第三讲剩余类剩余系.jsp

ba0,ba1,…,bam-1也是模m的一完全剩余系. 的一完全剩余系. ,
的一完全剩余系, 是任二整数, (4)a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系,b和c是任二整数, , 且(b,m)=1,则ba0+c,ba1+c,…,bam-1+c也是模m的一完全 , 剩余系. 剩余系.
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的一简化剩余系, (2)若 , (2)若r1,r2,…,和r′1,r′2,…,分别是模m1和m2的一简化剩余系, , )}是模 则S={m2ri+m1r′j|0≤i≤(m1)∧0≤j≤(m2)}是模m1m2的一简化剩余 目的: 系.(目的:通过已知的简化剩余系构造新的简化剩余系)
a2,…,a(m)是模m的一简化剩余系它们两两对模m不同余. 的一简化剩余系 不同余. ,
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(3)若 的一简化剩余系, (3)若(a,m)=1,r1,r2,…,是模m的一简化剩余系,则ar1, ,
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定理1.8 设m>0,[0],[1],…,[m-1]是模m的剩余类, [0],[1], , 1]是模 的剩余类, 则 (1)每个整数包含在某一剩余类[ (1)每个整数包含在某一剩余类[r]中,0≤r≤m-1. 每个整数包含在某一剩余类 (2)两个整数 属于同一剩余类, (2)两个整数a,b属于同一剩余类,当且仅当a≡b(mod m). (1)因为对任一整数 证明 (1)因为对任一整数a,有a=mq+r,0≤r≤m-1,于 是a≡r(mod m),所以a∈[r]. (2)若 属于同一剩余类[ (2)若a,b属于同一剩余类[r],则a=q1m+r,b=q2m+r,
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例1 求证6,9,12,15,18,21,24,27是模8的一完全剩余 求证6 12,15,18,21,24,27是模 是模8 而其中9 15,21,27是模 的一个简化剩余系. 是模8 系,而其中9,15,21,27是模8的一个简化剩余系. 证明 因为6≡6(mod 8), 因为6≡6(mod 8), 8), 9≡1(mod 8), 8), 12≡4(mod 8), 8), 8), 8), 8), 15≡7(mod 8),18≡2(mod 8),21≡5(mod 8),24≡0(mod 8), 8), 27≡3(mod 8), 所以6 所以6,9,12,15,18,21,24,27是模8的一完全剩余系. 12,15,18,21,24,27是模8的一完全剩余系. 是模 因为9 15,21,27分别取自与8互素的所有剩余类中,所以9 因为9,15,21,27分别取自与8互素的所有剩余类中,所以9, 分别取自与 15,21,27是模 的一个简化剩余系. 是模8 15,21,27是模8的一个简化剩余系.
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定义1.4 若模m剩余类中的数与m互素,称它为与模m互素的 互素, 剩余类, 互素的所有剩余类中各取一数所组成的集合, 剩余类,在与模m互素的所有剩余类中各取一数所组成的集合,称 的一个简化剩余系 简化剩余系. 为模m的一个简化剩余系. 判断是否为模m的一完全剩余系的条件: 判断是否为模m的一完全剩余系的条件: 个数为m (1)个数为m (2)关于m两两不同余 关于m 判断是否为模m的一简化剩余系的条件: 判断是否为模m的一简化剩余系的条件: (1)个数为(m) (欧拉函数值) 欧拉函数值) (2)关于m两两不同余 关于m 每个数与m (3)每个数与m互素
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定理1.9 (1)m个整数构成模m的一完全剩余系,当且仅当两两对 的一完全剩余系, 不同余. 模m不同余. 的一完全剩余系, 是一整数, (2)a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系,b是一整数,则a0 , 的一完全剩余系. +b,a1+b,…,am-1+b也是模m的一完全剩余系. , 是模m的一完全剩余系, (3)a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系,(b,m)=1,则 ,
p+1 ,… ,2p , +1,… 2p +1, ,(pk-1 -1)p , (pk-1 -1)p+1 ,… , pk-1 }中, 不互素的正整数有1 与pk不互素的正整数有1p,2p,…,(pk-1-1).p,共pk-1-1 ,(
个, 1)= 1). 所以(pk)=(pk-1)-(pk-1-1)=pk-1(p-1).
因为小于n 证明 因为小于n的正整数个数为pq-1个, 其中与n不互素的正整数有 其中与n不互素的正整数有1p,2p,…,(q-1)p和1q, , , 2q,…,(p-1)q, , , , (n)= 所以(n)= pq-1-((p-1)+(q-1)) =(p-1)(q-1). 定理1.11 (1)模m简化剩余系含(m)个数. (1)模 个数. (2)若 互素的整数, (2)若a1,a2,…,a(m)是(m)个与m互素的整数,则a1, ,
第二章 数学基础
一,素数,互素数和模运算 素数, 二,同余(概念,性质,剩余类, 同余(概念,性质,剩余类, 欧拉定理,一次同余式, 欧拉定理,一次同余式,一次同余 式组等) 式组等) 三,数论在密码中的应用 四,小结
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m1m2的一完全剩余系.(目的:通过已知的不同完全剩余系构造新 的一完全剩余系. 目的:
的完全剩余系) 的完全剩余系) 证明 显然S有m1m2个整数. 个整数. 假设m2ai+m1bs≡m2aj+m1bt(mod m1mபைடு நூலகம்),则m1m2|m2(ai -aj)+m1(bs-bt),m1|m2(ai-aj)+m1(bs-bt),m1|m2(ai-
ar2,…,也是模m的一简化剩余系. 的一简化剩余系. ,
证明 (1),(2)由定义易得 由定义易得. (1),(2)由定义易得. (3)因为 的一简化剩余系,所以( (3)因为r1,r2,…,是模m的一简化剩余系,所以(ri,m)=1. , 又因为( 所以( 素分解) 又因为(a,m)=1,所以(ari,m)=1(素分解). 假设ari ≡ arj(modm)
aj).同理可证,m2|m1(bs-bt). 同理可证,
又因为( 又因为(m1,m2)=1,所以m1|(ai-aj),m2|(bs-bt),即
ai≡aj(mod m1),bs≡bt(mod m2) .
从而假设不成立,S中两两对模m1m2不同余.故S是模m1m2 从而假设不成立, 不同余. 的一完全剩余系. 的一完全剩余系.
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定义1.3 在模m剩余类[0],[1],…,[m-1]中各 剩余类[0] [1], , [0], 1]中各 取一数a0,a1,…,am-1, , 的一完全剩余 该m个数a0,a1,…,am-1称为模m的一完全剩余 , 系, 0,1,…,m-1称为模m的非负最小完全剩余系. 非负最小完全剩余系. ,
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2.剩余类和剩余系 .
定义1.2由于模m同余关系是一个等价关系,若将Z中同余 由于模 同余关系是一个等价关系, 个类, 的数归为一类,不同余的数归为不同的类, 的数归为一类,不同余的数归为不同的类,则将Z分为m个类, 剩余类或同余类. 称为模m的剩余类或同余类. 若用[ ](或 的剩余类, 若用[r](或r mod m)表示r所属的模m的剩余类,则 [r]={i|i≡r(mod m)∧i∈Z}.
所以m|((ri -rj )a (modm), 因为(a,m)=1,所以ri ≡ rj(modm),与简化剩余系矛盾
故ar1,ar2,…,对模m两两不同余, ,对模m两两不同余, , 的一简化剩余系. 所以ar1,ar2,…,a也是模m的一简化剩余系.
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定义1.5 设(m)为集合{1,2,...,m-1}中与m互素的正 为集合{ ,...,m 整数个数,则称其为欧拉( 函数. 整数个数,则称其为欧拉(Euler)函数.(引入目的是问了讨论简化 剩余系) 剩余系) 由定义易知, (2)= (3)= (5)= (8)= 由定义易知,(2)=1,(3)=2,(5)=4,(8)=4. 为素数时, 当P为素数时,(p)=p-1. 定理1.10 (1)若p为素数,k为正整数,则(pk)=pk-1(p-1). 若 为素数, 为正整数, 1). 证明 因为在{1,2, ,1p, 因为在{1,2,…
证明: 证明:令(m2ri+m1r′j,m1m2)=d. ≠1, 若d≠1,取d的素因子p,则有p|m2ri+m1r′j,p|m1m2. 若p|m1,则p|m2ri, 又因为(m1,ri)=1,所以(p,ri)=1(素分解),则p|m2,与 所以( 素分解), ),则 又因为( 矛盾. (m1,m2)=1矛盾. 又因为( 所以( 若p|m2,则p|m1r′j,又因为(m2,r′j)=1,所以(p,r′j)=1, 矛盾. 则p|m1,与(m1,m2)=1矛盾.所以d=1. 又因为由(1)可知S 又因为由(1)可知S中任两数对m1m2不同余,故S是模m1m2的一 (1)可知 不同余, 简化剩余系. 简化剩余系. 推论:若(m1,m2)=1,则(m1m2)=(m1)(m2). 若
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定理1.10 (2)若p,q为两素数,n= pq ,则(n)= (p) 若 为两素数, (n)=
(q) .
m|(a-b),所以a≡b(mod m).
反之, 反之,若a≡b(mod m),由剩余类的定义知a,b属于同一剩余 类.
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定理1.12 设m1,m2是正整数,(m1,m2)=1,则: 是正整数, (1)若a0,a1,…,,b0,b1,…,分别是模m1,m2的一完全 (1)若 ,, , 剩余系, 1}是模 剩余系,则S={m2ai+m1bj|0≤i≤m1-1∧0≤j≤m2-1}是模