数学(理)知识清单-专题25 数学思想方法及其应用(原卷+解析版)

因为 an＋2>0，所以 an－2 与 an－1－2 同号．
3
(1)在所给图中画出平面 ABD1 与平面 B1EC 的交线(不必说明理由)；
(2)证明：BD1∥平面 B1EC；
(3)求平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值．
29．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＋1a＝4cos C，b＝1.
(1)若 A＝90°，求△ABC 的面积；
(2)若△ABC
的面积为
3，求 2
a，C．
30．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ1
2
3
4
5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4
期或 5 期付款，其利润为 300 元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；
(2)求η的分布列及数学期望 E(η)．
31．已知递增的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a6＝64，且 a4，a5 的等差中项为 3a3.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝a2nn－1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 32．如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P­ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC 与 BD 相交于点 E，
当a>1，即 a>2 时，函数 y＝－(t－a)2＋a2＋5a－1在 t∈[0,1]上单调递增，
2
2 48 2
∴t＝1 时，函数有最大值 ymax＝a＋58a－32＝1，
解得 a＝2103<2(舍去)；
当 0≤a2≤1，即 0≤a≤2 时，
t＝a函数有最大值， 2
ymax＝a42＋58a－12＝1，
2 此时函数的最大值．
20．已知 a 是实数，函数 f(x)＝ x(x－a)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)设 g(a)为 f(x)在区间[0,2]上的最小值．
①写出 g(a)的表达式；
②求 a 的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.
21.设
F1、F2
为椭圆x2＋y2＝1 94
的两个焦点，P
82
2
对应的 a 的值；若不存在，则说明理由．
3．已知 a∈R，函数 f(x)＝2x＋1，h(x)＝ 32
x，解关于
x
的方程
log4
3f 2
x－1
－3 4 ＝log2h(a－x)－log2h(4
－x)．
4．在正项数列{an}中，a1＝3，a2n＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．
(1)求 a2，a3 的值，判断 an 与 2 的大小关系并证明； (2)求证：|an－2|<14|an－1－2|(n≥2)； (3)求证：|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<43. 5．已知椭圆 G：x2＋y2＝1，过点(m,0)作圆 x2＋y2＝1 的切线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点．
6
则 x－1＝a－x， 4－x
即 x2－6x＋a＋4＝0，Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a>0， 此时 x＝6± 20－4a＝3± 5－a，
2 ∵1<x<a，此时方程仅有一解 x＝3－ 5－a.
②当 a>4 时，1<x<4， 由 x－1＝a－x，得 x2－6x＋a＋4＝0，Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a，
3f x，解关于 x 的方程 log4 2
x－1
－3 4 ＝log2h(a－x)－log2h(4
－x)．
【解析】原方程可化为
log4
3 2
2x－1 36
－3 4
＝log2 a－x－log2 4－x，
即 log4(x－1)＝log2
a－x－log2
4－x＝log2
a－x ，
4－x
①当 1<a≤4 时，1<x<a，
17.已知 P 是直线 l：3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA、PB 是圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，A、B
是切点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值．
2
18．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物
专练
1.已知函数
f(x)＝1x3＋ 3
a－4 23
x2＋
4－2a 33
x(0<a<1，x∈R)．若对于任意的三个实数
x1，x2，x3∈[1,2]，都
有 f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围．
2.是否存在实数 a，使得函数 y＝sin2x＋acosx＋5a－3在闭区间[0，π]上的最大值是 1？若存在，则求出
3 围．
15. 已知函数 f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围．
x＋2y－5≤0，
16.已知实数 x，y 满足 x≥1， y≥0，
x＋2y－3≥0，
则yx的最大值为________．
PA⊥平面 ABCD，PA＝4，AD＝2，AB＝2 3，BC＝6.
(1)求证：BD⊥平面 PAC；
(2)求二面角 A­PC­D 的余弦值．
4
高考押题专练
1.已知函数
f(x)＝1x3＋ 3
a－4 23
x2＋
4－2a 33
x(0<a<1，x∈R)．若对于任意的三个实数
x1，x2，x3∈[1,2]，都
有 f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围． 【解析】因为 f′(x)＝x2＋ a－83 x＋ 43－23a ＝ x－23 (x＋a－2)，所以令 f′(x)＝0， 解得 x1＝23，x2＝2－a. 由 0<a<1，知 1<2－a<2. 所以令 f′(x)>0，得 x<2，或 x>2－a； 3 令 f′(x)<0，得2<x<2－a， 3 所以函数 f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．
当 a≤1 或 a>5 时，原方程无解．
4．在正项数列{an}中，a1＝3，a2n＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．
(1)求 a2，a3 的值，判断 an 与 2 的大小关系并证明； (2)求证：|an－2|<14|an－1－2|(n≥2)； (3)求证：|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<43. 【解析】(1)a2＝ a1＋2＝ 5，a3＝ a2＋2＝ 5＋2. 由题设，a2n－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2.
解得 a＝3或 a＝－4(舍去)； 2
当a<0，即 a<0 时， 2
函数 y＝－(t－a)2＋a2＋5a－1在 t∈[0,1]上单调递减， 2 48 2
∴t＝0 时，函数有最大值 ymax＝58a－12＝1，
解得 a＝152>0(舍去)，
综上所述，存在实数 a＝3使得函数有最大值． 2
3．已知 a∈R，函数 f(x)＝2x＋1，h(x)＝ 32
所以函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(2－a)＝a(2－a)2，最大值为 max{f(1)，f(2)}＝max 13－a6，23a . 6
因为当 0<a≤2时，1－a≥2a； 5 3 63
当2<a<1 时，2a>1－a，
5
336
由对任意 x1，x2，x3∈[1,2]，都有 f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得 2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2])．
(1)求数列{an}的通项 an； (2)设数列{bn}的通项 bn＝ana1n＋1，记 Sn 是数列{bn}的前 n 项和，若 n≥3 时，有 Sn≥m 恒成立，求 m 的最 大值．
12．已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个顶点为
A(2,0)，离心率为
2.直线 2
y＝k(x－1)与椭圆
(2)求四边形 AEBF 面积的最大值．
1
10．在△AB是
a，b，c.已知
c＝2，C＝π. 3
(1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b；
(2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC 的面积．
11．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.
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2
对应的 a 的值；若不存在，则说明理由．
【解析】y＝sin2x＋acosx＋5a－3 82
＝1－cos2x＋acosx＋5a－3 82
5
＝－(cosx－a)2＋a2＋5a－1. 2 48 2
∵0≤x≤π，∴0≤cosx≤1，令 cosx＝t， 2
则 y＝－(t－a)2＋a2＋5a－1，0≤t≤1. 2 48 2
4－x 若 4<a<5，则Δ>0，方程有两解 x＝3± 5－a；
若 a＝5 时，则Δ＝0，方程有一解 x＝3；
③由函数有意义及②知，若 a≤1 或 a>5，原方程无解．
综合以上讨论，当 1<a≤4 时，方程仅有一解 x＝3－ 5－a；
当 4<a<5，方程有两解 x＝3± 5－a；
当 a＝5 时，方程有一解 x＝3；
27．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 an＝1－2Sn.