人教版八年级数学上册单元培优练习：第十一章《三角形》

单元培优练习：第十一章《三角形》
一．选择题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．3cm，5cm，7cm B．7cm，7cm，14cm
C．4cm，5cm，9cm D．2cm，1cm，3cm
2．三角形有两边长分别是5cm、7cm，而第三边边长是质数，符合条件的三角形的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，则∠C＝（）
A．70°B．90°C．20°D．110°
4．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交与点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE 的度数是（）
A．60°B．55°C．50°D．40°
5．在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角（）A．都是钝角
B．都是锐角
C．一个是锐角，一个是直角
D．互为补角
6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（）
A．减少180°B．增加180°C．减少360°D．增加360°
8．下面作三角形最长边上的高正确的是（）
A．B．
C．D．
9．在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是（）
A．0°＜∠B＜90°B．40°＜∠B＜130°
C．40°≤∠B≤90°D．40°＜∠B＜90°
10．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系为（）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠A＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠A D．∠2＞∠A＞∠1 11．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E．以下结论：①∠BDE＝∠BAC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC ＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD 于点G，交BC于点H．下列结论：①∠F＝（∠BAC﹣∠C）；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；
③∠FGD＝2∠ABE+∠C；④∠DBE＝∠F．其中正确的个数是（）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
二．填空题
13．三角形的两边长分别是3、5，第三边长为偶数，则第三边长为．
14．如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，若∠A＝∠EDC，∠C＝2∠B，则∠C ＝度．
15．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．
16．一个n边形的所有内角和等于540°，则n的值等于．
17．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝度．
18．如图，已知△OAB中，∠AOB＝70°，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，则∠ADB的大小为．
三．解答题
19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，CD和AE交于点F．（1）若∠B＝40°，则∠CFE＝°，∠CEF＝°；
（2）结合（1）中的结果，探究∠CFE和∠CEF的关系，并说明理由．
20．在△ABC中，∠B＜∠C，AQ平分∠BAC，交BC于点Q，P是AQ上的一点（不与点Q重合），PH⊥BC于点H．
（1）若∠C＝2∠B＝60°，如图1，当点P与点A重合时，求∠QPH的度数．
（2）当△ABC是锐角三角形时，如图2，试探索∠QPH、∠C、∠B之间的数量关系，并说明理由．
21．（1）把下面的证明补充完整
已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，EG、FG交于点G．求证：EG⊥FG．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠DFE＝180°（），
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE（已知），
∴，（），
∴∠GEF+∠GFE＝（∠BEF+∠DFE）（），
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°（），
在△EGF中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°（），
∴∠G＝180°﹣90°＝90°（等式性质），
∴EG⊥FG（）．
（2）请用文字语言写出（1）所证命题：．
22．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，点E在AB边上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．（1）求证：AD∥BC；
（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理
由．
23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC
（1）若P为线段AD上的一个点，过点P作PE⊥AD交线段BC的延长线于点E
①若∠B＝34°，∠ACB＝86°，则∠E＝°；
②猜想∠E与∠B、∠ACB之间的数量关系，并给出证明．
（2）若P在线段AD的延长线上，过点P作PE⊥AD交直线BC于点E．请你直接写出∠PED 与∠ABC、∠ACB的数量关系．
24．解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，请直接写出∠A和∠D的关系；
②如图4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．
（4）如图5，∠BAC与∠BDC的角平分线相交于点F，∠GDC与∠CAF的角平分线相交于点E，已知∠B＝26°，∠C＝54°，求∠F和∠E的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+5＞7，能组成三角形；
B中，7+7＝14，不能组成三角形；
C中，4+5＝9，不能够组成三角形；
D中，2+1＝3，不能组成三角形．
故选：A．
2．解：设第三边的长度为xcm，由题意得：
7﹣5＜x＜7+5，
即：2＜x＜12，
∵满足2＜x＜12的质数有4个，
∴能组成4个三角形，
故选：B．
3．解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（20°+70°）＝90°，
故选：B．
4．解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴∠DCO＝35°，
∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
5．解：∵四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角的和为：360°﹣90°×2＝180°，
∴另外两个内角互为补角，
故选：D．
6．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
故选：B．
7．解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
n+2边形的内角和是n•180°，
因而（n+2）边形的内角和比n边形的内角和大n•180°﹣（n﹣2）•180＝360°．故选：D．
8．解：∵三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．故选：C．
9．解：∵在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是40°＜∠B＜90°，故选：D．
10．解：∵∠1＞∠A，∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A，
故选：C．
11．解：①∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDE＝∠BAC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°
﹣（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
故选：D．
12．解：∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；
∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠FGD＝∠CBE+∠C＝∠ABE+∠C，故③错误，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∵∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故④正确；
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．解：∵三角形的两边的长分别为3和5，
∴第三边的取值范围为：2＜x＜8，
∴符合条件的偶数为4或6，
故答案为：4或6
14．解：∵∠A＝∠EDC，
∴AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠B+2∠B＝180°，即3∠B＝180°，
∴∠B＝60°，
则∠C ＝2∠B ＝120°，
故答案为：120．
15．解：分别过E 点，F 点，G 点，H 点作L 1，L 2，L 3，L 4平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，
∴180×5＝900°．
故答案为：900．
16．解：依题意有
（n ﹣2）•180°＝540°，
解得n ＝5．
故答案为：5．
17．解：由三角形的外角性质，∠BAC +∠ABC ＝∠ACE ，∠BOC +∠OBC ＝∠OCE ，
∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O ，
∴∠OBC ＝∠ABC ，∠OCE ＝∠ACE ，
∴（∠BAC +∠ABC ）＝∠BOC +∠ABC ，
∴∠BOC ＝∠A ，
∵∠BAC ＝70°，
∴∠BOC ＝35°，
故答案为：35°．
18．解：∠ABN ﹣∠OAB ＝∠AOB ＝70°，
∵AD 平分∠OAB ，BC 平分∠ABN ，
∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠OAB，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝35°，
故答案为：35°．
三．解答题（共6小题）
19．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝40°，∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝40°，∠BAC＝50°，
又∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAF＝25°，
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE＝CAF+∠ACD＝65°，∠CEF＝∠B+∠BAE＝65°，故答案为：65；65；
（2）∠CFE和∠CEF相等，
理由：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
又∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE＝CAF+∠ACD，∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴∠CFE＝∠CEF．
20．解：（1）∵∠C＝2∠B＝60°，
∴∠B＝30°，∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠QAC＝BAC＝45°，
∴∠AQH＝∠B+∠BAQ＝30°+45°＝75°，
∵PH⊥BC，
∴∠PHQ＝90°，
∴∠QPH＝∠QAH＝90°﹣75°＝15°；
（2）如图2，过A作AG⊥BC于G，
∴∠PHQ＝∠AGQ＝90°，
∴PH∥AG，
∴∠QPH＝∠QAG，
设∠QPH＝∠QAG＝x，
∵AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠QAC＝x+∠GAC，
∵∠AQH＝90°﹣x，
∴∠BAQ＝90°﹣x﹣∠B，
∵AG⊥BC，
∴∠GAC＝90°﹣∠C，
∴x+90°﹣∠C＝90°﹣x﹣∠B，
∴x＝（∠C﹣∠B），
即∠QPH＝（∠C﹣∠B）．
21．证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠DFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE（已知），
∴∠BEG＝∠FEG，∠DFG＝∠EFG，（角平分线的定义），∴∠GEF+∠GFE＝（∠BEF+∠DFE）（等量代换），
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°（等式的性质），
在△EGF中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°（三角形的内角和），
∴∠G＝180°﹣90°＝90°（等式性质），
∴EG⊥FG（垂直的定义）；
（2）请用文字语言写出（1）所证命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，∠BEG＝∠FEG，∠DFG＝∠EFG，角平分线定义，等量代换，三角形的内角和，垂直的定义，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
22．解：（1）证明：∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠DEA，
∴∠CDE＝∠DEA，
∴CD∥AB，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵DF⊥BC，
∴∠BGF＝90°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠BGF＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠F．
设∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，
则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，
由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得
2x+y+2x＝90，
∴y＝90﹣4x，
∴∠F﹣∠EDF＝y°﹣2x°＝90°﹣4x°﹣2x°＝90°﹣6x，
∵∠BDC＜45°，
∴x+y＜45°，
x+90﹣4x＜45，
解得x＞15，
∴6x＞90．
∴∠F﹣∠EDF＝90°﹣6x°＜0，
∴∠F＜∠EDF．
23．解：（1）①∵∠B＝34°，∠ACB＝86°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝64°，
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°﹣∠PDE＝26°；
故答案为：26；
②数量关系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由如下：
设∠B＝x，∠ACB＝y，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣x﹣y．
∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）．
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝x+（180°﹣x﹣y）＝90°+（x﹣y）．
∵PE⊥AD，∴∠PDE+∠E＝90°，
∴∠E＝90°﹣[90°+（x﹣y）]＝（y﹣x）＝（∠ACB﹣∠B）．
（2）∠PED＝（∠ACB﹣∠ABC），理由如下：
①当点E在线段BC上时，如图1所示：
设∠ABC＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠PDE＝∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠PED＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠ABC），
②当点E在CB的延长线时，如图2所示：
同（2）①可得：∠PDE＝∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠PED＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠ABC），
综上所述，∠PED＝（∠ACB﹣∠ABC）．
24．解：（1）∴∠D＝∠A+∠B+∠C；
理由如下：
如图1，∠BDE＝∠B+∠BAD，∠CDE＝∠C+∠CAD，
∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝∠B+∠BAC+∠C，
∴∠D＝∠A+∠B+∠C；
（2）∠A+∠D＝∠B+∠C；
理由如下：
如图2，在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BCE中，∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（3）①∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，
∴∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故答案为∠D＝90°+∠A，
②连结BE，
∴∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠ABE+∠F+∠BEF＝360°；
故答案为360°；
（4）由（1）知，∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，
∵∠B＝26°，∠C＝54°，
∴∠BDC＝80°+∠BAC，
∴∠CDF＝40°+2∠CAE，
∵∠BAC＝4∠CAE，∠BDC＝2∠CDF，
∴∠GDE＝90°﹣∠CDF，
∠AGD＝∠B+∠GDB＝26°+180°﹣∠CDF，
∠GAE＝3∠CAE，
∴∠E＝360°﹣∠GAE﹣∠AGD﹣∠GDE＝64°﹣（2∠CAE﹣∠CDF）＝64°+×40°＝124°；
∠F＝180°﹣∠AGF﹣∠GAF＝180°﹣（206°﹣∠CDF）﹣2∠CAE＝﹣26°+∠CDF﹣2∠CAE＝﹣26°+40°＝14°；。