初二数学压轴几何证明题(含答案)

1.四边形是正方形，△是等腰直角三角形，∠90°，，连接，G 为的中点，连接，，．
(1)如图1，若点E在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；
(2)将图1中的△绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)
中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)将图1中的△绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若1，，当E，F，D三点共线时，求的长及∠的值．
解：（1）⊥，=，
理由是：过G作⊥于H，
∵∠∠90°，
∴∥∥，
∵G为中点，
∴H为中点，
∴，（）=（），
即，
∴∠90°，
即△是等腰直角三角形，
∴=；
（2）
解：结论还成立，
理由是：如图2，延长到H，使，连接、，过E作的垂线，延长，∵在△和△中
∴△≌△（），
∴，∠∠，
∴∥，
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，
∴∠180°-∠4=180°-∠1=∠，在△和△中
∴△≌△．
∴，∠∠，
∴∠∠∠∠∠∠90°，
∴△是等腰直角三角形，
∵G为的中点，
∴⊥，=，
即（1）中的结论仍然成立；
（3）
解：连接，
∵，正方形，
∴2，
∴∠，
∴∠60°，
∴∠∠∠15°，
∴∠45°-15°=30°，
∴∠，
∴，
∴1．
解析：（1）过G作⊥于H，推出∥∥，求出H为中点，根据梯形的中位线求出，（）=（），推出，根据直角三角形的判定推出△是等腰直角三角形即可；
（2）延长到H，使，连接、，过E作的垂线，延长，证△≌△，推出，∠∠，求出∠∠，证出△≌△，推出，∠∠，求出△是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）连接，求出∠，推出∠60°，求出∠30°，解直角三角形求出即可．
2.已知正方形和等腰直角三角形，，∠90°，按图1放置，使点E在上，取的中点G，连接，．
(1)延长交于H，试说明：．
(2)将图1中△绕B点逆时针旋转45°，连接，取中点G(如图2)，莎莎同学发现：且⊥．在设法证明时他发现：若连接，则D，E，B三点共线．你能写出结论“且⊥”的完整理由吗？请写出来．
(3)将图1中△绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接，取的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说
明你的结论；若不成立，也请说明理由．
（1）证明：∵∠90°，
∴∥，
∴∠∠，
而∠∠，，
∴△≌△，
∴，
而，
∴；
（2）连接，如图，
∵△为等腰直角三角形，
∴∠45°，
而四边形为正方形，
∴∠45°，
∴D，E，B三点共线．
而∠90°，
∴△为直角三角形，
而G为的中点，
∴，
∴∠2∠90°，
∴且⊥；
（3）第2问中的结论成立．理由如下：
连接、相交于点O，取的中点M，连接、、，如图，
∵G为的中点，O为的中点，M为的中点，
∴∥，∥，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
而，，
∴，，
∵∠∠，
而∠∠90°，
∴∠∠，
∴△≌△，
∴，∠∠，
又∵∠∠，∠∠∠，
∴∠∠∠∠∠∠∠∠45°+45°=90°，
∴且⊥．
解析：
（1）由∠90°，得到∥，而，易证得△≌△，得，而，即可得到结论．
（2）连接，如图2，由△为等腰直角三角形，得∠45°，而四边形为正方形，得∠45°，得到D，E，B三点共线，而G为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，于是∠2∠90°，即得到结论．
（3）连接、相交于点O，取的中点M，连接、、，由G为的中点，O为的中点，M为的中点，根据三角形中位线的性质得∥，∥，得到，，而，，得到，，又∠∠，而∠∠90°，得∠∠，则△≌△，得到，∠∠，而∠∠，∠∠∠，所以有∠∠∠∠∠∠∠∠45°+45°=90°．
3.已知正方形和等腰△，，∠90°，按图①放置，使点F在上，取的中点G，连接、．
(1)探索、的数量关系和位置关系并证明；
(2)将图①中△绕B点顺时针旋转45°，再连接，取中点G(如图
②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；
(3)将图①中△绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接，取的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．
解：（1）且⊥．
证明如下：如图①，连接．
∵正方形和等腰△，
∴∠∠45°．
∴B、E、D三点共线．
∵∠90°，G为的中点，∠90°，
∴．
∴∠2∠，∠2∠．
∴∠∠2∠90°，
即∠90°，
∴⊥．
（2）仍然成立，
证明如下：如图②，延长交于点H．
∵⊥，∴∥，∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠4，，
∴△≌△，
∴，．
∵△为等腰直角三角形，
∴，∴．
∵，∴．
∴△为等腰直角三角形．
又∵，
∴且⊥．
（3）仍然成立．
证明如下：如图③，延长至H，使，连接交于M，连接、．∵，∠∠，，
∴△≌△，
∴，∠∠，
∴∥．
∵正方形，
∴，⊥．
∵△是等腰直角三角形，
∴，∠∠，
∴△≌△，
∴，∠∠，
∴∠∠90°，
∴△为等腰直角三角形．
又∵，
∴且⊥．
解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明，得到∠2∠，∠2∠，从而证得∠90°；
（2）首先证明△≌△，然后证明△为等腰直角三角形．可以证得：且⊥．
（3）首先证明：△≌△，即可证得：△为等腰直角三角形，从而得到：且⊥．
已知，正方形中，△为等腰直角三角形，且为底，取的中点G，
连接、．
（1）如图1，若△的底边在上，猜想和的数量关系为；
（2）如图2，若△的直角边在上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△的直角边在∠内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．
解：（1），（1分）理由如下： ∵△为等腰直角三角形，
∴∠90°，又G 为斜边的中点， ∴ ， ∵为正方形， ∴∠90°，又G 为斜边的中点，∴ ，
∴；
（2）成立．如图，延长交于M ，
∵∠∠∠90°，∴∥，
∴∠∠，
又∠∠，，
1
2
1
2
∴，即G 为的中点．
∴为直角△的斜边上的中线，
∴ ；
（3）成立．
取的中点H ，连接，，取的中点O ，连接，．
∵，∠90°，∴
． ∵，
∴∥，且 ，
∥，且 ， ∴．
∵△为等腰直角三角形．
∴
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴∠∠．∵∠∠90°．
∴∠∠．
1
2
1 2
1
2 1 2
∴．
此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求
学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．
解析：（1），理由为：根据三角形为等腰直角三角形，得到∠为直角，又G为中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到为的一半，同理在直角三角形中，得到也等于
的一半，利用等量代换得证；
（2）成立．理由为：延长交于M，如图所示，根据“”得到三
角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到与相等，即G为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到与相等都等于斜边的一半，得证；
（3）成立．理由为：取的中点H，连接，，取的中点O，连接，，如图所示，因为直角三角形中，O为斜边的中点，根据斜边上的
中线等于斜边的一半得到等于的一半，由为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到等于一半，等于的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半得到等于的一半，根据等量代换得到与相等，再根据为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而
得到∠与∠相等，利用“”得到△与△全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。