E R ?为可测集，0()()f x L E ≤∈，记

0()d E

f x x λ≤=<+∞?

，(0)0F =，(0,)

()()d E B r F r f x x ?=?

，

其中{}

(0,)(,0)B r x d x r =<，则

（1）0

lim ()0r F r +

→=，()F r 在(0,)+∞上单调递增且连续； （2）lim ()()d E

r F r f x x →+∞=

?

；

（3）存在不相交的可测子集12,E E E ?，使得

12E E E =?，1

2

1

()d ()d 2

E E f x x f x x λ==?

?。

提示：（1）利用积分的绝对连续性以及集合的单调性；

（2）注意到极限的归结原则以及

()()1

{0}(0,)lim

(0,)k k E E E B k E B k ∞→∞

==??

?=?，(0,)()()()k E B k f x f x f x χ?=，

用Live 定理可得，lim ()()d E

n F n f x x →+∞=

?

；

（3）对()F r 用连续函数的介值性得出，存在可测子集1E E ?，使

1

1

()d 2

E f x x λ=?

，

再取21\E E E =注意到积分的集合可加性即可得出

2

1

()d 2

E f x x λ=?

。

3、利用Live 定理解决下面问题：

设R n E ?是可测集，()f x 为E 上的非负可测函数，且()f x <+∞于E ，记

[()]k E E x f x k =<

，证明： （1）n

E ，且1

lim k k k k E E E ∞→∞

==

=；

（2）()()()k k E f x f x x χ=，且lim ()()k k f x f x →∞

=，其中()k E x χ为k E 的示性函数；

（3）lim

()d ()d k

E E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

4、利用Fatou 引理解决下面的积分与极限的可交换性问题：

① 设n

E R ?为可测集，(),1,2,

k f x k =为E 上的可测函数，若

lim ()()k k f x f x →∞

=..a e 于E ，且存在0()()g x L E ≤∈，使得，()()k f x g x ≤..a e 于E ，则

(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞-=?

，进而 lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

提示：取()2()()()k k F x g x f x f x =--用Fatou 引理。

② 设n

E R ?为可测集，(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，若

lim ()()k k f x f x →∞

=..a e 于E ，且lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

，

则lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞-=?

，进而lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

提示：取()()()()()k k k F x f x f x f x f x =+--用Fatou 引理。

③ 设n E R ?为可测集，(),1,2,

k f x k =为E 上的可测函数，若

lim ()()k k f x f x →∞

=..a e 于E ，且存在0(),()()k g x g x L E ≤∈，使得，

()()k k f x g x ≤，lim ()()k k g x g x →∞

=..a e 于E ，lim ()d ()d k E

E

k g x x g x x →∞

=??，

则(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞-=?

，进而

lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

提示：取()()()()()k k k F x g x g x f x f x =+--用Fatou 引理。

5、利用几乎处处收敛意义下的Lebesgue 控制收敛定理和F.Riesz 定理以及反证法解决下面的积分与极限的可交换性问题：

① 设n

E R ?为可测集，()k f x （1,2,

k =），()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若

()()k f x f x ?于E ，且存在0()()g x L E ≤∈，使得，()()k f x g x ≤..a e 于E ，则(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞

-=?

，进而 lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

② 设n

E R ?为可测集，(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，若

()()k f x f x ?于E ，且lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

，

则lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞-=?

，进而lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

③ 设n

E R ?为可测集，()k f x （1,2,

k =），()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若

()()k f x f x ?于E ，且存在0(),()()k g x g x L E ≤∈，使得，

()()k k f x g x ≤，lim ()()k k g x g x →∞

=..a e 于E ，lim ()d ()d k E

E

k g x x g x x →∞

=??，

则(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞-=?

，进而

lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

④ 设n E R ?为可测集，()k f x （1,2,

k =），()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若

()()k f x f x ?于E ，且存在0(),()()k g x g x L E ≤∈，使得，

()()k k f x g x ≤于E ，lim ()()d 0k E

k g x g x x →∞

-=?

，

则

（1）()()k g x g x ?于E ，且lim

()d ()d k E

E

k g x x g x x →∞

=?

?；

（2）(),()(),1,2,

k f x f x L E k ∈=，lim

()()d 0k E

k f x f x x →∞-=?

，进而

lim ()d ()d k E

E

k f x x f x x →∞

=?

?

。

提示：（1）注意到

()d ()d ()()d k k E

E

E

g x x g x x g x g x x -≤-?

??

和lim ()()d 0k E

k g x g x x →∞

-=?

，

立即可得，lim

()d ()d k E

E

k g x x g x x →∞

=?

?。

对任意0ε>，注意到

[()()]

[()()]()()d 0()()d k k k k E x g x g x E

mE x g x g x g x g x x g x g x x εεε-≥-≥≤-=≤-?

?

和lim

()()d 0k E

k g x g x x →∞

-=?

可得，

lim [()()]0k k mE x g x g x εε→∞

-≥=，即lim [()()]0k k mE x g x g x ε→∞

-≥=，

所以()()k g x g x ?于E 。

（2）用反证法，并利用（1），F.Riesz 和③即可。

6、利用Lebesgue 控制收敛定理或Live 定理解决下面的极限问题： 证明：

（1）22

(0,1]lim

sin d 01k kx

kx x k x →∞=+?；

3

2

22(0,1]lim sin d 01k k x kx x k x →∞=+?；

1

2

22

(0,1]lim sin d 01k kx

kx x k x →∞=+?

。

（2）2[0,)lim (1)d 1k x k x e x k -+∞→∞+=?；2[0,]lim (1)d 1k x k k x

e x k

-→∞+=?。

7、利用L 积分与R 积分的关系计算下面的L 积分：

（1）设Q 为[0,1]上的有理数全体，2

2sin ,[0,1]\()ln(1),x

x e xe x Q f x x e x Q

?∈?=?+∈??，求

[0,1]

()d f x x ?

；

（2）设Q 为[0,)+∞上的有理数全体，2

2sin ,

[0,)\()ln(1),x

x e xe x Q f x x e x Q

-?∈+∞?=?+∈??，

求

[0,)

()d f x x +∞?

；

（3）设P 为[0,1]上的三分Cantor 集，

2

32sin ,

[0,1]\()sin 1ln(1),x

x e x e x P f x x e x P

?∈?=???++∈????， 求

[0,1]

()d f x x ?

；

（4）设[0,)E ∈+∞，0mE =，2sin ,

[0,)\()ln(1sin ),x

x

e xe x E

f x x e x E

-?∈+∞?=?+∈??，

求

[0,)

()d f x x +∞?

。

8、用Fubini 定理解决下面的问题：

设p

E R ?为可测集，q

F R ?为可测集，若(,)f x y 为p

q

E F R R ???上的非负可测函数（或Lebesgue 可积函数），则

(,)d d d (,)d E F

E

F

f x y x y x f x y y ?=?

??

。

9、（第3、4章的综合题）设n

E R ?，mE <+∞，(,)f x y 为1

R E ?上的实函数， （1）若对几乎所有的x E ∈，(,)f x y 都是y 在1

R 上的连续函数；对任取的1

R y ∈，(,)f x y 都是x 在E 上的可测函数，证明：对于任何E 上的实值可测函数()g x ，()

(,())F x f x g x 也是E

上的可测函数。

（2）设(,)f x y 还满足：存在常数0C ≤<+∞，使得，对任意1

,x E y R ∈∈，

()(,)1f x y C y ≤+，

若(),()n g x g x 是E 上的可积函数，lim ()()n n g x g x →∞

=..a e 于E ，且

lim ()d ()d n E

E

n g x x g x x →∞

=?

?

，

证明：

()()lim ,(),()d 0n E

n f x g x f x g x x →∞

-=?

。

第9题的参考解答：

证明：（1）由条件可得存在一个零测集0E E ?，使得任取0x E E ∈-，(,)f x y 是y 在1

R 上

的连续函数。由可测函数与简单函数的关系，存在E 上的一列简单函数{()k x ?}，使得

()lim ()k k g x x ?→∞

=..a e 于E ，故存在零测集F E ?，使得任取x E F ∈-，有()lim ()k k g x x ?→∞

=。

由条件可得，对每个k ，(,())k f x x ?为E 上的可测函数。（因为1

()()i

m

k i E i x c x ?χ

==

∑，其中

1

m i i E E ==

，i E 可测且两两不交，所以由（2）

，在每个i E 上，(,())(,)k i f x x f x c ?=为可测函数） 任取()0x E E F ∈-， ()

(,())lim (,())k k F x f x g x f x x ?→∞

=。

所以，由可测函数的极限性，()(,())F x f x g x 是E 上的可测函数。

（2）反证：设存在00ε>和{}i n ，使得

()

()0,(),()d i n E

f x

g x f x g x x ε-≥?

（*）

由条件易知()

(),(),()0i n f x g x f x g x -→..a e 于E 。

又由条件知：()

()()

,(),()2()()i i n n f x g x f x g x C g x g x -≤++，

令()

()

()()2()(),(),()0i i i n n G x C g x g x f x g x f x g x =++--≥，则由Fatou 引理

()()

()

()()

()

()()()

()22()d lim ()d lim ()d lim 2()(),(),()d lim 2()()d lim ,(),()d 22()d lim ,(),()d .

i i i i i i i E

E E

i i n n E i n n E

E

i i n E

E

i C g x x G x x G x x

C g x g x f x g x f x g x x

C g x g x x f x g x f x g x x

C g x x f x g x f x g x x →∞

→∞

→∞→∞

→∞

→∞

+=≤??=++--?

?=++--=+--?

?????

??

由于mE <+∞，且()g x 是E 上的可积函数，故()

()lim

,(),()d 0i n E

i f x g x f x g x x →∞-≤?

，从而

与（*）矛盾。故结论成立。证毕。