浅析高考题中的高等数学背景
一道高考数学试题的高等数学背景研究
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
高考数学试题中的高等数学背景
≤
．
－
干
一
— — — —
Ｐｂ ｚ ‘— ｂ ‘ —
－
６ ，
—
综上， 得
．
１
４ 。 － ｂ ’ ２ 。 。 。 ＋ 。 ‘ ＂ ＂ 。 。 － ＇ 。 ‘ ｋ — ｂ — — ｂ ｒ ｔ
≤踯 …碑 ≤ 蹭＋６ ； ＋… ＋礤
证明 ：
Ｉ ｎ ｘ ≥ （ １ ｎ ＋ ） （ ． Ｔ － 音 ） ＋ 去 ｌ ｎ １ ， 即ｘ ｌ ｎ ｚ ≥ （ １ ｎ 吉 ＋ １ ） 一 － １ ＿ 。 （ １ ）
构造 函数
ｇ （ ） ＝ － ： ｘ ｌ ｎ 一 １ 斗 １ ） ｚ
＋ （ Ｏ ＜ ＜ １ ） ，
先 证 砖 …磅 ≤ ＋雕＋ … ＋磙 注意
到ｂ ＋６ 。 ＋…＋ 一１ ， 应用琴生不等式得
， Ｊ ｝ 磅 …
一６ ・６ ・ 千
ｌ ｎ ≥ （ １ ｎ － Ｆ １ ） ｂ ￣ 一 寺 ，
当走 一１ ， ２ ， …， ， ｚ 时， 获得 个不 等式 ， 叠加得
例３ （ ２ ０ ｉ １ 年 湖 北高 考 理科 数 学第 ２ １
题） （工）已 知 函 数 ｆ（ ） 一Ｉ ｎ ～－ ｚ＋ １ ， － ｚ ∈（ Ｏ ， ＋∞ ） ， 求 函数 Ｌ ， 、 （ ） 的最 大值． （ １ Ｉ ） 设ａ ， ｂ （ 志 一１ ， ２ ， …， ） 均 为正 数 ，
１ 具 有 凸凹性 背景
（ Ｉ） 证 明： ｎ ＜一
… ：
， 咒 一３ ， ４ ， ５
例１ （ ２ ０ ０ ２ 年高考北京 卷第 １ ２ 题） 如 图１ 所示 ， （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 是定义在［ ０ ， １ ］ 上的 ４ 个 函数 ， 其中满足性质 “ 对［ Ｏ ， １ ］ 中 任意的 Ｘ ， 和Ｘ ２ ， 任意 的 ∈［ Ｏ ， １ ］ ， ｆ Ｆ ａ ｘ ＋
一道高考试题的高等数学背景探究
对高考数学北京理科卷中的一道函数压轴题进行高等数学知识背景分析探究其命题源头构建思路并结合相关结论给出一个有别于官方参考答案的简单解法
一道高考试题的高等数学背景探究
作者：***
来源：《速读·下旬ห้องสมุดไป่ตู้2019年第03期
摘要：对高考数学北京理科卷中的一道函数压轴题进行高等数学知识背景分析，探究其命题源头、构建思路，并结合相关结论给出一个有别于官方参考答案的简单解法。不仅帮助学生拓宽视野、发散思维，也为不同层级间数学知识的衔接教学提供了有益参考。
聚焦高考题中的高等数学背景
因为 a1 = b , 所以
1
an >
点关于直线 y = kx +
1
b
1 对称 , 求 b 的最小值 . 2 a2 + 1 53
+
解析 : ( 1) 当 a = 1 , b = - 2 时 , f ( x ) = x 2 -
© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
解析 :当 x ∈ ( 0 , 1) 时 , ( 2 x ) ″= 2 x ln2 2 > 0 ;
( log2 x ) ″= -
1
x ln2
2
2 < 0; ( x )″ = 2 > 0 ; ( co s2 x ) ″
= - 4co s2 x , 当 x ∈ ( 0 , x ∈(
π ) 时 , ( co s2 x ) ″< 0 ; 当 4
f ( x ) = x.
0 < an ≤
所以 即
1
an
1
an -
≥
1
an- 1
≥
1
a1
1
n
,
例 3 ( 2002 年上海卷) 对于函数 f ( x ) , 若存 在 x0 ∈R , 使 f ( x 0 ) = x 0 成立 , 则称 x0 为 f ( x ) 的 不动点 . 已知函数 f ( x ) = ax 2 + ( b + 1) x + ( b 1) ( a ≠0)
n →∞
(Ⅱ ) 有极限 , 且 lim an = 0 . (Ⅲ ) 因为
0 , 存在正整数 N , 当 n > N 时 , 有 | an - a | < ε, 则
“剪不断,理不乱”的高等数学与高考试题
“剪不断，理不乱”的高等数学与高考试题——浅谈几道高考题的高等数学背景华中师范大学数学与统计学学院，430079，任后兵，郑俊明随着新课改的不断深入，高考试题不断创新，对学生创新意识和创新能力，自主探究能力的要求逐步提高. 纵观近几年全国各地高考数学题，不难发现其中有许多试题都蕴含高等数学背景，主要表现在它们或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中. 高等数学与初等数学“剪不断，理不乱”相结合，使得这些试题在试卷中别具一格，成为一道亮丽的风景；同时它能宽角度，多观点地考查学生的数学素养，有层次地深入了解学生的数学逻辑思维和进一步深造的潜能，也为学生将来学习高等数学起着潜移默化的促进作用. 下面笔者把2012年全国各地高考中几个有高等数学背景的题目举例出来和大家共同学习.一、 以凸函数为背景凸函数是指函数的凹凸性.设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数）（1,0∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为I 上的凸函数. 类似地可以定义凹函数.函数的凹凸性是高等数学中较为重要的概念，在高考、数学竞赛等命题中深受命题者的青睐，以函数凹凸性为背景的试题屡见不鲜.例1 (福建卷第10题)函数)(x f 在[a,b]上有定义，若对任意21,x x ∈[a,b]，有)]()[f (21)2(2121x f x x x f +≤+，则称)(x f 在[a,b]上具有性质P 。
设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①)(x f 在[1,3]上的图像是连续不断的；②)(2x f 在上具有性质P ； ③若)(x f 在x=2处取得最大值1，则)(x f =1，x ∈[1,3]； ④对任意[1,3],,,4321∈x x x x ，)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++其中真命题的序号是（ D ）A.①②B.①③C.②④D.③④探析 根据凸函数的定义可知该小题含有凸函数的高等数学背景，不难看出在定义中取21=λ时，可得题设中)]()[f (21)2(2121x f x x x f +≤+，由此可知满足已知条件的函数)(x f 就是定义在b][a,上的凸函数,因此本题可以直接利用凸函数的性质（文[1]）来解.高等解法 （1）因为凸函数只要求在开区间上必须连续，所以可以构造函数⎩⎨⎧∈==]3,1(,1,2)(x x x x f ，它在[1，3]上不是连续函数，①不正确；（2）取121(x )<<-=k x f k ，，它在[1,3]上是凸函数，但，kx f 22)(x -=121<<k ，根据凹函数定义，它在[1,3]上是凹函数，即它不再具有性质P ，②不正确；（3）)(x f 在x=2处取得最大值1，则该函数一定是常量函数，且1)(=x f ，③正确；（4）因为)(x f 为凸函数，根据Jensen 不等式得)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++，④正确.评注 事实上，在本题的选材上，命题专家们也注重了对教材中现有素材的利用与挖掘.不难发现，试题的形式直接源于教材，选自普通高中课程标准实验教科书高中数学必修一第45页B 组第5题第2小问，现摘抄本题如下：“若,)(2b ax x x g ++=则)2(21x x g +≤2)()(21x g x g +.”本题若用初等数学解法求解,关键是能正确理解式子)]()[f (21)2(2121x f x x x f +≤+的几何直观含义：在[a,b]上,横坐标为21,x x 的中点221x x +的函数值⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ，不大于以点()()11,x f x 和点()()22,x f x 为端点的线段的中点的纵坐标值)]()[f (2121x f x +.但对于①，很多学生会受课本中b ax x x g ++=2)(函授模型的影响，以为()x f 一定是连续的；对于④，也需要具有较强的不等式证明能力，初等证明如下：对任意[1,3]2,2[1,3],,,43214321∈++∈x x x x x x x x ，则，由定义有，)]()[f(21)2(2121x f x x x f +≤+)]()([21)2(4343x f x f x x f +≤+，从而有 )]2()2([21)222(43214321x x f x x f x x x x f +++≤+++()()[]+⎩⎨⎧+≤212121x f x f ()()[]⎭⎬⎫+4321x f x f ，化简得)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++. 例2 （湖南卷第22题）已知函数()axf x e x =-，其中0a ≠.（Ⅰ）略；（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k . 问：是否存在012(,)x x x ∈，使k x f >')(0成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.探析 由于指数函数ax e y =为凸函数，因此本题可以紧扣凸函数的性质（文[1]）来解答.设f 为区间I 上的可导函数，则f 为I 上凸函数f '⇔为I 上的增函数f ⇔的图像总是在它的任一条切线的上方. 下面利用凸函数的性质给出不同于参考答案的解法.解析 (Ⅱ)若存在012(,)x x x ∈，使k x f >')(0成立，等价于k a x f ax >-='1e )(00，12121212120121201)(1)()(11,e)(x x e e x x x e x e x x x f x f k k a x f x x x x ax --=+----=+--=++>='又即所以1+k 为axe x g =)(上两点))(,(111x g x A ，))(,(222x g x A 的斜率，原问题转化为在axe x g =)(的图像上1A 、1B 之间找到0x 使得0x 处的斜率大于直线11B A 的斜率.当0a >时，令111e )(B A axk k a x g =+=='，解得aa k x 1ln+=，此时斜率相等.由于0)(2>=''ax e a x g (()x g 为凸函数)知导函数)(x g '严格单调递增，结合右图当),1ln (20x aa k x +∈时，可得1e )(00+>='k a x f ax ；当0<a 时，类似地可得到同样的结果. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为),1ln(2x aa k +. 评注 紧扣指数函数导函数的单调性，结合图像，以及导函数与斜率的关系，以形助数，比较直观的得出0x 的范围.二、以麦克劳林（Maclaurin ）公式为背景若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,上存在）（1+n 阶导函数，则对任意给定的,x 当[]b a ,0∈时，至少存在一个()1,0∈θ，使得()()()()++''+'+= 2!2000x f x f f x f ()()()()()11)(!10!0++++n n n n x n f x n f ()10<<θ,此式称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.例3 （辽宁卷第12题）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ C ）(A)21x x e x++≤211124x x <-+(C)2211cos x x -≥ (D) 281)1ln(x x x -≥+ 探析 四个选项涉及到指数，三角和对数这三种不同类型的函数与多项式函数的比较，仔细推敲不等式左右两边的特征，发现它们正是来自于高等数学中的麦克劳林公式. 当然也可以利用初等方法中的求导函数，通过函数的单调性与最值来判断选项，否则也不会出现在高考试题中了，作为选择题也可以用特殊值等方法作出判断，下面结合马克劳林公式来分析本题.高等解法 根据（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式：当[0,)x ∈+∞时，经过分析可得A 、)1,0(,24621432∈++++=θθx x x x x e x x，显然2432124e 621x x x x x x x ++≤++++θ不恒成立； B 、(0,1),1432111225-∈++-=+θθx x x x（.<211124x x -+， 则41432225-x x x <+）（θ，即3125>+）（x θ，θ1-95>x ，所以当 ]1-9,0[5∈x 时，不等式不成立； C 、(0,1),24cos 21cos 42∈+-=θθx x x x ，当2π≤x ，21cos 2x x -≥，当2π>x 时这是显然的； D 、22)(12)1(ln x x x x θ+-=+，若281)1l n (x x x -≥+，则8)(12222x x x x x -≥+-θ，解得θ1>x，所以当]1,0[∈x 时，不等式不成立.评注 用初等方法解决了一道以高等数学的Maclaurin 公式为背景的不等式高考题，考查了学生的转化思想、推理论证能力、判断能力以及运算能力，体现了解决高中数学问题的延展性. 同时也提醒我们遇到有些题目时，应该有追溯题目来源，探究命题者意图的意识.三、以定积分为背景例4 （天津卷第22题）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中>0a .（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）证明：=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 探析 参考答案利用第（Ⅱ）问的结论得出)0(2)(2≥≤x x x f ，再通过)12)(32(2)12(2)122(2--<-≤-i i i i f 进行放缩证明了不等式（Ⅲ）. 如果仅就第（Ⅲ）问来解答，我们可以将),2,1}(122{n k k ，⋯⋯=-看做数列，采用定积分来放缩. 高等解法 当1=n 时，显然成立；当2≥n 时，记)1(122)(≥-=x x x h ，在),1[+∞上连续可积，且0)(>x h 又)(x h 在),1[+∞上单调递减，由文[2]推论3.1.1.1知，)12ln(212221222122121-+=-+<-+=-⎰∑∑==n dx x i i nni ni因此可以得到更强的不等式2)12ln(1221<---∑=n i ni ，原命题显然成立.例5 （上海卷第13题）已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .探析 做出大致图像，由解析式及抛物线的对称性易可知，所求面积也就是矩形ODAC 的面积，即 452521=⨯. 另一方面，如果观察不出来图像的特征，我们可以结合图像与x 轴围成的图形的面积与定积分的联系加以解决.高等解法 由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=121,1010210,10)(x x x x x f ，22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩，根据文[1]积分运算法则解得，图像与x 轴围成的图形面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形面积为45 . 评注 本题虽然是考察图像与x 轴围成的图形的面积，可是很多考生没有观察出图像的对称性，其实主要考察定积分的几何意义，笔者认为这也是命题者的意图. 由于积分知识在高等数学中才有详细的介绍，对于解决稍显复杂的积分，有时我们可以将问题转化为几何意义，结合图像加以解决.四、以狄利克雷函数为背景例6 （福建卷第7题）设函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x D 0,1)(，则下列结论错误的是（ C ）)(.x D A 的值域为{0,1} )(.x D B 是偶函数 )(.x D C 不是周期函数 )(.x D D 不是单调函数探析 题目中的函数即狄利克雷函数（文[1]），在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。
高等数学背景下的高考数学1
高等数学背景下的高考数学高考数学学科的命题，在考察基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考察，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时试题力求立意新颖、表达脱俗、背景公平。
高观点题是指与高等数学相联系的问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想和推理方法，高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识。
通过对近年高考试题的探究，不难发现高等数学背景下的高考数学有以下趋势：趋势1：涉及的问题往往是数学的某一分支学科发展初期比较核心的问题或某一分支中比较著名的问题, 这些问题能够反映该分支的思想或方法;趋势2：将高等数学中与初等数学比较靠近的内容（ 如凸凹性、不动点原理、压缩映象原理等）直接和间接以定理的形式给出，考查学生转换（化归、迁移）问题的能力。
趋势3：作为数学核心概念及基本思想和技能的内容: 函数、统计、导数、向量、逼近、算法、图论初步、矩阵与变换等内容和反映数学文化及对数学发展起重大作用的数学名题仍会是出题的热点。
一、以函数知识为载体，研究函数的各类性质题设中直接引入了高等数学中的某些概念、结论、运算等，要求学生能内化题目给定的信息，抓住相应的关系和特征，结合原有的初等知识解决问题。
1、函数的凹凸性凹凸函数是高等数学的一类重要函数,自现行高中数学教材中新增了导数的内容后, 以该类函数为背景的试题备受命题者的青睐.例1、如图)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质“对]1,0[中的任意的21,x x ，任意的]1,0[∈λ，有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的有（ ）注：本题以函数凹凸性入题，实际考察了判断函数的凹凸性的方法——高考中的热点问题。
例2、在x y 2=，x y 2log =，2x y =，x y 2cos =中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3注：本题以函数凹凸性入题，实际考察了判断四个函数的凹凸性的方法,凹凸函数是高等数学的一类重要函数,自现行高中数学教材中新增了导数的内容后, 以该类函数为背景的试题备受命题者的青睐。
高考数学中的高等数学背景探究
都 有 选 举 权 和 被 选 举 权 ，他 们 的 编 号 分 别 为 1，2，… ，k，规 定 ：同 意 按
“1”， 不 同 意 （含 弃 权 ）按 “0”, 令 ：
∈1，第 i 号同学同意第 j 号同学当选；
aij = 0，第 i 号同学不同意第 j 号同学当选．
其中 i＝1，2，… ，k，且 j＝1，2，… ，k，则 同 时 同 意 第 1，2 号 同 学 当 选
故 G 关于运算茌为“融洽集”．
④因集合 G 对运算茌“封闭”，但 G 中不存在单位元，所以 G 关于
运 算茌不 是 “融 洽 集 ”．
⑤因两个虚数相乘可能为实数，故集合 G 对运算茌不“封闭”，所
以 G 关于运算茌不是“融洽集”．
综上可知，G 关于运算茌为“融洽集”的是①，③．
例 3 某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班 k 名同学
773
2010 年 第 35 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○高校讲坛○
科技信息
三本学校工程测量教学改革初探
尹锦明 （南京理工大学泰州科技学院土木工程学院 江苏 泰州 225300）
【摘 要】工程测量是高等学校土木工程专业的一门重要的基础课程。本文结合三本院校实际情况，从课程内容改革、教学方式改革和考核 方式改革三个方面，探讨了在工程测量课程中如何更好的组织教学，激发学生的学习兴趣，从而实现工程测量课程目标。
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
高考数学试题的背景研究
高考数学试题的背景研究高考数学试题的背景研究赵荣夫(江苏省徐州市侯集中学221121)高考数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查,注重展现数学的科学价值和人文价值.同时试题力求立意新颖、表述脱俗、背景公平.下面笔者从试题的来源出发对命题背景作些探讨.1 植根于课本着眼于提高课本是数学知识和数学思想方法的载体,又是教学的依据,理应成为高考试题的源头.因此高考命题注重课本在命题中的作用,充分发挥课本作为试题的根本来源的功能.通过对高考数学试题命题的研究可以发现,每年均有一定量(10题左右)的试题,通过变形、延伸与拓展来命制的.表现为三个层次:第一,选编原题、仿制题.即有的题目直接取自教材,有的是课本概念、公式、例题、习题的改编.如2006年湖北理科卷第15题和辽宁理科卷第17题以及广东卷第9题等;第二,串联方法、综合习题.也就是说,有的题目是教材中几个题目或几种方法的串联、并联、综合与拓展.比如2006年广东卷第15题,湖南文科卷第16、19题等;第三,活加层次、动添参数.即通过增加题目的层次,设置隐含的条件、引进讨论的参数,改变设问的方向等,提高题目的灵活性和综合性.比如2006年湖南理科卷第20题:对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1-污物质量物体质量(含污物))为0.8,要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x+0.8x+1(x>a-1),用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.< p="">(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.该题显然源于人教版《数学》(必修)第一册(上)第98页“小结与复习”的例2(也是2001年上海高考题),经过加工改造整合而成.本题背景公平、平凡中见真奇、立意新颖,综合考查了函数、不等式和导数等知识,体现了高考在“知识网络交汇点”命题的指导思想.教材中有不少题目,如果我们对其进行挖掘、延伸、转化和拓广,就会得到一些综合性强,符合创新精神的新命题,这样不仅能激发学生的学习兴趣,而且符合高考题源于课本、高于课本的命题思想,同时能引导学生跳出“题海”,回归课本,重视教材.2 顺应新课改体现新理念目前新一轮课程改革正在如火如荼的进行,高考数学试题理应关注高中数学课程改革的进展,汲取新课程中的新思想、新理念,使高考数学科考查更加反映数学教育改革的发展方向.因此课本和《新课程标准》的交集成为试题的创新地带.在现行课程试卷中,融入了新课标的教育理念,比较注重考查考生的创新意识和动手能力,体现自主学习和主动研究精神.对传统内容的处理,设计了新的考查形式,编拟了新的题型,开发了新的背景,试题切入容易,深入难,有利于区分考生,鼓励考生多层次、多样化的发展,贯彻了发展性课程评价的理念.比如,2006年四川理科卷第8题与《新课程标准》中必修数学5的参考案例2基本相同;2006年陕西理科卷第12题涉及的是《新课程标准》中选修3—2中信息安全与密码中的概念;2006年重庆理科卷第9题与《新课程标准》中选修1—1的参考案例4如出一辙.再如2005年北京理科卷的第14题: 已知n次多项式Pn(x)=ax n+a1x n-1+…+ a n-1x+a n.如果在一种算法中,计算x k0(k=2,3,4,522006年第12期数学教学研究…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算Pn (x)的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1,(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x)的值共需要6次运算,计算P n (x)的值共需要次运算.该题源于人教新课标版《数学3》第28页的秦九韶算法.“新课程未施,考题先行”,这是对本题的评价,该题引入了“算法”概念,“算法”是《新课程标准》中新增加的一部分知识,由此我们是否可以得到某种启示呢?现在我们正处于向新课程标准的过渡时期,高考试题也在逐步的过渡,想必新课程标准在高中普及实施以后,高考试题势必将发生根本性的变化.因此在2007年备考中我们更要关注新课标教材在现行教材知识基础上有所增加的部分,应注重渗透新课程理念,指导学生在主动探索、思考、领悟中,牢固掌握基础知识,切实提高能力和数学素养.作为教师在新课标全面实行之前,应提前进入角色,提前解读课标,提前把握课标.3 借用高观点考查潜能力高观点题指与高等数学相联系的问题,这样的问题或以高等数学知识为背景,或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法.高观点题的起点高,但落点低,也就是所谓的“高题低做”,即试题的设计来源于高等数学,但解决的方法是中学所学的初等数学知识,所以并没有将高等数学引进高中教学的必要.考生不必惊慌,只要坦然面对,较易突破.以高等数学为背景的高考题大致分为三类:一是改编高等数学题.即把高等数学原来问题的条件或结论加以改造(强化、弱化或等价转化),变换形式,改变提法,从而做初等化处理,使之可用初等数学方法解决.如2006年四川理科卷第16题,是以高等数学群论为背景而编拟的一道判断填空题,它考查考生在新情景下对新知识的接受理解能力,抽象概括能力,是一道颇有新意的试题;二是从高等数学的定理出发来改编(降维).即把高等数学中一般性的定理等,用特殊化方法转化成初等数学问题,揭示了问题的本质及其变化规律.如2005年湖北理科卷第22题的背景为发散的调和级数并结合高斯函数, 2006年四川理科卷第22题以及2005年全国理科卷(Ⅰ)第22题的背景是函数的凸性及琴生(Jensen)不等式;三是引入有高等数学背景的新概念.即命题中引进了中学数学教学中未曾见过的一些“新概念”,这些新概念有着高等数学的背景,而且能够为考生感性上所理解和接受,对综合考查学生进一步深造的潜能有着不可低估的作用.如2005年湖南理科第10、15题,2006年辽宁理科第5题以及2006年上海理科第6题等.高考命题队伍中高校教师占有较大的比例,这样的命题人员结构,为高等数学的思想和方法,经过改造后进入高考数学试卷成为高考数学命题创新的一条重要途径.从而将高等数学问题下放,用初等方法来解决高等数学与初等数学的衔接问题,成为近年高考中的一个热点.同时这也有利于考查考生继续学习的数学潜质和创新能力,有利于高校选拔人才.4 改编竞赛题试题竞赛化高考试题竞赛化,竞赛数学思想渗透于高考问题之中,这是近年高考试题的一个比较明显的特征.究其原因:一是近几年来,各类竞赛题相继降低了门槛,越来越贴近高考,而随着素质教育的深入,高考数学也加强了能力考查的力度;二是数学竞赛专家参与了高考命题工作.“数学是思维的体操”,而数学竞赛更是考查一个人智力水平和综合能力的重要手段,高考功能虽然不同于竞赛,但同样具备选拔功能,通过高考选拔智能健全的可造之才.因此近年高考部分题来自数学竞赛题改编,比如2006年福建理科卷第11题改编自2004年全国高中数学联赛第一试的第4题;2005年重庆文科卷第10题与第十届高一“希望杯”的第20题同源;2003年北京理科卷第20题是1983年全国高中数学联赛题第二试第2题改编;2005年全国卷(Ⅲ)理科第6题雷同于2005年河南数学竞赛试题(见《中等数学》杂志);2005年全国卷(Ⅲ)理科第16题和1979年陕西数学竞赛试题相近.这就要求我们在高三的数学复习中,对历年的典型竞赛试题(如全国高中数学联赛和“希望杯”)也要有所研究,这样才能更好地指导高三学生进行考前综合训练.5 研究高考题预测新趋势历届高考试题成为高考试题的借鉴,先例可循,对自主命题的省份更是如此.高考数学命题首先求稳,其次求新,强调稳定,也就是承认命题是一种自62数学教学研究 2006年第12期然的发展,不会有突变,命题不能割断历史.历年试题呈现一种规律性的东西,它的发展和变化轨迹会给我们很多启示.因此认真研究近几年的高考真题,其一是找出规律,明确:选择题考什么,怎么考?填空题考什么,怎么考?解答题考什么,怎么考?从而增强备考的有效性.例如:近几年高考解答题常见的有6类题型:三角函数、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与不等式、数列,这就要求我们在教学中有针对性地再次在几块主干知识上多下点功夫.再者,有的高考题是从以前高考陈题出发改编而成.如2006年湖南理科卷第20题是2001年上海理科卷第21题的改编;2005年全国卷(Ⅲ)的第11题是一道陈题,但作为高考试题对考查考生的空间想象能力也不乏是一道好题;2005年全国卷(Ⅲ)理科第3题与2002年全国高考理科第15题本质是一样的;2005年天津高考第20题和1986年全国高考试题5基本一致!这就要求我们在高三的复习中对历年(特别是近年)的典型高考试题进行认真的研究,让学生掌握其解题思路和方法,做到陈题新解.除此之外,还应关注经典名题以及初等数学研究的最新成果.总之我们应努力探索高考命题规律,关注热点、挖掘冷点、研究交汇点、重视常考点,这样一定会增强备考复习的有效性与针对性,从而达到事半功倍的效果.参考文献[1] 罗增儒.怎样解答数学高考题[M].西安:陕西师范大学出版社,1996.[2] 裴光亚.高考数学复习的话题与认识[J].中学数学教学参考,2006(3).与时俱进的不等式恒成立与有解问题张世林郭东风(湖北省巴东县第一中学444300)不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容,是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点.随着中学数学引进导数,为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具.在近几年的高考试题中,涉及不等式恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目,比如2006年高考江西卷以及湖北卷.其中,特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题,用初等方法难以处理,而利用导数来解,思路明确、过程简捷流畅,淡化了繁难的技巧,它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法,而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合,体现能力立意的原则,带有时代特征,突出了高考试题与时俱进的改革方向,因此,越来越受到高考命题者的青睐.下面通过一些典型实例作一剖析.1 不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一团.(i)不等式f(x)<k,x∈i;或f(x)的上界小于或等于k.<="" max(x)="" p="">(ii)不等式f(x)<k,x∈i;或f(x)的下界小于k.<="" in(x)="" m="" p="">(iii)不等式f(x)>k在x∈I时恒成立Ζf m in(x)>k,x∈I;或f(x)的下界大于或等于k.(iv)不等式f(x)>k在x∈I时有解Ζf max(x) >k,x∈I;或f(x)的上界大于k.解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构作辅助函数,利用函数的单调性、最值(或上、下界)、图像求解;基本方法包括:分类讨论,数形结合,参数分离,变换主元等等.例1 已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x) =2x3+5x2+4x,其中k 为实数.(Ⅰ)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;(Ⅱ)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;722006年第12期数学教学研究</c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.<>。
高考数学试题的高等数学背景分析
行 式 列
Ｓ—的 是 Ｉ ｆ值 ｎｌ ６
— —
．
ｃｏｓ
试 题 ，学 生在 短 时 间 内要理 解 这 抽象 概 念 ，有 一定 的难 度 ，故作 为 填 空最 后 一题 ，具有 选 拔性 ．同类
题 型可见 ２ ０ ０ ６年高 考 四川卷 ・ １ ． 理 ６ 初 等数 学 的学 习多是 和 具体 的数字 打交道 ，而
高考数学试题 的高等数 学背景分析
郑 敏 龚梅 勇 陈清 华
１ 福建师范大学协和学院信息技术系 （５ １８ ３００ ） ２ 福建省福州第一中学 （５０ １ ３００ ） ３福建 师范大 学数 学与计 算机 科学 学 院（５ ０ ７ ３ ００） 高考数学命题强调“ 能力立意” 、追求“ 合理 区 分 ” 这就 必然地 要求 高考 数学命 题重视 “ ， 潜能考 查 ” ， 高 等数 学 （ 别 是分 析 学 、代数 学 等 ） 的一 些知 识 特 也就 极 为 自然 地成 了高考 数 学命 题设 置 以潜 能 考查
２
福 建 中学数 学
２ １ 第 １ 期 ０ ０年 １
的 ，我们 从高 中数学新 课程 的选修 模 块 的设 置上 ，
已经 可 以看 出这 种联 系是“ 泛而深 刻” ． 广 的 展 望 对 “ 系” 联 ，绝不 能乐观 ．基于 中 国的 国情 ，基于
真真 正正 地实 验 或实践 起来 ．尽管 课改 专家在 呼吁 ，
ｂ ～ ａ；
近 世代 数 的 内容 多 是 用集合 符 号 等表 示抽 象概 念 ，这 些概 念 其实 是 初 等数 学 中许 多 同类 知识 的抽
象升华 ，若是能注意到这点 ，以所熟悉 的初等数学 知识为为例子 ，来学 习 近世代数 ，将会事半功 倍 ．事实上 ，这种学习方式对高等数学许多其他 方 面知识的学 习同样十分有效 ．高考试题中的此类题 型不仅 考 查 了学 生 的学 习理 解 能力 ，更对 学 生未 来 学 习高 等数 学有 很好 的启 发作 用 ． 例 ２ （００年 高考 山东卷 ・ ）定义 平 面 向量 ２１ 理 之 间的一 种运 算“ 如 下 ，对任 意 的 ａ ， ， ｏ” ＝（ ）
例析高考题中的高等数学背景
２ ０・
中 学
生
理
科
应
试
２１． ， ０ １５６
例 析 高考题 中 的高 等数 学 背景
福建 省石狮 石光 华侨 联合 中学
１ 以“ 限”的定义 为背景 ． 极
（６７０ ３２０ ）
林建森
马 雪波
例 １ （ ０ ０年福建 高考题 ） 于具有相 同定义 ２１ 对
极限是 高 等数 学 中微 积分 的 基础 概 念 ， 它包 括
ｇ ） ０ （ 一 ；
对 于集 合 Ｓ： ｛ ， 然满足 素有 条 件 ， Ｓ是 ０｝显 但
对 ）ｇ ） 于③ 一（ ÷一 设Ａ ） 志， （ ：
＜１选 Ａ．
，
种办法靠直觉思维 ， “ 并非 信手拈来”直觉是建立在积 ．
累之上所养成的习惯 ， 积淀既深便是一种“ 自然行为 ” ．
六 、 用 极 限 采
例 ７ 一个 正 四棱 台上 、 下底 面边 长分 别 为 ａ ， ｂ 高为 ｈ， ， 且侧 面积等 于两底 面积 之 和 ， 下列 关 系 则 中正确 的是 （ ） ．
Ｄ， 使 得 当 ∈ Ｄ 且 ＞ ‰ 时 ， 总 有
ｆ ＜厂 ０ （ ）一ｈ ） ＜ ｍ （
设 ｛ 为一 个数列 ， 为一确 定 的常数 ， ａ｝ ａ 若对任 意 ｓ＞０ 存在 正整数 Ｎ， ｎ＞Ｎ时 ， Ｉ ａ ＜ ， 当 有 Ⅱ 一 Ｉ
，
ｔ ＜ （ ０ ）一ｇ ）＜ ｍ （
极 限思想方法 是变 量 数学 的基本 思 想 方法 ， 运
用极 限观点 、 思想 、 方法分析 问题 ， 问题 ， 解决 不但 能
激发 学 习数 学的兴趣 ， 而且解决某 些 问题十分 简单．
一道高考数学试题的高数背景
一道高考数学试题的高数背景廖运章 朱亚丽(广州大学 数学与信息科学学院 510006)2009年湖南高考数学理科第21题是这样的： 对于数列{}n u ，若存在常数M ＞0,对任意的*∈Nn ，恒有1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B-数列.（I ）首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （II ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：①数列{}n x 是B-数列，②数列{}n x 不是B-数列； B 组：③数列{}n S 是B-数列；④数列{}n S 不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；（III ）若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列. [注]令（I ）的21-=q 、（III ）中的n n a b =，其他不变，即为2009年湖南高考数学文科第21题，以下只讨论理科题，并简称为本试题.不难发现，这道文理压轴题以开放题的形式，用数列、不等式知识作载体，考查归纳猜想、逻辑推理等重要数学思想方法，具有深刻的高等数学背景，来源于数学分析中的有界变差数列，与实变函数中的有界变差函数一脉相承. 1．命题渊源 1．1命题背景事实上，本试题直接来源于吉米多维奇的《数学分析习题集》的第86题，原题及解答如下：[NO.86]若存在数C,使得21321,(2,3,)n n x x x x x x C n --+-++-<=，则称叙列(1,2,3,)n x n =有有界变差.证明凡有有界变差的叙列是收敛的.举出一个收敛叙列而无有界变差的例子.[证] 令21324311,(2,3,)n n n n n y x x x x x x x x x x n -+=-+-+-+-+-=，则叙列{}n y 是单调增加且有界，所以它是收敛的.根据哥西收敛准则，对于任给0ε>，存在数N ，使当m n N >>时，m n y y ε-<，即1121m m m m n n x x x x x x ε---+-+-++-<，而对于叙列{}n x 有，1121m n m m m m n n x x x x x x x x ---+-=-+-++-1121||||||m m m m n n x x x x x x ε---+≤-+-++-<，所以，叙列{}n x 是收敛的. 叙列：1111111,1,,,,,,,(1)2233n n----，它是以0为极限的收敛叙列.但它不是有界变差的.事实上，213243221214322111121,23n n n n x x x x x x x x x x x x x x n --⎛⎫-+-+-+->-+-+-=+++⎪⎝⎭而序列111123n nω=+++是发散的，又是递增的，故n ω→+∞.于是2132221n n x x x x x x --+-+-不是有界的.因而收敛叙列{}n x ：1111111,1,,,,,,,(1)2233n n----无有界变差[1].另例：若令()()111111111123nn k n k x n k--==-+++-=-∑，则因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++-+-=--+p n n n n x x p n n p n 1)1(312111)1(1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=312111n n n114131+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-n n n . 故由柯西判别法知lim n x x →∞存在，然而111123n S n=++++→+∞，即{}n x 并非有界变差叙列[2].随后，我国许多数学分析教科书、参考书先后将之稍作修改变形收入其中，如武汉大学数学系主编的《数学分析》（人民教育出版社，1978年）P 237的NO.3，裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》（高教出版社，2006年），刘玉琏的《数学分析辅导讲义》（高教出版社， 2001年）P57第20题，孙涛的《数学分析经典习题解析》（高教出版社，2003年） ，刘名生、冯伟贞、韩彦昌的《数学分析》（一）（科学出版社，2009年）P34的NO.13等等，有的还冠以“有界变差数列收敛定理”的名称.比较典型的问题形式有华东师范大学数学系的《数学分析》 [3]，其P40 的第6题为：若数列{}n a 满足：存在正数M ，对一切n 有21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤.证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛. 1．2命题技术从高考数学命题技术看，一是通过语言转换，将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列”用其英文简写“B -数列”（ bounded variation sequence ）这一新定义替代，高数语言初等化，保持原题条件不变，改变其结论（原题第2问的否定即是本试题的（I ）），以考查有界变差数列性质的目的，避开考生不能为之的收敛数列证明，试题的信息形态有一定新意；二是在解题思想方法上，本试题的解法与原题一样，都要求正确把握新定义“B -数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插值法（添减项），更是高等数学中的常用估值技巧，涉及压缩映射原理的2006年广东高考数学理20题(Ⅲ)的证明就曾用到该估值技巧.近年来，依托高等数学背景，通过高等数学语言初等化等形式，将高等数学问题的提法转化为中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种常见的命题方法，而中学数学和大学数学的衔接点则往往成为命题的焦点. 如单调有界定理是数学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理，与中学的数列、不等式等知识联系紧密，以此背景编拟本试题就不出意料. 2．解法探究 2．1（I ）的解法本试题（I ）比较简单，只要现场认真阅读有关条件并仿照新定义进行验证即可.设满足题设的等比数列为{}n a ,则1n n a q -=；于是 21211,2n n n n n a a q q qq n -----=-=-≥，因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=211(1...).n q q q q--++++ 1,q <∴ 21111 (11)n qq q q qq --++++=<--即11211...1n n n n q a a a a a a q+--+-++-<-，故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列. 2．2（II ）的解法（II ）是一个开放性问题，给考生思考的空间大，A 、B 两组可以组成八个命题：⑴①⇒③，⑵③⇒①，⑶②⇒③，⑷③⇒②，⑸①⇒④，⑹④⇒①，⑺②⇒④，⑻④⇒②.由原命题与逆否命题的等价性可知：⑴与⑻、⑵和⑺、⑶与⑹、⑷与⑸是互为逆否命题，所以本试题的八个命题可以归结为⑴、⑵、⑶、⑷这四个命题，但命题（2）真则命题（4）假，反之亦可，故问题（II ）实质上是要判断下列命题的真假：命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列. 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.命题3：若数列{}n x 不是B-数列，则数列{}n S 是B-数列.命题1为假命题.事实上，设1,n x n N •=∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S n =，且1121n n n n S S S S S S +--+-+-=12n n x x x n +++=, 由n 的任意性知，数列{}n S 不是B-数列.对于命题2，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的*∈N n ，有1121...n n n n S S S S S S M +--+-++-≤，即12...n n x x x M ++++≤；于是1121...n n n n x x x x x x +--+-++-1121122...222n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+，所以数列{}n x 是B-数列，命题为真.命题3为假命题. 考虑其逆否命题⑹④⇒①：若数列{}n S 不是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.其实，举一反例如令2n S n =，即知⑹为假命题.2．3 (Ⅲ) 的证法若数列{}n a ，{n b }都是B -数列，则存在正数1M ，2M ，对任意的,n N •∈有11211....n n n n a a a a a a M +--+-++-≤ ，11212....n n n n b b b a b b M +--+-++-≤.注意到112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 11221111...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ ， 同理 21n b M b ≤+.记111K M b =+，则有222K M b =+111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-1111111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a k b b ++-+++≤+-≤-+-，故111212112(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+，数列{}n n a b 是B -数列.3．试题拓展综上讨论，本试题主要探究有界变差数列的定义与个别性质，属于初等数学研究范畴，高中生是完全可以接受的；而吉米多维奇的原题侧重于研究有界变差数列的敛散性，是大学数学的教学内容.其实，有界变差数列与有界变差函数密切相关，有界变差函数是通过有界变差数列定义的，它们有许多相似性质.以下从纵向深入探究有界变差数列的若干性质，并从横向拓展、举例说明有界变差函数，所有讨论均限制在初等数学范围内. 3．1有界变差数列的性质一般地，设有数列{}n a ，若存在正数M ，对任意的*∈Nn ，有+-+n n a a 11--n n a a ++ M a a ≤-12，则称数列{}n a 为有界变差数列.有界变差数列又称囿变数列，在分析学中有广泛应用，以下是一些高中生能理解的有界变差数列的性质[4].[性质1] 若数列{}n a 为有界变差数列，则{}n a 必是有界数列.证明：设数列{}n a 为有界变差数列，则存在一个正常数M ，对于任意的n N +∈都有M a ani i i ≤-∑=+11.而11211a a a a a a a n n n n -+--+-=-- +-≤-1n n a a + 12a a -11a M a +≤+.取1a M C +=，存在一个常数C ，对于任何一个n N +∈，都有C a n ≤.所以，{}n a 是有界数列.[性质2] 若数列{}n a 为单调递增（递减）有界数列，则{}n a 必为有界变差数列. 证明：不妨设{}n a 单调递增有界M a n ≤，因为11111a M a a a an ni i i -≤-=-+=+∑，取1a M C -=，即C a a ni i i ≤-∑=+11，{}n a 为有界变差数列.注意：性质2的逆命题不成立，如数列 ,21,21,0,12，易验证它是有界变差数列，显然不是单调数列.[性质3] 设数列{}n a ，若存在M ,对任何n N +∈，有M ani i≤∑=1，则数列{}n a 必为有界变差数列.证明：对任何n N +∈，M a a a ani i n i i ni i i 211111≤+≤-∑∑∑==+=+.[性质4] 设数列{}n a ，{n b }都是有界变差数列，λ为常数，则⑴{}n a λ；⑵{}n n b a ±； ⑶{}n n b a ⋅；⑷⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a ，0>≥λn b ；⑸{}n a ；⑹{}n n b a ,m ax ，{}n n b a ,min 均是有界变差数列.证明：仅证⑷，其余请读者一试.此时，只需证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为有界变差数列，再据⑶即可.211111111λi i i i i i i i i i i i b b b b b b b b b b b b -≤-=-=-++++++，∴211211111λλMb b b b n i i i ni i i ≤-≤-∑∑=+=+， 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为有界变差数列. [性质5] 数列{}n a 为有界变差数列⇔{}n a 可以表示为两个单调有界数列之差. 证明：（⇐）显然. （⇒）设{}n a 是有界变差数列，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=++∑111121n n i i i n a a a x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=++∑111121n ni i i n a a a y ，显然{}n x ，{}n y 均为有界变差. 又[]0)(21)(21111111111≥-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=-+++-=+=++∑∑n n n n n n n i i i ni i i n n a a a a a a a a a a x x ，同理可得 01≥-+n n y y . 故{}n x ，{}n y 都是单调有界数列.[性质6] 若数列{}n a 满足条件)10;,3,2(11<<=-≤--+r n a a r a a n n n n ，称数列{}n a 为压缩变差数列，则压缩变差数列必为有界变差数列.证明： 11-+-≤-n n n n a a r a a ，∴≤≤-≤-≤----+ 21211n n n n n n a a r a a r a a121a a r n --.从而，++-+--+ 11n n n n a a a a ()122112+++++≤---r r r r a a n nM a a r r a a n≤---=-⋅121211，其中ra a M --=112.故数列{}n a 为有界变差数列.3．2有界变差函数举例有界变差函数是分析中较重要的函数类，它起源于求曲线的长度，在微分与积分的研究中起重要作用.下面通过数学问题解决的方式，举例说明.[问题1]设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点 b x x x x x a T n i i =<<<<<<=- 110:将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，记作],[b a BV f ∈，这里],[b a BV 表示在],[b a 上的全体有界变差函数的集合（若无特别约定，以下讨论都基于此记号）.（I ）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由； （II ）设函数)(x f 是],[b a 上的单调函数，证明：],[b a BV f ∈；（III ）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：],[b a BV f ∈.解：（I ） 函数2)(x x f =在]1,0[上是增函数，∴对任意划分T ，1)0()1()()()()()()(10111=-=-++-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f n n ni i i ，取常数1≥M ，则和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，所以函数2)(x x f =在]1,0[上是有界变差函数.（II ）不妨设函数)(x f 是],[b a 上的单调增加， 对任意划分T ，)()()()()()()()(10111a f b f x f x f x f x f x f x f n n ni i i -=-++-=--=-∑，∴一定存在一个常数0>M ，使M a f b f ≤-)()(，故],[b a BV f ∈.（III ） 对任意划分T ，)()()(1111a b k x x k x f x f ni i i ni i i -=-≤-∑∑=-=-，取常数)(a b k M -=，∴由有界变差函数定义知],[b a BV f ∈.[问题2]（1）设],[b a BV f ∈，求证：)(x f 是],[b a 上的有界函数.（2）设],[,b a BV g f ∈，求证：],[b a BV g f ∈±，],[b a BV g f ∈⋅，)0)((],[/>≥∈σx g b a BV g f ；（3）设],[,b a BV g f ∈，且βα,是任意两个常数，求证：],[b a BV g f ∈+βα. 注：此问题类似于性质1和性质4的证法，请读者给不妨一试，此略.[问题3] 若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，试证：)(x f 也是],[b a 上的有界变差函数.反之，若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，)(x f 是否为],[b a 上的有界变差函数？请说明理由.解：对],[b a 的任意划分T ，存在常数0>M ，使和式Mxf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）. M x f x f x f x f ni i i ni i i ≤-≤-∑∑=-=-1111)()()()(，∴)(x f 是],[b a 上的有界变差函数.反之，就不一定成立，如函数⎩⎨⎧-=.]10[1]10[,1)(中的有理数，为，中的无理数；，为x x x f 作]1,0[的划分T ：122214241222122011<<<<<<<<<-- n n n，则和式n n x f x f n i i i 42)2()()(11=⋅=-∑=-.显然，不存在一个常数0>M ，使对任意的n N +∈，M n ≤4恒成立，故)(x f 不是]1,0[上是有界变差函数.但若函数1)(≡x f ，]1,0[∈x ，显然)(x f 是有界变差函数[5].总之，借用或包装高等数学概念、用初数语言叙述高等数学原理、保持数学解题思想方法一致等，高等数学语言初数化以编拟高考数学试题，是当前高考数学命题惯用的重要手法之一，在于考查学生数学现场阅读理解等学习潜能以及数学创新意识，不容忽视.参考文献：[1] 吉米多维奇著，费定辉，周学圣编演.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社.1980. [2] 吉米多维奇著，曹敏谦译.数学分析习题集题解[M]. 上海：上海交通大学应用数学系编印，1979. [3] 华东师范大学数学系.数学分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4] 胡玲.关于囿变数列及其特征的若干主注记[J].安徽广播电视大学学报(自然科学版)，2007，（01）. [5] 上海师范大学数学系.实变函数与泛函分析（上册）[M]. 上海：上海科技教育出版社，1978.。
高等数学背景下的高考数学试题分析
高等数学背景下的高考数学试题分析作者：金玉琳侯成敏朴青松来源：《新课程学习·上》2014年第01期摘要：关注研究高考数学中的高等数学背景试题，对高三数学复习教学具有重要的意义，因此，探讨并提出了一些教学思路与方法，期望为同行提供可行的参考。
关键词：高等数学；基本概念；高考试题实施高中新课程以来，初中数学与高等数学的联系越来越紧密，高考试题中经常出现以高等数学知识为背景的命题。
这种试题起点高落点低，试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，具有很强的研究性和探究性，对学生的创新意识有很好的检测功能，下面就举一些具有高等数学背景的高考试题来分析与探讨，揭示解题方法，起到抛砖引玉的作用。
一、以群、环、域的概念为背景的高考试题群、环、域是近似代数中的基本知识，近年来的高考数学中以群、环、域的概念为背景的高考试题已开始出现，其考查内容并不超越高中数学教学大纲，但应用到了高等数学中的群、环、域概念。
如：例1.（2011年广东卷8）设S是整数集S的非空子集，如果？坌a，b∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V且？坌a，b，c∈T有abc∈T，？坌x，y，z∈V，有xyz∈V则下列结论恒成立的是（）A.T，V中至少有一个关于乘法是封闭B.T，V中至多有一个关于乘法是封闭C.T，V中有且只有一个关于乘法是封闭D.T，V中每一个关于乘法是封闭“封闭”是大学近似代数中的内容，以此出题，旨在考查考生接受和处理新信息的能力。
作为新定义问题，如能准确理解定义，难度并不大，但容易考虑不全。
因此在充分理解题目的含义之后，需全面深入地分析，方能准确地得出结果。
二、以凹凸函数概念为背景编制的高考试题新课程改革下的高中数学教学，强调培养学生自主创新能力和自主探究能力，因而近年来许多高考数学题目强化了对学生学习能力和创新能力的考查。
如：例2.（2012年福建卷10）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f （■）≤■[f（x1）+f（x2）]则称f（x）在[a，b]上具有性质P。
数学与应用数学-具有高等数学背景的高考题研究论文
具有高等数学背景的高考题摘要一百年前，F.克莱因就提倡“高观点下的初等数学”意识，强调要用近代数学的观点改造中学数学内容。
这一观点深深地影响了近代的中学数学教育。
当然，在中国高考则直接影响着中学数学教学。
本文研究具有高等数学背景的高考题。
首先，阅读了大量的参考文献，对已有相关研究进行梳理与分析。
包括在“高观点”题的功能、编写和教学探究；从基本理念中和课程内容解读《课标》中的“高观点”；给出“高观点”题的界定与分类。
接着，从量和质两个方面对2019年的全国数学高考题进行研究分析。
研究发现：2019年高考试卷中出现了更多的带有高等数学背景的高考题，重视学生在“高观点”下解答问题能力的考查。
最后，提出了若干教学建议。
教的方面：（1）教师要努力创设“高观点”题学习情景；（2）进行适当的知识迁移和拓展；（3）“高观点”题讲解时，要充分挖掘“高观点”的知识和背景，重视数学思想和方法教学。
学的方面：（1）在日常学习中，要会积累高等数学背景知识；（2）在解题特别是在解答高考数学题时，要尽力“站得高”、“析得透”。
关键词高观点题高等数学中学数学解题教学Research On College Entrance Examination Questions With AdvancedMathematics BackgroundAbstract A hundred years ago, F. Klein advocated the consciousness of "primary mathematics with a high viewpoint", emphasizing the need to use modern mathematics to transform the content of middle school mathematics. This point of view has profoundly influenced the mathematics education in modern high schools. Of course, the college entrance examination in China directly affects mathematics teaching in middle schools. This paper studies college entrance examination questions with advanced mathematics background.First, read a lot of references, and sort out and analyze the existing related research. Including the function, writing and teaching inquiry of the "high viewpoint" question; Interpret the "High Viewpoint" in the "Curriculum Standards" from the basic concepts and content of the course; Give the definition and classification of the "high viewpoint" question.Next, we will analyze and analyze the national mathematics college entrance examination questions in 2019 in terms of quantity and quality. The study found that more college entrance examination questions with advanced mathematics backgrounds appeared in the 2019 college entrance examination papers, and attached importance to the examination of students' ability to answer questions under the "high viewpoint".Finally, some teaching suggestions are put forward. (1) Teachers should strive to create learning scenarios with "high viewpoint" questions; (2) Proper knowledge transfer and expansion;(3) When explaining the topic of "High Viewpoint", we must fully tap the knowledge and background of "High Viewpoint", and attach importance to the teaching of mathematical ideas and methods. Aspects of learning: (1) In daily learning, it is necessary to accumulate advanced mathematical background knowledge; (2) When solving problems, especially when solving college entrance examination math problems, try to "stand high" and "keep analyzing"Key words High opinion question advanced mathematics Middle School Mathematics Problem-solving teaching目录0.引言 (4)0.1研究的背景 (4)0.2 研究的问题 (4)0.3 研究具有的意义 (4)1.文献综述 (6)1.1 相关的概念界定 (6)1.2已有研究综述 (6)1.2.1“高观点”下初等数学研究历程 (6)1.2.2“高观点”下初等数学研究方法 (7)1.2.3“高观点”下初等数学教学研究 (7)2.研究方法 (9)2.1文献法 (9)2.2 案例研究法 (9)3.“高观点”下的高考题研究 (10)3.1 课程标准“高观点”解读 (10)3.2“高观点题”的分类统计 (10)3.3“高观点”典型题分析 (11)3.3.1符号高观点题分析 (11)3.3.2知识内容高观点题分析 (12)3.3.3解决方法高观点题分析 (15)3.3.4数学思想理解水平高观点题分析 (19)4.结束语 (23)参考文献 (24)致谢 ............................................................................................................................. 错误!未定义书签。
以高等数学为背景的高考数学试题的研究
以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要:本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据,探析了此类问题的命题背景,充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议,为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。
关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中,中学数学里高等数学的含量正一步步扩大.选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容.选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3-3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4-4几何证明选讲、选修4-2矩阵与变换、选修4-3平面坐标系中几种常见变换、选修4-4极坐标与参数方程、选修4-5不等式、选修4-6初等数论初步。
由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容,现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放,而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生.有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法.作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作.随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大,近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高,本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数y x ,,有：.A []-=-x []x .B [][]x x 22= .C [][][]y x y x +≤+ .D [][][]y x y x -≤-命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题.对任意的实数x ，记不超过x 的最大整数为[]x ,通常称函数[]x y =为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数,即对任意,,21R x x ∈若,21x x ≤则[][]21x x ≤;若,,R y x ∈则[][][][][]1++≤+≤+y x y x y x ;由这条性质可推得选项D 成立；若*∈N n ，,R x ∈则[][]x n nx ≥。
浅析高考题中的高等数学背景
即Ａ Ｊ ｖ． Ｍ．＿ １ Ｊ （ ）略 ． ２
由ｉ 口去 可 ２ｙ ０ ｛＝＋消 得ｚｍ一 ：， ｌ ｙ 一ｐ ２
从 有【 — 巧 设 相 关方 程 ．本题 （ ） １
巧 设 过 点 Ａ的直 线 删 的直 线 方程 为 ｘ＝ｍ ＋ａ，而 ｙ
（） 略 ； １ （ ）设 函数 ｈｘ ：ｆ ｘ 一 （） 当 ｈｘ 存 在最 小 ２ （） （） ｇ ｘ ， （）
育的基本 目标之一” ．近年来 ，随着高考命题改革的 逐 步 深入 ， 自主命 题 的省 市越 来 越 多 ，主 要 由 中学 教 学一 线 的教 师 和高 校 的教 授参 加 命 题 ，而 且 高 校 教 师 占绝 对 优 势 ．关注 近 几 年 的高 考 ，为 了渗 透 新 课程理念 ，命 题者常受到 自身学术和研究方向的影 响 ，往 往 考 查 一 些 有着 高 等 数 学背 景 的问题 ．此 类
福建 省福 州 第八 中 学 （５０４ ３ ００ ）
数 的 重要 性质 ， 自从 导 数进 入 中学数 学 教材 后 ，使
得 函数 凹 凸性 问题 作 为 导数 的重 要应 用 成 为高 考 命 题 的热 点 ．下面 以 ２ １ 陕西 高考 理科 第 ２ ０ ０年 １题 为 例 ，对 高 考题 中 出现 的 以 函数 凹凸性 为 背 景 的试 题
２ １ 第 ８期 ００年
＝
一
Ｉ４ ｂ…③ ｎａ
故 由① ，② ，③ 得
类比推理能力 ，运用所给的信息分析问题 ，然后才 能顺利 解决 问题 ．
， ） （
’ ２
２ ±
２
， ） （
．
ａ＋ｂ
２ 以高等数学的定理为背景命题 ． ３ 随着 课 标 课程 改 革 的深 入 ，部 分省 市新教 材 中
例析高等数学背景下的高考数学题
②在 ｅｐ，若 １－９０Ｐ，￣，ＪｌＡｑｌ ＋１￣１ ＝Ｉ
③在 曰ｃ中．１ＩＡｃｌｌ＋ｌＩ∞ｌｌ＞ＩＩＡｓＩ｛．
其 中真命题的个数为 （ ）
Ａ． ０
Ｂ． １
Ｃ． ２ Ｄ． ３
解 析 对 于 直 角 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点
Ａ（ｘ。， ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），定义它们之 间的一种“距离”：
２
福 建 中 学数 学
２００９年第 ｌ０期
｛ｆＡＢＩｆ＝？ ！～ ｆ＋ —ｊ ｝．①若点Ｃ在线段ＡＢ上．
设 Ｃ点坐标为 （ 【】＇ ）．Ｘ。在 Ｘ．、 ：之间 ．Ｙ。在 、
Ｙ 之间，则ｌＩＡＣｌｌ＋ＩＣ８ １ｌ
＝ Ｉ ０一 ｌ ｌ＋ｊ）’ｔ）一 ’ｉ ｌ＋ｉ ２～ ｊ：＋｛ ：一 ０｛
高等数学背景下的高考数 学题也 叫“高观点题”． “高观点题”指与高等数学相联 系的问题 ．这样 的问题 或以高等数 学知识 为背景 。或体现高等数 学 中常用 的数学思想 方法 ，本文将例 析这类 问题 的基本类型 和 相 应 解 法 ．
１． 以高等数学运算为背景 例 １（２００６年高考四川卷 ） 非空集合 Ｇ关 于运算 ０满足 ：（１）对任 意的 口。 ｂ∈Ｇ 。都 有 ａ０ｂ∈Ｇ ；（２）存 在 ｅ∈Ｇ ，都 有 ａ０ｅ＝ｅ０ａ＝ａ ， 则 称 Ｇ 关 于 运 算 ０ 为 “融 洽 集 ”．现 给出下列集合和运算 ： ① Ｇ＝｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法 ； ② Ｇ＝｛偶数 ｝，０ 为整数 的乘法 ； ③ Ｇ＝｛平面 向量 ｝，０ 为平面向量 的加 法； ④ Ｇ＝｛二次三项式 ｝，０ 为多项式 的加 法； ⑤ Ｇ＝｛虚数 ｝，０ 为复数 的乘 法． 其 中 Ｇ关于运算 ０ 为“融洽集”的是 （写 出所有“融洽集 ”的序 号 ） 解析 本 题 源 自大学 数学 专业 课 中的 《近 世代 数 》，给 出了一个新 的概念“融洽集”，考查学生理解 并且会运用此概念 来判断 以下给出的条件 是否满足 成 为“融洽集”的能力． ① Ｇ：｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法。满足任 意 ａ，ｂ∈Ｇ都 有 口庄 ∈Ｇ，且令 ｅ－－０，有 ａ＠０＝０＠ａ＝ａ， 所以① 符合要求． ② Ｇ＝｛偶 数 ｝， ０ 为 整数 的 乘 法 ，若 存 在 ｅ∈Ｇ。ａ０ｅ＝ａｘｅ＝ａ，则 ｅ＝１，矛盾 。．·．② 不符 合要 求． ③ Ｇ＝ｆ平面 向量 ｝，０ 为平 面向量 的加 法，取
基于高等数学背景的试题探究
基于高等数学背景的高考试题探究——以福建各类考试试题为例厦门双十中学 李生华什么叫背景?《辞海》中的背景一词有三层含义:第一层为布景；第二层指图画；第三层指对人物或事物起到一定作用的环境和情景。
含有高等数学背景的高考题指命题时立足于高等数学相关知识，通过初等化处理（用中学相关知识精心设置和包装），使得编拟的试题直接或间接含有高等数学中的一些基本知识、基本问题、基本思想和方法，这类题目具有观点高、落点低、突出能力考查的特点。
以高等数学的知识背景来命制中学数学题目是一种创新的命题模式。
中学教师从高等数学的角度，以宽泛的视野来诠释初等数学的核心知识及重要的数学思想方法内容，站在更高的视角上审视和理解初等数学的问题，把握并能驾驭数学核心概念，重要的数学思想方法及其发生、发展过程。
通过研究有高等数学背景的高考试题，能提升中学数学老师高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高试题编题能力和解题能力。
本文所呈现的是以近些年福建各类考试试题为例来探讨相关话题。
一、以微积分的泰勒公式应用为背景例1、（2013年福建理科第15题）当1,<∈x R x 时，有如下表达式： x x x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dx x dx x dx x xdx dx n 从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C 分析：此题类比 (1)n x +两项展开式并进行积分计算，有较大的难度。
二、以斐波那契数列为背景例2、（2009年福建文、理科第16题拍手掌问题） 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，（文科）：当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅析高考题中的高等数学背景
湖南省株洲市茶陵一中
有些试题把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号、形式加以叙述，或以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，有利于高等数学与中学数学在形式或思想方法上的和谐接轨.我们一起来看看下面的例子：
一．以抽象代数中的运算系统为背景
例1.(2001年上春季高考试题)若记“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数 的运算，即2
b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对任意三个实数a 、b 、
c 都成立的一个等式是 .
解：)(c b a *+＝2c b a ++＝2
)()(c a b a +++＝)()(c a b a +*+. 故满足条件的等式可以是)(c b a *+=)()(c a b a +*+. (类似可推c b a +*)(=)()(c b c a *+*等. )
二．以矩阵知识为背景
例2．（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意
按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩
⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.
(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++
(B). 2221212111k k a a a a a a +++++++
(C). 2122211211k k a a a a a a +++
(D). k k a a a a a a 2122122111+++ .
解：由乘法原理和加法原理可得，答案为(C).
三．以区间套定理为背景
例3．(2003年上海卷)方程18lg 3=+x x 的根≈x （结果精确到0.1）.
解：显然2<x <3. 设)(x f =x x lg 3+18-，则0)5.2(<f ，故2.5<x <3. 又因为
0)7.2(>f ，所以2.5<x <2.7，由于结果精确到0.1，所以6.2≈x
四．以凹凸函数概念为背景
例4.（2002北京理）如图所示，)(x f i ()4,3,2,1(=i 是定义在[0,1]上的四个
函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ,任意∈λ [0,1], [])()1()()1(2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）.
A. )(1x f 与)(3x f
B. )(2x f
C. )(2x f 与)(3x f
D.)(4x f
解：易知，)(3x f 是正比例函数，必满足条件. 故结论只可能是A 或C. 在已知条件中令21=λ，得)]()([2
1)2(2121
x f x f x x f +≤+，显然，要满足此条件，)(x f 的图象只能“向下凹”，不可“向上凸”，故选A.
高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现. 这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨. 我们作为高中数学教师，在平时的教学上也应该注意这种考题的探究，引导学生树立这种意识！。