三元一次方程及其解法
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三元一次方程组及其解法
1.三元一次方程的定义:含有三个未知数的一次整式方程
2.三元一次方程组:由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组
3. 三元一次方程组的解:能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路:利用消元思想使三元变二元,再变一元
4.三元一次方程组的解法:用代入法或加减法消元,即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程. 例题解析
一、三元一次方程组之特殊型
例1:解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212
分析:方程③是关于x 的表达式,通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x ”的目标。
解法1:代入法,消x.
把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤
④
2256125z y z y
解得2,2.y z =⎧⎨=⎩
把y=2代入③,得x=8.
∴8,
2,2.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 根据方程组的特点,可归纳出此类方程组为: 类型一:有表达式,用代入法型.
针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2:消z.
①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤
由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤
③38344y x y
x
解得 2.
y ⎨=⎩
把x=8,y=2代入①得z=2.
∴8,2,2.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 根据方程组的特点,可归纳出此类方程组为: 类型二:缺某元,消某元型.
例2:解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++③
②①17216
2152z y x z y x z y x 分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等;每一个未知数的系数之和也相等,即系数和相等。
具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”,可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解:由①+②+③得4x+4y+4z=48, 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3,
②-④得 y=4, ③-④得 z=5,
∴3,
4,5.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 典型例题举例:解方程组20,19,
21.x y y z x z +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
①
②③
解:由①+②+③得2(x+y+z)=60 , 即x+y+z=30 .④
④-①得 z=10, ④-②得 y=11, ④-③得 x=9,
∴11,10.y z ⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为: 类型三:轮换方程组,求和作差型.
例3:解方程组⎩⎨
⎧=+-=②
①21
327
:2:1::z y x z y x
分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系,根据以往的经验,看见比例式就会想把比例式化成关系式求解,即由x:y=1:2得y=2x ; 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式,即
2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪
=⎨⎪-+=⎩①②③
,根据方程组的特点,可选用“有表达式,用代入法”求
解。
解法1:由①得y=2x ,z=7x ,并代入②,得x=1.
把x=1,代入y=2x ,得y=2; 把x=1,代入z=7x ,得 z=7.
∴1,2,7.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 分析2:由以往知识可知遇比例式时,可设一份为参数k ,因此由方程①x:y:z=1:2:7,可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的,并把三元通过设参数的形式转化为一元,可谓一举多得。
解法2:由①设x=k,y=2k,z=7k ,并代入②,得k=1.
把k=1,代入x=k ,得x=1; 把k=1,代入y=2k ,得y=2; 把k=1,代入z=7k ,得 z=7.
∴1,2,7.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解.
典型例题举例:解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧===++③②
①4:5:2:3:111z y x y z y x
分析1:观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系,由例3的解题经验,易选择将比例式化成关系式求解,即由②得x =2
3
y ; 由③得z=
4
5
y .从而利用代入法求解。
解法1:略.
分析2:受例3解法2的启发,想使用设参数的方法求解,但如何将②、③转化为x:y:z 的形式呢?通过观察发现②、③中都有y 项,所以把它作为桥梁,先确定未知项y 比值的最小公倍数为15,由②×5得y:x=15:10 ,由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式,就能解决了。
解法2:由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k ,并代入①,得k=3. 把k=3,代入x=10k ,得x=30; 把k=3,代入y=15k ,得y=45; 把k=3,代入z=12k ,得 z=36.
∴30,45,36.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为: 类型四:遇比例式找关系式,遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型
例4:解方程组34,6,
2312.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩
①②③
分析:对于一般形式的三元一次方程组的求解,应该认清两点:一是确立消元目标——消哪个未知项;二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用,怎么才能做到“目标明确,消元不乱”,为此归纳出: (一) 消元的选择
1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元;
2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。
(二) 方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程,体现出两次消元的过程选择。
解:⎪⎩
⎪
⎨⎧∆
∨=-+∆=++∨=+-③②
①12326
43z y x z y x z y x
(明确消z ,并在方程组中体现出来——画线)
①+③ 得5x+2y=16, ④ (体现第一次使用在①③后做记号√) ②+③ 得3x+4y=18, ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)
由④、⑤得5216,
3418.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩④⑤
解得2,3.x y =⎧⎨=⎩
把x=2 ,y=3代人②,得 z=1.
∴2,3,1.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
是原方程组的解. 典型例题举例:解方程组2439,32511,
56713.
x y z x y z x y z ⎧++=∨⎪⎪
-+=∨∆⎨⎪-+=∆
⎪⎩①②③
分析:通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小,因此确定消y 。
以方程②作为桥梁使用,达到消元求解的目的。
解:②×2 得 6x -4y+10z=22, ④ 2x +4y+ 3z=9, ①
①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤ ②×3 得 9x -6y+15z=33 ,⑥ 5x -6y+7z =13, ③ ⑥-③得 4x +8z =20 . x +2z=5 . ⑦
由⑤、⑦得81331,
2 5.
x z x z +=⎧⎨
+=⎩⑤⑦
解得1,3.
x z =-⎧⎨=⎩
把x=-1 ,z=3代人① ,得 2
1
=
y . ∴1,1,23.
x y z =-⎧⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩ 是原方程组的解.
在此需要说明的是,每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的,需要进一步的观察,但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略,就可以以不变应万变,就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。
课堂练习
1.解下列方程组
(1)20
00
x x y y z -=⎧⎪
+=⎨⎪-=⎩ (2)6810x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
2.解下列方程组
(1)63z x y x y z x y =+⎧⎪++=⎨⎪-=⎩ (2)17221343x y z x y z x y z ++=⎧⎪
--=⎨⎪+-=⎩
3.有这样一个数学题:在等式2
y ax bx c
=++中,当x=1时,y=1;当y=3时,y=9,当x=5时,y=5.
(1)请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗?
(2)你能求出a,b,c的值吗?
4.解方程组
44
228
25
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪+-=-
⎩
5.解方程组
3248
2348
55622
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
6.解方程组
21
2314
38
x y z
x y z
x y z
+-=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
7. 解方程组
3
4
5
a b
b c
a c
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
,
三元一次方程组的实际应用
EG01:某车间有60人,生产甲乙丙三种零件,每人每小时能生产甲24个,或乙20个,或丙16个,现用零件甲9个,乙15个,丙12个,装配成某机件,如何安排劳动力,才能使每小时生产的零件恰好成套?共有多少套?
解:设生产甲、乙、丙三种零件各有x人,y人,z人.根据题意得
x+y+z=60
24x/9=20y/15=16z/12
解得x=12,y=24,z=24
24×12/9=32
答:安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人,24人,24人,共有32套.
EG02: 甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的1/3(三分之一)等于丙数的1/2(二分之一),求这三个数。
解: 设甲是x,乙是y,丙是z
则x+y+z=35 (1)
甲数的2倍比乙数大5
2x-y=5 (2)
乙数的1/3(三分之一)等于丙数的1/2
y/3=z/2 (3)
由(2)和(3)得到
y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3
代入(1)
x+2x-5+4x/3-10/3=35
13x/3=130/3
x=10
y=2x-2=15
z=2y/3=10
所以
甲是10,乙是15,丙是10
EX:
1.有甲乙丙三种货物,若购物甲种3件,乙种7件,丙1件需要31.5元,如果购买甲4件,乙10件,丙1件共需要42元,若购甲乙丙各一件,需要10.5元。
问甲乙丙每件各多少元?
2.汽车在平路上每小时行30公里,上坡时每小时行28公里,下坡时每小时行35公里,现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟,回来使用4小时42分钟,问这段平路有多少公里?去时上下坡路各有多少公里?
3.某校初中三个年级一共有651人,初二的学生数比初三学生数多10%,初
一的学生数比初二的学生数多5%。
求三个年级各有多少人?
AW: 1式子:3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5
答案:这题有问题,多解的(只要符合x+3y=10.5)就行,真不知楼上怎
么算出来的。
2:去时上坡x平路y下坡z
x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案:x=42 y=30 z=70 3:初一:x 初二:y 初三:z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案:x=231 y=220 z=200
训练集中营1。
现有1角,5角,1元硬币各10枚.从中取出15枚,共值7
元,1角,5角,1元各取几枚?
2。
甲地到乙地全称是3.3KM,一段上坡,一段平路,一段下坡,如果保持上坡每小时行3KM,平路每小时行4KM,下坡每小时行5KM,那么,从甲地到乙地需行51分,从乙地到甲地需行53.4分,求从甲地到乙地时的上坡。
平路。
下坡的路程各是多少?
3。
水费价格:不超过6立方米部分,每立方米2元。
超过6立方米至10立方米部分,每立方米4元。
超过10立方米部分,每立方米8元。
某居民三月和四月共用水15立方米,交水费44元,(四月用水量多于三月用水量),求三月和四月用水量?如果某居民某月用水量是13.5立方米,则他需要交水费多少元?
4。
某足球联赛一个赛季共进行26场比赛(即每队均赛26场),其中胜一场得三分,平一场得一分,负一场得0分。
某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场,结果共得34分。
这个队在这个赛季中胜,平,负各多少场?
5。
学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2:3,三种球共41个,求三种球各有多少
6。
一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管,若打开甲管4小时,乙管2小时和丙管2小时,则水池中余水5吨;若打开甲管2小时,乙管3小时,丙管1小时,则池中余水1吨,求打开甲管22小时,乙管5小时,丙管11小时,池中余水多少吨?
7。
小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚,共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚?
8。
运往某地的两批货物,第一批为440吨,用8节火车车厢和10辆汽车正好运完;第二批货物520吨,多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车,正好运完。
求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨?
9。
1、有一批零件共420个,若甲先做2天,乙加入,合作2天可以完成;若乙先做2天,甲加入,合作3天可以完成,求二人每天平均做多少个?
10。
、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张,问两种邮票各买多少张?11。
有甲乙两数,甲数的3倍与乙数的2倍之和是47,甲数的5倍比乙数的6倍小1,求这两个数。
12。
某车队运一批货物,若每辆装3.5吨,就有2吨运不走,若每辆多装0.5吨,则还可以装其他货物1吨,问有多少辆车?多少吨货物?
13。
已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶.
(1)若甲车的速度是乙车的2倍,甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇,相遇时乙车走了1小时.求甲、乙两车的速度;
(2)假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油,每升汽油可以行驶10千米,途中不能再加油,但两车可以互相借用对方的油,若两车都必须沿原路返回到出发点A,请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A,并求出甲车一共行驶了多少米?。