一元二次函数知识点汇总

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高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若且a 1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确；对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20，由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)，又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1，则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13，则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3．（2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。

二次函数知识点归纳总结

一元二次方程知识点一、知识清单梳理二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点;②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0）k ax y +=20=x （y 轴）(0,k )()2h x a y -=h x =(h ,0)()kh x a y +-=2hx =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121二次函数图象的平移（左加右减）1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）。

一元二次函数、方程不等式知识点

1一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质：①对称性a b b a ；②传递性,a b b c a c ；③可加性a b a c b c ；④可乘性,0a b c ac bc ，,0a b c ac bc ；⑤同向可加性,a b c d a c b d ；⑥同向可乘性0,0a b c d ac bd ；⑦可乘方性 0,1nna b a b n n ；⑧可开方性 0,1nna b ab n n．⑨可倒数性bab a 11．2重要不等式：若R b a ,，则ab b a 222，当且仅当b a 时等号成立．3基本不等式：若0a ，0b ，则2a b ab，即2abab，当且仅当b a 时等号成立．4不等式链：若0a ，0b ，则baabbab a1122222，当且仅当b a 时等号成立；一正二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．6一元二次不等式的解法：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac0 0 0 二次函数2y a x b x c0a的图象一元二次方程2a xb x 0c0a的根有两个相异实数根1,22b x a12x x 有两个相等实数根122bx x a没有实数根一元二次不等式的解集20a x b x c 0a 12x xx x x 或2bx xaR2a xb x c0a12x x x x。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误，故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（） A ．ca >cb B ．ab b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确；对于B ，若a 0，ab −b 2=b (a −b )>0，所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确；由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ，则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16，解得c =4，故D 正确．故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确；由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4，当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1，所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全) 单选题1、已知−1≤x+y≤1,1≤x−y≤5，则3x−2y的取值范围是（）A．[2,13]B．[3,13]C．[2,10]D．[5,10]答案：A分析：设3x−2y=m(x+y)−n(x−y)=(m−n)x+(m+n)y，求出m,n的值，根据x+y,x−y的范围，即可求出答案.设3x−2y=m(x+y)−n(x−y)=(m−n)x+(m+n)y，所以{m−n=3m+n=−2，解得：{m=12n=−52,3x−2y=12(x+y)+52(x−y),，因为−1≤x+y≤1,1≤x−y≤5，所以3x−2y=12(x+y)+52(x−y)∈[2,13]，故选：A.2、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.3、y=x+4x(x≥1)的最小值为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y=x+4x (x≥1)，所以x+4x≥2√x×4x=4，当且仅当x=4x即x=2时等号成立.所以当x=2时，函数y=x+4x有最小值4.故选：C.4、若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，则a的最小值是（）A．0B．−2C．−52D．−3答案：C解析：采用分离参数将问题转化为“a≥−(x+1x )对一切x∈(0,12]恒成立”，再利用基本不等式求解出x+1x的最小值，由此求解出a的取值范围.因为不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，所以a≥−(x+1x )对一切x∈(0,12]恒成立，所以a≥[−(x+1x )]max(x∈(0,12])，又因为f(x)=x+1x 在(0,12]上单调递减，所以f(x)min=f(12)=52，所以a ≥−52，所以a 的最小值为−52，故选：C.小提示：本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.5、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件，故选：C ．6、若非零实数a ，b 满足a 2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a 1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C7、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C8、小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=a+b2B．v=√abC．√ab<v<a+b2D．b<v<√ab答案：D分析：平均速度等于总路程除以总时间设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则t1=sa ，t2=sb，v=2st1+t2=2s sa+sb=21a+1b，∴v =21a +1b>21b +1b=b ，v =21a +1b=2ab a+b <2√ab=√ab ，故选:D. 多选题9、若a >0，b >0，a +b =2，则（）A ．ab ≤1B ．√a +√b ≤√2C ．a 2+b 2≥2D ．1a +1b ≥2 答案：ACD分析：根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.对于A ，由基本不等式得，2=a +b ≥2√ab 则ab ≤1，当且仅当a =b =1时等号成立，故A 正确；对于B ，令a =32, b =12时，√a +√b =√6+√22>√2=√2+√22，故√a +√b ≤√2不成立，故B 错误；对于C ，由A 选项得ab ≤1，所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =4−2ab ≥2，当且仅当a =b =1时等号成立，故C 正确；对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得(1a +1b )(a+b 2)=12(1a +1b )(a +b ) =12(1+1+b a +a b ) =1+12(b a +ab )≥1+12⋅2√1=2，当且仅当ba =ab ，即a =b =1时等号成立，故D 正确. 故选：ACD ．10、若方程x 2+2x +λ=0在区间(−1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是（） A ．−3B ．18C ．14D ．1答案：BC解析：分离参数得λ=−x 2−2x ，求出−x 2−2x 在(−1,0)内的值域即可判断．由题意λ=−x 2−2x 在(−1,0)上有解．∵x ∈(−1,0)，∴λ=−x 2−2x =−(x +1)2+1∈(0,1)，故选：BC ．11、不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |−1≤x ≤2}，则下列结论正确的是（） A ．a +b =0B ．a +b +c >0 C ．c >0D ．b <0答案：ABC分析：根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可. 解：因为不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |−1≤x ≤2}，所以a <0，且{−ba=−1+2=1>0c a =−2<0，所以{b >0,b =−a,c >0, 所以a +b =0，c >0，b >0，故AC 正确，D 错误．因为二次函数y =ax 2+bx +c 的两个零点为−1，2，且图像开口向下，所以当x =1时，y =a +b +c >0，故B 正确．故选：ABC ．填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ，所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12，所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z=x+2y的最小值是32.所以答案是：32.14、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为___________m2.答案：6分析：设矩形空地的长为x m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.设矩形空地的长为x m，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S=(x−0.5×4)(32x −0.5×2)=34−x−64x≤34−2√x⋅64x=18，当且仅当x=64x即x=8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m2.所以答案是：6解答题15、已知一元二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0,c>0)的图像与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c,0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．（1）当a=1，c=12时，求出不等式f(x)<0的解；（2）求出不等式f(x)<0的解（用a,c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．答案：（1）(12,1)；（2）(c,1a)；（3）a∈(0, 18]；（4）m≤−2 或 m=0 或m≥2．分析：（1）根据根与系数的关系，求出f(x)=0的另一根，得到不等式f(x)<0的解；（2）根据根与系数的关系，求出f(x)=0另一根，并判断两根的大小，得到不等式f(x)<0的解；（3）先求出f(x)的图像与坐标轴的交点，表示出以这些点组成的三角形的面积，再将a 用c 表示出来，再求得a 的范围；（4）根据f(c)=0，得到a,b,c 的关系式，化简不等式，将k,m 分离，分离时注意讨论m 的符号，求得实数m 的范围.（1）当a =1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图像与x 轴有两个不同交点， ∵f(12)=0设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴x 2=1，则f(x)<0的解集为(12,1)．（2）f(x)的图像与x 轴有两个交点，∵f(c)=0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a ∴x 2=1a 又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴f(x)<0的解集为(c,1a )．（3）由（2）的f(x)的图像与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴a =c 16+c2≤2√16c=18，故a ∈(0, 18]．（4）∵f(c)=0，∴ac 2+bc +c =0，又∵c >0，∴ac +b +1=0，要使m 2−2k m ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则当m >0时，m ≥(2k)max =2；当m <0时，m ≤(2k)min =−2；当m =0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立．从而实数m 的取值范围为m ≤−2 或 m =0 或m ≥2．小提示：本题考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三个二次之间关系及应用，根与系数的关系，恒成立求参问题，参变分离技巧，属于中档题.。

一元二次方程的像与性质知识点总结

一元二次方程的像与性质知识点总结一元二次方程是数学中一种重要的二次函数形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的过程中，我们可以通过图像来研究方程的性质和特点。

本文将对一元二次方程的图像、根的性质、函数性质等知识点进行总结。

1. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线，常被称为抛物线。

方程的图像的开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标一元二次函数的图像是对称的，其顶点是抛物线的最高（或最低）点，也是方程的图像横坐标轴的轴线。

顶点坐标可以通过利用平移法得到，顶点的横坐标为-x轴系数的倒数，纵坐标为代入横坐标得到的y 值。

即顶点坐标为（-b/(2a), f(-b/(2a))）。

3. 根的性质一元二次方程的根是方程的解，也即满足方程等式的x值。

通过求解可以得到方程的根。

- 当一元二次方程有两个不相等实数根时，方程的图像与x轴有两个交点。

- 当一元二次方程有两个相等实数根时，方程的图像与x轴有一个交点（切线）。

- 当一元二次方程无实数根时，方程的图像与x轴无交点，即抛物线不与x轴相交。

4. 函数性质一元二次函数是定义域为实数集的函数，具有以下性质：- 当a>0时，函数是上凸函数，即图像开口向上。

- 当a<0时，函数是下凸函数，即图像开口向下。

- 当a=0时，方程退化为一元一次方程 y = bx + c，其图像为一条直线。

- 函数的最值与顶点有关，当函数开口向上时，顶点是函数的最小值点；当函数开口向下时，顶点是函数的最大值点。

总之，一元二次方程的像与性质的了解对于解题和图像分析都具有重要意义。

通过对方程图像的观察和利用相应的性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，提高解题的准确性和效率。

通过深入研究和练习，我们能够更加熟练地掌握一元二次方程相关知识，为数学学习打下坚实的基础。

一元二次函数知识点高一

一元二次函数知识点高一一、定义与图像特征一元二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。

1. 当a>0时，抛物线开口向上；2. 当a<0时，抛物线开口向下；3. 抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。

二、零点与根的求解一元二次函数的零点又称为根。

根的求解可通过下列方法进行：1. 因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；2. 完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)²形式，则可通过解方程(x±a)²=0来求得根；3. 利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax²+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

三、最值与对称性1. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。

2. 对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。

因此，若点(x, y)在抛物线上，则点(2h-x, y)也在抛物线上。

四、函数的变化规律一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：1. 当a>0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。

函数的增减性为先减后增。

2. 当a<0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。

函数的增减性为先增后减。

3. 抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。

五、二次函数的平移与伸缩一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：1. 平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。

如y=x²+3中，加3使整体上移。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误；对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误；对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件，故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a 2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a 1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确；由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4，当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a 0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a 0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确；对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a 0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确；对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ，所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12，所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3，所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ，则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。

一元二次函数方程和不等式知识点

一元二次函数方程和不等式知识点
一元二次函数方程是指在椭圆坐标系中，形如ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)的一元二次方程，它是数学分析中一个重要的内容。

一元二次函数方程有3个常数参数a,b,c，其中a,b,c都是实数，a不能为0，而b,c可以任意取值。

还有两个根的值，这两个根的取值范围受a,b,c 参数的影响。

推导出结果的方法有三种：一是直接求解，利用公式求出解；二是先把方程转换成一元一次方程形式，再应用一元一次方程求解；三是利用卡方法。

一元二次不等式是指根据一元二次函数，把函数两边分成大于、小于或不等于，来描述函数画图特征上下边界等情况的式子表达，不等式中，参数a,b,c也是实数，a,b,c都不能为0。

一元二次函数的应用范围很广泛，它可以用来求解许多实际问题，例如，在物理学中它可以用来模型弹性力学中的弹簧定律；在热学中，它可以用来模拟体积块的变形。

在经济学中，它可以用来模拟企业的投资回报率；在力学中，它可以模拟示性运动的轨迹等等。

回到一元二次不等式上来，必须要对参数a,b,c有详细的把握，只有这样才能准确地把握函数变化特征，才能够解决实际问题，再配合一元二次函数方程，可以精确地求出具体的解，并且也能发现其中的函数关系。

总之，一元二次函数方程和不等式具有广泛的应用前景，只要把握正确的参数，不断结合深刻的思考，就可以更好地解决各种实际问题。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.2、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a +3b的最小值是（）A．7B．2+√3C．4D．4+2√3答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y=1a +3b=(a+b)(1a+3b)=4+ba+3ab≥4+2√ba⋅3ab=4+2√3，当且仅当ba =3ab即b=√3a时，等号成立.结合a+b=1可知，当a=√3−12,b=3−√32时，y有最小值4+2√3.故选：D.3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a 0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.4、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1 ，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a)=94，当且仅当{1b +4a=4ab=4b a，即{a =32b =34时，等号成立，故选：C7、若(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0，则实数a 的取值范围为（） A ．(−∞,4]B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4] 答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围.由(x −a)2<4，可得：a −2<x <a +2；由1+12−x =3−x 2−x ≤0，则{(x −2)(x −3)≤02−x ≠0，可得2<x ≤3；∵(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0， ∴{a −2≤2a +2>3，可得1<a ≤4.故选：D.8、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（） A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A. 多选题9、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得AC =a,BC =b ，过点C 作CD ⊥AB 交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD ≥CD 直接证明的不等式为（）A ．√ab ≤a+b 2(a >0，b >0)B ．√ab ≥2ab a+b(a >0，b >0)C ．a 2+b 2≥2ab(a >0，b >0)D ．a+b 2≤a 2+b 22(a >0，b >0)答案：BCD解析：由AC =a,BC =b ，得到OD =12(a +b )，然后利用射影定理得到CD 2=ab 判断. 因为AC =a,BC =b ，所以OD =12(a +b ),因为∠ADB =90∘，所以由射影定理得CD 2=ab ，因为OD ≥CD ，所以√ab ≤a+b 2，当且仅当a =b 时取等号，故选：BCD10、已知P =a 2+b 2，Q =2ab ，R =(a+b )22，则（）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q 答案：AD分析：对于A,B,C 利用作差法即可比较出大小,对于D 利用不等式传递性即可. 对于A ，P −R =(a 2+b 2)−(a+b )22=(a−b )22≥0，则P ≥R ，故A 正确；对于B ，R −Q =(a+b )22−2ab =a 2−2ab+b 22=(a−b )22≥0，所以R ≥Q ，故B 错误；对于C ，由已证得P ≥R ，故C 错误；因为P ≥R ，R ≥Q ，所以P ≥Q ，故D 正确故选:AD11、已知x >0，y >0且3x +2y =10，则下列结论正确的是（） A ．xy 的最大值为625B ．√3x +√2y 的最大值为2√5 C ．3x+2y的最小值为52D ．x 2+y 2的最大值为10013答案：BC分析：利用基本不等式直接判断A ；利用基本不等式求得(√3x +√2y)2的最大值可判断B ；利用基本不等式“1”的代换可判断C ；利用二次函数的性质可判断D ； ∵x >0，y >0且3x +2y =10，∴0<x <103，0<y <5对于A ，利用基本不等式得10=3x +2y ≥2√3x ×2y ，化简得xy ≤256，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以xy 的最大值为256，故A 错误；对于B ，(√3x +√2y)2=3x +2y +2√6xy =10+2√6xy ≤10+10=20，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以√3x +√2y 的最大值为2√5，故B 正确；对于C ，3x +2y =110×(3x +2y )(3x +2y )=110×(9+6x y +6y x+4)≥110×(13+2√6x y ⋅6yx)=52，当且仅当6xy =6yx，即x =y =2时，等号成立，所以3x +2y 的最小值为52，故C 正确；对于D ，x 2+y 2=(10−2y 3)2+y 2=13y 2−40y+1009(0<y <5)利用二次函数的性质知，当0<y <2013时，函数单调递减；当2013<y <5时，函数单调递增，∴(x 2+y2)min=13×(2013)2−40×2013+1009=10013，(x 2+y 2)max <13×(5)2−40×5+1009=2259，故D 错误；故选：BC 填空题12、设x 1、x 2、x 3、y 1、y 2、y 3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2，x 1y 2+x 2y 3+x 3y 1，x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3，x 1y 3+x 2y 2+x 3y 1，x 1y 3+x 2y 1+x 3y 2，能同时取到150的代数式最多有________个．答案：2分析：由作差法比较大小后判断不妨设x 1<x 2<x 3，y 1<y 2<y 3，记x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3为①式，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2为②式，以此类推，由①−②=x 2y 2+x 3y 3−x 2y 3−x 3y 2=(x 2−x 3)(y 2−y 3)>0，故①>②， ②−③=x 1y 1+x 3y 2−x 1y 2−x 3y 1=(x 1−x 3)(y 1−y 2)>0，故②>③， ①−④=x 1y 1+x 2y 2−x 1y 2−x 2y 1=(x 1−x 2)(y 1−y 2)>0，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2=x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3=150，得其一组解为{x 1=−1x 2=0x 3=1 ，{y 1=2y 2=152y 3=302所以答案是：213、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论． 2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3 解得{m =−12n =52 ，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)，又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3， −2≤−12(x +y )≤12, 5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3. 解答题15、已知a >0，b >0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。

知识点梳理专题02 一元二次函数

专题02 一元二次函数、方程与不等式知识1 等式性质与不等式性质 1、作差法比较大小0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=. 2、不等式的基本性质（1）（对称性）a b b a >⇔> （2）（传递性）,a b b c a c >>⇒> （3）（可加性）a b a c b c >⇔+>+（4）（可乘性）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （5）（同向可加性）,a b c d a c b d >>⇒+>+ （6）（正数同向可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （7）（正数乘方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且知识点2 基本不等式1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式： ()2222()()a b a b a b R +≥+∈， 2、基本不等式：2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式：a b +≥； 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”. 知识点3 二次函数与一元二次方程.不等式1、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.有两个相等的实2、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；第二步：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解第三步：根据不等式，写出解集. 3、含参数的一元二次不等式讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。

一元二次函数知识点1

1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

1、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(2x x x x x ---=⇔--= 22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= （3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+= ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒-⇒++=222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a -⇒+=-⇒+= 示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D2、已知正数x ，y 满足2x+3y+13x+y=1，则x +y 的最小值（）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.3、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．4、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a−c=2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a>c；b−c=(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c>b.所以a>c>b，故选：B.5、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.6、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.7、若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A．ba >b+1a+1B．a+1a>b+1bC．a+1b>b+1aD．2a+ba+2b>ab答案：C分析：根据不等式的性质，对选项逐一判断对于A，ba −b+1a+1=b−aa(a+1)，因为a>b>0，故ba−b+1a+1=b−aa(a+1)<0，即ba<b+1a+1，故A错；对于B，a+1a −(b+1b)=(a−b)(1−1ab)不确定符号，取a=1,b=12则a+1a<b+1b，故B错误；对于C，a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)，因为a>b>0，故a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)>0，即a+1b>b+1a，故C正确；对于D，2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b，因为a>b>0，故2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b<0，即2a+ba+2b<ab，故D错误．故选：C8、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B多选题9、若a>1，b<2，则（）A．a−b>−1B．(a−1)(b−2)<0C ．a +1a−1的最小值为2D ．12−b≥b答案：ABD分析：利用不等式的性质可判断ABD 选项；利用基本不等式可判断C 选项. 因为b <2，所以−b >−2，又a >1，所以a −b >−1，A 正确；因为a >1，b <2，则a −1>0，b −2<0，所以(a −1)(b −2)<0，B 正确；因为a >1，所以a −1>0，所以a +1a−1=a −1+1a−1+1≥2√(a −1)⋅1a−1+1=3，当且仅当a =2时，等号成立，C 不正确；因为b <2，则b (b −2)+1=(b −1)2≥0，所以，b (2−b )≤1，因为2−b >0，所以12−b≥b ，D 正确.故选：ABD.10、已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，则下列结论正确的是（） A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a +b +c >0 答案：BCD分析：对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及b >0，即可求解.解：对A ，∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，故相应的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下，即a <0，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和−12是关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba =2+(−12)=32>0，又∵a <0，故b >0,c >0，故B ，C 正确；对D ，∵c a =−1， ∴a +c =0，又∵b >0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.11、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为（）A．√ab≤a+b2(a>0，b>0)B．√ab≥2aba+b(a>0，b>0)C．a2+b2≥2ab(a>0，b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)答案：BCD解析：由AC=a,BC=b，得到OD=12(a+b)，然后利用射影定理得到CD2=ab判断. 因为AC=a,BC=b，所以OD=12(a+b),因为∠ADB=90∘，所以由射影定理得CD2=ab，因为OD≥CD，所以√ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号，故选：BCD12、若1≤x≤3≤y≤5，则（）A．4≤x+y≤8B．x+y+1x +16y的最小值为10C．−2≤x−y≤0D．(x+1y )(y+4x)的最小值为9OD答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误；因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x +1y )(y +4x )=xy +4xy +5≥2√4+5=9，当且仅当xy =2时，等号成立，但1≤x ≤3≤y ≤5，xy 取不到2，所以(x +1y )(y +4x )的最小值不是9，因此D 不正确，故选：AB13、若a 1|b |C ．(a +1b )2>(b +1a )2D ．(a +1a )2>(b +1b )2答案：AC分析：根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可. 对于A 选项, 由于a 1a >1b ,所以0>b +1a >a +1b ,所以(a +1b )2>(b +1a )2,故C 选项正确; 对于D 选项,令a =−2,b =−12,则a +1a =b +1b =−52,所以(a +1a )2>(b +1b )2不成立,故D 选项错误;故选:AC小提示：本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断. 填空题14、不等式ax 2+x +1>0的解集为(m,1)，则m =__________．答案：−12##−0.5分析：利用一元二次方程根与系数的关系可求得m 的值.由已知，关于x 的二次方程ax 2+x +1=0的两根分别为m 、1，且a <0，所以，{a +2=01⋅m =1a，解得{a =−2m =−12.所以答案是：−12.15、函数y =2√x 2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果. 令t =√x 2+1≥1，则y =2√x 2+1=t +4t≥4，当且仅当t =2，即x =±√3时，y min =4.所以函数y =2√x 2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、已知a >0,b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b的最小值为_________．答案：4分析：根据已知条件，将所求的式子化为a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求解. ∵a >0,b >0,∴a +b >0，ab =1,∴12a+12b +8a+b=ab 2a+ab 2b+8a+b=a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4，当且仅当a +b =4时取等号，结合ab =1,解得a =2−√3,b =2+√3，或a =2+√3,b =2−√3时，等号成立. 所以答案是：4小提示：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 解答题17、如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为20m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？答案：(1)长为92m ，宽为185m(2)长为5m ，宽为4m分析：（1）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，可得出4x +5y =36，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，利用基本不等式可求得钢筋网总长4x +5y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论. （1）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，由已知可得4x +5y =36，由基本不等式可得S =xy =120⋅4x ⋅5y ≤120×(4x+5y 2)2=815(m 2)，当且仅当{4x =5y4x +5y =36，即当{x =92y =185时，等号成立，因此，每间虎笼的长为92m ，宽为185m 时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，钢筋网总长为4x +5y ≥2√20xy =40(m )，当且仅当{4x =5y xy =20，即当{x =5y =4时，等号成立，因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 18、实数a 、b 满足−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4. (1)求实数a 、b 的取值范围； (2)求3a −2b 的取值范围．答案：(1)a ∈[−2,3]，b ∈[−72,32](2)[−4,11]分析：（1）由a =12[(a +b )+(a −b )]，b =12[(a +b )−(a −b )]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a −2b =12(a +b)+52(a −b)，再利用不等式的性质得解. （1）解：由−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4，则a =12[(a +b )+(a −b )]，所以−4≤(a +b )+(a −b )≤6，所以−2≤12[(a +b )+(a −b )]≤3，即−2≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[−2,3]．因为b =12[(a +b )−(a −b )]，由−1≤a −b ≤4，所以−4≤b −a ≤1，所以−7≤(a +b )−(a −b )≤3，所以−72≤12[(a +b )−(a −b )]≤32， ∴−72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[−72,32]．（2）解：设3a −2b =m (a +b )+n (a −b )=(m +n )a +(m −n )b ，则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52，∴3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．∴−32≤12(a+b)≤1，−52≤52(a−b)≤10，∴−4≤3a−2b≤11，即3a−2b的取值范围为[−4,11]．。

一元二次函数知识点

二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

高中数学一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)单选题1、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）B．a>0，ab=2A．a>0，ab=12C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解(x−2a由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2)(|x|−b)≥0，a当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，=b，即ab=2，由二次函数的性质可知，此时必有2a故选：B2、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.3、若正数a,b满足a+b=ab，则a+2b的最小值为（）A．6B．4√2C．3+2√2D．2+2√2答案：C分析：由a+b=ab，可得1a +1b=1，则a+2b=(a+2b)(1a+1b)，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数a,b满足a+b=ab，所以1a +1b=1，所以a+2b=(a+2b)(1a +1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab ⋅2ba=3+2√2，当且仅当ab =2ba，即a=√2+1,b=2+√22时取等号，故选：C4、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.5、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x +b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x<12)的最小值为（）A ．16B ．25C ．36D ．49答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥(a+b )2x+y ，当且仅当a x =b y 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x +321−2x ≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x =31−2x ，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25.故选：B6、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A ．2a >2bB ．ac <bcC ．|a|>－bD ．√−a >√−b 答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A ，利用不等式的可乘性进行证明；对于B ，利用不等式的可乘性进行判断；对于C ，直接证明；对于D ，由开方性质进行证明.对于A ，因为a<b<0，所以2ab >0，对a2b ，故A 成立；对于B ，当c>0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不成立；对于C ，|a|＝－a>－b ，则选项C 成立；对于D ，由－a>－b>0，可得√−a >√−b ，则选项D 成立.故选：B7、关于x 的不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（）A ．[√24,+∞)B ．(−∞,√24]C ．[−√24,√24]D ．(−∞,−√24]∪[√24,+∞) 答案：A分析：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤2√x ⋅2|x |=√24，所以a ≥√24，综上所述a ∈[√24,+∞).故选：A. 8、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3答案：D分析：由题知ba +2b=2(1a+1b)−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b为正实数且a+b=2，所以b=2−a，所以，ba +2b=2−aa+2b=2a+2b−1=2(1a+1b)−1因为2a +2b=2(1a+1b)=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2=4，当且仅当a=b=1时等号成立；所以ba +2b=2−aa+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a=b=1时等号成立；故选：D9、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；对于C，如果c<0，那么ac <bc，故错误；对于D，如果c<d，那么−c>−d，由a>b，则a−c>b−d，故正确. 故选：D.10、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x <2，∴2−x >0，又x +(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x =2−x ，即x =1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B填空题11、已知x 、y 为两个正实数，且m x+y ≤1x +1y 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：(−∞,4]分析：由参变量分离法可得m ≤(x +y )(1x +1y )，利用基本不等式求出(x +y )(1x +1y)的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.因为x 、y 为两个正实数，由m x+y ≤1x +1y 可得m ≤(x +y )(1x +1y )，因为(x +y )(1x +1y )=2+x y +y x ≥2+2√x y ⋅y x =4，当且仅当x =y 时，等号成立.所以，m ≤4，因此，实数m 的取值范围是(−∞,4].所以答案是：(−∞,4].12、不等式2x−7x−1≤1的解集是________.答案：(1,6]分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．不等式2x−7x−1≤1得x−6x−1≤0 ，故{(x −1)(x −6)≤0x −1≠0⇒1<x ≤6 ，所以答案是：(1,6].13、已知M=x2−3x，N=−3x2+x−3，则M，N的大小关系是________．答案：M>N分析：利用作差法直接比大小.M−N=(x2−3x)−(−3x2+x−3)=4x2−4x+3=(2x−1)2+2>0∴M>N,所以答案是：M>N.14、已知命题p：“∀x∈[1,4]，ax≤2x2+6”为真命题，则实数a的最大值是___．答案：4√3分析：分离参数a，将问题转化为a≤[2(x+3x )]min，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.解：由题意，∀x∈[1,4]，a≤2(x+3x)恒成立，因为x+3x ≥2√x⋅3x=2√3，当且仅当x=√3时等号成立，所以a≤4√3，即a的最大值是4√3．所以答案是：4√3.15、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]16、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)17、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.18、在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．这次事故的主要责任方为________．答案：乙车分析：依题意,分别列出一元二次不等式,求出各车的最低速度,即可求解.解:由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10．分别求解，得x甲<－40或x甲>30．x乙<－50或x乙>40．由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．故答案为:乙车.19、若对任意x>0，x3+5x2+4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是___________.答案：(−∞,9]分析：先分离参数a，再运用基本不等式可求解.因为对任意x>0，x3+5x2+4x≥ax2⇔x2+5x+4x ≥a恒成立，只需满足a≤(x2+5x+4x)min，因为x >0，所以x 2+5x+4x=x +4x+5≥2√x ⋅4x+5=9，当且仅当x =4x，即x =2时取等号.故实数a 的取值范围是(−∞,9]. 所以答案是：(−∞,9]20、设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ②(a +1a )(b +1b )≥4； ③(a ＋b )(1a +1b )≥4； ④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号). 答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.由于a 2＋1－a ＝(a −12)2+34>0，故①恒成立；由于(a +1a )(b +1b )＝ab +1ab ＋ba ＋ab ≥2√ab ⋅1ab ＋2√ba ⋅ab＝4，当且仅当{ab =1abb a=a b 即a ＝b ＝1时等号成立，故②恒成立；由于(a ＋b )(1a +1b )＝2＋ba ＋ab ≥2＋2√ba ×ab ＝4.当且仅当ab ＝ba ，那么a ＝b ＝1时等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题. 解答题21、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；22、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在[0,1]上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在[0,1]上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在[0,1]上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y=x3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x−a|，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，尝试数形结合探究实数a的取值范围.答案：(1)y=1x，x∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a≥3.分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围. （1）y=1x，x∈(0,+∞)；（2）对于二次函数f(x)=−x2+bx+c，∀x1,x2∈R，满足f(x1+x22)−f(x1)+f(x2)2=−(x1+x22)2+b⋅x1+x22+c−−x12+bx1+c−x22+bx2+c2=−x12+x22+2x1x24+x12+x222=(x1−x2)24≥0，即f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x2+bx+c为下凸函数，对于函数f(x)=x|x−a|={x2−ax,x>a−x2+ax,x≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则函数f(x)=x|x−a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a≥3.。

九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。

它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。

首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。

一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。

一元二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。

解析式与判别式是解一元二次方程的关键。

给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。

一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。

当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。

一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。

以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。

在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。

在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。

总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。

它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。

部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点汇总

(名师选题)部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点汇总单选题1、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x =x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1] 答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅x+1=23，当且仅当x =1x即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（） A ．3B ．32C ．2D ．23 答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3.故选：A4、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D5、已知正实数a,b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为（）A．6B．8C．10D．12 答案：B分析：令a+2b=a+b+b+1−1，用a+b+b+1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b +1b+1=1，且a,b为正实数所以a+b+b+1=(a+b+b+1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+bb+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+bb+1=4(b+1)a+b即a=b+2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8.故选：B.6、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x +b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x<12)的最小值为（）A．16B．25C．36D．49答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a，b，x，y>0，则a2x +b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立，又0<x<12，即1−2x>0，于是得f(x)=222x +321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x=15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x(0<x<12)的最小值为25.故选：B7、关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（）A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 由x 2−(a +1)x +a <0得(x −1)(x −a)<0 ，若a =1，则不等式无解．若a >1，则不等式的解为1<x <a ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =2，则2<a ≤3．若a <1，则不等式的解为a <x <1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x =0，则−1≤a <0．综上，满足条件的a 的取值范围是[−1，0)∪(2,3] 故选：C ．8、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x +9y+1的最小值是（） A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9xy+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 多选题9、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.10、已知实数a>0，b>0，且满足(a−1)(b−1)=4，则下列说法正确的是（）A．ab有最小值B．ab有最大值C．a+b有最小值D．a+b有最大值答案：AC分析：已知等式化简为ab=a+b+3,利用基本不等式转化a+b,得到关于ab的不等式，研究可得ab的最值情况，转化ab,得到关于a+b的不等式，研究可得a+b的最值情况，进而作出判定.ab=a+b+3≥2√ab+3，解不等式得√ab≤−1或√ab≥3，故ab≥9，等号当且仅当a=b=3时取得，故ab有最小值9，则A对，B错；ab=a+b+3≤(a+b2)2，解不等式得a+b≤−2或a+b≥6，又a>0，b>0，故a+b≥6，当且仅当a=b=3时取等号，故a+b有最小值6，则C对，D错，故选：AC．11、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．1a +2b的最小值为9C．a2−b2的最小值为−13D．a2+b2的最小值为15答案：ABD分析：对于A ，B ，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C ，D 化成关于b 的二次函数即可判断作答. 因a,b 均为正数，且a +2b =1，则有ab =12⋅a ⋅2b ≤12⋅(a+2b 2)2=18，当且仅当a =2b =12时取“=”，即ab 的最大值为18，A 正确；1a+2b =(a +2b)(1a +2b )=5+(2ba +2ab)≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当且仅当a =b =13时取“=”，即1a +2b 的最小值为9，B 正确；显然0<b <12，a 2−b 2=(1−2b)2−b 2=3b 2−4b +1在b ∈(0,12)上单调递减，无最小值，C 不正确；a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当且仅当b =25时取“=”，即a 2+b 2的最小值为15，D 正确. 故选：ABD 填空题12、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________．答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x 的取值范围.由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，可转化为关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立，则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0 ，解得−2<x <−1，即x 的取值范围为(−2,−1)．所以答案是：(−2,−1)。

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一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
(1)抛物线2
ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.
(2)函数2
ax y =的图像与a 的符号关系：
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a
b a
c k a b h 4422-=-
=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2
的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 决定抛物线的开口方向：
当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a
b
x 2-
=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a
b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<a
b 时,对称轴在y 轴右侧. (3)
c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b .
8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2
ax y =；②k ax y +=2
；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(c ,0)
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
⎩⎨⎧++=+=c
bx ax y n
kx y 2
的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于
1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：a
c x x a b
x x =⋅-=+2121, ()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121 11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程c bx ax ++=2
0就是二次函数c bx ax y ++=2
当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；
当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02
=++c bx ax 的根．
(3)当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2
有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程
02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴没有交点时，则一元
二次方程02
=++c bx ax 没有实数根 12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。

一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．。