七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第九讲 恒等式的证明(含答案)

第九讲 恒等式的证明

趣题引路】 请证明下列恒等式：

()()()()

x

x x x x

x n

n

--=

++++111111424

2

考虑()()2111x x x -=+-，()()

422111x x x -=+-，…，于是左边乘以

11x

x

--：左边=()()()(

)(

)()

x

x x x x x x x x x n n n n --=-+-=+++--1111111111142222 这里的技巧在于添乘（1－x ）后，能反复运用平方差公式在恒等式的证明中类似的技巧很多，下面逐一介绍.

知识拓展】

1.如果两个代数式A 和B ，对于它们的变数字母在允许取值范围内的任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式是恒等的，一般记作A =B ，有时也记作A =B ，这样的等式就称为恒等式，而把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式就叫做代数式的恒等变形。

2.恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。通常的证明方法有：（1）将左边转化到右边，或将右边转化为左边，一般是从复杂的一边向简单的一边转化；（2）将两边都变形，化成同一个代数式；（3）证明左边－右边=0或左边

右边

=1，此时右边≠0.（4）换元法：对于结构较复杂但又有许多典型结构的恒等式可用此法。

3.对于有条件限制的恒等式的证明：常要变换条件并灵活运用条件，方能使等式得到证明.

一、无条件恒等式的证明 1.左右法 例1 求证：

()()()

0.()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++=++++++ 解析 直接通分难度太大，考虑一、二项作一组通分，后两项作一组通分。 证明 左边=()()()

(

)[]()()()

a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++ =2()2()()

()()()()()b a c b a c c a a b b c a b b c c a -+-+

+++++ =

2()2()

0()()()()

b a

c b a c a b b c a b b c ---=++++.

点评：后两项通分后分子分母出现公因式，从而化难为易.恒等式的证明往往从结构较复杂的一边开始.

2.作差法

例2 证明：

222

1113

.x y z ax a ay a az a x a y a z a a

++=+++------ 解析 因左边三个分式的分母都是右边分式分母的a 倍，考虑作差通分化简求证。 证明左边－右边=1113

[

][][]()()()x y z a x a x a a y a y a a z a z a a

-+-+--------

=1113

0a a a a

++-=. 因此原等式成立. 3.换元法 例3 证明：

()()()()()()

1(2)(2)(2)(2)(2)(2)

y x z x z y x y y z x z x y z x y z x y z y z x y z x x y z ------++=-++-+-+-+--+"

解析 左边结构对称，考虑换元 证明 设x －y =a ，y －2=b ，z －x =c ，

则x －2y ＋z =a －b ，x ＋y －2z =b －c ，y ＋z －2x =c －a ， ∴左边=－()()()()()()

ac ab cb a b b c b c c a c a a b -

----

------=()()()()()()a c c b b a c b bc b a ab a c ac ----+-+-- =222222

()()()ac a c a b ab b c bc a b b c c a -+-+-----

=222()()()()()()

c a b c a b ab a b a b b c c a ---+-----

=()()()

1()()()

a b b c c a a b b c c a ---=---.

4.裂项相抵法 例4 求证：

()()

()()()()()()5

1

515411111341451

-=

+++++++-++--+

--x x x x x x x x x x x x 解析 将每一项拆成两项之差再求和. 解 左边=5

1

51514111111131414151--

+++-++++++--++---+---x x x x x x x x x x x x =右边.

原式得证

5.因式分解法 例5证明：

()()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a ----=---++--+-+-111111111121121321211 .

解析 注意到，等式左边除第一项外，各项都有公因式1－a ，除每一项和第二项外，各项都有21a -，等等，我们可以利用右边的1和左边的第一项1a ，构成因式11a -，然后采取逐步提取公因式法。

证明 要证原等式等价于