2017-2018年中国科学院自动化研究所考博试题 算法设计与分析

中国科学院自动化研究所
2017年招收攻读博士学位研究生入学考试试题
考试科目： 算法设计与分析
（共2页，7道大题，满分100分，时间为3个小时）
说明：算法设计可以使用类程序语言（伪代码）描述。

1. 完成下列各题 [本题满分36分，每小题6分]：
(1) 请给出算法，对双链表X ，将指针变量F 指向的结点插入到指针变量P 指向
的结点之前。

(2) 请写出算法，实现如下功能：对于输入的任意一个非负10进制整数N ，打印
出与其等值的2进制数。

(3) 请设计一个算法，删除字符串S 中从第i 个位置开始连续的n 个字符，估计
算法的执行时间。

(4) 对于给定序列：6 12 18 26 45 56 88 97
如果用二分法（折半查找法）检索88，请问：分几步可以找到88？请给出每一步中范围指针low （低位）和high （高位）及其中间位置指针mid 的取值。

(5) 请用图示说明用直接插入排序对以下序列：
26 32 35 28 18 57 5 68
进行排序的过程，包括每次的比较和交换次数。

(6) 请证明：对于一个无向图G =(V , E )，若G 中各顶点的度均大于或等于2，则
G 中必有回路。

2. 请设计一个镜面映射算法，将一棵二叉树的左、右孩子结点对称地交互位置。

[本题满分10分]
3. 若M 是11m n ⨯矩阵，N 是22m n ⨯矩阵，12n m =，矩阵Q M N =⨯。

如果M 和
N 为稀疏矩阵并用三元组表存储非零值，请写出矩阵相乘的算法。

[本题满分10分]
4. 请设计算法，用于寻找迷宫中从入口到出口的所有路径。

[本题满分10分]
5. 假设集合S 有n 个元素，m 个形如(,)x y （,x y S ∈）的等价偶对确定了等价
关系R ，请设计算法求S 的所有等价类。

[本题满分10分]
6. 给定由n 个整数（可能为负整数）组成的序列n a a a ,,,21 ，给出动态规划算
法求该序列形如∑=j
i k k a 的子段和的最大值，并说明算法的时间代价和空间代
价。

当所有整数均为负整数时定义其最大子段和为0。

依此定义，所求的最优值为}max
,0max{1∑=≤≤≤j
i k k
n
j i a 。

例如，当)
2,5,13,4,11,2().,.,,(6
5
4
3
2
1
----=a a a a a a 时，最大子段和为204
2
=∑=k k a 。

[本题满分10分]
7. 假设一个带权的有向图G =(V , E )，w 是G 的一个顶点，w 的偏心距定义为：
Max{从u 到w 的最短路径的长度}
其中，V u ∈，最短路径的长度指路径上边所带权的总和。

G 中偏心距最小的顶点称为G 的中心。

请设计一个算法求带权有向图的中心，并确定算法的时间复杂度。

[本题满分14分]
中国科学院自动化研究所
2018年招收攻读博士学位研究生入学考试题
考试科目： 算法设计与分析
（共2页，6个大题，满分100分，时间为3个小时）
1. 完成下列各题 （本大题满分30分）：
(1) 设n 为正整数。

请确定下面的程序段中前置以记号@的语句的执行频度：
x = 91; y = 100;
while ( y > 0 ) {
@ if ( x > 100) { x - = 10; else x++; }
（本小题满分5分）
(2) 请画出图1所示的树对应的二叉树：
（本小题满分5分）
图1
(3) 请将下面的递归过程改写为非递归过程：
void test(int &sum) { int x ; scanf (x); if (x ==0 ) sum = 0; else {test(sum); sum += x; } printf (sum); } （本小题满分7分）
(4) 写出如下算法：在带头结点的双链循环线性表L 中第i 个位置之前插入元素e ，i 的合法值为：1 ≤ i ≤ 表长+1。

（本小题满分6分） (5) 图2为有向图，请给出该图所有
可能的拓扑有序序列。

（本小题满分7分）
图2
B
A
C D
E
F G H
I
J
K
2. 请设计一个算法，将按行优先原则顺序存储的二维数组A nn 转置（a ij 与a ji 交
换）。

要求转置结果仍占用原来的存储空间。

（本题满分10分）
3. 下面的两个邻接矩阵G1.arcs 和G2.arcs 分别对应图G1和图G2。

请完成下
列问题：
(1) G1和G2分别是有向图还是无向图？分别画出G1和G2。

(2) 请写出有向图中顶点v1的出度和入度、无向图中顶点v1的度。

(3) 请写出构造一个具有n 个顶点和e 条边的无向图的算法，并写出时间复
杂度。

⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00
01
10000000
0110
G1.arcs ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=000011100
111010
1010101010
G2.arcs （本题满分15分）
4. 已知线性表A 和B 中的元素按值非递减有序排列，如：A=(3, 5, 8, 11)，B=(2,
6, 8, 9, 11, 15, 20)。

请设计算法完成如下操作：将A 和B 归并为一个新的线性表C ， C 中的数据元素仍按值非递减有序排列，且不存在值相等的多余元素。

如在题中的例子，C=(2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 15, 20)。

（本题满分15分）
5. 已知长度为12的表：( Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov,
Dec)。

(1) 若对表中元素先进行排序构成有序表，求在等概率的情况下对此有序表
进行折半查找成功的平均查找长度。

(2) 按表中元素顺序构造一棵平衡二叉排序树，并求在等概率的情况下查找
成功的平均查找长度。

（本题满分15分）
6. 一个给定序列的子序列是该序列中删除若干元素后得到的序列。

给定两个序
列X 和Y ，若序列Z 既是X 的子序列，又是Y 的子序列，则称Z 是序列X 和序列Y 的公共子序列（Common sub-sequence ）。

如：X={A, B, C, B, D, A, B}，Y={B, D, C, A, B, A}，那么，其最长公共子序列Z={B, C, B, A}。

请设计动态规划算法找出任意序列X 和Y 的一个最长公共子序列。

（本题满分15分）。