求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

1 、已知三角形ABC 中，AC=3 ，BC=4 ，AB=5 ，P 是三角形ABC 内一点，求PA+PB+PC 的最小值.

解：由题意三角形ABC 为直角三角形，以直角顶点 C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y轴建立坐标系（如图）

则C（0，0）A（0，3）B（4 ，0）

以 B 为旋转中心，将△ BPC 绕点 B 逆时钟旋转60°至△ BP'C' ，连接PP' 、CC'、AC' 则△ BPP' ，△ BCC' 均为等边三角形

所以PB=PP' ，PC=P'C'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C≥' AC'

而C'（2 ，- 2√3）

所以AC'=√[（0-2 ）2+ （3+2√3 ）2]=√ （25+12√3 ）即PA+PB+PC 的最小值等于AC' 的长√（25+12√3 ）.

2 、已知三角形ABC 中，AB=10 ，AC=17 ，BC=21 ，P 是三角形ABC 内一点，求PA+PB+PC 的最小值.

解：过A作AD⊥BC 于D，设BC=x ，则CD=21-x 由勾股定理得AD2=102-x2=172-（21-x ）2，解得x=6 ，AD=8 ，DC=15

以 D 为坐标原点，BC 为x 轴，DA 为y 轴建立坐标系（如图）

则A（0，8）B（-6 ，0）C（15，0）

以 C 为旋转中心，将△ CPB 绕点 C 逆时钟旋转60°至△ CP'B' ，连接PP' 、BB' 、AB' 则△ CPP' ，△ CBB' 均为等边三角形所以PC=PP' ，PB=P'B'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B≥' AB'

而B' （9/2 ，- 21√3/2 ）

所以AB'=√[（0-9/2 ）2+ （8+21√3/2 ）2]= √

（415+168√3 ）.

即PA+PB+PC 的最小值等于AB' 的长√（415+168√3 ）. 【补充说明】（1 ）如图，以△ ABC 的三边为边，分别向外作等边三角形BCD 、ACE、ABF，连接AD 、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠ APB= ∠APC= ∠ BPC=120 ° ，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且

证明：∵ AF=AB ，∠ FAC= ∠BAE ，AC=AE ∴△ AFC ≌ABE

∴CF=BE

同理可证△ BCF ≌BDA ，CF=AD

∴AD=BE=CF.

∵△ AFC ≌ABE

∴∠ AFC= ∠ABE

∴∠ BPF= ∠BAF=60° ，∠BPC=12°0 同理可证∠ APB= ∠ APC=12°0

∴∠ APB= ∠APC= ∠ BPC=12°0

至于P 到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。

（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点P 到这三点的距离之和最短

解：如果三个点在同一直线上，P 点为居中的那个点如果三个点能组成三角形，这里的点P 就是著名的“费马点这时的一般结论是：

当三角形有一个内角大于或等于120 度的时候，费马点就是这个内角的顶点；

如果三个内角都小于120 度，那么，费马点就是使得费马点

与三角形三顶点的连线两两夹角为120 度的点。

作法：设三点为A、B、C

1 、作等边三角形ABD 、等边三角形ACE

2 、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点P 则P 即为拟求作的点