压缩映射原理及其应用

压缩映射原理及其应用
压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。

他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ∀∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。

而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。

定义为：
设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。

利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。

例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。

在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。

如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。

利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。

首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即：
n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞
()314x f x x =++，()()
21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出：
()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到：
1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r
++-+-+--≤
-=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令
n →∞，得到()314A A f A A
==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞
=。

例1中设定了一个距离()()()()
()111,,,,n n n n n n a a f a f a a a r ρραρα+--=≤=，这证明
了函数()314x f x x
=++是定义域上的一个压缩映射，则可马上得出存在唯一不动点，即存在极限。

利用压缩映射求解点列极限的问题时，只要能成功构建出一组映射并证明其为压缩映射，则极限存在。

相较于利用递推等方法求得极限更加便捷。

压缩映射原理另一个重要的用途就是证明函数在完备空间中具有唯一不动点。

在比较两种模型时，判断比较方法是否平衡需要用到不动点，如果两者按某种算法处理存在一个相同的不动点，则可以认为这种算法是平衡的。

压缩映射原理还可以求解一些方程的近似解，利用不动点可以得到近似解的误差估计公式：
()()()00,lim ,,1n
n n k n k x x x x Tx x αρρρα
+→∞==-。