连续系统数值积分仿真方法学

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连续系统仿真步骤
1 建立数学模型：微分方程、状态方程、传 递函数
2 建立仿真模型：选择仿真算法，将数学模 型转化为仿真模型
3 编写运行程序：选择某种语言，写出计算 机仿真程序，进行运行，获得仿真结果
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数值积分法系统仿真
数值积分法：面向方程的系统仿真、面向结 构图的系统仿真。
给定步长h，如果计算结果对初始误差或计算误差 不敏感，算法是稳定的。
不稳定的算法，误差会恶性膨胀，计算结果发散， 仿真失败。
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3.2龙格-库塔法（RUNGE-KUTTA）
间接利用泰勒展开式，用几个点上的斜率线 性组合代替Y（t）的各阶导数
然后用TAYLOR级数展开式确定线性组合中 各加权系数
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k1 f y0,t0
k2

f
y0

k1h, t0

h
f
t0 ,
y0



f t

k1
f y

h t t 0, y y 0
y1

y0

1 2
f
t0 ,
y0 h

h 2

f
t0 ,
y0
f y
dy dt
数值积分法：
yt f t, yt a t b
y0 y0
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数值积分法的任务：寻求真解在一系列离散 点上数值解
数值积分法要解决的问题：如何对函数F（t， y）进行数值积法
基本方法：单步法、多步法、预估—校正法 （精度、速度、稳定性不一样）
隐式：Yn+1的递推公式中，用到了Yn+1的 数值（需要预估）
4 截断误差（泰勒展开）
欧拉法是一阶精度的，改进的欧拉法是二阶 精度的
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5 舍入误差：由于计算机字长引起的误差
6 初始误差：给定的初始值与真值之间的差异
7 数值解的稳定性：由于误差的影响，计算步长选 择不合适，有可能使数字仿真结果出现不稳定的现 象

yn hf
tn, yn
yc n1

yn
源自文库
h 2
f
tn, yn
f
tn1,
yp n1
先用欧拉法进行预估，再代入梯形公式
它是一种多步法，不能自启动，必须用其它 方法求以前的多步解。
以上只适于一阶微分方程组，高阶要降阶处 理。
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三、 数值积分法的几个基本概念
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另一套递推公式
yk 1 yk hk2
k1 f yk , tk k2 f yk k1h / 2, tk h / 2
基本思路：以欧拉法为例进行说明。
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在若干离散点处，求出若干的y值来代替连续 变量y（t），数值积分法就是一种把连续变 量离散成离散变量的一种方法。
一、 欧拉法
yk1 yk tk1 tk y tk
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y0 y0 y0 f 0, y0 y1 y0 t2 t1 f 0, y0 y2 y1 t3 t2 f t1, y1
第三章 连续系统数值积分 仿真方法学
3.1 连续系统数值积分法基本原理 3.2 Runge-Kutta积分法 3.4 数值积分法稳定性分析 3.5 数值积分法的选择与计算步长的确定 3.6 通用仿真程序
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概述
连续系统仿真：借助于计算机，求解数学模 型
关键问题：如何选择一种算法，将系统模型 转化为能在计算机上运行的离散模型
1 算法自启动
只要知道初值，能递推一系列离散解，无需 其它算法的辅助（如欧拉）
2 单步法与多步法
采用的递推公式，都是步进的，如果由Yn能 求得Yn+1，不需其它信息（单步）
如果，为了求Yn+1，需要Yn、Yn-1等信息 （多步）
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3 显式与隐式
显式：Yn+1递推公式中，用不到Yn+1的数 值
两类仿真算法： 数值积分法：欧拉法、龙格-库塔法 离散相似法：离散状态法、屠斯丁法
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连续系统的数学模型
一、微分方程： 常见：单变量、线性定常微分方程。 y’’+5y’+6=3x 它是根据数学力学原理推导而出 二、传递函数 G（S）=Y（S）/X（S） 三、状态方程 中间状态—输入之关系 输出方程：中间状态—输出关系
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举例
y y2 0 y0 1 h 0.1
yn1 yn hf tn, yn yn h yn2 yn 0.1yn2
y1 y0 0.1y02 0.9
y2 y1 0.1y12 0.819
由于是近似的，肯定有误差，可减小步长 h法=提tK+高1-t精K，度但是步有长限过的小。，计算量太大，通过此
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二、 改进欧拉法（梯形法）
用梯形面积代替小区间曲线积分，可以比欧 拉法提高精度。
yk1

yk

h 2
f
tk , yk

f
t k 1 ,
y0 k 1
y0 k 1

yk
hf
tk , yk
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一次迭代求近似解
y p n1
既提高了精度，又省去了高阶导数计算
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一、龙格-库塔数值积分公式
将y（t）在t0，y0处用台劳级数展开，保留h2 及以前的项。
y1

y0

y0h

1 2
y0 h 2
y1

y0

f
t0 ,
y0
h

1 2

f y
dy dt

f t

h2
t t 0, y y 0

f t

h
y1

y0

k1

k2

h 2
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t0 , y0 , h k1, k2 y1 y2 y3
yk1 yk hk1 k2 / 2 k1 f yk ,tk k2 f yk k1h,tk h
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