智能优化-模糊规划-
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xa a xb bxc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
g ( x; c, )
1 x c 2 ( ) 2 e
c代表MF的中心； 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) x c 2b 1 a
Trig(x;20,60,80)
A ( x) 1 A ( x)
模糊集合的 交与并集的隶属度
在X Y中二维模糊集合 R在X和Y的投影：
RX [max R ( x, y)] / x
X y
RY [max R ( x, y)] / y
Y x
二维的隶属函数可以进行max(OR) 和 min(AND)运算： 梯形Trap(x,-6,-2,2,6)和Trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化(续)： 以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示.
1 1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
模糊集合：
如果A是对象x的集合，而x以一定程度属于A： A {( x, A ( x)) | x A}
A ( x) 表示这个程度，称为模 糊集合A的隶属函数
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合 接近6的数构成的集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
模糊规划的几个相关概念: 1) 模糊集及其隶属度； 2) 隶数度函数的表示； 3) 模糊集合的交与并运算；
4) 模糊集的水平截集；
0. 模糊的概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
1) 模糊集合和隶属函数
精确集合（非此即彼）： A={x|x>6}
精确集合的隶属函数(二值函数)：
1 A 0 如果 x A 如果 x A
钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算
22
8) 模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
L (C) 0.91
Pr [ A L] 0.91
ຫໍສະໝຸດ Baidu
L {可饮液体的集合 }
6. 线性规划的例子：
例 设某玩具公司生产两种玩具。玩具A是高附加值玩具， 每个可以获利0.40美分；玩具B是较低附加值玩具，每个 可以获利0.30美分；但是玩具A的生产时间是玩具B的两 倍，生产一个玩具B需要一个小时. 该公司每天有生产400 具玩具的材料和500个劳动小时, 假设所有的玩具都可以 销售出去，试求一个能够获得最大利润的生产计划.
设x1和x2分别是A和B种玩具的产量
导出的模糊规划的例子：管理者的一个考虑是
1）他可以让工人多加班获取更多的劳动时间；
2）他可以让供应商哪里获取更多的原材料； 因此原线性规划及其模糊规划的目标函数分别为：
线性规划
模糊线性规划
max z 0.4 x1 0.3x2 s.t. g1 ( x) x1 x2 400 g 2 ( x) 2 x1 x2 500 x1 , x2 0
1
6
13
例 令X = R+ 为人类年龄的集合(这是一个精确集 合), 而模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示 为: B { x, B ( x ) | x X }
1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
2) 隶属度有离 散的形式和连 续形式:
图示如右:
1 c ( x) , x R 4 (1 ( x 11) )
则决策的隶属函数为
D ( x) 0 ( x) c ( x)
min{(1 ( x 10)2 )1 ,(1 ( x 11) 4 ) 1} (1 ( x 11) 4 ) 1 , x x* (1 ( x 10) 2 ) 1 , x* x 10 0, x 10
可以证明: λ*-maxμG(x)=0, x ∈Cλ
据此，可以求出X*
例6.3.1. 设目标函数为 “x 尽可能大于10”， 此目标函数可以用隶属函数表述
0, x 10 0 ( x ) 1 (1 ( x 10)2 ) , x 10
约束条件“x应在11附近”则可以 用以下隶属函数表达为
max z 0.4 x1 0.3x2 s.t. g1 ( x) x1 x2 400 g 2 ( x) 2 x1 x2 500 x1 , x2 0
模型类型: 资源，目标函数，系数等模糊的情况 结构类型: 分为对称型与不对称型
对称型：模糊决策为目 标函数模糊集与 约束模糊集的交集。 非对称型:目标函数与约束处理方 法不同
5)隶属函数参数化 三角形隶属函数
0 xa ba trig ( x; a, b, c) c x c b 0
0 xa ba Trap( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
xa a xb bxc cx
1.对称优化数学模型 若论域X上的模糊目标集为 G，模糊约束集为 C， 则它们的交集D=G∩C称为模糊优越集。 对称模糊优化设计的基本思想是，在设计空间 中寻求模糊优越集的隶属度取大值的x*，称为模 糊最优解:
μ D (x*)= maxxμ D (x) = maxx {μ D (x)∧μc (x)}
概念:
支集( A) {x | A ( x) 0}
截集（ A） {x | A ( x) }
交叉点
核 截集 支集
4) 模糊集合的运算 包含或子集： A B A ( x) B ( x)
并（析取） C A B C max( A ( x), B ( x)) A ( x) B ( x) 交（合取） C A B C min( A ( x), B ( x)) A B 补（负） A , A或非A
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
g ( x; c, )
1 x c 2 ( ) 2 e
c代表MF的中心； 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) x c 2b 1 a
Trig(x;20,60,80)
A ( x) 1 A ( x)
模糊集合的 交与并集的隶属度
在X Y中二维模糊集合 R在X和Y的投影：
RX [max R ( x, y)] / x
X y
RY [max R ( x, y)] / y
Y x
二维的隶属函数可以进行max(OR) 和 min(AND)运算： 梯形Trap(x,-6,-2,2,6)和Trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化(续)： 以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示.
1 1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
模糊集合：
如果A是对象x的集合，而x以一定程度属于A： A {( x, A ( x)) | x A}
A ( x) 表示这个程度，称为模 糊集合A的隶属函数
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合 接近6的数构成的集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
模糊规划的几个相关概念: 1) 模糊集及其隶属度； 2) 隶数度函数的表示； 3) 模糊集合的交与并运算；
4) 模糊集的水平截集；
0. 模糊的概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
1) 模糊集合和隶属函数
精确集合（非此即彼）： A={x|x>6}
精确集合的隶属函数(二值函数)：
1 A 0 如果 x A 如果 x A
钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算
22
8) 模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
L (C) 0.91
Pr [ A L] 0.91
ຫໍສະໝຸດ Baidu
L {可饮液体的集合 }
6. 线性规划的例子：
例 设某玩具公司生产两种玩具。玩具A是高附加值玩具， 每个可以获利0.40美分；玩具B是较低附加值玩具，每个 可以获利0.30美分；但是玩具A的生产时间是玩具B的两 倍，生产一个玩具B需要一个小时. 该公司每天有生产400 具玩具的材料和500个劳动小时, 假设所有的玩具都可以 销售出去，试求一个能够获得最大利润的生产计划.
设x1和x2分别是A和B种玩具的产量
导出的模糊规划的例子：管理者的一个考虑是
1）他可以让工人多加班获取更多的劳动时间；
2）他可以让供应商哪里获取更多的原材料； 因此原线性规划及其模糊规划的目标函数分别为：
线性规划
模糊线性规划
max z 0.4 x1 0.3x2 s.t. g1 ( x) x1 x2 400 g 2 ( x) 2 x1 x2 500 x1 , x2 0
1
6
13
例 令X = R+ 为人类年龄的集合(这是一个精确集 合), 而模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示 为: B { x, B ( x ) | x X }
1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
2) 隶属度有离 散的形式和连 续形式:
图示如右:
1 c ( x) , x R 4 (1 ( x 11) )
则决策的隶属函数为
D ( x) 0 ( x) c ( x)
min{(1 ( x 10)2 )1 ,(1 ( x 11) 4 ) 1} (1 ( x 11) 4 ) 1 , x x* (1 ( x 10) 2 ) 1 , x* x 10 0, x 10
可以证明: λ*-maxμG(x)=0, x ∈Cλ
据此，可以求出X*
例6.3.1. 设目标函数为 “x 尽可能大于10”， 此目标函数可以用隶属函数表述
0, x 10 0 ( x ) 1 (1 ( x 10)2 ) , x 10
约束条件“x应在11附近”则可以 用以下隶属函数表达为
max z 0.4 x1 0.3x2 s.t. g1 ( x) x1 x2 400 g 2 ( x) 2 x1 x2 500 x1 , x2 0
模型类型: 资源，目标函数，系数等模糊的情况 结构类型: 分为对称型与不对称型
对称型：模糊决策为目 标函数模糊集与 约束模糊集的交集。 非对称型:目标函数与约束处理方 法不同
5)隶属函数参数化 三角形隶属函数
0 xa ba trig ( x; a, b, c) c x c b 0
0 xa ba Trap( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
xa a xb bxc cx
1.对称优化数学模型 若论域X上的模糊目标集为 G，模糊约束集为 C， 则它们的交集D=G∩C称为模糊优越集。 对称模糊优化设计的基本思想是，在设计空间 中寻求模糊优越集的隶属度取大值的x*，称为模 糊最优解:
μ D (x*)= maxxμ D (x) = maxx {μ D (x)∧μc (x)}
概念:
支集( A) {x | A ( x) 0}
截集（ A） {x | A ( x) }
交叉点
核 截集 支集
4) 模糊集合的运算 包含或子集： A B A ( x) B ( x)
并（析取） C A B C max( A ( x), B ( x)) A ( x) B ( x) 交（合取） C A B C min( A ( x), B ( x)) A B 补（负） A , A或非A