八年级数学因式分解知识点

第四章 因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:

一、提公因式法．

如多项式),(c b a m cm bm am ++=++

其中m 叫做这个多项式各项的公因式, ｍ既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法．

运用公式法,即用

))((,

)(2),

)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-

三、分组分解法．

(一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式!

=))((b a n m ++

思考:此题还可以怎样分组?

此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102

解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式＝)510()2(by ay bx ax +-+-

＝)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

（二)分组后能直接运用公式

例３、分解因式:ay ax y x ++-22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-

＝)())((y x a y x y x ++-+

=))((a y x y x +-+

例４、分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+-

＝22)(c b a --

＝))((c b a c b a +---

练习:分解因式3、y y x x 3922--- ４、yz z y x 2222---

练习:(1）3223y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4)a b b ab a 4912622-++-

(5)92234-+-a a a (6）y b x b y a x a 222244+--

(7）222y yz xz xy x ++-- （８)122222++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y (10）)2())((a b b c a c a -+-+

(11)abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（1２)abc c b a 3333-++

四、十字相乘法．

(一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：(1)二次项系数是１；

(2)常数项是两个数的乘积；

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652

++x x

分析:将６分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。

由于6=2×３=（-2)×(-3）=１×6＝（-1)×（-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=５。 1 2 解：652++x x ＝32)32(2⨯+++x x 1 3 ＝)3)(2(++x x 1×2+１×３=5

用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672+-x x

解:原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -１

=)6)(1(--x x １ -6

（－１）+（-６）= -7

练习５、分解因式(1)24142++x x （2）36152+-a a (３)542-+x x

练习６、分解因式（1)22-+x x (2)1522--y y （3)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：(1）21a a a = 1a 1c

(2）21c c c = 2a 2c

（3)1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式:101132+-x x

分析： 1 -2

3 -５

(-６）+(-5)= -11

解:101132+-x x ＝)53)(2(--x x

练习７、分解因式：（１)6752-+x x （2）2732

+-x x

（3)317102+-x x (4）101162++-y y