数学建模matlab插值与拟合

Matlab程序 x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; figure(1); mesh(x,y,temps) xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3;
zi=interp2(x,y,temps,xi,yi','cubic') figure(2); mesh(xi,yi,zi) figure(3); contour(xi,yi,zi,20,'r'); [i,j]=find(zi==min(min(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmin=zi(i,j) [i,j]=find(zi==max(max(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmax=zi(i,j)
2. 二维插值 二维插值的典型命令是interp2, 其基本 格式为zi= interp2(x,y,z,xi,yi, ‘method’)。 二维插值命令的理解和使用较复杂。 x,y,z为插值点，z可以理解为被插值函 数在(x,y)处的值；xi,yi为被插值点, zi为输 出的插值结果，可理解为插值函数在(xi,yi) 处的值；x,y为向量，xi, yi为向量或矩阵， 而z和zi则为矩阵。
1. 一维插值 一维插值的典型命令是interp1, 其基本 格式为yi= interp1(x,y,xi, 'method')。 x, y为插值点，xi, yi为被插值点和插值 结果，x,y和xi,yi通常为向量；'method'表示 插值方法：'nearest'—最邻近插值, 'linear'— 线性插值, 'spline'—三次样条插值, 'cubic'— 立方插值，缺省为线性插值。
二、高次插值中的Runge现象
通常选用多项式作为插值函数。在研 究插值问题的初期，所有人都认为插值多 项式的次数越高，插值精度越高。 Runge 通过对一个例子的研究发现， 上述结论仅仅在插值多项式的次数不超过 七时成立；插值多项式的次数超过七时， 插值多项式会出现严重的振荡现象，称之 为Runge现象。
2012数学建模培训
培训内容
1. 插值与拟合； 2. 灰色系统； 3. 层次分析法；(重要) 4. 模糊数学方法；(重要) 5. 时间序列与马氏链； 6. 多元分析与Spss；(重要) 7. 数学规划与Lingo；(重要) 8. 图论模型及其Matlab程序；
9. 建模论文写作； 10. 建模案例讲评。 培训内容基本上覆盖了数学建模中大 部分常用的数学方法。我们相信，通过刻 苦钻研，努力学习，掌握了上述方法后， 必将大大提高建立数学模型和运用计算机 解决实际问题的综合能力，也一定会在全 国建模大赛中取得较好成绩。
上机软件与上机练习
众所周知，在建模竞赛中，能否熟练 使用相关数学软件是能否取得好成绩的关 键之一。因此，数学软件的培训应该是建 模培训的重要内容。 建模中常用的数学软件有Matlab,Spss, Lingo,Maple等。 由于培训时间有限，在课堂上只能简 单介绍Spss和Lingo，而Matlab 和Maple只
上述程序较复杂，说明如下： (1) interp2中的xi为行向量, 而yi'为列向 量，其实xi和yi行列不同即可。 (2) mesh和contour是二维插值及绘图中 的常用命令： plot3(空间曲线), mesh(空间曲面)和surf (空间曲面)是3 维作图中的常用命令。mesh 和surf的区别是：mesh画的是曲面网格图， 而surf画的是曲面表面图。
第一讲 插值与拟合
插值与拟合属数值分析中函数逼近内 容。在数学建模竞赛中，插值与拟合是一 种常用的数据分析手段，被公认为建模中 的十大算法之一。 本节首先通过具体问题引出插值问题 与拟合问题，然后简要介绍Matlab中的插 值和拟合的相关命令，最后给出两个应用 插值和拟合的建模实例。
本节要求学生： (1) 理解插值问题和拟合问题；在实际 中会正确地判断、选择插值或拟合方法。 (2) 了解高次插值的Runge 现象及避免 方法。 (3) 熟悉Matlab中一维插值(interp1)、 二维插值(interp2) 、散乱点插值(griddata) 及相关命令(surf,mesh,meshgrid,contour)。 (4) 熟悉Matlab中多项式拟合(polyfit)、
最小二乘曲线拟合(lsqcurvefit)命令。 (5) 掌握Matlab编程的基本知识与技能, 如数组及运算、调用，循环与控制语句， 绘图相关命令，函数(m文件)的定义和调用 等。
一、插值问题与拟合问题
引例 矿井中某处的瓦斯浓度 y 与该处 距地面的距离x有关，现用仪器测得从地面 到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(xi,yi) (i=0,1,…,10)，根据这些数据完成下列工作: (1) 寻找一个函数，要求由此函数可近似求 得从地面到井下500米之间任意点处的瓦斯 浓度；(2) 估计井下600米处的瓦斯浓度。
y
机翼下 轮廓线






x
Matlab程序 function plane x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); subplot(3,1,1)
解决第二个问题的常用方法是，根据 地面到井下 500 处的数据求出瓦斯浓度与 地面到井下距离x之间的近似函数关系f(x), 由f(x)求井下600米处的瓦斯浓度。 插值函数过已知点，拟合函数不一定 过已知点。通常, 插值主要用于求函数值， 而拟合的主要目的是求函数关系。当然， 某些问题既可以用插值也可以用拟合。
例2 在一天24小时内，从零点开始每 间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28， 27，25，20，18，15，13， 推测中午1点温度，并做出24小时温度曲线 图。
Matlab程序 x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]; x1=13; y1=interp1(x,y,x1,'spline') xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y, '*',xi,yi) 运行结果：y1=27.87
grid title('spline') function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;
for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
例3的程序较例2复杂，现说明如下： (1) 由于Matlab中没有Lagrange高次插 值功能(Maple有)，所以程序中单独编写了 高次插值函数lagrange，然后调用； (2) 程序中使用了子图形(subplot)、添 加网格 (grid)和标题 (title)、循环和条件语 句等。 请各位通过上机理解、掌握上述命令, 特别是函数的定义及调用。
plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r') grid
title('lagrange') subplot(3,1,2) plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r') grid title('piecewise linear') subplot(3,1,3) plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r')
样条插值结果
三、Matlab插值
Maple 和 Matlab 等数学软件可方便地 进行一维和二维多项式插值和样条插值， 其中Matlab的二维插值功能较强。 Maple中的插值和样条插值命令分别为 interp和spline。 例如， interp([1,3,4,7],[3,5,4,9],x); spline([1,3,4,7],[3,5,4,9],x,cubic)。 下面介绍Matlab中的插值命令。
能在上机过程中穿插介绍。 几乎所有的数学方法最终都要用数学 软件和程序实现，所以上机练习是与课堂 讲授同等重要的培训内容。 上机训练的主要目的和内容是通过练 习，掌握实现各类数学方法的数学软件和 程序。 上机所用数学软件和程序主要由教师 提供，学生只要会用即可。但需要提醒同
来自百度文库
学们注意的是，现成的软件和程序不可能 解决建模中的所有问题。通过上机训练， 掌握一些基本编程和计算技能(如用matlab 做数据处理、画图, 用maple做简单的解析 计算)，对于参加建模竞赛是绝对必要的。 上机前，辅导老师会布置上机练习， 提供相关软件或程序，讲解关键步骤和程 序语句。上机过程中，辅导老师负责解答 学生的疑难问题。
p( x) 220.94 x 494.91x 381.43x
10 8 6
123.36 x 4 16.86 x 2 1
Runge现象
避免 Runge 现象的常用方法是：将插 值区间分成若干小区间，在小区间内用低 次 (二次，三次) 插值，即分段低次插值， 如样条函数插值 。
请理解、掌握程序中的每个语句，并 改变插值方法，观察图形变化。
例3 已知飞机下轮廓线上数据如下， 分别画出高次插值(Lagrange)、分段线性插 值、样条插值的飞机下轮廓线。
X Y 0 0 3 1.2 5 1.7 7 2.0 9 2.1 11 2.0 12 1.8 13 1.2 14 1.0 15 1.6
contour(x,y,z,n)的功能是作出由若干点 (x,y,z)插值而成的曲面的n条等高线。 用meshc和surfc也可在曲面下方画出等 高线。meshz和surfz是画垂帘图。 (3) 程序的最后部分为求最高(低)点， 请各位通过上机揣摩min, max特别是find的 功能。 (4) 将程序中 figure 语句去除，通过观 察结果，体味figure的作用。
例1
1 f ( x) , 1 x 1 ，节点 2 1 25 x
2i xi 1 , i 0,1,10，求插值多项式 p ( x) 。 10
用Maple (Matlab高次插值功能较弱) 可 方便地求出1～20次插值多项式，通过图形 观察插值效果，见Maple程序演示。
培训方式
由于培训内容众多且有相当难度，而 培训时间又较短，所以如果学生不事先认 真预习相关内容，那么在课堂上不可能完 全听懂老师所讲内容，大部分学生会云山 雾罩，一头雾水，从而使得培训效果大打 折扣。 综上，强烈建议学生课前认真、反复 研读授课 PPT和其它相关资料，然后带着
疑问和兴趣再听老师讲解，这样才能保证 培训效果。 培训以讲解为主，适当穿插提问、讨 论。学生普遍疑惑的问题，也可当堂咨询 老师。
'method'表示插值方法：'nearest'—最邻 近插值, 'linear'—双线性插值, 'spline'—双三 次样条插值, 'cubic'—双立方插值, 缺省为双 线性插值。
例4 测得平板表面3*5网格点处的温度 分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面的温度分布曲面z=f (x,y)的图 形及等温线，并求出温度最高和最低点。
第一个问题可归结为“已知函数在 x0,x1, …,xn处的值，求函数在区间[x0,xn]内其它点 处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。 插值问题可描述为：已知函数在x0,x1, …,xn处的值y0,y1,…,yn，求函数p(x)，使p(xi) = yi。 但对第二个问题不宜用插值方法,因为 600米已超出所给数据范围，用插值函数外 推插值区间外的数据会产生较大的误差。